1归纳与类比讲解
《归纳、类比、演绎推理》课件
构建数学：
类比推理的定义:
类比推理：根据两个（或两类）对象之间在
某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方 面也相似或相同,像这样的推理通常称为类比 推理.(简称：类比)
简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．
类比推理的特点:
1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正 在研究的事物的属性,是以旧有的认识为基础,类比 出新的结果. 2.类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特 殊属性.即类比推理是由特殊到特殊的推理． 3.类比的结果是猜测性的不一定可靠,但它却有发 现的功能.
⑵ 提出带有规律性的结论，即猜想； ⑶ 检验猜想。
7、归纳推理的几个特点:
1.归纳推理是依据特殊现象推断一般现象,因而,由 归纳推理所得的结论超越了前提所包容的范围. 2.归纳推理是依据若干已知的、没有穷尽的现象推 断尚属未知的现象,因而结论具有猜测性.结论是否 真实，还需经过逻辑证明和实践证明，因此它不能 作为数学证明工具。 3.归纳推理的前提是特殊的情况,因而归纳推理是 立足于观察、经验和实验的基础之上.归纳推理是 一种具有创造性的推理，通过归纳得到的猜想可作 为进一步研究得起点，帮助人们发现问题和提出问 题。
情景创设1： 从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班 （后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次 去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这 桩倒霉事却使他发明了锯子. 他的思路是这样的： 茅草是齿形的； 茅草能割破手. 我需要一种能割断木头的工具； 它也可以是齿形的. 这个推理过程是归纳推理吗？
情景创设2：
数学巩固：
1. 观察下列等式，并从中归纳出一般的结论：
(1)
1 1 , 2 2
1 1 2 , 2 6 3
1 1 1 3 , 2 6 12 4
归纳推理、类比推理
归纳推理、类比推理第三周归纳推理、类比推理一、归纳推理(一)归纳推理：以个别或特殊性知识为前提，推出一般性结论的推理。
它包括完全归纳和不完全归纳，两者的区别在于前者考察了一类中的每一个对象，而后者只考察了一类中的部分对象。
其逻辑结构：S1是(不是)P S1是(或不是)PS2是(不是)P S2是(或不是)PS3是(不是)P S3是(或不是)P…………Sn是(不是)P Sn是(或不是)PS1、S2、S3……Sn是S类的全部对象S1、S2、S3……Sn是S类的部分对象所以，所有的S是(不是)P 所以，所有的S都是(或不是)P根据前提中是否考察了事物对象与其属性之间的内在联系，不完全归纳推理分为简单枚举法和科学归纳法。
1.简单枚举归纳推理又叫做简单枚举法，它是根据一类事物对象中部分对象具有(或不具有)某种属性，推出该类对象全体都具有(或不具有)这种属性的推理。
其逻辑形式是：S1是(不是)PS2是(不是)PS3是(不是)P……Sn是(不是)P(S1、S2、S3……Sn是S类的部分对象，并且没有出现反例)———————————————————————————所以，所有的S是(不是)P2.科学归纳法科学归纳推理又叫做科学归纳法，它是根据一类对象中的部分对象与其属性之间的联系具有必然性，推出该类对象的全部都具有这种属性的推理逻辑结构式S1是PS2是PS3是P……Sn是P(S1、S2、S3……Sn是S类的部分对象，并且S与p之间有必然联系)——————————————————所以，所有的S是P(二)因果联系：事物之间引起和被引起的关系。
因果联系的特征有：不能颠倒的先因后果、一个原因可以引起多个结果、一个结果也可以由不同原因引起。
求因果方法：五种基本方法。
1.求同法，即寻求被研究的事物现象出现在若干不同场合，是否具有某种共同原因的方法，其特点是异中求同。
形式结构：场合先行情况被研究现象(1) A、B、C a(2) A、D、E a(3) A、F、G a………………………————————————————所以，A与a有因果联系。
归纳推理和类比推理
第三，就结论与其前提旳联络情况而论， 归纳推理（完全归纳推理除外）旳结论与其前 提间只具有或然性旳联络，而演绎推理有效式 旳前提与结论间具有蕴涵关系即必然性旳联络。
其形式可用公式表达为： S1是P， S2是P， ……， Sn是P； S1，S2，……，Sn是S类旳部分对象； 而且，没有遇到反例。 所以，全部S都是P。
2.简朴枚举法旳特征
简朴枚举法旳结论所断定旳范围超出 了前提所断定旳范围，前提与结论之间 旳联络是或然旳，而且，其结论旳推出 依赖于没有遇到反例，没有遇到反例并 不等于反例不存在，一旦发觉反例，结 论立即被推翻，所以，它具有猜测旳性 质。
6.2完全归纳推理
6.2.1什么是完全归纳推理 完全归纳推理是根据某类事物中每一对象都具
有某种属性，推出该类事物对象都具有某种属性旳推 理。
例如： 北京市旳人口总数超出900万， 天津市旳人口总数超出900万 ， 上海市旳人口总数超出900万， 重庆市旳人口总数超出900万； 北京、天津、上海、重庆是中国旳四个直辖市。 所以， 中国全部旳直辖市旳人口总数都超出了900 万。
了，有旳是必然旳、本质旳，有旳是偶尔旳、非本质
旳，两类事物之间有某些相同旳属性，并不必然表白
其他属性也会相同。类比推理仅仅根据局部旳简朴比
较进行推理，并不详细分析属性之间旳联络旳性质，
不能精确掌握属性间旳关系，所以推理旳结论经常是
不一定可靠，是或然旳，就是说，它旳前提不必然地 制约着它旳结论。
6.4.3怎样提升类比推理结论旳ห้องสมุดไป่ตู้靠性
归纳法和类比法
12
12 12 15
6
8 7 7 6
V+F-E=2
——笛卡儿-欧拉多面体定理
7 10
8
12
一、 归纳法的概念
归纳法，是指通过特别分析引出普遍的结论 的推理方法。和类比一样，它在数学发现中也具 有十分重要的作用。 在科学认识活动中，归纳法可以理解为用来 概括由观察和实验获得的事实，确立科学认识基 础的客观性，从而探索事物的规律性。即归纳常 常建立在有目的、有计划的观察和实验基础上。 归纳法也是一种或然性推理，其猜想或论断 尽管是符合情理的，但不一定是正确的，还需要 有严格的证明。
引例2：观察如下几个等式： 10=3+7，20=13+7，30=13+17
再如： 6=3+3， 8=3+5，10=3+7=5+5， 12=5+7，14=3+11=7+7
能否有论断：“任何一个大于4的偶数都 是两个奇质数之和”。 ——哥德巴赫猜想 1966年，数学家陈景润证明了“每一个充分 大的偶数都能够表示为一个质数及一个不超过二 个质数的乘积之和”。
二、 归纳法的类型
归纳法又分为完全归纳法和不完全归纳法两种。 所谓完全归纳法，是根据某类事物中每一个 对象的情况或每一个子类的情况，而作出关于该 类事物的一般性结论的推理。如果它的前提是真 的，那么它的结论也一定是真的。 所谓不完全归纳法，是根据对某类事物中的 一部分对象的情况，而作出关于该类事物的一般 性结论的推理。
S梯
h( a b ) H ( S1 S 0 S 2 ) , V四 棱 台 2 3
在小学数学解题中,类比也有着相当广泛的应用, 具体过程正如波利亚所说的那样“选择一个类似的、 较容易的问题去解决它，以便它可以作为一个模式。 然后利用这个刚刚建立起来的模式，以达到原来问 题的解决。” 例5 6 计 算 1 1 1 1 1 3 7 7 11 11 15 15 19 19 23
2024届高考一轮复习政治教案(部编版浙江专用)：学会归纳与类比推理
课时5学会归纳与类比推理核心考点一归纳推理1．归纳推理的含义和种类(1)含义：以个别性或特殊性知识为前提，推出一般性的结论。
(2)种类：归纳推理可以分为完全归纳推理和不完全归纳推理。
完全归纳推理不完全归纳推理区别前提某类认识对象中的每个对象某类认识对象中的部分对象结论范围未超出前提的范围超出了前提的范围结论与前提的联系必然的或然的联系二者都是由特殊到一般的推理，前提的一般性程度较小，结论的一般性程度较大提醒①只根据一两件事实材料就简单地得出一般性结论，认为结论一定可靠，犯了“轻率概括”的逻辑错误。
②简单枚举归纳推理和科学归纳推理都是不完全归纳推理，后者结论比前者结论的可靠性要高。
2．归纳推理的方法(1)要保证完全归纳推理的结论真实可靠，必须具备两个条件：第一，断定个别对象情况的每个前提都是真实的；第二，所涉及的认识对象，一个都不能遗漏。
(2)提高不完全归纳推理结论的可靠程度，需要在认识对象与有关现象之间寻找因果联系。
因果联系是事物或现象之间引起与被引起的关系。
因果联系是事物本身所固有的、不以人的意志为转移的联系。
(3)人们常用的探求因果联系的方法有求同法、求异法、共变法等。
求同法如果被考察的现象a出现在多个场合中，而在这些场合中只有一个有关因素A是共同的，那么，这个共同因素A与被考察的现象a有因果联系求异法如果被考察的现象a在第一场合出现，在第二场合不出现，而在这两个场合之间只有一点不同，即第一场合有某一因素A，第二场合没有这个因素A，其他有关因素都是相同的，那么，这个因素A与被考察的现象a有因果联系共变法如果被考察的现象a在发生某种程度变化的各个场合中，只有一个因素A 有量的变化，而其他因素都不变，那么，这唯一发生变化的因素A与被考察的现象a有因果联系求同求异并用法如果在某一现象出现的几个场合中，只有一个共同的情况，在这一现象不出现的另外几个场合中都没有这个情况，那么，这种情况可能就是这个现象出现的原因剩余法考察某一复杂现象产生的原因，如果已知它的原因在某个特定范围内，又知道这个原因只是部分原因，那么，其他原因可能就是这一复杂现象产生的剩余原因1．以一般性知识为前提，推出个别性和特殊性的结论，这种推理形式叫作归纳推理。
归纳推理与类比推理异同点比较
归纳推理与类比推理异同点比较合情推理是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式．在解决问题的过程中，合情推理具有猜侧和发表结论，探索和提供思路的作用．有利于创新意识的培养．在能力高考的要求下，推理方法就显得更加重要．在复习中要把推理方法形成自己的解决问题的意识，使得问题的解决有章有法，得心应手．合情推理包括归纳推理和类比推理一归纳推理和类比推理的联系:归纳推理与类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理．由这两种推理得到的结论都不一定正确,其正确性有待进一步证明二归纳推理和类比推理的区别:一归纳推理1归纳推理定义:由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）．简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．说明：归纳推理的思维过程大致如下：2归纳推理的特点:（1归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围．2由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验．因此，它不能作为数学证明的工具．3归纳推理是一种具有创造性的推理．通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题．归纳推理是从个别事实中概括出一般原理的一种推理模型，归纳推理包括不完全归纳法和完全归纳法3归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同本质；②从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题．说明：归纳推理基于观察和实验，像“瑞雪兆丰年”等农谚一样，是人们根据长期的实践经验进行归纳的结果．物理学中的波义耳—马略特定律、化学中的门捷列夫元素周期表、天文学中开普勒行星运动定律等，也都是在实验和观察的基础上，通过归纳发现的．二类比推理（以下简称类比）1类比推理定义:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．2类比推理的一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．3说明：类比推理的思维过程大致如下图所示：类比推理是在两类不同的事物之间进行对比，找出若干相同或相似点之后，推测在其他方面也可以存在相同或相似之处的一种推理模式．类比推理不象归纳推理那样局限于同类事物,同时,类比推理比归纳推理更富于想像,因而也就更具有创造性人类在科学研究中建立的不少假说和教学中许多重要的定理，公式都是通过类比提出来的,工程技术中许多创造和发明也是在类比推理的启迪下而获得的．因此，类比推理已成为人类发现发明的重要工具例1如图，①，②，③，…是由花盆摆成的图案，根据图中花盆摆放的规律，第n个图形中的花盆数a n=．【答案】a n=3n2-3n1【解析】仔细观察发现:图案①的花盆数为:1个,a1=1;图案②的花盆中间数为3,上下两行都是2个,a2=232;图案③的花盆中间数为5,上面两行由下到上分别递减1个,而且关于中间行上下对称,a3=34543;……;可以猜想:第n个图形中的花盆中间数为2n-1,上面每行由下到上分别递减1个,最上面有n个,而且关于中间行上下对称,因此a n=nn1…2n-1…n1n=3n2-3n1【评析】上例是利用归纳推理解决问题的归纳推理分为完全归纳和不完全归纳，由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的，但它由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，对科学的发现是十分有用的．观察、实验，对有限的资料作归纳整理，提出带有规律性的说法，乃是科学研究的最基本的方法之一例2如图，过四面体V-ABC的底面上任一点O分别作OA1∥VA，OB1∥VB，OC1∥VC，A1，B1，C1分别是所作直线与侧面交点．求证：为定值．分析考虑平面上的类似命题：“过△ABC（底）边AB上任一点O分别作OA1∥AC，OB1∥BC，分别交BC、AC于A1、B1，求证为定值”．这一命题利用相似三角形性质很容易推出其为定值1．另外，过A、O分别作BC垂线，过B、O分别作AC垂线，则用面积法也不难证明定值为1．于是类比到空间围形，也可用两种方法证明其定值为1．证明：如图，设平面OA1VA∩BC＝M，平面OB1VB∩AC＝N，平面OC1VC∩AB=L，则有△MOA1∽△MAV，△NOB1∽△NBV，△LOC1∽△LCV．得=。
高中数学第三章推理与证明3.1归纳与类比三角度帮你解决演绎推理素材北师大版选修1(1)
三角度帮你解决演绎推理角度一、知识梳理演绎推理的定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．１．演绎推理是由一般到特殊的推理；２．“三段论”是演绎推理的一般模式；包括⑴大前提---已知的一般原理；⑵小前提---所研究的特殊情况；⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断．三段论的基本格式M —P （M 是P ） （大前提）S —M （S 是M ） （小前提）S —P （S 是P ） （结论）3.三段论推理的依据,用集合的观点来理解:若集合M 的所有元素都具有性质P,S 是M 的一个子集,那么S 中所有元素也都具有性质P.角度二、在实践中体会与解决问题例1.把“函数21y x x =++的图象是一条抛物线”恢复成完全三段论.解：二次函数的图象是一条抛物线 （大前提）函数12++=x x y 是二次函数 （小前提）所以函数12++=x x y 的图象是一条抛物线 （结论）例2.已知lg2=m,计算lg0.8.解：（1）lgan=nlga(a>0)---------大前提lg8=lg23————小前提lg8=3lg2————结论lg(a/b)=lga-lgb(a>0,b>0)——大前提lg0.8=lg(8/10) ——小前提lg0.8=lg(8/10)——结论例3.如图;在锐角三角形ABC 中,AD⊥BC, BE⊥AC,D,E 是垂足,求证AB 的中点M 到D,E 的距离相等.解： (1)因为有一个内角是只直角的三角形是直角三角形, ——大前提在△ABC 中,AD⊥BC,即∠ADB=90° —-小前提所以△ABD 是直角三角形 ——结论(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,——大前提因为 DM 是直角三角形斜边上的中线, ——小前提 所以 DM=21AB ——结论 同理 EM=21AB 所以 DM=EM. 由此可见，应用三段论解决问题时，首先应该明确什么是大前提和小前提．但为了叙 述简洁，如果大前提是显然的，则可以省略．再来看一个例子．例4.证明函数2()2f x x x =-+在(,1)-∞内是增函数．分析：证明本例所依据的大前提是：在某个区间（a, b ）内，如果'()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增．小前提是:2()2f x x x =-+的导数在区间(,1)-∞内满足'()0f x >，这是证明本例的关键．证明：'()22f x x =-+.当(,1)x ∈-∞时，有10x ->，所以'()222(1)0f x x x =-+=->.于是根据“三段论”得2()2f x x x =-+在(,1)-∞内是增函数．在演绎推理中，只要前提和推理形式是正确的，结论必定是正确的．还有其他的证明方法吗？思考:因为指数函数x y a =是增函数，——大前提 而1()2xy =是指数函数， ——小前提所以1()2xy =是增函数． ——结论(1)上面的推理形式正确吗？(2)推理的结论正确吗？为什么？上述推理的形式正确，但大前提是错误的（因为当01a <<时，指数函数x y a =是减函数），所以所得的结论是错误的．“三段论”是由古希腊的亚里士多德创立的．亚里士多德还提出了用演绎推理来建立各门学科体系的思想．例如，欧几里得的《原本》．就是一个典型的演绎系统，它从10条公理和公设出发，利用演绎推理，推出所有其他命题．像这种尽可能少地选取原始概念和一组不加证明的原始命题（公理、公设），以此为出发点，应用演绎推理，推出尽可能多的结论的方法，称为公理化方法．继《原本》之后，公理化方法广泛应用于自然科学、社会科学领域．例如，牛顿在他的巨著《自然哲学的数学原理》中，以牛顿三定律为公理，运用演绎推理推出关于天体空间的一系列科学理论，建立了牛顿力学的一整套完整的理论体系．至此，我们学习了两种推理方式一一合情推理与演绎推理．角度三．答疑解惑：1．合情推理与演绎推理的主要区别是什么？归纳和类比是常用的合情推理从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到一般的推理,类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理．从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．人们在认识世界的过程中，需要通过观察、将积累的知识加工、整理，使之条理化、实验等获取经验；也需要辨别它们的真系统化．合情推理和演绎推理分别在这两个环节中扮演着重要角色.就数学而言，演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程，但数学结明思路等的发现，主要靠合情推理．因此，我们不仅要学会证明，也要学会猜想．2．演绎推理常见错误产生的主要原因是：(1)．大前提不成立；(2)．小前提不符合大前提的条件。
北师版数学高二选修1-2课件 归纳与类比
an＝a1qn－1
性质 若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq 若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq
跟踪训练3 若数列{an}(n∈N＋)是等差数列，则有数列bn＝a1＋a2＋n …＋an (n∈N＋)也是等差数列；类比上述性质，相应地：若数列{cn}是等比数列， 且cn>0，则有数列dn＝_n_c_1_c_2c_3_…_c_n_(n∈N＋)也是等比数列.
解答
(1)类比推理的一般步骤
反思与感悟
(2)中学阶段常见的类比知识点：等差数列与等比数列，空间与平面，圆与 球等等，比如平面几何的相关结论类比到立体几何的相关类比点如下：
平面图形 点
直线 边长 面积 三角形 线线角
空间图形 直线 平面 面积 体积 四面体 面面角
跟踪训练4 如图，在长方形ABCD中，对角线AC与两邻边所成的角分别 为α，β，cos2α＋cos2β＝1，则在立体几何中，给出类比猜想并证明.
答案
梳理
(1)定义：由两类不同对象具有某些 类似 的特征在此基础上，根据一类对 象的其他特征，推断 另一类对象 也具有类似的其他特征的推理称为类比 推理(简称类化). (2)特征：由特殊 到 特殊 的推理.
知识点三 合情推理
思考1
归纳推理与类比推理有何区别与联系？ 答案 区别：归纳推理是由特殊到一般的推理，而类比推理是 由特殊到特殊的推理. 联系：在前提为真时，归纳推理与类比推理的结论都可真可假.
C.n2
D.n
解析 答案
反思与感悟
图形中归纳推理的特点及思路 (1)从图形的数量变化规律入手，找到数值变化与数量的关系. (2)从图形结构变化规律入手，找到图形的结构每发生一次变化后，与上 一次比较，数值发生了怎样的变化.
归纳推理和类比推理
练习1
电视纪录片不只是表现了那些来自遥远的东非的人们对保护野 生动物的虔诚，而且还向我们展示了在一个缺少食品的国 度，大象是一种有害的动物，而且是一种聪明的有害动物。 目前好像还没有办法保护非洲东部的农田免受晚上出来寻 找事物的狼吞虎咽的象群的破坏。显然，这个例子表明： 以下哪项最合逻辑地完成上文的论述？ A．保护野生动物可能会危害人类的安康。 B． 现在应将大象从濒临灭绝的动物名单中除去。 C．电视纪录片除了重复那些被接受的虔诚外不应再纪录 别的事。 D．农民和农业官员在采取任何控制象群的措施前应当与 野生动物保护者密切合作。
II.近三年来，湖州地区日均 耗电量逐年明显增加。
III.今年湖州地区任一用电超 标单位的日均耗电量都高于 全地区的日均耗电量。
A.只有I C.只有III
B.只有II D.只有II和III
练习7
某社会机构公布了一项长期社 会调查的结果，调查显示：在 婚后的１３年里，妇女们平均 增长了１３公斤，男人们平均 增长了２０公斤。这一机构得 出结论：婚姻能使人变胖。
师大附中与学生家长订了协议，如果孩子的 学习成绩的名次没有排在前二十名，双方共 同禁止学生玩滚轴溜冰。
玩滚轴溜冰的同学受到了学校有效的指导， 其中一部分同学才不至于因此荒废学业。
练习4
在一项实验中,实验对象的一半作为实验组,食用 了大量的味精。而作为对照组的另一半没有吃这 种味精。结果,实验组的认知能力比对照组差得多。 这一不利的结果是由于这种味精的一种重要成 分——谷氨酸造成的。
以下哪项如果为真,则最有助于证明味精中某 些成分造成认知能力低下这一结论?( )
大多数味精消费者不像试验中的人那样使用 大量的味精
上述结论中提到的谷氨酸在所有蛋白质中都 有,为了保证营养必须摄入一定量
逻辑学-推理归纳推理
剩余法旳特点是“从余果求余因” ，其结论 也是或然旳，它合用于观察、试验和日常生活中， 也是科学探索和司法工作必不可少旳措施及手段。
第 制作人：李卫五章 大炮 归纳与类比推理
利用剩余法时应注意旳问题
第一、必须明确被研究旳某复合现象是由某复合 原因引起旳，而且确知其中部分现象是对 应旳部分原因引起旳，而已知旳部分原因 与剩余部分旳现象无因果联络。不然，结 论就不可靠。
第二、注意观察剩余现象与剩余原因是单一旳， 还是复合旳，假如是复合旳，还必须进一 步探索，不能轻率地得出结论。
第 制作人：李卫五章 大炮 归纳与类比推理
提与结论之间存在着必然旳联络，所以我们能够 经过对前提中旳每一对象进行考察并拟定，从而 到达对一般性结论确实定和证明。
第 制作人：李卫五章 大炮 归纳与类比推理
完全归纳推理也有不足
因为它要考察全部旳对象。当对象数 量有限时，利用完全归纳推理有它旳优越 性，可是，当人们所要认识旳事物对象数 量极大，甚或无限时，就极难甚至根本无 法使用完全归纳推理。假如出现这种情况， 就要使用不完全归纳推理。
a
．．．
所以，A是a旳原因。
这种措施旳特点就是异中求同，即经过排除
事物现象间不同旳原因，寻找共同旳原因来拟定
被研究现象旳原因。
第 制作人：李卫五章 大炮 归纳与类比推理
二、求异法
求异法，也称差别法，其基本内容是：假如
某一被研究现象在第一种场合出现，在第二个场
合不出现，而这两个场合中旳其他情况完全相同，
在对五种措施旳简介中，我们已经了解 了它们不同旳主要作用。但是，在认识过程 中，这几种措施并不是孤立地进行旳，经常 是联合利用旳。尤其是求同法、求异法和共 变法应用旳较多。
逻辑学 第四章 归纳推理与类比推理
一、概述
因果联系，是事物现象之间的一种引起与被引起 的关系。如果某个现象的存在必然引起另一个现象 的发生，那么这两个现象之间就具有因果联系。其 中，引起某一现象发生的现象，叫原因，而被某一 现象引起的现象叫结果。 当然，所谓“原因”、“结果”，也是相对而言 的。例如，某金属块被磨擦后，发热了，进而体积 膨胀了。我们设“某金属块被磨擦”为现象甲、 “该金属块发热”为现象乙、“该金属块体积膨胀” 为现象丙，那么现象甲、现象乙和现象丙三者之间 的因果关系，可用下图表示（“→”表示“引 起”）：（见下页）
血都红色的”，
“天下乌鸦一般黑”， “哺乳动物都是胎生的”
（二）简单枚举归纳推理的特点和要求
简单枚举归纳推理的前提考察的只是一类事 物的部分对象，断定的是该类中的部分对象具有 （或不具有）某种属性，结论断定的是整个该类 事物具有（或不具有）该种属性。也就是说，结 论所断定的知识范围超出前提所断定的知识范围。 因此，前提与结论之间的联系是或然性的，即， 前提真实，形式有效，但结论未必真实。简单枚 举归纳推理是一种或然性推理。 简单枚举归纳推理的要求有二：一是前提中 所有的判断必须都是真实的；二是前提中每一判 断的主项与结论的主项之间必须都是种属关系。
二、完全归纳推理的特点和要求
完全归纳推理的前提无一遗漏地考察了一类事物 的全部对象，断定了该类中每一对象都具有（或不 具有）某种属性，结论断定的是整个这类事物具有 （或不具有）该属性。也就是说，前提所断定的知 识范围和结论所断定的知识范围完全相同。因此， 前提与结论之间的联系是必然性的，只要前提真实， 形式有效，结论必然真实。完全归纳推理是一种前 提蕴涵结论的必然性推理。 完全归纳推理的要求有三：一是前提所断必须穷 尽一类事物的全部对象；二是前提中的所有判断都 是真实的；三是前提中每一判断的主项与结论的主 项之间必须都是种属关系。
逻辑学：第九章 归纳与类比
根据归纳推理的前提是否考察了某类的全部对象，可 分为完全归纳推理和不完全归纳推理。
完全归纳推理，是根据某类事物的每一个个别对象具 有（或不具有）某种属性，推出该类事物全部对象具 有（或不具有）某种属性的一般性结论的必然性推理。
完全归纳推理形式是：
S1是（或不是）P， S2是（或不是）P， …… Sn是（或不是）P， S1、S2…Sn是S的全部个体对象， ———————————————— 所以，所有S都是（或不是）P。
虽然简单枚举归纳法的结论是或然的，但是在人们日 常生活实践中却得到了相当普遍的应用。如，人们根 据长期的生活经验，得出“青蛙路上跑，地震快来了” 等，都是运用简单枚举归纳法概括出的结论。
另外，简单枚举归纳法有助于人们发现新知识。科学 研究中的很多猜想、假定和结论都是在取得一定数量 的个别经验后运用简单枚举归纳法获得的。
—————————————————— 所以，所有S都是（或不是）P。
【例】著名的哥德巴赫猜想
6=3+3， 8=3+5， 10=3+7， 12=5+7， 14=3+11， 16=3+13， 6、8、10、12、14都是大于4的偶数，并且没有遇到相反 情况，
———————————————————————— 所以，所有大于4的偶数都可以写成两个素数之和。
第一节 归纳推理 第二节 穆勒五法 第三节 类比推理
研究现象间的因果联系，是进行科学归纳推理的必要 条件。科学归纳推理是根据现象间因果联系的分析作 出结论的。古典归纳逻辑有五种探求因果联系的逻辑 方法，简称求因果五法。这些方法是穆勒在总结培根 等人的归纳方法的基础上提出来的，史称“穆勒五 法”。
—————————————————————— 所以，所有S都是（或不是） P。
合情推理-归纳推理与类比推理
分析：面积法 由12r(a+b+c)=S 2S r=a+b+c
.
P
S1 Ｃ S2
C
A
Ａ
S3
Ｂ
△PAB的面积为S
S1 S2 S3 S
几何中常见的类比对象
平面图形（二维） 点
立体图形（三维） 点或线
线
线或面
平面直角坐标系
空间直角坐标系
几何中常见的类比对象
圆
球
三角形
四面体（各面均为三角形）
四边形
六面体（各面均为四边形）
代数中常见的类比对象
复数 向量
方程 函数 不等式
类比推理 注意
以旧的知识为基础,推测新的 结果，具有发现的功能，启 发思路、提供线索、举一反 三、触类旁通的作用。
类比推理的结论不一定成立
• 1．下面几种推理是类比推理的是( ) • A．因为三角形的内角和是180°×(3－2)，四边形的内角和
是180°×(4－2)，…，所以n边形的内角和是180°×(n－2) • B．由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质 • C．某校高二年级有20个班，1班有51位团员，2班有53位团员
ac
)2
ac (
a2 c2
b2]
a2 c2
1 (a2 4
c
2
)
(
a a2
2c
2
c
2
b2)
1 a2c2 4
1 a2b2 4
1 4
b2c
2
s12
s22
s32
s 2 s12 s22 s32
变式练习：在三角形ABC中有结论：
AB+BC>AC，类似地在四面体P-ABC中
归纳推理及类比推理
三、求同求异并用法（契合差异并用 求同求异并用法（ 法）
1、含义：如果被研究现象出现的若干场合（正事例组）中， 、含义：如果被研究现象出现的若干场合（正事例组） 只有一个共同的情况，而在被研究现象不出现的若干场合 只有一个共同的情况， 负事例组） 却没有这个情况， （负事例组）中，却没有这个情况，那么这个情况就与被研 究现象之间有因果联系。 究现象之间有因果联系。 2、用公式表示为： 、用公式表示为： 场合 相关情况 被研究现象 a （1） A，B，C，F ） ， ， ， a （2） A，D，E，Q ） ， ， ， a （3） A，F，Q，C ） ， ， ， …… …… …… （11） ﹁ A，B，C，F ﹁ a ） ， ， ， （22） ﹁ A，D，E，Q ﹁ a ） ， ， ， （33） ﹁ A，F，Q，D ﹁ a ） ， ， ， 所以， 与 所以，A与a 之间有因果关系
假说
一、假说的特征 1、含义：就是人们根据已有的事实材料和科学 、含义： 原理， 原理，对未知的事物或规律性所提出的一个假 定性的、系列的解释。 定性的、系列的解释。 2、特征 、 1）假说是以事实材料和科学原理为依据的，不 ）假说是以事实材料和科学原理为依据的， 同于神话，不同于妄说。 同于神话，不同于妄说。 2）假说有推测的性质，还不是可靠的认识，需 ）假说有推测的性质，还不是可靠的认识， 要实践的检验。 要实践的检验。 3）假说是人的认识接近客观真理的方式。 ）假说是人的认识接近客观真理的方式。
二、如何提高类比推理结论的可靠性 1、如果前提所提供的类比对象越多（相似）的属 、如果前提所提供的类比对象越多（相似） 那么，结论的可靠性就越高。 性，那么，结论的可靠性就越高。 2、前提中所提供的相同属性与推移属性之间的联 、 系越密切，则结论的可靠程度就越高。 系越密切，则结论的可靠程度就越高。 三、类比推理的作用 1、类比推理可以启发人的思路，在创造性思维中， 、类比推理可以启发人的思路，在创造性思维中， 常常用到类比推理。 常常用到类比推理。 2、科学史上许多科学事实的发现和科学假说的提 、 都是借助于类比推理。 出，都是借助于类比推理。
第一章 §1 归纳与类比
§1归纳与类比学习目标 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理.2.了解合情推理在数学发现中的作用．知识点一归纳推理根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性的推理方法，称为归纳推理(简称归纳)．简言之，归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理．知识点二类比推理由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理(简称类比)．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．知识点三合情推理1．合情推理的含义：合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式．2．合情推理的过程从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想1．类比推理得到的结论可作为定理应用．(×)2．由个别到一般的推理为归纳推理．(√)3．在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．(×) 4．归纳推理是根据部分已知的特殊现象推断未知的一般现象．(√)一、归纳推理命题角度1等式、不等式中的归纳推理例1 (1)观察下列等式： 1＋1＝2×1，(2＋1)(2＋2)＝22×1×3，(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5， …照此规律，第n 个等式为_________________________________． 答案 (n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)解析 观察规律可知，左边为n 项的积，最小项和最大项依次为(n ＋1)，(n ＋n )，右边为连续奇数之积乘以2n ，则第n 个等式为(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)． (2)观察下列不等式：12×1≥1×12，13×⎝⎛⎭⎫1＋13≥12⎝⎛⎭⎫12＋14， 14×⎝⎛⎭⎫1＋13＋15≥13⎝⎛⎭⎫12＋14＋16， 15×⎝⎛⎭⎫1＋13＋15＋17≥14⎝⎛⎭⎫12＋14＋16＋18，试写出第n 个不等式． 解 第1个不等式为12×1≥1×12，即11＋1×1≥1×12×1；第2个不等式为13×⎝⎛⎭⎫1＋13≥12⎝⎛⎭⎫12＋14， 即12＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12×2－1≥12⎝⎛⎭⎫12×1＋12×2； 第3个不等式为14×⎝⎛⎭⎫1＋13＋15≥13⎝⎛⎭⎫12＋14＋16， 即13＋1×⎝⎛⎭⎪⎫1＋12×2－1＋12×3－1≥13⎝⎛⎭⎫12×1＋12×2＋12×3； 第4个不等式为15×⎝⎛⎭⎫1＋13＋15＋17≥ 14⎝⎛⎭⎫12＋14＋16＋18； 即14＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12×2－1＋12×3－1＋12×4－1≥14⎝⎛⎭⎫12×1＋12×2＋12×3＋12×4； 归纳可得第n 个不等式为1n ＋1×⎝⎛⎭⎪⎫1＋13＋15＋…＋12n －1≥1n ⎝⎛⎭⎫12＋14＋16＋…＋12n (n ∈N ＋)． 命题角度2 图形中的归纳推理例2 有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是________．答案 31解析 有菱形纹的正六边形的个数如下表：图案 1 2 3 … 个数61116…由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31. 命题角度3 数列中的归纳推理例3 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2，na n ＋1＝S n ＋n (n ＋1)．试归纳猜想数列{a n }的通项公式．解 由于a 1＝2，且na n ＋1＝S n ＋n (n ＋1)． 令n ＝1，得a 2＝S 1＋1×2＝a 1＋2＝2＋2＝4，令n ＝2，得2a 3＝S 2＋2×3＝a 1＋a 2＋6＝2＋4＋6＝12，于是a 3＝6，令n ＝3，得3a 4＝S 3＋3×4＝a 1＋a 2＋a 3＋12＝2＋4＋6＋12＝24，于是a 4＝8， 由此可以归纳得到数列{a n }的通项公式为a n ＝2n (n ∈N ＋)． 反思感悟 归纳推理的一般策略(1)寻找关系：从已知的个别情形中寻找变化关系．(2)探究规律：从个别情形中探究一般规律，关键是条件发生变化时结论发生了怎样的变化． (3)归纳结论：根据探究所得规律，归纳一般性结论．跟踪训练1 (1)1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，…，照此规律，第五个不等式为____________________________． 答案 1＋122＋132＋142＋152＋162<116解析 观察不等式的左边发现，第n 个不等式的左边＝1＋122＋132＋…＋1(n ＋1)2，右边＝2(n ＋1)－1n ＋1，所以第五个不等式为1＋122＋132＋142＋152＋162<116.(2)用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为________． 答案 6n ＋2解析 归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一个以首项为8，公差是6的等差数列，所以第n 个“金鱼”图需要的火柴棒的根数为a n ＝8＋(n －1)×6＝6n ＋2.二、类比推理例4 (1)若数列{a n }(n ∈N ＋)是等差数列，则有数列b n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn(n ∈N ＋)也是等差数列；类比上述性质，相应地：若数列{c n }是等比数列，且c n >0，则有数列d n ＝________(n ∈N ＋)也是等比数列． 答案nc 1c 2c 3…c n解析 数列{a n }(n ∈N ＋)是等差数列，则有数列b n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn (n ∈N ＋)也是等差数列．类比猜想：若数列{c n }是各项均为正数的等比数列，则当d n ＝nc 1c 2c 3…c n (n ∈N ＋)时，数列{d n }也是等比数列．(2)设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c；类比这个结论可知：四面体P －ABC 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球的半径为r ，四面体P －ABC 的体积为V ，则r 等于( ) A.VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 B.2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 C.3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 D.4VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 答案 C解析 将△ABC 的三条边长a ，b ，c 类比到四面体P －ABC 的四个面面积S 1，S 2，S 3，S 4，将三角形面积公式中的系数12，类比到三棱锥体积公式中的系数13，从而可知选C.证明如下：以四面体各面为底，内切球心O 为顶点的各三棱锥体积的和为V ， 所以V ＝13S 1r ＋13S 2r ＋13S 3r ＋13S 4r ，故r ＝3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4.反思感悟 进行类比推理时，要注意比较两个对象的相同点和不同点，找到可以进行类比的两个量，然后加以推测，得到类比结果，最好能够结合相关的知识进行证明，以确保类比结果的合理性．跟踪训练2 在等差数列{a n }中，如果m ，n ，p ，r ∈N ＋，且m ＋n ＋p ＝3r ，那么必有a m ＋a n ＋a p ＝3a r ，类比该结论，写出在等比数列{b n }中类似的结论，并用数列知识加以证明． 解 类似结论如下：在等比数列{b n }中，如果m ，n ，p ，r ∈N ＋，且m ＋n ＋p ＝3r ，那么必有b m b n b p ＝b 3r .证明如下：设等比数列{b n }的公比为q ，则b m ＝b 1q m －1，b n ＝b 1q n －1，b p ＝b 1q p －1，b r ＝b 1q r －1，于是b m b n b p ＝b 1q m －1·b 1q n －1·b 1q p －1＝b 31q m ＋n ＋p －3＝b 31q 3r －3＝(b 1q r －1)3＝b 3r，故结论成立．1．数列2,5,11,20，x ,47，…中的x 等于( ) A ．28 B ．32 C ．33 D ．27 答案 B解析 由以上各数可得每两个数之间依次差3,6,9,12，…，故x ＝20＋12＝32.2．已知不等式1>12，1＋122>23，1＋122＋132>34，1＋122＋132＋142>45，由此可猜测：若1＋122＋132＋…＋1122>m ，则m 等于( ) A.1112 B.2425 C.1213 D.1314 答案 C解析 由已知不等式可猜测1＋122＋132＋…＋1122>1213，因此m ＝1213.3．已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式S ＝底×高2，可推知扇形面积公式S 扇等于( ) A.r 22 B.l 22C.lr 2 D ．不可类比答案 C解析 扇形的弧类比三角形的底边，扇形的半径类比三角形的高，则S 扇＝lr2.4．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间上，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________． 答案 1∶8解析 设两个正四面体的体积分别为V 1，V 2， 则V 1∶V 2＝13S 1h 1∶13S 2h 2＝S 1h 1∶S 2h 2＝1∶8.5．按照图1、图2、图3的规律，第10个图中圆点的个数为________．答案 40解析 图1中的点数为4＝1×4， 图2中的点数为8＝2×4， 图3中的点数为12＝3×4，…， 所以图10中的点数为10×4＝40.1．知识清单：(1)归纳推理的定义、特征． (2)类比推理的定义、特征． 2．方法归纳：归纳、类比．3．常见误区：误以为合情推理的结论都正确．1．下列说法正确的是( )A ．由合情推理得出的结论一定是正确的B ．合情推理必须有前提有结论C ．合情推理不能猜想D ．合情推理得出的结论不能判断正误 答案 B2．由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32,1＋3＋5＋7＝42，…，猜想得到1＋3＋…＋(2n －1)等于( )A ．nB ．2n －1C ．n 2D ．(n －1)2 答案 C3．下面使用类比推理，得出的结论正确的是( )A ．若“a ·3＝b ·3，则a ＝b ”类比出“若a ·0＝b ·0，则a ＝b ”B ．“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比出“(a ·b )c ＝ac ·bc ”C ．“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比出“a ＋b c ＝a c ＋b c (c ≠0)”D ．“(ab )n ＝a n b n ”类比出“(a ＋b )n ＝a n ＋b n ” 答案 C解析 显然A ，B ，D 不正确，只有C 正确．4.观察图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( )A.B.C. D.答案 A解析观察可发现规律：①每行、每列中，方、圆、三角三种形状均各出现一次，②每行、每列有两阴影一空白，即得结果．5.如图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子的颜色为()A．白色B．黑色C．白色可能性大D．黑色可能性大答案 A解析由题图知，三白二黑周而复始相继排列，根据36÷5＝7余1，可得第36颗与第1颗珠子的颜色相同，即白色．6．我们知道：周长一定的所有矩形中，正方形的面积最大；周长一定的所有矩形与圆中，圆的面积最大，将这些结论类比到空间，可以得到的结论是___________________________．答案表面积一定的所有长方体中，正方体的体积最大；表面积一定的所有长方体和球中，球的体积最大解析平面图形与立体图形的类比：周长→表面积，正方形→正方体，面积→体积，矩形→长方体，圆→球．7．观察下列等式：1＝1，2＋3＋4＝9，3＋4＋5＋6＋7＝25，4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49，…照此规律，第n个等式为_____________________________________．答案n＋(n＋1)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)28．如图所示，由火柴拼成的一列图形中，第n个图形由n个正方形组成，通过观察可以发现：第4个图形中，有________根火柴；第n个图形中，有________根火柴．答案133n＋19．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝3，满足S n＝6－2a n＋1(n∈N＋)．(1)求a 2，a 3，a 4的值； (2)猜想a n 的表达式．解 (1)因为a 1＝3，且S n ＝6－2a n ＋1(n ∈N ＋)， 所以S 1＝6－2a 2＝a 1＝3，解得a 2＝32，又S 2＝6－2a 3＝a 1＋a 2＝3＋32，解得a 3＝34，又S 3＝6－2a 4＝a 1＋a 2＋a 3＝3＋32＋34，解得a 4＝38.(2)由(1)知a 1＝3＝320，a 2＝32＝321，a 3＝34＝322，a 4＝38＝323，…，猜想a n ＝32n －1(n ∈N ＋)．10．在圆x 2＋y 2＝r 2中，若AB 为直径，C 为圆上异于A ，B 的任意一点，则有k AC ·k BC ＝－1，用类比的方法得出椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)中有什么样的结论？解 设A (x 0，y 0)为椭圆上的任意一点，则点A 关于中心对称的点B 的坐标为(－x 0，－y 0)， 点P (x ，y )为椭圆上异于A ，B 两点的任意一点， 则k AP ·k BP ＝y －y 0x －x 0·y ＋y 0x ＋x 0＝y 2－y 20x 2－x 20.因为A ，B ，P 三点都在椭圆上，所以⎩⎨⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，x 20a 2＋y20b 2＝1，两式相减有x 2－x 20a 2＋y 2－y 2b2＝0，故y 2－y 20x 2－x 20＝－b 2a 2，即k AP ·k BP ＝－b 2a2.故椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)中过中心的一条弦的两个端点A ，B ，P 为椭圆上异于A ，B 的任意一点，则有k AP ·k BP ＝－b 2a2.11．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于()1×9＋2＝1112×9＋3＝111123×9＋4＝1 1111 234×9＋5＝11 11112 345×9＋6＝111 111…A．1 111 110 B．1 111 111C．1 111 112 D．1 111 113答案 B解析由数塔猜测应是各位都是1的七位数，即1 111 111.12．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10等于() A．28 B．76 C．123 D．199答案 C解析利用归纳法：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝3＋1＝4，a4＋b4＝4＋3＝7，a5＋b5＝7＋4＝11，a6＋b6＝11＋7＝18，a7＋b7＝18＋11＝29，a8＋b8＝29＋18＝47，a9＋b9＝47＋29＝76，a10＋b10＝76＋47＝123，规律为从第三组开始，其结果为前两组结果的和．13．在等差数列{a n}中，若a n>0，公差d>0，则有a4·a6>a3·a7，类比上述性质，在等比数列{b n}中，若b n>0，公比q>1，则b4，b5，b7，b8的一个不等关系是()A．b4＋b8>b5＋b7B．b4＋b8<b5＋b7C．b4＋b7>b5＋b8D．b4＋b7<b5＋b8答案 A解析在等差数列{a n}中，因为当4＋6＝3＋7时有a4·a6>a3·a7，在等比数列{b n}中，由于4＋8＝5＋7，所以应有b4＋b8>b5＋b7.14．在三角形内，我们将三条边的中线的交点称为三角形的重心，且重心到任一顶点的距离是到对边中点距离的两倍，类比上述结论：在三棱锥中，我们将顶点与对面重心的连线段称为三棱锥的“中线”，将三棱锥四条中线的交点称为它的“重心”，则棱锥重心到顶点的距离是到对面重心距离的________倍．答案 3解析 如图，在四面体A －BCD 中，E 为CD 的中点，连接AE ，BE ，且M ，N 分别为△ACD ，△BCD 的重心，AN ，BM 交于点G .在△ABE 中，M ，N 分别为AE ，BE 的三等分点， 则EM AE ＝EN BE ＝13， 所以MN ∥AB ，AB ＝3MN ，所以AG ＝3GN ，故棱锥重心到顶点的距离是到对面重心距离的3倍．15．正整数按下表的规律排列，则上起第2 020行，左起第2 021列的数应为( )A ．2 017×2 018B ．2 018×2 019C ．2 019×2 020D ．2 020×2 021答案 D解析 由给出的排列规律可知，第一列的每个数为所在行数的平方，而第一行的数则满足列数减1的平方再加1，根据题意，左起第2 021列的第一个数为2 0202＋1，由连线规律可知，上起第2 020行，左起第2 021列的数应为2 0202＋2 020＝2 020×2 021.16．已知在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于点D ，有1AD 2＝1AB 2＋1AC2成立．那么在四面体A －BCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，说明猜想是否正确，并给出理由．解 类比AB ⊥AC ，AD ⊥BC ，可以猜想在四面体A －BCD 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD ， 则1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD2. 猜想正确．理由如下：如图所示，连接BE ，并延长交CD 于点F ，连接AF .∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，AC ∩AD ＝A ，∴AB ⊥平面ACD .而AF 平面ACD ，∴AB ⊥AF .在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ，∴1AE 2＝1AB 2＋1AF2. 在Rt △ACD 中，AF ⊥CD ，∴1AF 2＝1AC 2＋1AD2. ∴1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD 2，故猜想正确．。
归纳与类比课件
• 由类比推理知：体积比是棱长比的立方．
• 即可得它们的体积比为1∶8.
• 答案： 1∶8
• 【变式训练】 2.给出下列三个类比结论 ．
• ①(ab)n＝anbn与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n ＝an＋bn；
• ②loga(xy)＝logax＋logay与sin(α＋β)类比 ，则有sin(α＋β)＝sin αsin β；
• 2．类比推理的关键是找到合适的类比对象 ．平面几何中的一些定理、公式、结论等 ，可以类比到立体几何中，得到类似的结 论．
• (2009·江苏卷)在平面上，若两个正三角形 的边长的比为1∶2，则它们的面积比为 1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体 的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为 ________．
• 答案： C
• 2．下列说法正确的是( ) • A．合情推理就是归纳推理 • B．合情推理的结论不一定正确，有待证明 • C．演绎推理的结论一定正确，不需证明 • D．类比推理是从特殊到一般的推理 • 答案： B
• 3．下面几种推理是合情推理的是( ) • ①由圆的性质类比出球的有关性质； • ②由直角三角形、等腰三角形、等边三角
• 解析： 本题根据已知猜想n条直线的交点
个数，可将n取几个特殊值时的交点个数列
出来，根据规律去猜想.
n的取值
交点个数
2
1
3
3
4
6
5
10
由以上数据可看出如下规律： 3＝1＋2；6＝1＋2＋3；10＝1＋2＋3＋4. 故猜想 n 条直线的交点个数为 1＋2＋3＋…＋(n－1)＝nn－ 2 1.当 n ＝6 时，交点个数为6×2 5＝15.
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归纳推理的几个特点:
1.归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳得 出的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前 提所包容的范围。
2.归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否 真实，还需经过逻辑证明和实践检验。它不能作为 数学证明的工具。 3.归纳推理是一种具有创造性的推理。通过归纳推 理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助 人们发现问题和提出问题。
归 纳 推 理
学习目标
• 1、了解推理的含义 • 2、能进行简单的归纳推理 • 3、体会归纳推理在数学发现中 的作用
创设情境
• 华罗庚教授曾经举过一个例子：
• 从一个袋子里摸出来的第一个是红玻璃球，第二个是红玻 璃球，甚至第三个、第四个、第五个都是红玻璃球的时候 ，我们立刻会出现一种猜想：“是不是这个袋里的东西都 是红玻璃球？”但是，当有一个摸出来的是白玻璃球的时 候，这个猜想失败了；这时，我们会有另一个猜想：“是 不是袋里都是玻璃球？”但是，当有一次摸出来的是一个 木球的时候，这个猜想又失败了；这时我们会有第三个猜 想：“是不是袋里的东西都是球？”这个猜想对不对，还 必须继续加以检验 • 在这个过程中，一方面通过推理得出结论，另一方面要对 所得的结论进行验证和证明。
f (1) 8, f (2) 8, f (3) 8
由此我们猜想：
f ( n) 8 ( n N )
（2）狗是有骨骼的;鸟是有骨骼的; 鱼是有骨骼的;蛇是有骨骼的;青蛙是有骨骼的; 狗、鸟、鱼、蛇和青蛙都是动物；
由此我们猜想:
所有的动物都是有骨骼的。
归纳出一般结论，并判断所得的结论正确吗？
正八面体
五棱柱 截角正方体 尖顶塔
7
9
10 9
15
16
小结
1.什么是归纳推理（简称归纳）?
2.归纳推理
的一般思维过程: 概括、推广 猜测一般性结论
实验、观察
3.归纳推理的特点
课堂检测：
1、根据给出的数塔猜测 123456 9 7 等于 (
1 9 2 11 12 9 3 111 123 9 4 1111 1234 9 5 11111 12345 9 6 111111
自然数
n， 2n n 2 8
成立。
上述推理是归纳推理吗？所得结论正确吗？
是 不正确 ，当n=6时不成立。
4、
请推测 a
4 4 2 2 3 3 4 4 , 2 2 3 3 ， ， 15 15 3 3 8 8 b b 若 8 8 （a, b均为正整数） a a ，
4 5 5 6 6 8 4 5 6 6 8 6 6 8 9 10 12 12
正八面体
五棱柱 截角正方体 尖顶塔
猜想 F+V-E=2
多面体
三棱锥
四棱锥 三棱柱 五棱锥 立方体 4 5 5 6 6 8 7 4 5 6 6 8 6 10
欧拉公式
6 8 9 10 12 12 15
面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)
•问题： 什么是推理？ 怎么进行推理？
１、当看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家 等现象时， 我们会得到一个判断：天要下雨了。 ２、谚语说：“八月十五云遮月，来年正月十五 雪扎灯。”
根据一个或几个已知的命 推理： 题得出另一个新命题的思 维过程。
案例：1
• 蛇是用肺呼吸的,鳄鱼是用肺呼吸的,海龟是 用肺呼吸的,蜥蜴是用肺呼吸的.蛇、鳄鱼、 海龟、蜥蜴都是爬行动物 • 所以,所有的爬行动物都是用肺呼吸的
案例：2 •三角形的内角和是180０,凸四边形的内角和 是360０,凸五边形的内角和是540０, •所以,凸n边形的内角和是
(n 2) 180
它们有什么共同点？
0
从个别事实中推演出一般性的结论,称为归纳推理.
观察下面等式,并归纳出一般结论:
an 中 首项a1 , 公差d的等差数列
a1 a1 a1 0d a2 a1 d a1 1d a3 a2 C、1111112
2、32 12 8 1,
7 2 52 8 3,
B、1111111 D、1111113
52 32 8 2,
92 72 8 4,
由此得到的结论是: (2n 1) 2 (2n 1) 2 8n,
3、当 n 0,1,2,3 时， 2 n n 2 8 成立，所以对于所有的
前提
当n=0时，n2-n+11=11 当n=1时，n2-n+11=11 当n=2时，n2-n+11=13 当n=3时，n2-n+11=17
当n=4时，n2-n+11=23
当n=5时，n2-n+11=31 11,11,13,17,23,31都是质数 结论 对于所有的自然数n,
n2-n+11的值都是质数
数一数图中的凸多面体的面数F、顶点数V 和棱数E,然后用归纳法推理得出它们之间 的关系.
多面体
三棱锥 四棱锥 三棱柱 五棱锥 立方体
面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)
4 5 5 4 5 6 6 8 9
正八面体
五棱柱 截角正方体 尖顶塔
多面体
三棱锥 四棱锥 三棱柱 五棱锥 立方体
面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)
例如: 4 8 12 16
= = = =
2 3 5 5
+ + + +
2, 6 = 3 + 3, 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11, 11, 18 = 5 + 13, . . . .
归纳出一般结论，并判断所得的结论正确吗？
（1）函数
f ( x) ( x 1)(x 2)( x 1000 ) 8
想 一 想 ？
a4 a3 d a1 3d
an
an1 d a1 (n 1)d
归纳推理的一般思维过程：
实验、观察 概括、推广 猜测一般性结论
哥德巴赫猜想(Goldbach Conjecture)
世界近代三大数学难题之一。哥德巴赫是德国一位 中学教师，也是一位著名的数学家，生于1690年， 1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。1742年，哥 德巴赫发现，每个大于2的偶数可以表示为两个素 数（只能被和它本身整除的数）之和。