2017年考研数学一真题及答案解析

2017全国研究生入学考试考研数学一真题
本试卷满分150，考试时间180分钟
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．
指定位置上.（1
）若函数1,0(),0x f x ax
b x ⎧->⎪
=⎨⎪≤⎩
，在0x =处连续，则（ ） （A ）12ab =
（B ）12
ab =-（C ）0ab =（D ）2
ab =（2）若函数()f x 可导，且()()0f x f x '>，则（ ） （A ）(1)(1)f f >-（B ）(1)(1)f f <-（C ）(1)(1)
f f >-（D ）(1)(1)
f f <-（3）函数2
2
(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿向量n =(1,2,2)的方向导数为（） （A ）12
（B ）6
（C ）4
（D ）2
（4）甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m ）处，图中实线表示甲的速度曲线1()
v v t =（单位：m/s ），虚线表示乙的速度2()v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10203、
、，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位：s ），则（ ）（A ）010
t =（B ）01520
t << （C ）025
t =（D ）025
t >（5）设α是n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则 （A ）T E αα-不可逆 （B ）T E αα+不可逆（C ）2T E αα+不可逆
（D ）2T E αα-不可逆
（6）设矩阵200021001A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，210020001B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，100020002C ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，则 （A ）A 与C 相似，B 与C 相似
（B ）A 与C 相似，B 与C 不相似 （C ）A 与C 不相似，B 与C 相似
（D ）A 与C 不相似，B 与C 不相似
（7）设,A B 为随机事件，若0()1P A <<，0()1P B <<，则()()P A B P A B >的充要条件是
（A ）()(B )P B A P A >（B ）()(B )P B A P A <（C ）()(B )
P B A P A >（D ）()(B )
P B A P A <（8）设12,(2)n X X X n ≥为来自总体(,1)N μ的简单随机样本，记1
1n
i i X X n ==∑，则下列结论中
不正确的是 （A ）
21()n
i
i X
μ=-∑服从2χ分布
（B ）212()n X X -服从2
χ分布
（C ）
2
1
()n
i
i X
X =-∑服从2χ分布（D ）2()n X μ-服从2
χ分布
二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上.（9）已知函数2
1()1f x x
=
+，则(3)
(0)f =_______。

（10）微分方程230y y y '''++=的通解为y = _______。

（11）若曲线积分
221
L xdx aydy x y -+-⎰在区域22
{(,)1}D x y x y =+<内与路径无关，则a =_______。

（12）幂级数
1
11
(1)
n n n nx ∞
--=-∑在区间(1,1)-内的和函数()S x = _______。

（13）设矩阵101112011⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
A ，123,,ααα为线性无关的3维列向量组，则向量组123,,A A A ααα的秩为 _______。

（14）设随机变量X 的分布函数为4
()0.5()0.5()2
x x x -=Φ+ΦF ，其中()x Φ为标准正态分布函数，则EX = _______。

三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15)(本题满分10分)设函数(,)f u v 具有2阶连续偏导数，(,cos )x
y f e x =，
求0
x dy
dx
=，20
2x d y dx
=。

(16)(本题满分10分)求21
lim
ln(1n
n k k k n n →∞=+∑。

(17)(本题满分10分)已知函数()y x 由方程33
3320x y x y +-+-=确定，求()y x 的极值。

(18)(本题满分11分)设函数()f x 在区间[0,1]上具有二阶导数，且(1)0f >，0
()
lim 0x f x x
+
→<。

证明：（Ⅰ）方程()0f x =在区间(0,1)内至少存在一个实根。

（Ⅱ）方程
()2
()()()0f x f x f x '''+=在区间(0,1)内至少存在两个不同实根。

(19)（本题满分10分）设薄片型物体S
是圆锥面z =22z x =割下的有限部分，其
上任一点的密度为μ
=C 。

（I ）求C 在xOy 面上的投影曲线的方程； （II ）求S 的质量M 。

(20)（本题满分11分） 设3阶矩阵123=（，，）αααA 有3个不同的特征值，且312=+2ααα。

1)证明：()2r =A
2)若123=++βααα，求方程组βAx =的通解。

(21)（本题满分11分）设二次型222
123123121323282+-+x x x x x x f(x ,x ,x )=2x -x +ax ，在正交变
换=x Qy 下的标准型为2
2
1122y y λλ+
，求a 的值及一个正交矩阵Q 。

(22)（本题满分11分）设随机变量为X ，Y 相互独立，且X 的概率分布为
1
(0)(2)2
P X P X ====
,Y 的概率密度为2,01,()0,
,其他<<⎧=⎨
⎩y y f y 1）求()P Y
EY ≤ ;
2）求Z X Y =+ 的概率密度。

(23)（本题满分11分）某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做n 次测量，该物体的质量μ 是已知的，设n 次测量结果12，，...,n X X X 相互独立且均服从正态分布
2（，）N μσ。

该工程师记录的是n 次测量的绝对误差(1,2,,)i i Z X i n μ=-=⋅⋅⋅ ，利用1Z , 2Z ,…n Z 估计σ。

1）求i Z 的概率密度；
2）利用一阶矩阵求σ的矩估计量。

3）求σ的最大似然估计量。

2017全国研究生入学考试考研数学一真题解析
本试卷满分150，考试时间180分钟
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．
指定位置上.（1
）若函数1,0(),0x f x ax
b x ⎧->⎪
=⎨⎪≤⎩
，在0x =处连续，则（ ） （A ）1
2
ab =
（B ）12
ab =-
（C ）0ab =（D ）2
ab =【答案】（A ）
【解析】由连续的定义可知：
lim ()lim ()(0)x x f x f x f -+
→→==，其中0
(0)l i m ()x f f x b -→==
，2
0001
112lim ()lim lim 2x x x f x ax ax a
+++→→→-===
，从而12b a =，也即12ab =，故选（A ）。

（2）若函数()f x 可导，且()()0f x f x '>，则（ ） （A ）(1)(1)f f >-（B ）(1)(1)f f <-（C ）(1)(1)f f >-（D ）(1)(1)
f f <-【答案】（C ）
【解析】令2
()()F x f x =，则有()2()()F x f x f x ''=，故()F x 单调递增，则(1)(1)F F =-，即
22[(1)][(1)]f f >-，即(1)(1)f f >-，故选C 。

（3）函数2
2
(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿向量n =(1,2,2)的方向导数为（） （A ）12（B ）6
（C ）4
（D ）2
【答案】（D ）
【解析】2{2,,2}gradf xy x z =，将点(1,2,0)代入得(1,2,0)
{4,1,0}g r a d f =，则122
.{4,1,0}.,,2
333
f u gradf u u ∂⎧⎫===⎨⎬∂⎩⎭。

（4）甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m ）处，图中实线表示甲的速度曲线1()
v v t =（单位：m/s ），虚线表示乙的速度2()v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10203、
、，计时开始
后乙追上甲的时刻记为0t （单位：s ），则（ ）（A ）010t = （B ）01520t << （C ）025
t =（D ）025
t >【答案】（C ）
【解析】从0到0t 时刻，甲乙的位移分别为
10
()t V t dt ⎰
与0
20
()t V t dt ⎰要使乙追上甲，则有
210
[()()]t V t V t dt -⎰
，由定积分的几何意义可知，25
210
[()()]201010V t V t dt -=-=⎰，可知025t =
，故选（C ）。

（5）设α是n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则 （A ）T E αα-不可逆 （B ）T E αα+不可逆（C ）2T E αα+不可逆 （D ）2T E αα-不可逆
【答案】（A ）
【解析】因为T αα的特征值为0（1n -重）和1，所以T E αα-的特征值为1（1n -重）和0，故
T E αα-不可逆。

（6）设矩阵200021001A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，210020001B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，100020002C ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，则 （A ）A 与C 相似，B 与C 相似
（B ）A 与C 相似，B 与C 不相似 （C ）A 与C 不相似，B 与C 相似
（D ）A 与C 不相似，B 与C 不相似
【答案】（B ）
【解析】由（）=0E A λ- 可知A 的特征值为2,2,1。

3(2)1r E A --=。

∴A 可相似对角化，且100020002A
⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
由0E B λ-=可知B 的特征值为2,2,1。

3(2)2r E B --=。

∴B 不可相似对角化，显然C 可相似对角化，∴A
C 。

且B 不相似于C 。

（7）设,A B 为随机事件，若0()1P A <<，0()1P B <<，则()()P A B P A B >的充要条件是（A ）()(B P B A P A > （B ）()(B )
P B A P A <
（C ）()(B )P B A P A >（D ）()(B )
P B A P A <【答案】（A ）
【解析】因为()
()P A B P A B >，所以
()()()()
()1()()
P AB P AB P A P AB P B P B P B ->=-，从而 ()()()P AB P A P B >，且()()()(),()()1()
P AB P B P AB P B A P B A P A P A -=
=-，所以 ()()P B A P B A >。

（8）设12,(2)n X X X n ≥为来自总体(,1)N μ的简单随机样本，记1
1n
i i X X n ==∑，则下列结论中
不正确的是 （A ）
21()n
i
i X
μ=-∑服从2χ分布
（B ）212()n X X -服从2
χ分布
（C ）
21
()n
i
i X
X =-∑服从2χ分布（D ）2()n X μ-服从2
χ分布
【答案】（B ） 【解析】（A ）(0,1)i X N μ
-故2
21
()()n
i i X n μχ=-∑；
（B ）1
1
(0,2)(0,1)
2
n
n X X X X N N --⇒
2
2(1)
χ⇒即
2
21()(1)2
n x x χ-。

（C ）由2
22
2211
1(),(1)()(1)1n n
i i i i S X X n S X X n n χ===--=---∑∑。

（D ）1()
0,
X N n μ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
)(0,1)X N μ-，所以22()(1)n X μχ-。

二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．
指定位置上.
（9）已知函数2
1()1f x x
=+，则(3)
(0)f = _______。

【答案】0【解析】 因为
246222
1
()1()(1)1n
n
n
n n f x x x x x x x
∞
∞
====-+-+=-=-+∑∑23
()(1)2(21)(22)n
n n f x n n n x ∞
-='''=---∑将0x =带入(0)0f '''=
（10）微分方程230y y y '''++=的通解为y = _______。

【答案】)2sin 2cos (21x c x c e x +-【解析】
因为230y y y '''++=，所以2230λλ++=
，1λ=-，
通解为11()x
e c c -+（11）若曲线积分221
L xdx aydy x y -+-⎰在区域22
{(,)1}D x y x y =+<内与路径无关，则a =_______。

【答案】1- 【解析】
2222(,),(,)11
x ay
P x y Q x y x y x y -=
=
+-+-， 22222222,(1)(1)
P xy P axy y x y x x y ∂-∂==∂+-∂+- 0P P y x
∂∂==∂∂，则22,1a a =-=- （12）幂级数
1
11
(1)
n n n nx ∞
--=-∑在区间(1,1)-内的和函数()S x = _______。

【答案】
2
1
(1)x +。

【解析】1112111(1)
(1)1(1)
n n n n n n x nx x x x ∞∞---==''⎡⎤⎡⎤-=-==⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦∑∑。

（13）设矩阵101112011⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
A ，123,,ααα为线性无关的3维列向量组，则向量组123,,A A A ααα的秩为 _______。

【答案】2。

【解析】因为123123(,,)(,,)A A A A αααααα=，
101101101112011011011011000A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
故()2r A =，所以123(,,)A A A ααα秩为2。

（14）设随机变量X 的分布函数为4()0.5()0.5(
)2
x x x -=Φ+ΦF ，其中()x Φ为标准正态分布函数，则EX = _______。

【答案】2
【解析】
22222
4222(4)2221()()2x x
x x
f x F x -⎛⎫ ⎪⎝⎭-----⋅'==+⋅=+三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15)(本题满分10分)设函数(,)f u v 具有2阶连续偏导数，(,cos )x
y f e x =，求0x dy dx =，202x d y dx =。

【解析】由复合函数求导法则，可得：
12(sin )x dy f e f x dx
''=+-故0
1(1,1)x dy
f dx ='=进一步地：
212122
()()cos sin x x d f d f d y e f e xf x dx dx dx ''''=+--111
1222122(sin )cos sin (sin )x x x x e f e f e f x xf x f e f x ''''''''''=+----221211
2122cos 2sin sin x x x e f xf e f e xf xf ''''''''=-+-+故201211
2(1,1)(1,1)(1,1)x d y f f f dx =''''=-+(16)(本题满分10分)求21lim
ln(1n n k k k n n →∞=+∑。

【解析】由定积分的定义式可知
原式=()1011lim ln 1ln 1n n k k k x x dx n n
n →∞=⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭∑⎰，再由分部积分法可知：()()()()()
()()221
1121000012100111ln 1ln 11ln 1|ln 122211111|244x x x x dx x d x x d x x dx x --+=+-=+-+=--=--=⎰⎰⎰⎰(17)(本题满分10分)已知函数()y x 由方程33
3320x y x y +-+-=确定，求()y x 的极值。

【解析】等式两边同时对x 求导可得， 2233330x y y y ''+-+= (1)
令0y '=可得2330x -=，故1x =±。

由极限的必要条件可知，函数的极值之梦能取在1x =-与1x =处，为了检验该点是否为极值点，下面来计算函数的二阶导数，对(1)式两边同时求导可得，()2266330x y y y y y '''''+++= (2)
当1x =时，1y =，将1,1,0x y y '===代入（2）式可得2y ''=-，故()11y =是函数的极大值。

当1x =-时，0,0y y '==，代入（2）式可得2y ''=，故()10y -=是函数的极小值。

(18)(本题满分11分)设函数()f x 在区间[0,1]上具有二阶导数，且(1)0f >，0()lim 0x f x x +→<。

证明：（Ⅰ）方程()0f x =在区间(0,1)内至少存在一个实根。