第七章数学解题的思维过程

分离
预见
重组 组织 充实
结合
例5已知a1 , a2 , L , an , L 成等差数列，且诸ai 及公差都是 非零实数，考虑方程ai x 2 2ai 1 x ai 2 0(i 1, 2, L ). (1)证明这些方程有公共根，并求出这个公共根。 （2）设这个方程的另一根是i，则 1 1 1 , ,L , , L 成等差数列。 1 1 2 1 n 1
例 1解不等式：
x 1 x2
1 x 0. （三角公式） 2 1 x
2
分析：令x tan (

2


2
),即解 sin cos 2 0.
例2已知： cos cos 2m,sin sin 2n. 求 tan tan 的值。（三角函数--中点坐标公式
6、思维过程的解释
解题都要提取已储存的信息，对信息进行加工，运用，收 集信息的反馈，并进行再处理，这里面包含着辩证思维和直觉 思维，它们弥漫在整个解题坐标平面上，体现了解题活动的实 质是思维活动。一条解题折线的画出往往经历许多类比、联想、 归纳、尝试和失败，这就像解题坐标系上，试着用铅笔画草图 折线，画了又擦，擦了又画，但决不是盲目瞎碰，有是一个机 智的数学念头导致了一个卓有成效的解题计划，这个念头正是 有准备的思考和解题经验长期积累的升华。
3、审题同心圆 审题，尽量从题意中获取更多的信息，可以表示 为以条件和结论为中心的一系列同心圆。从条件出发 的同心圆信息，预示可知并启发解题手段；从结论出 发的同心圆信息，预告须知并诱导解题方法，两组同 心圆的交接处，就是分别从条件、结论出发进行思考 的结合点，也是手段与目标的统一处。
4、内容与方法的统一 在解题坐标系上，内容是提高方法的内容，方法 是体现内容的方法。解题坐标系上的每一点，一方面 是内容与方法的统一，另一方面是其在两轴上的投影 又都不唯一。同一内容可以从不同的角度去理解，同 一方法又可以在不同的地方发挥效能。这就为多角度、 多侧面考虑数学对象及其之间的关系提供了理论依据。
分析：在单位圆上取点（ A cos ,sin）B(cos ,sin ), 则AB的中点M （m，n） , 且AB OM .直线AB方程： m y n ( x m), 代入x 2 y 2 1, 消去y得关于x的二次方程 n (m 2 n 2 ) 2 m 2 (m 2 n 2 ) 2 m 2 cos cos .sin sin . 2 2 2 2 2 2 m n (m n ) n
功能性解决：为确定函数的值域，在操作层面上需 考虑具备功能性的程序有：求出x0的表达式；确定 x0的表达式中自变量的取值范围；运用适当的知识 推出结论。 特殊性解决：具体实施功能性解决中的方法程序。
x2 y 2 例3已知椭圆 2 2 1(a > b 0)，A、B是椭圆上的 a b 两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于一点P(x0 ,0)。 a b a b 证明： x0 . a a
2 2 2 2 代数化， 4 x1 9 y1 36, (1); 4 x2 9 y2 36, (2);
x1 x2 y1 y2 x ,y . 由（1）-（2）得 2 2 y y2 4x y0 k AB 1 , 又k AB ; 联立后两式，得 x1 x2 9y x 1 4 x 2 9 y 2 4 x 0.
AB t1 t2 S AOB 2 sin p 2 cot 2 2 pa .所以
1 a sin AB , 故当 时, S min a 2 pa . 2 2
例2 已知两点P(-2,2),Q(0,2)，以及一条直 线L:y=x，设长为 2的线段AB在直线上移动， 求直线PA和QB的交点M的轨迹方程.
第二节
数学解题的思维监控
解题的成功与否，关键是思路的开通.这其中的思维监 控起着“导航”、“调节”的作用.虽然在思路上某处存在 问题，陷入困境，或出现偏差，这时要及时信息反馈，克服 思维定势，及时调整，提高解题行为的有效性及正确性.
数学解题中思维监控的作用，相当于“数学 运算感受器”，对运算效果作出评价，它是一种 认知监控，或者是元认知.所谓认知监控是指在自 己的认知系统内准确评估信息过程的能力.元认知 最初被表述为“个人关于自己的认知过程及其他 相关事情的知识”,是“为完成某一具体目标或任 务，认知主体依据认知对象对认知过程进行主动 的监测，以及连续的调节和协调”，是“个人对 认知领域的知识和控制”，因此，元认知被简单 地表述为“关于认知的认知”.在数学解题思维过 程中，元认知集中表现为自我反省、自我调节、 自我监控.
二.解题思维过程的三层次
罗增儒教授在其专著《数学解题学引论》中，将 邓克尔的三个层次在数学解题思维过程中的作用解释 为： 1、一般性解决：即在策略水平上的解决，以明 确解题的大致范围或总体方向，这是对思考做定向调 控。 2、功能性解决：即在数学方法水平上的解决， 以确定具有解决功能的解题手段。这是对解决做方法 选择。 3、特殊性解决：即在数学技能水平上的解决， 以进一步缩小功能性解决的途径，明确运算程序或推 理步骤，这是对细节做实际完成。
x2 y 2 例3已知椭圆 2 2 1(a > b 0)，A、B是椭圆上的 a b 两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于一点P(x0 ,0)。 a 2 b2 a 2 b2 证明： x0 . a a
一般性解决：要证明的结论是x0的取值范围，而x0 是由A，B坐标确定，因而问题相当于确定函数的 值域，这就从大方向上解决了题目。
思路2的特点：从全局考虑，全面分析 问题中各几何量之间的关系，将它们 的联系用关系式表达出来。难度降低。
第三节 解题坐标系
一、解题坐标系的意义 数学解题过程既是数学内容反复运用的过程， 同时又是数学方法不断推进的过程.如果用横轴表 示数学方法的实施，用纵轴表示数学原理的应用， 分别记为方法轴和内容轴，便形成解题坐标系.
2 2 2 2
分析：取点（ A acos ,bsin）B(a cos , b sin ), a b 由 PA PB , 得x0 (cos cos ).可证。 2a
三、解题思维过程的预见图
数学解题是一种探索性思维。在《数学的发现》 一书中，波利亚将其观点进行进一步发挥，对各个细 节进行了具体分析，认为探索性思维中最关键的环节 是提出一个有希望的合理的猜测，即作出某种预见。 预见需要一定的知识准备和思维活动,波利亚将 这一过程总结为一个正方形图解式,处于正方形顶点、 边和中心的关键词有:动员、组织、分离、结合、回 忆、辨认、重组、充实、预见. 辨认 动员 回忆
第七章 数学解题的思维过程
第一节
Hale Waihona Puke 解题过程的思维分析解题的过程是思维的过程，其中 既有逻辑思维，又有直觉思维；有分 析与综合､抽象与概括､比较与类比， 也有归纳与猜想､观察与尝试､想象与 顿悟，是一个极其复杂的心理过程。
一、 “观察----联想----转化”解题“三部曲” 1、观察是联想的基础，在观察中认识特征 观察是人们认识事物､增长知识的最基本的途径， 是发现和解决问题的前提。 观察是积极的，有意识的，而不应是消极的､被动 的。通过由整体到部分，再由部分到整体的观察，有 意识地去寻找各种特征､联系，从比较中发现问题，从 变化中寻找特点，特别是发掘问题与已有知识之间具 有启发性的联系，同时，不仅解题开始要观察，在解 题过程中也要观察，以便根据解题的不断变化，作出 相应的决断。
分析：设A（t,t）,则B(t+1,t+1), PA:(t-2)x-(t+2)y+4t=0, 由 ,得 BQ:(t-1)x-(t+1)y+2(t+1)=0 t2 t 2 x t (t为参数). y t 1 2 t 2 2 消去参数t，得(y+1) -(x+1) 8.
5、结论也是已知信息
这是解题坐标系的一个特点，当把结论表示为坐标系上的 一点时，结论就成为已知与未知的统一了，在寻找思路的过程 中，我们可以把它当做已知条件来使用（好比列方程解应用题 时的未知数），事实上，对于题而言，结论隐含在条件之中， 当条件给定时，结论也在客观上随之确定，只不过是隐蔽给定 而已，称为客观上确定与隐蔽地给予的统一。要注意从结论获 取信息，目不转睛地盯着目标前进。
2、解题折线 解题示意为连结条件与结论两点间的一条折线， 这条折线记录了数学思维的轨迹。它告诉我们，寻找 条件和结论之间的逻辑通道时解题的思考中心。在这 个思考中，横轴方法的推进表示方法或技巧的运用， 纵轴方法的推进表示数学内容的转化，整个解题过程 就是内容与方法的联系与转化过程，就是在数学观点 指导下，运用数学方法，转化数学内容的推理过程。
2、联想是转化的翅膀，在联想中寻找途径
人在活动之前常有所准备，进行着的活动也有 一定的趋向性。数学解题的定向，取决于观察问题 的特征所作出的相应的联想，即从问题的条件和结 论出发，联想有关知识，从中寻找途径。
3、转化是解题的手段，在转化中确定方案 从前面讨论过的解题实质表明，解题过程 是通过转化得以完成的。从问题的具体特征， 联想有关知识后，解题就有了定向，这时需要 朝这个方向去努力，寻求转化关系，使问题应 用联想的知识来解决，也就是在转化中确定方 案。
分析：(1)根据等差数列， 等差中项的性质，x=-1;
i2 (2)由韦达定理，i , i i 1 1 得 i . i 1 i2 i 2d
例6
已知数列a1 , a2 ...an ...相邻两项an , an 1是
2
1 n 方程x cn x ( ) 0的两根，且a1 2.求无 3 9 穷数列c1 , c2 ,...的和。(解为 ） 2 an 2 1 1 n 1 n 1 分析：由an an 1 ( ) , an 1 an 2 ( ) ；得 , 3 3 an 3 1 n 1 1 1 n 则a2 n 1 2 ( ) , a2 n ( ) ,再由 cn an an 1得 3 2 3 13 1 n 1 5 1 n c2 n 1 a2 n 1 a2 n ( ) , c2 n a2 n a2 n 1 ( ) . 6 3 2 3
例 1 已知抛物线y 2 2 px, 过点M （a, 0） , 且a 0, p 0, 任作一直线与抛物线交于两点A，B， 求三角形AOB面积的最小值 （ . P318）
分析：(1)受思维定势影响，设斜率求面积，求 不下去。(2)反省、评价和调整：从变量的角度 调整；从面积的表达式调整；从三角形面积求法 的角度调整。设AB直线的参数方程为 x=a+tcos 2 , 代入 y 2 px, y=tsin
题目的条件和结论分别表示为坐标平面上的两个点 . 它们的存在形式本身是内容与方法的统一,原点---两 个思考方向的交叉点,表示一个原则:内容与方法的统 一永远是解题思考的基本出发点.
1、解题坐标系的构成 以横轴表示数学方法方面的实施（方法轴），以 纵轴表示数学原理方面的应用（内容轴），题目的条 件和结论（包括题目求证的结论与题目未写出的结论） 分别表示为坐标平面上的两个点。它们的存在形式本 身就是内容与方法的统一，两个思考方法的交叉---原点，显示这样一个原则：内容与方法的统一是我们 解题思考的基本出发点。
x2 y2 例4 过椭圆 1 内一点（1，0） 9 4 引动弦AB，求AB的中点M的轨迹方程.
分析1：设AB的斜率为k , 得直线AB的方程，求点A、 B坐标，再求中点M 坐标，消去k,得轨迹方程。 分析2：设点（ A x1 ,y1）,B ( x2 , y2 ), AB中点M ( x，y ),