左正则Duo序半群的半格分解

第30卷第3期高师理科学刊Vol.30No.32010年5月Journal of Science of Teachers ′College and UniversityMay2010文章编号：1007-9831（2010）03-0050-04左正则Duo 序半群的半格分解施智杰1，2（1.西北大学数学系，陕西西安710127；2.山西大同大学数学与计算机科学学院，山西大同037009）摘要：给出了序半群的一些基本性质，利用一系列等价命题对左正则Duo 序半群进行了刻画，证明左正则Duo 序半群是完全左正则左单且右单序半群半格．关键词：左正则序半群；Duo 序半群；理想；左单（右单）序半群中图分类号：O152.7文献标识码：Adoi ：10.3969/j.issn.1007-9831.2010.03.0171引言及预备知识（偏）序半群),,(≤S 是指带有结合积＂"的偏序集),(≤S 中，乘法""关于偏序关系"≤"相容．(即若b a ≤，则有bx a x ≤，xb xa ≤))(S x ∈．K ehayopulu N ．在文献[1-6]中就几类序半群的结构及性质分别给出过详尽的阐述，特别是文献[7]给出了正则左Duo po e-半群的充要条件，受此启发，本文利用一系列等价命题将左正则Duo 序半群进行了刻画，对左正则Duo 序半群进行了半格分解，证明左正则Duo 序半群是完全左正则左单且右单序半群半格．设S H，记h t S t H ≤∈={](，对某一}H h ∈；}{a H =时，记](}]({a a =．设,S I且φ≠I （其中：φ表示空集），如果)(I ISI SI ，且对于a b S b I a ≤∈∈,,，有I b ∈，则称I 为S 的左理想（右理想）．如果I 既是S 的左理想又是S 的右理想，称I 为S 的理想．用)(),(),(a I a R a L 分别表示由a 生成的主左理想、主右理想、主理想．不难证明===)(],()(],()(a I aS a a R Sa a a L ∪∪](SaS a S Sa a ∪∪∪．定义1[1]609序半群),,(≤S 为左正则的，如果对于任意S a ∈，有](2Sa a ∈．序半群),,(≤S 为右正则的，如果对于任意S a ∈，有](2S a a ∈．显然，若S 是左正则的，有]()(Sa a L =；若S 是右正则的，有]()(a S a R =．定义2[2]306S 称为左（右）Duo 的，如果S 的每个左理想（右理想）均为S 的右理想（左理想）；S 称为Duo 的，如果S 既为左Duo 的又为右D uo 的．定义3[1]613S 称为左单的，如果S 不包含任何真的左理想，即对于S 的任意左理想L ，S L =．这样，对于任意S a ∈，有S Sa =](．S 称为右单的，如果S 不包含任何真的右理想，即对于S 的任意右理想S R R =,．这样，对于任意S a ∈，有S aS =](．定义4[1]610S 的子集T 称为半素的，如果T a S a ∈∈2,，有T a ∈．设σ为S 上的一个同余，定义}){(S x x S ∈=σσ∶上的乘法""为),()()()(S y x xy y x ∈=σσσ．显然，),(σS 为一个半群．在半群σS 上定义序”≤”为σσ)()(y x ≤当且仅当σσ)()(x y x =，则),,(≤σS 为一个新的序半群．定义5序半群S 称为一个左单且右单的序半群半格，如果存在一个S 上的半格同余σ，使得对于任意S S x ,∈的子半群σ)(x 是左单且右单的．即存在一个S 上的半格同余σ及S 的左单且右单的子半群族)}{σααS Y S =∈满足：（1）对于任意βαβα≠∈,,Y ，有=βαS S ∩；（2）}{Y S S ∈=αα∪；（3）对于收稿日期：作者简介：施智杰（），女，山西大同人，助教，在读硕士，从事代数学研究．：36@qq 2010-01-101981-E-mail 第3期施智杰：左正则Duo 序半群的半格分解51任意Y ∈βα,，有αββαS S S ．定义6[1]611若序半群S 的子半群F 满足：（１）如果F a b S b a ∈∈,,，则F a ∈且F b ∈；（2）如果F a ∈，c a S c ≤∈,，则F c ∈．则称F 为滤子．2主要结果及证明引理1[3]4设S 是一个序半群，则（1）对于任意S A ，有](A A；（2）如果S BA，那么](](B A ；（3）对于任意S B A,，有](]]((AB B A ；（4）对于任意S A ，有](]]((A A =；（5）若T 为S 的左理想（右理想、双边理想、理想），则](T T =；（6）若B A ,为S 的左理想（右理想、理想），则B A B A AB ∪∩,],(是S 的左理想（右理想、理想）．（7）对于任意S a ∈，](],(],(SaS aS Sa 分别是S 的左理想、右理想、理想．引理2设S 是一个序半群，则对于任意S A，有](](SA A S =．证明a t S st A S ≤∈={](，对某一},S s A a ∈∈sa st S st ≤∈={，对某一},S s A a ∈∈，而≤∈=p S p SA {](a s ′′，对某一},A a S s ∈′∈′，故](](SA A S =．证毕．引理3左正则序半群S 是Duo 的充分必要条件是：对于任意S x ∈，有](](](xS Sx SxS ==．证明必要性．对于任意S x ∈，由于S 是Duo 的，则S 是左Duo 的，从而由引理1有=]]((]]((](Sx S Sx Sx S ](Sx ．由于S 是左正则的，则](](](2SxS SSx Sx =，所以](](Sx SxS =．同理有](](x S Sx S =，综上有](](](x S Sx Sx S ==．充分性．设L 是S 的一个左理想，对于任意LS ls ∈（L L SL Sl lS ls S s L l ==∈∈∈](](](](),,，由ls 的任意性有L LS，即L 是S 的右理想，这样S 是左Duo 的，同理可证S 是右D uo 的，故S 是Duo 的.证毕．引理4设S 是一个序半群，则对于任意S A，S b ∈，有](]]((A b b A =．证明由于,{](a t S t A ≤∈=对某一}A a ∈，则有a t S tb b A ≤∈={](，对某一}A a ∈，这样tb p S p b A ≤∈={]]((，对某一a b tb p S p A t ≤≤∈=∈{]}(，对某一}A a ∈，而,{](b a q S q A b ′≤∈=对某一}A a ∈′，故](]]((A b b A =．证毕．定理1设S 是一个序半群，则对于任意S B A ,，有](](](B A B A ∪∪=．证明对任意](B A t ∪∈，存在B A p ∪∈，使得p t ≤，若A p ∈，则](](](B A A t ∪∈；若B p ∈，则](](](B A B t ∪∈，因而](](](B A B A ∪∪．由B A A∪及B A B∪，有](](B A A ∪及](](B A B ∪，即](](](B A B A ∪∪，故=](B A ∪](](B A ∪．证毕．定理2设S 是一个序半群，则对于任意S BA ,，有](](](B A B A ∩∩．证明由于](](A B A ∩及](](B B A ∩，所以](](](B A B A ∩∩．证毕．注一般地，](](](B A B A ∩∩≠．定理3若)(b L a ∈，则)()(b L a L ．证明设)(b L a ∈．因为b t S t b L ≤′∈′={)(或b y t ′≤′，对某一}S y ∈′，所以b a ≤或存在S x ∈，使得x b a ≤．对任意)(a L t ∈，因为a t S t a L ≤∈={)(或,y a t ≤对某一}S y ∈，所以a t ≤或存在S y ∈，使得ya t ≤．若b a ≤，则b a t ≤≤或y b ya t ≤≤，此时)(b L t ∈，若xb a ≤，则xb a t ≤≤或yx b ya t ≤≤，此时)(b L t ∈．因此)()(b L a L ．证毕．用)(a N 表示由a 生成的滤子，定义)}()(),{(b N a N b a ==∶1．定义S 上的等价关系/ ，5，,，+，1为格林关系，)}()(),{(b L a L b a ==∶/，)}()(),{(b R a R b a ==∶5，)}()(),{(b I a I b a ==∶,，R L ∩=∶+.显然,+及,5+．1/152高师理科学刊第30卷定理4设S 是一个序半群，则下列命题等价：（1）S 是左正则Duo 的；（2）对于任意S b a ∈,，)()()(),()()(b R a R ab R b L a L a b L ∩∩==；（3）S 是Duo 的且S 的每个左理想都是半素的；（4）S 是左正则的，且对于任意S x ∈，有](](x S Sx =；（5）对于任意S x ∈，]}(]({)(y S Sy x S y x N =∈∈=；（6）+5/1===；（7）对S 的每个左（右）理想}){(,}){(),(R x x R R x x L R L ∈=∈=11∪∪，且1)(x 是左单且右单的；（8）S 是完全左正则左单且右单的半群半格；（9）S 是单且左单且右单的半群半格．证明（1）（2）．对任意S b a ∈,，由于S 是左正则Duo 的，所以S 必为左正则左Duo 的，从而由文献[2]可知，)()()(b L a L a L ∩=．由于S 是左正则Duo 的，则S 必为内正则右Duo 的．对任意S a ∈，由于S 是内正则右Duo 的，则由引理1及引理2有](]]((]]((](2222S a S a S S Sa S Sa a ==∈，由a 的任意性，S 是右正则的．所以S 必为右正则右Duo 的，从而由文献[2]可知，)()()(b R a R ab R ∩=．（2）（3）．S 是Duo 的．事实上，对任意S a ∈，设L 是S 的一个左理想，对任意LS ls ∈，（L l L s L l L ls L ls S s L l =∈∈∈)()()()(),,∩，因此L 为S 的右理想，即S 是左Duo 的．同理可证，S 是右Duo 的．从而S 是Duo 的．设L 是S 的一个左理想且)(2S x L x ∈∈，由于)()()(b L a L ab L ∩=，所以)()(2x L x L =，故L x L x L x =∈)()(2，因此L 是半素的．（3）（4）．对于任意S x ∈，有](24Sx x ∈，而](2Sx 作为S 的一个左理想是半素的，故](2Sx x ∈，由x 的任意性，S 是左正则的，而S 是D uo 的，由引理3可知，)]((](S x xS Sx ∈=．（4）（5）．对于任意的S x ∈，设]}(]({y S Sy x S y T =∈∈=，由于S 是左正则的，故](2Sx x ∈，即T x ∈2，从而T ≠φ．设S b a ∈,，若T ab ∈，则T b T a ∈∈,，事实上，T a b ∈，则由引理4可知，=∈]]((](b Sa Sa b x ==](](]]((aS aSb b aS ](Sa ，又](](Sb Sab x ∈，所以T b a ∈,；若b a S b T a ≤∈∈,,，则](](Sb Sa x ∈，所以T b ∈．因此T 是S 的包含x 的滤子．设F 是S 的包含x 的另一个滤子，则对于T a ∈，存在S s ∈，使得sa x ≤，从而F sa ∈，故F a ∈，由a 的任意性，F T ．所以)(x N T =．（5）（6）．对S x ∈，由)(2x N x ∈有](2Sx x ∈，由a 的任意性可知，S 是左正则的；/1，事实上，对任意1∈),(b a ，有)(b N a ∈，则)(](a L Sa b =∈，故)()(a L b L ．同理可得)()(b L a L ，故)()(b L a L =，即/∈),(b a ．由),(b a 的任意性可知，/1．1/，事实上，对任意L ∈),(b a ，有]()(Sb b L a =∈，即)(a N b ∈，即1∈),(b a ，由),(b a 的任意性得1/．综上，1/=．同理可得51=，而5/+∩=∶，所以+5/1===．（6）（7）．设L 是S 的一个左理想，则})({L x x L ∈1．设)()(L x x y ∈∈1，则/1=∈),(y x ，从而L x L y ∈)(，综上有})({L x x L ∈=1∪．1)(x 是左单的．设L 是N )(x 的一个左理想，1)(x a ∈，设L b ∈，则](2Sb 是S 的左理想，由于=](2Sb ]}(){(2Sb c c ∈1∪，而∈3b ](2Sb ，所以111)()()(3a b b ==](2Sb ，因此存在S k ∈，使得2kb a ≤；而1)(x kb ∈，事实上，1111111111)()()()()()()()()()(22x a ak b akb k a k b k kb kb ======∈，这样∈a L L L x b kb k b ==](])((])((](21，由a 的任意性有L x 1)(；而显然1)(x L，所以1)(x L =．同理可证1)(x 是右单的．（）（）．因为是S 上的最小的完全半格同余，只需证明S 是左正则半群半格，即只需证明对任意S x ∈，)(x 是左正则的．显然，)(x 关于S 上的序关系在它上的限制是S 的序子半群．78111第3期施智杰：左正则Duo 序半群的半格分解531)(x 是左正则的．事实上，对任意1)(x y ∈，由于S 是左正则的，则存在S s ∈，使得2sy y ≤，则sy y ≤2sy ，而1)(x sys ∈(111111111)()()()()()()()()(22x y y sy ysy s y s sy sys sys ======∈)，所以])((](22y x sy sy y 1∈，故1)(x 是左正则的．综上所述，S 是完全左正则左单且右单的半群半格．（8）（9）．显然．（9）（1）．设ααS S Y ∈=∪，这里Y 是半格，αS 是S 的左单且右单子半群的无交并，对于任意S x ∈，存在Y ∈α，使得αS x ∈，由此可得，](](22Sx x S S x =∈αα，由x 的任意性，S 是左正则的．设L 是S 的任一左理想，对于任意S y ∈，设L x ∈，则存在Y ∈α，使得αS yx ∈，即αS yx Y =)(，这里Y y x)(表示半格同余σ，Y S =σ的包含yx 的同余类，故αS L y x ∩∈，αS L ∩为αS 的左理想，而αS 是左单的，从而ααS S L =∩，因此L S L S y x xy x y Y Y ===∈αα∩)()(，由y 的任意性，得L L S，即L 是S的右理想，即S 是左Duo 的，同理可证，S 是右Duo 的．综上，S 是内正则Duo 的．证毕．注对给定的一个半群S ，可以赋予S 一个平凡关系}),{(y x y x ==≤∶，则),,(≤S 是一个序半群，再应用上面的结果到),(S ，不难看出，序半群中的结果在),(S 中也成立．根据定理4，一个半群S （没有序）是左正则Duo 的当且仅当它是左单且右单的半群半格．参考文献：[1]Kehayopulu N ，Tsing elis M ．O n Left Regular Ordered Semigroups[J]．Southest Asian Bulletin ofMathematics ，2002，25：609-615．[2]Kehayopulu N ．On left regular and left Duo poe-Semigro ups[J]．Semigroup Forum ，1992（44）：306-313.[3]Kehayopulu N ．Ideals and Green's relations in ordered semigroups[J].International Journal of Mathmatics and Mathmatical Sciences ，2006（1）：1-8.[4]Kehayopulu N ．On prime ，weakly prime ideals in ordered semigroups[J]．Semigroup Forum ，1992（44）：341-346.[5]Kehayopulu N ．Remarks on ordered 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