数学建模报告

陈鹏

广告中的数学

有五个海盗在海上抢得了100枚金币，上岸后他们要分赃。

他们五个人排了个顺序，第一个人先制定一个分配方案，如果第一个人的方案被通过并执行，此次分金币的事结束，如果第一个人的方案被否决，把第一个人杀掉。 100枚金币由其余的四个人分，再由第二个人制定一个分配方案，依次类推，直到金币被分完。

请你替第一个人制定一个合适的分配方案。

（注：分配方案被通过是指同意的人数大于反对的人数，否则方案被否决。）

对于上面所给出的这个问题我们可以利用数学来解决：从五号的想法开始推，因为五号是不可能被杀掉的，那五号的想法肯定是自己得到100枚金币，对于四号，肯定也想得到100枚，分给五号0枚，那五号肯定不同意，所以四号就会被杀掉，其实不管四号如何分，只要前三号都被杀掉了，他就不能活，所以他会选择保住前三位，那对于三号，肯定希望前二位被杀掉，他会分给四号0枚，五号0枚，因为他知道四号的想法，自己吞掉所有的金币，那么二号，肯定会想到三号的想法，选择给四号，和五号各一枚金币，这样就是3:1，可以活命，那么一号考虑到二号的想法，会选择给四号或者五号2枚金币，其中一个给一枚，这样就是3：2，这样一号自己就能拿到97枚，而且能活命。所以一号的分配方法是自己拿97枚，放弃二号和三号，给四号2枚，五号1枚（或者自己拿97枚，放弃二号和三号，给四号1枚，五号2枚）上面的例子告诉我们：数学与我们的日常生活有着密不可分的关系，我们每个人每时每刻都在接触数学，运用数学知识和它独特的思维方式、严谨的推理方法可以解决我们生活、工作、学习过程中的各种问题，帮助我们更好的解决资源有效配置的问题。而随着近年来科学技术水平的迅速发展，数学也得到了空前的发展，同时计算机的普及也使数学解决现实问题的能力大大提高，从而使数学更接近我们的生活的各个领域，数学建模竞赛就是一个例子。

数学建模是数学很重要的一部分，它与现实的问题更接近，联系更加紧密。数学建模是通过模型的假设、建立、求解和对结果的分析、检验来将实际问题运用数学知识进行解答，从而对处理现实问题提供合理、有效的解决方案的方法。这些了解是在数学建模课上老师告诉我们的，不仅如此，我们还学会了建立数学模型的方法以及如何运用数学建模解决问题的步骤。

运用在数学建模课堂上学到的知识，我们按照模型的假设、建立、求解、结果的分析和检验的步骤建立了如下模型：

在现实生活中，广告无所不在。广告在给购买者提供丰富生动的信息的同时也给商家带来了丰厚的利润。然而，在广告中还存在着诸多学问…以房产销售广告为例，房产开发商为了扩大销售，提高销售量，通常会印制精美的广告分发给大家。虽然买房人的买房行为时随机的，他可能买房也可能暂时不买；可能买这家开发商的房子，也可能买那家开发商的房子。这其中与各开发商的广告投入有一定关联。一般地，随着广告费用的增加，潜在的购买量会增加，但市场的购买力是有一定限度的。下表给出了某开发商以往九次广告投入及预测的潜在购买力。

下面从数学角度，通过合理的假设为开发商指定合理的广告策略，并给出单位面积成本700元，售价为4000元条件下的广告方案：

1、模型建设

（1）假设单位面积成本为p1元，售价为p2元，忽略其他费用，需求量r是随机变量，其概率密度为p（r）；

（2）假设广告投入为p百万元，潜在购买力是p的函数记作s（p），实际供应量为y。

2、模型建立

开发商指定策略的好坏主要由利润来确定，好的策略应该获得好的利润，为此，必须计算下平均销售量E（x）。

E(x)=∫y0rp(r)dr+∫+∞y yp(r)dr

上面右边第二项表示，当需量大于等于供应项时，取需求量等于供应量。因此，利润函数为：R(y)=p2E(x)-p1y-p

利用∫+∞0p(r)dr=1,得

R(y)=(p2-p1)y-p-p2∫y0(y-r)p(r)dr （1）

（1）式中，第一项表示已售房毛利率，第二项表示广告成本，第三项为未售出房的损失。

3、模型求解

为了获得最大利润，只需对上式求导并令其为0，设R（y）获得最大值时，y的最优值为y*，则：dr(y)/dy=(p2-p1)-p2∫y0p(r)dr=0

因此，y*满足关系式：

∫y*0p(r)de=(P2-P1)/p2 （2）

通过（2）式知道，在广告投入一定的情况下，可以求出最优的供应量，但依赖于需要量的概率分布，为使问题更加明确，增加如下假设：

假设需求量r服从U[0 , s(p)]分布,即:

p(r)={1/s(p),0﹤=r﹤=s(p);0,其他。} （3）

将（3）式带入（2）式,得到:

y*=s(p)(p2-p1)/p2 （4）

即最优的供应量等于毛利率与由广告费确定的潜在购买力的乘积.将上式带入第一个式子,得到最大利润为:

R(*)=s(p)(p2-p1)^2/2p2-p （5）

对（5）式关于p求导,得驻点p*满足的方程为:

s’(p*)=2p2/(p2-p1)^2 （6）

因此,只要知道了潜在购买力函数,就可以给出最优的广告投入.

下面,根据开发商获得的相关数据,来确定潜在购买力函数.通过对上表的数据分析,得知其符合Logistic 型曲线增长率,经拟合,得到:

s(p)=10^5/(9+e-2p) （7）

记:

l=2p2*10^-5/(p2-p1)^2＞0时，得：

将（7）式带入（6）式，当1-18l得:

p*=-1/2ln(1-9l+√(1-18l)+lnl/2 （8）

将p1=0。0007，p2=0.0004代入（8）式，的p*=0.49百万元。

商家可以根据以上计算结果制定出合理的广告策略,从而制定销售策略，提高销售量,增加利润收益！

由此可见,数学建模可以解决我们社会生活中各个方面的相关问题,帮助我们实现资源的合理配置和有效配置！作为当代大学生，我们必须结合现实社会的科技发展速度和水平，跟随社会发展的脚步，其中很重要的一点是掌握丰富的数学建模知识，并且运用数学建模的模型解决现实社会中的相关问题，实现我们作为大学生的价值！