高考数学统考一轮复习第1章 第6节二元一次不等式组与简单的线性规划问题教师用书教案理新人教版

二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题[考试要求] 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.

2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.

3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．

1．二元一次不等式(组)表示的平面区域

不等式表示区域

Ax＋By＋C>0 直线Ax＋By＋C＝0某一侧

的所有点组成的平面区域不包括边界直线

Ax＋By＋C≥0包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分

名称意义

约束条件由变量x，y组成的不等式(组)

线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组

目标函数欲求最大值或最小值的函数

线性目标函数关于x，y的一次解析式

可行解满足线性约束条件的解(x，y)

可行域所有可行解组成的集合

最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解

线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题[常用结论]

1．画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域

(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．

(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证．

2．点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)位于直线Ax＋By＋C＝0的两侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2

＋

By 2＋C )＜0；位于直线Ax ＋By ＋C ＝0同侧的充要条件是(Ax 1＋By 1＋C )(Ax 2＋By 2＋C )＞0.

一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)不等式Ax ＋By ＋C >0表示的平面区域一定在直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方．( ) (2)线性目标函数的最优解可能不唯一．

( ) (3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上．

( )

(4)目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)中，z 的几何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距．

( )

[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)× 二、教材习题衍生

1．下列各点中，不在x ＋y －1≤0表示的平面区域内的是( ) A ．(0,0) B ．(－1,1) C ．(－1,3)

D ．(2，－3)

C [∵－1＋3－1＞

0，∴点(－1,3)不在x ＋y －1≤0表示的平面区域内，故选C ．]

2．不等式组⎩

⎪⎨⎪⎧

x －3y ＋6＜0，

x －y ＋2≥0表示的平面区域是( )

A B C D

C [把点(0,0)代入不等式组可知，点(0,0)不在x －3y ＋6＜0表示的平面区域内，点(0,0)在x －y ＋2≥0表示的平面区域内，故选C ．]

3．投资生产A 产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B 产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米．现某单位可使用资金1 400万元，场地900平方米，则上述要求可用不等式组表示为________．(用x ，y 分别表示生产A ，B 产品的吨数，x 和y 的单位是百吨)

⎩⎪⎨⎪⎧

200x ＋300y ≤1 400，

200x ＋100y ≤900，x ≥0，y ≥0

[用表格列出各数据：

A B

总数

产品吨数 x y

资金 200x 300y 1 400 场地

200x 100y

900

所以不难看出，x ≥0，y ≥0,200x ＋300y ≤1 400,200x ＋100y ≤900. ] 4．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＋3y ≤3，x －y ≥1，

y ≥0，

则z ＝x ＋y 的最大值为________．

3 [根据题意作出可行域，如图阴影部分所示，由z ＝x ＋y 得y ＝－x ＋z .

作出直线y ＝－x ，并平移该直线，

当直线y ＝－x ＋z 过点A 时，目标函数取得最大值． 由图知A (3,0)，故z max ＝3＋0＝3.]

考点一 二元一次不等式(组)表示的平面区域

1.求平面区域面积的方法

(1)首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域．

(2)对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和．

2．根据平面区域确定参数的方法

在含有参数的二元一次不等式组所表示的平面区域问题中，首先把不含参数的平面区域确定好，然后用数形结合的方法根据参数的不同取值情况画图观察区域的形状，根据求解要

求确定问题的答案．

[典例1](1)不等式组

⎩⎪

⎨

⎪⎧

2x＋y－6≤0，

x＋y－3≥0，

y≤2，

表示的平面区域的面积为() A．1 B．

1

2C．2 D．

5

2

(2)已知不等式组

⎩⎪

⎨

⎪⎧

y≤－x＋2，

y≤kx－1，

y≥0，

所表示的平面区域为面积等于

1

4的三角形，则实数k的值为()

A．－1 B．－

1

2C．

1

2D．1

(1)A(2)D[(1)不等式组

⎩⎪

⎨

⎪⎧2x＋y－6≤0，

x＋y－3≥0，

y≤2，

表示的平面区域如图所

示(阴影部分)，△ABC的面积即为所求平面

区域的面积．

求出点A，B，C的坐标分别为A(1,2)，B(2,2)，C(3,0)，则△ABC的面积为S＝

1

2×(2－1)×2＝1，故选A．

(2)由题意知k>0，且不等式组

⎩⎪

⎨

⎪⎧y≤－x＋2，

y≤kx－1，

y≥0，

所表示的平面区域如图

所示．