基于MATLAB的数字带通滤波器的设计

课程设计任务书
2010—2011学年第一学期
专业：通信工程学号: o********* _______ 姓名：*** ______
课程设计名称：数字信号处理课程设计设计题目：基于的数字带通滤波器的设计
完成期限：自2011 年1 月3 日至2011 年1 月9 日共1 周
一、设计目的
1、巩固所学的理论知识；
2、提高综合运用所学理论知识独立分析和解决问题的能力；
3、更好地将理论与实践相结合；
4、掌握信号分析与处理的基本方法与实现；
5、熟练使用语言进行编程实现。

二、设计内容
设计巴特沃斯数字带通滤波器，要求通带范围为0.25 n<^< 0.45 n,通带最大衰
减为3,阻带范围为0W®W 0.15 n和0.55 n<w<n，阻带最小衰减为40。

三、设计要求
调用和设计，并显示数字滤波器系统函数H（Z）的系数，绘制数字滤波器的损耗函数和相频特性函数。

并分析这种设计对应于脉冲响应不变法还是双线性变换法？
四、设计条件
计算机、语言环境
五、参考资料
[1] 《数字信号处理》（第三版），丁玉美，高西全•西安电子科技大学出版社，2000.
[2] 《及在电子信息课程中的应用》，陈怀堔，吴大正，高西全.电子工业出版社，2006.
[3] 《7.0从入门到精通》，求是科技.人民邮电出版社，2006.
[4] 《数字信号处理（第三版）》学习指导，高西全，丁玉美.西安科技大学出版社，2001.指导教师（签字）：教研室主任（签字）：—
批准日期：年月日
摘要
数字滤波器是指输入、输出均为数字信号，通过数值运算处理改变输入信号所含频率成分的相对比例，或者滤除某些频率成分的数字器件和程序。

经典数字滤波器从滤波特性上分类，可以分成
低通、高通、带通和带阻等滤波器。

数字滤波器的幅频特性表示信号通过该滤波器后各频率成分振幅衰减情况，而相频特性反映各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况。

本次课程设计先是对巴特沃斯数字带通滤波器有关理论知识作介绍，在性能指标分析基础上运用的和函数设计程序，得到损耗函数和相频特性函数图像，写出数字滤波器系统函数
H(Z) ，并对结果进行分析，最后总结课程设计体会。

关键词：数字带通滤波器；；系统函数；损耗函数；相频特性
目录
1 课题描述..................................................... 错..误!未指定书签
2 设计原理..................................................... 错... 误!未指定书签
2.1数字滤波器设计方法概述.................................. 错. 误!未指定书签
2.2模拟滤波器频率变换—模拟带通滤波器的设计................. 错误!未指定书签
2.2.1带通滤波器的指标要求 ................................ 错. 误!未指定书签
2.2.2模拟低通滤波器变换成数字带通滤波器.................. 错误!未指定书签
3 设计内容..................................................... 错... 误!未指定书签
3.1设计思路.................................................. 错.. 误!未指定书签
3.2设计步骤.................................................. 错.. 误!未指定书签
3.3 程序...................................................... 错..误!未指定书签
3.4结果分析.................................................. 错.. 误!未指定书签
3.4.1损耗函数与相频特性 .................................. 错. 误!未指定书签
3.4.2双线性变换.......................................... 错.. 误!未指定书签总结........................................................... 错...误!未指定书签参考文献........................................................ 错... 误!未指定书签
1 课题描述
在社会飞速发展的今天，数字信号处理已成为当今一门极其重要的学科和手段，数字信号处理以其在处理过程中的实时、快速、稳定，故而在雷达、通信、音视频处理、自动控制、航空航天、医疗和家用电器等技术领域得到了广泛的应用。

数字信号处理学科的一项重大发展是关于数字滤波器设计方向的研究，数字滤波是数字信号处理的重要内容之一。

与模拟滤波器相比，其具有精度、稳定度、灵活性高，不需要阻抗匹配和便于大规模集成等优点。

60年代中期，数字滤波器形成一套完整的正规理论，设计方法趋于成熟，如巴特沃斯滤波器、切比雪夫滤波器、椭圆滤波器，贝塞尔滤波器等。

数字滤波器从结构上可分为无限冲击响应数字滤波器和有限冲击响应数字滤波器；从功能上分为低通、带通、高通和带阻滤波器。

巴特沃斯滤波器具有单调下降的幅频特性，在阻频带逐渐下降为零，其通频带的频率响应曲线最大限度平坦，没有起伏。

本文针对的就是巴特沃斯数字带通滤波器的设计。

是用于科学计算、可视化的高性能软件环境。

它集数值分析、矩阵运算、信号处理和图形显示于一体，具有界面友好的用户环境。

它的信号处理工具箱包含了各种数字信号处理技术，是一个非常优秀的算法研究与辅助设计的工具。

通过调用语言中的和函数可用于设计数字带通滤波器。

本文即是利用工具来设计巴特沃斯数字带通滤波器的。

2 设计原理
2.1 数字滤波器设计方法概述
滤波器和滤波器的设计方法完全不同。

滤波器设计方法有间接法和直接法，间接法是借助于模拟滤波器的设计方法进行的。

其设计步骤是：先设计过渡模拟滤波器得到系统函数Ha(s) ，然后将Ha(s) 按某种方法转换成数字滤波器的系统函数H (z) 。

这是因为模拟滤波器的设计方法已经很成熟，不仅有完整的设计公式，还有完善的图标和曲线供查阅；另外，还有一些典型的优良滤波器可供我们使用。

直接法直接在频域或者时域中设计数字滤波器，由于要解联立方程，设计时需要计算机辅助设计。

滤波器不能采用间接法，常用的设计方法有窗函数法、频率采样法和切比雪夫等波纹逼近法。

模拟低通滤波器的设计是设计其他滤波器的基础。

模拟高通、带通和带阻滤波器的设计过程是：先
将希望设计的各种滤波器的技术指标转换为低通滤波器技术指标，然后设计响应的低通
滤波器，最后采用频率转换法将低通滤波器转换成所希望的各种滤波器。

滤波器设计公式较多，计算繁杂。

但是各种设计方法都有现成的设计程序设计函数供我们调用，只要掌握了滤波器基本设计原理，在工程实际中采用计算机辅助设计滤波器是常用的现象。

2.2模拟滤波器频率变换一模拟带通滤波器的设计
1确定“模拟滤波器”设计指标；
2指标转换为相应归一化低通模拟滤波器指标；
3选择类型，设计归一化低通然后去归一化得到低通模拟滤波器；
4频率变换，将G(p)转换为实际模拟滤波器系统函数H(s)。

H(s):需要设计的实际“”频响函数，s j :拉式复变量
:实际的归一化频率，q j :实际的归一化拉式复变量
H(j ):实际的归一化频响函数，G(s):低通传输函数
s j :低通拉式复变量，：低通归一化频率
p j :低通归一化拉式复变量，G(j ):低通归一化频响函数
2.2.1带通滤波器的指标要求
si / B，s2 s2 / B，I
u/B，
指标转换公式：边界频率转换成低通的边界频率
带通滤波器频率特性是正负对称的，故这个变换必须是一对二的映射，它应该是Q
的二次函数
2 2
入p 对应n u，p -------- -------- 0u i 1
u
2 2
s2 0 入s对应n s2,
s2
通带最大衰减仍为 p ，阻带最小衰减亦为
(3)设计归一化低通G(p)。

⑷直接将G(p)转换成带通H(s)。

222模拟低通滤波器变换成数字带通滤波器
由模拟低通滤波器变换成数字带通滤波器得变换关系为
观n % 2碍 f)
图2」宪际AF 的阳Tt 频响函載和低通血F 归一化频响函数
总结模拟带通的设计步骤:
(1)确定模拟带通滤波器的技术指标，即:
带通上限频率
u ,带通下限频率I 下阻带上限频率
si ，上阻带下限频率 s2 通带中心频率
02 I u ，通带宽度B 通带最大衰减为 p ，阻带最小衰减为
与以上边界频率对应的归一化边界频率如下:
si si T ，s2
(2)确定归一化低通技术要求： s2
2
s2
2 0 s2 2 si si
|」刚
叫
2 s 1
s( h
3设计内容
要求通带范围为0.25 n<w< 0.45 n,通带最大衰减为3,阻带范围为0.15 n 和0.55
nW^Wn ，阻带最小衰减为 40。

3.1设计思路
根据题目要求，按照一定规则把给定的滤波器性能指标转化为模拟低通滤波器的技 术指标，根据模拟滤波器技术指标设计为相应的模拟低通滤波器，根据双线性不变法把 模拟滤波器转换为数字滤波器，即先设计过渡模拟滤波器得到系统函数
Ha(s)，然后将
Ha (s)按双线性变化法转换成数字滤波器的系统函数 H (z)。

3.2设计步骤
1数字带通滤波器技术指标
通带上截止频率3 0.45 n ，通带下截止频率3 0.25 n
阻带上截止频率3 s2=0.55n ，阻带下截止频率3 s1=0.15n
通带内最大衰减a 3，阻带内最小衰减a 40
2模拟带通滤波器技术指标
为了计算简单， 可设1,则有
1 u
2ta n — u 1.7082 rad / s ， 1 l 2 ta n i 0.8284rad /s 2
2 1
1 s
2 2ta n — s2 2.3416rad / s ， s1 2ta n — s1 0.4802rad / s
2 2 根据双线性变换，模拟带通与数字带通滤波器之间的 S 平面与Z 平面的关系仍为
2 1 z 1 s
Ti z 1，s
c 21 z 1( TC ( h 1)
u
1.1896rad/s (通带中心频率) 0 l
B u i 0.8798rad /s (带宽)
将以上边界频率对带宽B 归一化，得到
u
1.9416 , i 0.9416 , s2
2.6615 ,
模拟归一化低通滤波器技术指标
设计模拟低通滤波器
N 更腔 6.7687 ,
lg1.9746
查表6.2.1，得到归一化低通传输函数 G(p),
1
2 2 2
(p 0.4450 p 1)( p 1.2470 p 1)(p 1.8019p 1)(p 1)
5模拟低通转换成模拟带通
将归一化模拟低通转换成模拟带通
H a (s) G(p) s
2
p
「
6数字带通滤波器
通过双线性变换法将(s)转换成数字带通滤波器H(z)< 下面将(5)、(6)两步合成一步计算：
1 z 1 s 2
1
1 z
将上式代入上面的转换公式，得
si
0.5458 ,
1.3521
归一化阻带截止频率:
2 2
s 」一
1.9746
s2
归一化通带截止频率：入
1 ,a 3, a 40
10^ 0.0100,
sp
s
1.9746
p
G(p)
3.3程序
程序如下:
1; 4000; 0.45*0.25*; 0.55*0.15*; [0.25,0.45]; [0.15,0.55]; 2*(2)2*(2); 340;
[](,'s'); %计算带通滤波器阶数N 和3截止频率
[](,'s'); %计算带通滤波器系统函数分子分母多项式系数向量 [](); [](); [](); () (2,2,1) (()) ('');
H (z)
2
2 s 0 s( u
l
)
1 2
4(1 z ) 2(1 z
5.4151z 2
1.7596(1 z 2
)
将上面的p 等式代入G(p)中,
(3.0775 5.1698 z 1 3.0775 z 2)2
1.247 3.0775
5.1698z 1 z 2
(3.0775 5.1698z 1 3.0775z 2 )2 0.445O 3.0775 5.1698z 1 3.0775z 2
2
(1 z 1)2
2
)(
l
)
3.0775 2.9381z 1
3.0775z 2
3.0775 z 2 3.0775 5.1698z 1 3.0775 z 2
1
(3.0775 5.1698z 1 3.0775 z 2)2 匸8019 3.0775 5.1698z 1 3.0775z 2
p
5.4151 5.1698z 1 s 2<
('幅度');
('幅度函数曲线')
(2,2,2)
(())
('\\')；
('()')；
('相频特性曲线')
[](,4000)；
(2,2,3)
(,20*10())([0,1100,1.5]); ('')；
('(f)')；
('损耗函数曲线')
程序运行结果如下所示:
损耗总數曲线
3.4结果分析
3.4.1损耗函数与相频特性
常用的数字滤波器一般属于选频滤波器。

其频率响应函数用幅频特性函数和相频特性函数表示。

幅频特性表示信号通过该滤波器后各频率成分振幅衰减情况，相频特性反映各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况。

工程实际中通常用损耗函数（也称为衰减函数）来描述滤波器的幅频响应特性，对归一化幅频响应函数，定义如下（其单位是分贝，用表示）：
2
20lg a j 10lg a j d o
应当注意，损耗函数j 和幅频特性函数j 只是滤波器幅频响应特性的两
种描述方法。

损耗函数的优点是对幅频响应的取值非线性压缩，放大了小的幅度，从而可以同时观察通带和阻带频响特性的变化情况。

由程序运行结果可知，此损耗函数曲线符合带通滤波器的特性。

滤波的过程中，信号通过滤波器，在一定的条件下，可以控制原信号的幅值不发生改变，但是会发生延迟，也就是输出信号的相角与输入信号之间会有一定的差值，在整个过程中，就表现为相频特性。

本课题研究的内容中，输出信号与输入信号的相角差值，表现出来的相频特性符合系统的特征。

3.4.2双线性变换
脉冲响应不变法的主要缺点是会产生频谱混叠现象，使数字滤波器的频响偏离模拟滤波器的频响特性，为了克服这一缺点，可将整个S平面压缩到S平面的一条横带里，
通过标准变换关系将此横带变换到整个Z平面上去。

由此建立S平面与Z平面—对应的单值关系，消除多值性，也就消除了混淆现象。

S平面与Z平面的单值映射关系：
s 2匚三和z 1 T 2 s，即为双线性变换。

T 1 z 1 1 T 2 s
A A J C B^
[Ti5 汕it z Yii!
图3・I双线性变化祛的映射关系
双线性变换法的主要优点是不存在频谱混迭。

由于S平面与Z平面一一单值对应，
S平面的虚轴（整个j Q对应于Z平面单位圆的一周，S平面的Q =0对应于Z平面的3 =0, 盧-二对应总一％，即数字滤波器的频率响应终止于折迭频率处，所以双线性变换不存在频谱混迭效应。

双线性变换具有将S的左半平面映射到Z平面单位圆内3轴映射到单位圆上的基本性质。

当（T =0寸，I z I =1说明s平面j 3轴映射到z平面单位圆上；当C <0寸，上式中的分母大于分子I z I <1说明s左半平面映射到z平面单位圆内。

因而它们一一对应，有着单值关系，是一种保角交换。

因此一个稳定的模拟滤波器，通过双线性变换只能得到一个（唯一）稳定的数字滤波器。

由此可见，双线性变换法将频带严格限制在3 2范围内，从根本上消除了频谱混叠。

双线性变换法不仅解决了直接z变换中存在的混叠误差，而且它还是个代数变换，只要将s与z之间存在的简单代数关系直接代入模拟滤波器系统函数式中，就可以求得相应的数字滤波器的系统函数和频响，模拟滤波器所具有的优良特性就得以保存。

但是双线性变换法由于从s—的变换，频率
关系不是线性的，它只有在低频段接近线性，频率越高 3 ~被压缩得越厉害，因而出现
频率非线性畸变（扭曲），原模拟滤波器的转折点频率的位置因非线性而产生了变化，相频特性也因非线性而出现了畸变。

此次巴特沃斯数字带通滤波器的设计时对应于双线性变化法，如上所述，双线性变化是一种非线性转换。

双线性变换法的缺点：Q与3的非线性关系，导致数字滤波器的幅频响应相对于模拟滤波器的幅频响应有畸变，另外，一个线性相位的模拟滤波器经双线性变换后，滤波
器就不再有线性相位特性。

虽然双线性变换有这样的缺点，但它目前仍是使用得最普遍、 最有成效的一种设计工具
双线性变换比脉冲响应法的设计计算直接和简单。

由于s 与z 之间的简单代数关系, 所以从模拟传递函数可直接通过代数置换得到数字滤波器的传递函数。

2
频响：
H(e
)H a (j )利H
a 中三
图王2双疑性变換旳烦率非鸳性关系
这些都比脉冲响应不变法的部分分式分解便捷得多，
当着眼于滤波器的时域瞬态响
应时，经常采用脉冲响应不变法，此次课程设计也是采用双线性变换。

总结
通过本课程设计，我掌握了巴特沃斯数字带通滤波器的设计原理以及步骤，学会了 应用数学软件编写程序，熟悉了它的使用方法与注意事项。

在设计过程中，我自感知识 的缺陷，不断的上网查阅资料，翻阅各类相关书籍，自己动手设计，使思维逻辑更加清 晰。

这次课程设计让我明白了要学好一门课程，真正掌握这门课程的知识，仅仅学习教 材知识是不够的，我们必须博览与其相关的书籍以求更熟练的掌握其内容。

就拿数字信 号这门课来说，要想好好掌握这门课，必须学好信号系统， ，数字信号处理等等，各方 面的知识不是独立存在的，而是相互融合在一起的。

在这次课程设计过程中，我发现了自己综合应用能力的欠缺。

以后，我会更加重视 对本课程的学习。

置换过程:
21 z 1 s _
TVT 1
H a
2 1 z 1 T1 z 1
参考文献
[1] 丁玉美．数字信号处理（第三版）[M] ．西安：西安电子科技大学出版社，2000．
[2] 陈怀堔，吴大正，高西全．及在电子信息课程中的应用[M] ．电子工业出版社，2006．
[3] 求是科技．7.0 从入门到精通[M] ．人民邮电出版社，2006．
[4] 高西全，丁玉美．数字信号处理（第三版）学习指导[M] ．西安：西安电子科技大学出版社，2001．。