高等数学：第十二讲 高阶导数

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y(n) 3n sin(3x n )
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归纳法:逐阶求出若干阶导数后,再归纳出 n 阶导数的一般表达式.
谢谢
仍是x的可导函数, 就称 y f (x) 的导数为 f (x)的二阶导数，记作
y，f
(x)
或
d2 y d x2
,
则
y
( y)，
f
(x)
f
(
x)，d
d
2y x2
d dx
(dy) dx
高阶导数的定义
二阶导数的导数称为三阶导数,记作
f (x),
y, d3 y . dx3
三阶导数的导数称为四阶导数,记作
f
(4)
( x),
y
(4)
,
d4 y dx 4
.
一般地,(n-1)阶导数的导数叫做n阶导数，记作
f
(n)
( x),
y
(n)
,
dn y dx n
.
二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.
例1：
已知y=2x4-3x2+x-1 ，求 y.
解 y=8x3-6x+1 y =(8x3-6x+1)'=24x2-6 y=(24x2-6)'=48x
逐阶求导法: 按高阶导数的定义逐阶求导.
例2：
设y=sin3x，求y(n).
cosx sin(x )
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解 y 3cos3x 3sin(3x )
y [3sincos(3x
)
32
sin(3x
2)
2
2
2
y [32 sin(3x 2)] 33 cos(3x 2) 33 sin(3x 3)
高阶导数
引例
变速直线运动 位置函数 s s(t)
速度函数
v(t) ds s(t) dt
加速度函数
a(t) dv v(t)
dt
因此
a(t)
d dt
(
ds dt
)
[s(t)]
加速度函数是位置函数对t的二阶导数
高阶导数的定义
定义 设函数 y f (x)在D上可导，其导数为f (x) , 如果函数yf(x)的导数