初等数论习题

《初等数论》习题
Gonao
第一章 整除理论
第一节 数的整除性
例1 设r 是正奇数，证明：对任意的正整数n ，有n + 2|/1r + 2 r + " + n r 。

例2 设A = { d 1, d 2, ", d k }是n 的所有约数的集合，则B =}{,,,21k
d n d n d n "也是n 的所有约数的集合。

例3 以d (n )表示n 的正约数的个数，例如：d (1) = 1，d (2) = 2，d (3) = 2，d (4) = 3，" 。

问：d (1) + d (2) + " + d (1997)是否为偶数？
例4 设凸2n 边形M 的顶点是A 1, A 2, ", A 2n ，点O 在M 的内部，用1, 2, ", 2n 将M 的2n 条边分别编号，又将OA 1, OA 2, ", OA 2n 也同样进行编号，若把这些编号作为相应的线段的长度，证明：无论怎么编号，都不能使得三角形OA 1A 2, OA 2A 3, ", OA 2n A 1的周长都相等。

例5 设整数k ≥ 1，证明：
(ⅰ) 若2k ≤ n < 2k + 1，1 ≤ a ≤ n ，a ≠ 2k ，则2k |/
a ； (ⅱ) 若3k ≤ 2n − 1 < 3k + 1，1 ≤
b ≤ n ，2b − 1 ≠ 3k ，则3k |/
2b − 1。

例6 证明：存在无穷多个正整数a ，使得n 4 + a （n = 1, 2, 3, "）都是合数。

例7 设a 1, a 2, ", a n 是整数，且a 1 + a 2 + " + a n = 0，a 1a 2"a n = n ，则4⏐n 。

例8 若n 是奇数，则8⏐n 2 − 1。

例9 d (1)2 + d (2)2 + " + d (1997)2被4除的余数是多少？
例10 证明：方程a 12 + a 22 + a 32 = 1999 无整数解。

习 题 一
1. 证明：若m − p ⏐mn + pq ，则m − p ⏐mq + np 。

2. 证明：任意给定的连续39个自然数，其中至少存在一个自然数，使得这个自然数的数字和能被11整除。

3. 设p 是n 的最小素约数，n = pn 1，n 1 > 1，证明：若p >3n ，则n 1是素数。

4. 证明：存在无穷多个自然数n ，使得n 不能表示为a 2 + p （a > 0是整数，p 为素数）的形式。

第二节 带余数除法
例1 设a ，b ，x ，y 是整数，k 和m 是正整数，并且
a = a 1m + r 1，0 ≤ r 1 < m ，
b = b 1m + r 2，0 ≤ r 2 < m ，
则ax + by 和ab 被m 除的余数分别与r 1x + r 2y 和r 1r 2被m 除的余数相同。

特别地，a k 与r 1k 被m 除的余数相同。

例2 设a 1, a 2, ", a n 为不全为零的整数，以y 0表示集合A = { y ；y = a 1x 1 + " + a n x n ，x i ∈Z ，1 ≤ i ≤ n }中的最小正数，则对于任何y ∈A ，y 0⏐y ；特别地，y 0⏐a i ，1 ≤ i ≤ n 。

例3 任意给出的五个整数中，必有三个数之和被3整除。

例4 设a 0, a 1, ", a n ∈Z ，f (x ) = a n x n + " + a 1x + a 0 ，已知f (0)与f (1)都不是3的倍数，证明：若方程f (x ) = 0有整数解，则3⏐f (−1) = a 0 − a 1 + a 2 − " + (−1)n a n 。

例5 证明：对于任意的整数n ，f (n ) = 3n 5 + 5n 3 + 7n 被15整除。

例6 设n 是奇数，则16⏐n 4 + 4n 2 + 11。

例7 证明：若a 被9除的余数是3，4，5或6，则方程x 3 + y 3 = a 没有整数解。

习 题 二
1. 证明：12⏐n 4 + 2n 3 + 11n 2 + 10n ，n ∈Z 。

2. 设3⏐a 2 + b 2，证明：3⏐a 且3⏐b 。

3. 设n ，k 是正整数，证明：n k 与n k + 4的个位数字相同。

4. 证明：对于任何整数n ，m ，等式n 2 + (n + 1)2 = m 2 + 2不可能成立。

5. 设a 是自然数，问a 4 − 3a 2 + 9是素数还是合数？
6. 证明：对于任意给定的n 个整数，必可以从中找出若干个作和，使得这个和能被n 整除。

第三节 最大公约数
例1 证明：若n 是正整数，则3
14421++n n 是既约分数。

例2 证明：121|/n 2 + 2n + 12，n ∈Z 。

例3 设a ，b 是整数，且9⏐a 2 + ab + b 2，则3⏐(a , b )。

例4 设a 和b 是正整数，b > 2，则2b − 1|/2a + 1。

习 题 三
1. 设x ，y ∈Z ，17⏐2x + 3y ，证明：17⏐9x + 5y 。

2. 设a ，b ，c ∈N ，c 无平方因子，a 2⏐b 2c ，证明：a ⏐b 。

3. 设n 是正整数，求1321222,,,n n n n C C C −"的最大公约数。

第四节 最小公倍数
例1 设a ，b ，c 是正整数，证明：[a , b , c ](ab , bc , ca ) = abc 。

例2 对于任意的整数a 1, a 2, ", a n 及整数k ，1 ≤ k ≤ n ，证明：[a 1, a 2, ", a n ] = [[a 1, ", a k ],[a k + 1, ", a n ]]， 例3 设a ，b ，c 是正整数，证明：[a , b , c ][ab , bc , ca ] = [a , b ][b , c ][c , a ]。

习 题 四
1. 设a ，b 是正整数，证明：(a + b )[a , b ] = a [b , a + b ]。

2. 求正整数a ，b ，使得a + b = 120，(a , b ) = 24，[a , b ] = 144。

3. 设a ，b ，c 是正整数，证明：22
[,,](,,)[,][,][,](,)(,)(,)a b c a b c a b b c c a a b b c c a =。

4. 设k 是正奇数，证明：1 + 2 + " + 9⏐1k + 2k + " + 9k 。

第五节 辗转相除法
习 题 五
1. 记M n = 2n − 1，证明：对于正整数a ，b ，有(M a , M b ) = M (a , b )。

第六节 算术基本定理
例1 设a ，b ，c 是整数，证明：
(ⅰ) (a , b )[a , b ] = ab ；
(ⅱ) (a , [b , c ]) = [(a , b ), (a , c )]。

例2 证明：11113521
N n =++++−"（n ≥ 2）不是整数。

习 题 六
1. 证明：在1, 2, ", 2n 中任取n + 1数，其中至少有一个能被另一个整除。

2. 证明：n
1211+++"（n ≥ 2）不是整数。

3. 设a ，b 是正整数，证明：存在a 1，a 2，b 1，b 2，使得a = a 1a 2，b = b 1b 2，(a 2, b 2) = 1，并且[a , b ] = a 2b 2。

第七节 函数[x ]与{x }
例1 求最大的正整数k ，使得10k ⏐199!。

例2 设x 与y 是实数，则[2x ] + [2y ] ≥ [x ] + [x + y ] + [y ]。

例3 设n
是正整数，则+=。

例4 设x 是正数，n 是正整数，则121[][][][]n x x x x n n n
−++
+++++"= [nx ]。

例5 求[1992)23(+]的个位数。

例6 设x 和y 是正无理数，
111=+y
x ，证明：数列[x ], [2x ], ", [kx ], " 与 [y ], [2y ], ", [my ], "联合构成了整个正整数集合，而且，两个数列中的数互不相同。

习 题 七
1. 求使12347!被35k 整除的最大的k 值。

2．设n 是正整数，x 是实数，证明：1
122[r r r n −∞
=+∑= n 。

3. 设n 是正整数，求方程x 2 − [x 2] = (x − [x ])2在[1, n ]中的解的个数。

4. 证明：方程f (x ) = [x ] + [2x ] + [22x ] + [23x ] + [24x ] + [25x ] = 12345没有实数解。

5. 证明：在n !的标准分解式中，2的指数h = n − k ，其中k 是n 的二进制表示的位数码之和。

第八节 素 数
例1 若a > 1，a n − 1是素数，则a = 2，并且n 是素数。

例2 形如4n + 3的素数有无限多个。

例3 设f (x ) = a k x k + a k − 1x k − 1 + " + a 0是整系数多项式，那么，存在无穷多个正整数n ，使得f (n )是合数。

习 题 八
1. 证明：若2n + 1是素数，则n 是2的乘幂。

2. 证明：若2n − 1是素数，则n 是素数。

3. 证明：形如6n + 5的素数有无限多个。

4. 设d 是正整数，6|/d ，证明：在以d 为公差的等差数列中，连续三项都是素数的情况最多发生一次。

5. 证明：对于任意给定的正整数n ，必存在连续的n 个自然数，使得它们都是合数。

6. 证明：级数
11n n p ∞
=∑发散，此处使用了定理1注2中的记号。

第二章 同 余
第一节 同余的基本性质
例1 设N =01a a a n n "−是整数N 的十进制表示，即
N = a n 10n + a n − 110n − 1 + " + a 110 + a 0 ，
则
(ⅰ) 3│N ⇔ 3∑=n i i a 0
|；
(ⅱ) 9│N ⇔ 9∑=n i i a 0
|；
(ⅲ) 11│N ⇔ 11∑=−n
i i i a 0)1(|；
(ⅳ) 13│N ⇔ 13│"+−345012a a a a a a 。

例2 求N =0121a a a a n n "−−被7整除的条件，并说明1123456789能否被7整除。

例3 说明125
2+是否被641整除。

例4 求(25733 + 46)26被50除的余数。

例5 求n =7
77的个位数。

例6 证明：若n 是正整数，则13⏐42n + 1 + 3 n + 2 。

例7 证明：若2|/a ，n 是正整数，则n a 2≡ 1 (mod 2n + 2)。

例8 设p 是素数，a 是整数，则由a 2 ≡ 1(mod p )可以推出a ≡ 1或a ≡ −1 (mod p )。

例9 设n 的十进制表示是z xy 4513，若792⏐n ，求x ，y ，z 。

习 题 一
1. 设f (x )是整系数多项式，并且f (1), f (2), ", f (m )都不能被m 整除，则f (x ) = 0没有整数解。

2. 已知99⏐62427αβ，求α与β。

第二节 完全剩余系
例1 设A = {x 1, x 2, ", x m }是模m 的一个完全剩余系，以{x }表示x 的小数部分，证明：若(a , m ) = 1，则∑=−=+m i i m m b ax 1)1(2
1}{。

例2 设p ≥ 5是素数，a ∈{ 2, 3, ", p − 2 }，则在数列a ，2a ，3a ，"，(p − 1)a ，pa 中有且仅有一个数b ，满足b ≡ 1 (mod p )。

此外，若b = ka ，则k ≠ a ，k ∈{2, 3, ", p − 2}。

例3(Wilson 定理) 设p 是素数，则(p − 1)! ≡ −1 (mod p )。

例4 设m > 0是偶数，{a 1, a 2, ", a m }与{b 1, b 2, ", b m }都是模m 的完全剩余系，证明：{a 1 + b 1, a 2 + b 2, ", a m + b m }不是模m 的完全剩余系。

习 题 二
1. 证明：若2p + 1是奇素数，则(p !)2 + (−1)p ≡ 0 (mod 2p + 1)。

2. 证明：若p 是奇素数，N = 1 + 2 + " + ( p − 1)，则(p − 1)! ≡ p − 1 (mod N )。

3. 证明Wilson 定理的逆定理：若n > 1，并且(n − 1)! ≡ −1 (mod n )，则n 是素数。

4. 设m 是整数，4⏐m ，{a 1, a 2, ", a m }与{b 1, b 2, ", b m }是模m 的两个完全剩余系，证明：{a 1b 1, a 2b 2, ", a m b m }不是模m 的完全剩余系。

5. 设m 1, m 2, ",m n 是两两互素的正整数，δi （1 ≤ i ≤ n ）是整数，并且
δi ≡ 1 (mod m i )， 1 ≤ i ≤ n ，
δi ≡ 0 (mod m j )，i ≠ j ，1 ≤ i , j ≤ n 。

证明：当b i 通过模m i （1 ≤ i ≤ n ）的完全剩余系时，b 1δ1 + b 2δ2 + " + b n δn 通过模m = m 1m 2"m n 的完全剩余系。

第三节 简化剩余系
例1 设整数n ≥ 2，证明：
∑=≤≤=1),(12
1n i n i i n ϕ(n )，即在数列1, 2, ", n 中，与n 互素的整数之和是21n ϕ(n )。

例2 设n 是正整数，则∑n d d |)(ϕ= n ，此处∑n
d |是对n 的所有正约数求和。

例3 设n ∈N ，证明：
(ⅰ) 若n 是奇数，则ϕ(4n ) = 2ϕ(n )；
(ⅱ) ϕ(n ) =n 2
1的充要条件是n = 2k ，k ∈N ； (ⅲ) ϕ(n ) =n 3
1的充要条件是n = 2k 3l ，k , l ∈N ； (ⅳ) 若6⏐n ，则ϕ(n ) ≤n 3
1； (ⅴ) 若n − 1与n + 1都是素数，n > 4，则ϕ(n ) ≤n 3
1。

例4 证明：若m , n ∈N ，则ϕ(mn ) = (m , n )ϕ([m , n ])；
习 题 三
1. 设m 1, m 2, ", m n 是两两互素的正整数，x i 分别通过模m i 的简化剩余系（1 ≤ i ≤ n ），m = m 1m 2"m n ，M i =i
m m ，则M 1x 1 + M 2x 2 + " + M n x n 通过模m 的简化剩余系。

2. 设m > 1，(a , m ) = 1，x 1, x 2, …, x ϕ(m )是模m 的简化剩余系，证明：
∑==)
(1)(21
}{m i i m m ax ϕϕ。

其中{x }表示x 的小数部分。

3. 设m 与n 是正整数，证明：ϕ(mn )ϕ((m , n )) = (m , n )ϕ(m )ϕ(n )。

4. 设a ，b 是任意给定的正整数，证明：存在无穷多对正整数m 与n ，使得a ϕ(m ) = b ϕ(n )。

5. 设n 是正整数，证明：
(ⅰ) ϕ(n ) >
n 2
1； (ⅱ) 若n 是合数，则ϕ(n ) ≤ n −n 。

第四节 Euler 定理
例1 设n 是正整数，则5|/1n + 2n + 3n + 4n 的充要条件是4⏐n 。

例2 设{x 1, x 2, ", x ϕ(m )}是模m 的简化剩余系，则(x 1x 2"x ϕ(m ))2 ≡ 1 (mod m )。

例3 设(a , m ) = 1，d 0是使a d ≡ 1 (mod m )成立的最小正整数，则
(ⅰ) d 0⏐ϕ(m )；
(ⅱ) 对于任意的i ，j ，0 ≤ i , j ≤ d 0 − 1，i ≠ j ，有a i ≡/a j (mod m )。

例4 设a ，b ，c ，m 是正整数，m > 1，(b , m ) = 1，并且b a ≡ 1 (mod m )，b c ≡ 1 (mod m )，记d = (a , c )，则b d ≡ 1 (mod m )。

例5 设p 是素数，p ⏐b n − 1，n ∈N ，则下面的两个结论中至少有一个成立：
(ⅰ) p ⏐b d − 1对于n 的某个因数d < n 成立；
(ⅱ) p ≡ 1 ( mod n )。

若2|/
n ，p > 2，则(ⅱ)中的mod n 可以改为mod 2n 。

例6 将211 − 1 = 2047分解因数。

例7 将235 − 1 = 34359738367分解因数。

例8 设n 是正整数，记F n =122+n
，则n F 2≡ 2 (mod F n )。

例9 对于任意的正整数a ≥ 3，存在无穷多个关于基数a 的伪素数。

习 题 四
1. 证明：1978103 − 19783能被103整除。

2. 求313159被7除的余数。

3. 证明：对于任意的整数a ，(a , 561) = 1，都有a 560 ≡ 1 (mod 561)，但561是合数。

4. 设p ，q 是两个不同的素数，证明：p q − 1 + q p − 1 ≡ 1 (mod pq )。

5. 将612 − 1分解成素因数之积。

6. 设n ∈N ，b ∈N ，对于b n + 1的素因数，你有甚麽与例6相似的结论？
第五节 数论函数
例1 对于正整数n ，若它的标准分解式是n =k k p p p α
αα"2121，定义
⎩⎨
⎧=>=101)(n n k n 当当ω；
与 ⎩⎨⎧=>++=10
1)(1
n n n Ωk 当当αα"。

则ω(n )与Ω(n )满足下面的等式： ω(mn ) = ω(m ) +ω(n )，(m , n ) = 1，m , n ∈N ，
Ω(mn ) = Ω(m ) +Ω(n )， m , n ∈N 。

例2 数论函数ν(n ) = (−1)ω(n )是积性函数，数论函数λ(n ) = (−1)Ω(n )是完全积性函数。

例3 对于正整数n 。

以σ(n )表示n 的所有正约数之和，即σ(n ) =∑n
d d |。

若n 的标准分解式是n =k k p p p α
αα"2121，
则σ(n ) =∏=+−−k i i i p p i 111
1α。

例4 求)
(2n n ϕμ）（的Mobius 变换。

习 题 五
1. 求∑n d d
|1。

2. 设f (n )是积性函数，证明：
(ⅰ) ∏∑−=n
p n d p f d f d ||))(1()()(μ
(ⅱ) ∏∑+=n
p n d p f d f d ||2))(1()()(μ。

3. 求ϕ(n )的Mobius 变换。

第四章 不定方程
第一节 一次不定方程
例1 求不定方程3x + 6y = 15的解。

例2 求不定方程3x + 6y + 12z = 15的解。

例3 设a 与b 是正整数，(a , b ) = 1，则任何大于ab − a − b 的整数n 都可以表示成n = ax + by 的形式，其中x 与y 是非负整数，但是n = ab − a − b 不能表示成这种形式。

例4 设a ，b ，c 是整数，(a , b ) = 1，则在直线ax + by = c 上，任何一个长度大于22b a +的线段上至少有一个点的坐标都是整数。

例5 将30
19写成三个分数之和，它们的分母分别是2，3和5。

例6 甲物每斤5元，乙物每斤3元，丙物每三斤1元，现在用100元买这三样东西共100斤，问各买几斤? 例7 求不定方程x + 2y + 3z = 7的所有正整数解。

习 题 一
1. 将
105
17写成三个既约分数之和，它们的分母分别是3，5和7。

2. 求方程x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 41的所有正整数解。

3. 求解不定方程组：⎩⎨⎧=+−=++112052732321
321x x x x x x 。

4. 甲班有学生7人，乙班有学生11人，现有100支铅笔分给这两个班，要使甲班的学生分到相同数量的铅笔，乙班学生也分到相同数量的铅笔，问应怎样分法？
5. 证明：二元一次不定方程ax + by = n ，a > 0，b > 0，(a , b ) = 1的非负整数解的个数为][][
ab n ab n 或+ 1。

6. 设a 与b 是正整数，(a , b ) = 1，证明：1, 2, ", ab − a − b 中恰有2
)1)(1(−−b a 个整数可以表示成ax + by （x ≥ 0，y ≥ 0）的形式。

第二节 方程x 2 + y 2 = z 2
习 题 二
1. 设x ，y ，z 是勾股数，x 是素数，证明：2z − 1，2(x + y + 1)都是平方数。

2. 求整数x ，y ，z ，x > y > z ，使x − y ，x − z ，y − z 都是平方数。

3. 解不定方程：x 2 + 3y 2 = z 2，x > 0，y > 0，z > 0，(x , y ) = 1。

4. 证明下面的不定方程没有满足xyz ≠ 0的整数解。

(ⅰ) x 2 + y 2 + z 2 = x 2y 2；
(ⅱ) x 2 + y 2 + z 2 = 2xyz 。

5. 求方程x 2 + y 2 = z 4的满足(x , y ) = 1，2⏐x 的正整数解。

第三节 几类特殊的不定方程
例1 证明：若n = 9k + t ，t = 3，4，5或6，k ∈Z ，则方程n y x =+33没有整数解。

例2 证明方程3x + 1 = 5y + 7z 除x = y = z = 0外没有其他整数解。

例3 证明：若实数x 与y 满足方程x 2 − 3y 2 = 2，则x 与y 不能都是有理数。

例4 求不定方程组33333x y z x y z ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩
的所有整数解。

例5 求方程(x − 1)! = x y − 1的满足x > 1的正整数解。

例6 求方程x 2y + 2x 2 − 3y − 7 = 0的整数解。

例7 求方程x 3 + y 3 = 1072的正整数解。

例8 求方程3x 2 + 7xy − 2x − 5y − 35 = 0的正整数解。

例9 求方程5(xy + yz + zx ) = 4xyz 的正整数解。

习 题 三
1. 求方程x 2 + xy − 6 = 0的整数解。

2. 求方程组⎩
⎨⎧−=++=++180333z y x z y x 的整数解。

3. 求方程2x − 3y = 1的正整数解。

4. 求方程z
y x 111=+的正整数解。

5. 设p 是素数，求方程y
x p 112+=的整数解。

6. 设2n + 1个有理数a 1, a 2, ", a 2n + 1满足条件P ：其中任意2n 个数可以分成两组，每组n 个数，两组数的和相等，证明：
a 1 = a 1 = " = a 2n + 1。

第五章 同余方程
第一节 同余方程的基本概念
例1 设(a , m ) = 1，又设存在整数y ，使得a ⏐b + ym ，则x ≡
a
ym b +(mod m )是方程ax ≡ b (mod m )的解。

例2 解同余方程325x ≡ 20 (mod 161)
例3 设a > 0，且(a , m ) = 1，a 1是m 对模a 的最小非负剩余，则同余方程a 1x ≡ −b ][
a
m (mod m )等价于同余方程ax ≡ b (mod m )。

例4 解同余方程6x ≡ 7 (mod 23)。

例5 设(a , m ) = 1，并且有整数δ > 0使得a δ ≡ 1 (mod m )，则同余方程ax ≡ b (mod m )的解是x ≡ ba δ − 1 (mod m )。

例6 解同余方程81x 3 + 24x 2 + 5x + 23 ≡ 0 (mod 7)。

例7 解同余方程组⎩
⎨⎧≡−≡+)7(mod 232)7(mod 153y x y x 。

例8 设a 1，a 2是整数，m 1，m 2是正整数，证明：同余方程组⎩
⎨⎧≡≡)(mod )(mod 2211m a x m a x 有解的充要条件是a 1 ≡ a 2 (mod (m 1, m 2))。

若有解，则对模[m 1, m 2]是唯一的，即若x 1与x 2都是同余方程组的解，则x 1 ≡ x 2 (mod [m 1, m 2])。

习 题 一
1. 解同余方程：
(ⅰ) 31x ≡ 5 (mod 17)； (ⅱ) 3215x ≡ 160 (mod 235)。

2. 解同余方程组：⎩
⎨⎧≡−≡+)47(mod 10)47(mod 3853y x y x 。

3. 设p 是素数，0 < a < p ，证明：!)1()2)(1()1(1
a a p p p
b x a +−⋅⋅⋅−−−≡−(mod p )。

是同余方程ax ≡ b (mod p )的解。

4. 证明：同余方程a 1x 1 + a 2x 2 + " + a n x n ≡ b (mod m )有解的充要条件是(a 1, a 2, ", a n , m ) = d ⏐b 。

若有解，则恰有d ⋅m n −1个解，mod m 。

5. 解同余方程：2x + 7y ≡ 5 (mod 12)。

第二节 孙子定理
例1 求整数n ，它被3，5，7除的余数分别是1，2，3。

例2 解同余方程5x 2 + 6x + 49 ≡ 0 (mod 60)。

习 题 二
1. 解同余方程组：(i)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≡≡≡≡。

)11(mod )7(mod )6(mod )5(mod 4321b x b x b x b x ; (ii)⎪⎩⎪⎨⎧≡≡≡。

)25(mod 13)8(mod 5)15(mod 8x x x 2. 有一队士兵，若三人一组，则余1人；若五人一组，则缺2人；若十一人一组，则余3人。

已知这队士兵不超过170人，问这队士兵有几人？
3. 求一个最小的自然数n ，使得它的21是一个平方数，它的31是一个立方数，它的5
1是一个5次方数。

4. 证明：对于任意给定的n 个不同的素数p 1, p 2, …, p n ，必存在连续n 个整数，使得它们中的第k 个数能被
p k整除。

5.解同余方程：3x2+ 11x − 20 ≡ 0 (mod 105)。

第三节模pα的同余方程
例1解同余方程x3+ 3x − 14 ≡ 0 (mod 45)。

例2解同余方程2x2+ 13x − 34 ≡ 0 (mod 53)。

例3 解同余方程x2≡ 1 (mod 2k)，k∈N。

例4解同余方程x2≡ 2 (mod 73)。

习题三
1.解同余方程x2≡−1 (mod 54)。

2.解同余方程f(x) = 3x2+ 4x− 15 ≡ 0 (mod 75)。

3.证明：对于任意给定的正整数n，必存在m，使得同余方程x2≡ 1 (mod m)的解数T > n。

第四节素数模的同余方程
例1判定同余方程2x3+ 3x+ 1 ≡ 0 (mod 7)是否有三个解。

例2解同余方程3x14+ 4x10+ 6x− 18 ≡ 0 (mod 5)。

习题四
1.解同余方程：
(ⅰ) 3x11+ 2x8+ 5x4− 1 ≡ 0 (mod 7)；(ⅱ) 4x20+ 3x12+ 2x7+ 3x− 2 ≡ 0 (mod 5)。

2.判定
(ⅰ) 2x3−x2+ 3x− 1 ≡ 0 (mod 5)是否有三个解；
(ⅱ) x6+ 2x5− 4x2+ 3 ≡ 0 (mod 5)是否有六个解？
3.设(a, m) = 1，k与m是正整数，又设x0k≡a (mod m)，证明同余方程x k≡a(mod m)的一切解x都可以表示成x≡yx0 (mod m)，其中y满足同余方程y k≡ 1 (mod m)。

4.设n是正整数，p是素数，(n, p− 1) = k，证明同余方程x n≡ 1 (mod p)有k个解。

5.设p是素数，证明：
(ⅰ) 对于一切整数x，x p− 1− 1 ≡ (x− 1) (x− 2)"(x−p+ 1) (mod p)；
(ⅱ) (p− 1)! ≡− 1 (mod p)。

6.设p≥ 3是素数，证明：(x− 1)(x− 2)"(x−p+ 1)的展开式中除首项及常数项外，所有的系数都是p的倍数。

第五节素数模的二次同余方程
例1判断方程x2≡ 5 (mod 11)有没有解。

例2 设p 是奇素数，p ≡ 1 (mod 4)，则2)(
(!2
1−±p ≡ −1 (mod p ) 例3 设n 是整数，证明n 2 + 1的任何奇因数都是4m + 1（m ∈Z ）的形式。

例4 形如4m + 1（k ∈Z ）的素数有无穷多个。

例5 若a ≡ 1 (mod 4)，2⏐b ，并且b 没有形如4k + 3（k ∈Z ）的素因数，证明方程y 2 = x 3 − a 3 − b 2没有整数解。

例6 设p 是素数，证明：数例1, 2, ", p − 1中的模p 的二次剩余之和是∑−=−−=2112
2[24)1(p k p k p p p S 。

例7 设p 是奇素数，证明：若同余方程x 4 + 1 ≡ 0 (mod p )有解，则p ≡ 1 (mod 8)。

习 题 五
1. 同余方程x 2 ≡ 3 (mod 13)有多少个解？
2. 求出模23的所有的二次剩余和二次非剩余。

3. 设p 是奇素数，证明：模p 的两个二次剩余的乘积是二次剩余；两个二次非剩余的乘积是二次剩余；一个二次剩余和一个二次非剩余的乘积是二次非剩余。

4. 设素数 p ≡ 3 (mod 4)，)(p n = 1，证明x ≡ ±41+p n (mod p )是同余方程x 2 ≡ n (mod p )的解。

5. 设p 是奇素数，(n , p ) = 1，α是正整数，证明同余方程x 2 ≡ n (mod p α)有解的充要条件是)(
p n = 1。

6. 设p 是奇素数，证明：模p 的所有二次剩余的乘积与21
)1(+−p 对模p 同余。

第六节 二次互反律
例1 已知563是素数，判定方程x 2 ≡ 429 (mod 563)是否有解。

例2 求所有的素数p ，使得 −2∈QR (p )，3∈QR (p )。

例３ 证明：形如8k + 7（k ∈Z ）的素数有无穷多个。

例4 证明：形如8k + 3（k ∈Z ）的素数无穷多个。

习 题 六
1. 已知769与1013是素数，判定方程
(ⅰ) x 2 ≡ 1742 (mod 769)；
(ⅱ) x 2 ≡ 1503 (mod 1013)。

是否有解。

2. 求所有的素数p ，使得下面的方程有解：x 2 ≡ 11 (mod p )。

3. 求所有的素数p ，使得 −2∈QR (p )，−3∈QR (p )。

4. 设(x , y ) = 1，试求x 2 − 3y 2的奇素数因数的一般形式。

5. 证明：形如8k + 5（k ∈Z ）的素数无穷多个。

6. 证明：对于任意的奇素数p ，总存在整数n ，使得
p ⏐(n 2 + 1)(n 2 + 2)(n 2 − 2)。

第七节 Jacobi 符号
例1 设a 与b 是正奇数，求)()(
42a
b b a a 与+的关系。

例2 已知3371是素数，判断方程x 2 ≡ 12345 (mod 3371)是否有解。

习 题 七
1. 已知3019是素数，判定方程x 2 ≡ 374 (mod 3019)是否有解。

2. 设奇素数为p = 4n + 1型，且d ⏐n ，证明：)(
p
d = 1。

3. 设p ，q 是两个不同的奇素数，且p = q + 4a ，证明：)()(q a p a =。

4. 设a > 0，b > 0，b 为奇数，证明：
⎪⎩⎪⎨⎧≡−≡=+。

，当，当)4(mod 32)4(mod 102()()(a b a a b a b a a 5. 设a ，b ，c 是正整数，(a , b ) = 1，2|/b ，b < 4ac ，求()(
4b
a b ac a 与−的关系。

第六章 平方和
第一节 二平方之和
例1 正整数n 能表示成不同的两个平方数之差的充要条件是n ≡/2 (mod 4)。

例2 设p 是素数，a ≥ b > 0，x ≥ y > 0，(a , b ) = (x , y ) = 1，且p = a 2 + b 2 = x 2 + y 2，则a = x ，b = y 。

习 题 一
1. 设n 是正整数，证明：不定方程x 2 + y 2 = z n 总有正整数解x ，y ，z 。

2. 设p 是奇素数，(k , p ) = 1，则1)(10)(
−=+∑−=p i p
k i i ，此处)(p a 是Legender 符号。

3. 设素数p ≡ 1 (mod 4)　，(k , p ) = 1，记∑−=+=10
2()()(p i p k i i k S ，则2⏐S (k )，并且，对于任何整数t ，有)()()(2k S p
t kt S =，此处(p a 是Legender 符号。

4. 设p 是奇素数，11)()(−==p
n p m ，，则 222222)2
1(212121)(−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅p n n n p m m m ，，，，，，，"" 构成模p 的一个简化剩余系。

5. 在第3题的条件下，并沿用第2题的记号，有22)()()(2
1)(21
n S m S p +=。

即上式给出了形如4k + 1的素数的二平方和表示的具体方法。

6. 利用题5的结论，试将p = 13写成二平方和。

第二节 四平方之和
例１ 每个正整数n 可以写成n = x 2 + y 2 − z 2的形式，其中x ，y ，z 是整数。

例２ 若n = 2⋅4m （m ∈N ），则n 不能表示成四个正整数的平方之和。

习 题 二
1. 若(x , y , z ) = 1，则不存在整数n ，使得x 2 + y 2 + z 2 = 4n 2。

2. 设k 是非负整数，证明2k 不能表示三个正整数平方之和。

3. 证明：每一个正整数n 必可以表示为5个立方数的代数和。

4. 证明：16k + 15型的整数至少需要15个四次方数的和表之。

5. 证明：16k ⋅31不能表示为15个四次方数的和。