洛伦兹变换的推导

洛伦兹变换的推导：不妨假设自然界一切物理规律都是平权的，也就是在不同的参考系，所有的物理规律都是一样的

现在我们设（x，y，z ，t）所在坐标系（A 系）静止，（X，Y，Z，T）所在坐标系（B 系）速度为u，且沿x轴正向。在A 系原点处，x=0 ，B 系中A 原点的坐标为X=-uT ，即X+uT=0 。

可令

（1）.

又因在惯性系内的各点位置是等价的，因此k 是与u 有关的常数（广义相对论中，由于时空弯曲，各点不再等价，因此k 不再是常数。）同理，B 系中的原点处有

，由相对性原理知，两个惯性系等价，除速度反向外，两式应取相同的形式，即k=K 。

故有

（2）.

对于y，z，Y，Z 皆与速度无关，可得

（3）.

（4）.

将（2）代入（1）可得：

，即

（5）.

（1）（2）（3）（4）（5）满足相对性原理，要确定k 需用光速不变原理。当两系的原点重合时，由重合点发出一光信号，则对两系分别有

代入（1）（2）式得：

。两式相乘消去t和T 得：

将γ反代入（2）（5 ）式得坐标变换：

3．速度变换：

同理可得V（y），V（z）的表达式。

4．尺缩效应：

B 系中有一与x 轴平行长l 的细杆，则由得：

，又△ t=0（要同时测量两端的坐标），则

，即：

5．钟慢效应：

由坐标变换的逆变换可知，

，故

，又

要在同地测量），故

（注：与坐标系相对静止的物体的长度、质量和时间间隔称固有长度、静止质量和固有时，是不随坐标变换而变的客观量。）

6．光的多普勒效应：（注：声音的多普勒效应是：

）

B 系原点处一光源发出光信号，A 系原点有一探测器，两系中分别有两个钟，当两系原点重合时，校准时钟开始计时。B 系中光源频率为ν（ b），波数为N，B 系的钟测得的时间是△ t（b），由钟慢效应可知，A △系中的钟测得的时间为

（1）.

探测器开始接收时刻为

，最终时刻为

，则

（2）.

相对运动不影响光信号的波数，故光源发出的波数与探测器接收的波数相同，即

3）

由以上三式可得：

7．动量表达式：（注：

，此时，

因为对于动力学质点可选自身为参考系，

）

牛顿第二定律在伽利略变换下，保持形式不变，即无论在那个惯性系内，牛顿第二定律都成立，但在洛伦兹变换下，原本简洁的形式变得乱七八糟，因此有必要对牛顿定律进行修正，要求是在坐标变换下仍保持原有的简洁形式。

牛顿力学中，

莫属）就可以修正速度的概念了。即令

为相对论速度。牛顿动量为

，将v 替换为V ，可修正动量，即。定义

（相对论质量）则

.

这就是相对论力学的基本量：相对论动量。（注：人们一般不用相对论速度而是用牛顿速

度

来参与计算）

8．相对论力学基本方程：

由相对论动量表达式可知：

，这是力的定义式，虽与牛顿第二定律的形式完全一样，但内涵不一样。变

量）

9．质能方程：

10 ．能量动量关系：

相对论中质量是

四维证明

1．公理，无法证明。

2．坐标变换：由光速不变原理：dl=cdt ，即dx2+dy2+dz2+（icdt ）2=0 在任意惯性系内都成立。定义dS 为四维间隔，

dS2=dx2+dy2+dz2+（icdt）2 （1）.

则对光信号dS 恒等于0，而对于任意两时空点的dS 一般不为0。dS2>0 称类空间隔，dS2<0 称类时间隔，dS2=0 称类光间隔。相对论原理要求（1）式在坐标变换下形式不变，因此（1）式中存在与坐标变换无关的不变量，d S2dS2 光速不变原理要求光信号在坐标变

换下dS 是不变量。因此在两个原理的共同制约下，可得出一个重要的结论：dS 是坐标变换下的不变量。

由数学的旋转变换公式有：（保持y，z 轴不动，旋转x 和ict 轴）

X=xcosφ+（ict ） sin φ

得：tan φ=iu/c，则cosφ=γ，sin φ=iuγ/反c 代入上式得：

X=γ（ x-ut ）

Y=y

Z=z

T=γ（ t-ux/c 2 ）

3．4．5．6．略。

7．动量表达式及四维矢量：（注：γ =1/sqr（1-v 2/c 2），下式中dt= γd）τ

令r=（x，y，z，ict ）则将v=dr/dt 中的dt 替换为dτ， V=dr/d τ称四维速度。

则V=（γv， ic γ）γv为三维分量，v 为三维速度，ic γ为第四维分量。（以下同理）

四维动量：P=mV= （γmv，ic γm）=（Mv，icM）

四维力：f=dP/d τ=γdP/dt=（γF，γicdM/dt）（F 为三维力）

四维加速度：ω=/dτ（=γ4a，γ4iva/c ）

则f=mdV/dτ =mω

8．略。

9．质能方程：

fV=mω V=m （γ5va+i2γ5va）=0

故四维力与四维速度永远“垂直”，（类似于洛伦兹磁场力）

由fV=0 得：γ2mFv+γic （dM/dt ）（ic γm）=0（F，v 为三维矢量，且

Fv=dEk/dt （功率表达式））

故dEk/dt=c 2dM/dt 即∫dEk=c2∫dM，即：Ek=Mc 2-mc2

故E=Mc 2=Ek+mc 2