不等式知识点归纳与总结

授课教案

教学标题 期末复习（三） 教学目标 1 、不等式知识点归纳与总结 教学重难点

重点：不等式基础知识点的熟练掌握

难点：不等式在实际应用中的相互转换

上次作业检查

授课内容：

一、数列章节知识点复习

1 等差数列

（1）性质：a n =an+b ，即a n 是n 的一次性函数，系数a 为等差数列的公差；

（2） 等差{n a }前n 项和n d a n d Bn An S n ⎪⎭

⎫ ⎝

⎛-+⎪⎭

⎫ ⎝⎛=+=22122即S n 是n 的不含常数项的二次函数；

若{a n }，{b n }均为等差数列，则{a n ±n n },{

∑=k

1

i k

a

},{ka n +c}（k ，c 为常数）均为等差数

列；

当m+n=p+q 时，a m +a n =a p +a q ，特例：a 1+a n =a 2+a n-1=a 3+a n-2=…；当2n=p+q 时，2a n =a p +a q ； ① 等差数列依次每k 项的和仍成等差数列，其公差为原公差的k 2倍...,,232k k k k k S S S S S --；

② 若等差数列的项数为2()+∈N n n ，则，

奇偶nd S S =-1

+=n n a a S S 偶

奇

；

等差数列 等比数列 定义 d a a n n =-+1

)0(1

≠=+q q a a n

n 递推公式 d a a n n +=-1；()n m a a n m d =+-

q a a n n 1-=；m n m n q a a -=

通项公式 d n a a n )1(1-+=

11-=n n q a a （0,1≠q a ）

中项

2

k

n k n a a A +-+=

（*,,0n k N n k ∈>>） )0( k n k n k n k n a a a a G +-+-±=

（*,,0n k N n k ∈>>）

前n 项和

)(2

1n n a a n

S +=

d n n na S n 2

)1(1-+

=

()

⎪

⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(111)1(111q q q

a a q

q a q na S n n n 重要性质

),,,,(*q p n m N q p n m a a a a q

p n m +=+∈+=+)

,,,,(*q p n m N q p n m a a a a q

p n m +=+∈⋅=⋅

③ 若等差数列的项数为()+∈-N n n 12，则()n n a n S 1212-=-，且n a S S =-偶奇， 1

-=

n n S S 偶

奇 （4）常用公式：①1+2+3 …+n =()2

1+n n ②()()6

1213212222++=+++n n n n

③()2

2

13213333⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+=++n n n

[注]：熟悉常用通项：9，99，999，…110-=⇒n n

a ；

5，55，555，…()1109

5-=⇒n n a .

2 等比数列 （1）性质

当m+n=p+q 时，a m a n =a p a q ，特例：a 1a n =a 2a n-1=a 3a n-2=…，当2n=p+q 时，a n 2

=a p a q ，数列{ka n }，{

∑=k

1

i i

a

}成等比数列。

3 等差、等比数列的应用

（1）基本量的思想：常设首项、公差及首项，公比为基本量，借助于消元思想及解方程组思想等；

（2）灵活运用等差数列、等比数列的定义及性质，简化计算； （3）若{a n }为等差数列，则{n a a }为等比数列（a>0且a ≠1）；

若{a n }为正数等比数列，则{log a a n }为等差数列（a>0且a ≠1）。

典型例题

例1、已知数列{a n }为等差数列，公差d ≠0，其中1k a ，2k a ，…，n k a 恰为等比数列，若k 1=1，k 2=5，k 3=17，求k 1+k 2+…+k n 。

例2、设数列{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7=7，S 15=75,T n 为数列{

n

S n

}的前n 项和，求T n 。 例3、正数数列{a n }的前n 项和为S n ，且1a S 2n n +=，求： （1） 数列{a n }的通项公式；

（2）

设1n n n a a 1b +=

，数列{b n }的前n 项的和为B n ，求证：B n 2

1

<.

例4、等差数列{a n }中，前m 项的和为77（m 为奇数），其中偶数项的和为33，

且a 1-a m =18，求这个数列的通项公式。

例5、设{a n }是等差数列，n a n )21(b =，已知b 1+b 2+b 3=821，b 1b 2b 3=8

1

，求等差数列的通项a n 。

4 练习

1 已知数列{a n }满足a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n(n+1)(n+2)，则它的前n 项和

S n =______。

2 设等差数列{a n }共有3n 项，它的前2n 项之和为100，后2n 项之和为200，则该等差数列的中间n 项的和等于________。

3 若不等于1的三个正数a ，b ，c 成等比数列，则(2-log b a)(1+log c a)=________。

4 已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，求这个数列的公比和项数。

5 已知等比数列{a n }的首项为a 1>0，公比q>-1（q ≠1），设数列{b n }的通项