绝对值典型例题讲解

绝对值典型例题讲解

【学习目标】

1．掌握一个数的绝对值的求法和性质；

2．进一步学习使用数轴，借助数轴理解绝对值的几何意义；

3．会求一个数的绝对值，并会用绝对值比较两个负有理数的大小；

4. 理解并会熟练运用绝对值的非负性进行解题.

【要点梳理】

要点一、绝对值

1.定义：一般地，数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a|. 要点诠释：

（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a 都有：

（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小．

（3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．

2.性质：绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0． 要点二、有理数的大小比较

1.数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小. 如：a 与b 在数轴上的位置如图所示，则a ＜b ．

2.法则比较法： 两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下： 两数同号 同为正号：绝对值大的数大 同为负号：绝对值大的反而小 两数异号

正数大于负数 －数为0 正数与0：正数大于0

负数与0：负数小于0

利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小；（3）判定两数的大小．

3. 作差法：设a 、b 为任意数，若a-b ＞0，则a ＞b ；若a-b ＝0，则a ＝b ；若a-b ＜0，a ＜b ；反之成立．

4. 求商法：设a 、b 为任意正数，若1a b >，则a b >；若1a b =，则a b =；若1a b <，则a b <；反之也成立．若a 、b 为任意负数，则与上述结论相反．

5. 倒数比较法：如果两个数都大于0，那么倒数大的反而小.

【典型例题】

类型一、绝对值的概念

1．求下列各数的绝对值．

112-，-0.3，0，132⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 【思路点拨】112，-0.3，0，132⎛⎫-- ⎪⎝⎭在数轴上位置距原点有多少个单位长度，这个数字

就是各数的绝对值．还可以用绝对值法则来求解．

【答案与解析】

解法一：因为112-到原点距离是112

个单位长度，所以111122-=． 因为-0.3到原点距离是0.3个单位长度，所以|-0.3|＝0.3．

因为0到原点距离为0个单位长度，所以|0|＝0．

因为132⎛

⎫-- ⎪⎝⎭到原点的距离是132个单位长度，所以113322⎛⎫--= ⎪⎝⎭

． 解法二：因为1102-<，所以111111222⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭

． 因为-0.3＜0，所以|-0.3|＝-(-0.3)＝0.3．

因为0的绝对值是它本身，所以|0|＝0．

因为1302⎛

⎫--> ⎪⎝⎭，所以113322

⎛⎫--= ⎪⎝⎭． 【总结升华】求一个数的绝对值有两种方法：一种是利用绝对值的几何意义求解(如方法1)，一种是利用绝对值的代数意义求解(如方法2)，后种方法的具体做法：首先判断这个数是正数、负数还是0．再根据绝对值的意义，确定去掉绝对值符号的结果是它本身，是它的相反数，还是0．从而求出该数的绝对值．

2．下列说法正确的是（ ）

A. 一个数的绝对值一定比0大

B. 一个数的相反数一定比它本身小

C. 绝对值等于它本身的数一定是正数

D. 最小的正整数是1

【答案】D ．

【解析】A 、一个数的绝对值一定比0大，有可能等于0，故此选项错误；

B 、一个数的相反数一定比它本身小，负数的相反数，比它本身大，故此选项错误；

C 、绝对值等于它本身的数一定是正数，0的绝对值也等于其本身，故此选项错误；

D 、最小的正整数是1，正确．

【总结升华】此题主要考查了绝对值以及有理数和相反数的定义，正确掌握它们的区别是解题关键．

举一反三：

【变式1】求绝对值不大于3的所有整数．

【答案】绝对值不大于3的所有整数有-3、-2、-1、0、1、2、3．

【变式2】已知一个数的绝对值是4，则这个数是 ．

【答案】±4.

【变式3】数轴上的点A 到原点的距离是6，则点A 表示的数为 ．

【答案】6或-6

类型二、比较大小

3．比较大小： ﹣（﹣1.8）（填“＞”、“＜”或“=”）．

【思路点拨】先化简，再比较大小，即可解答．

【答案】＜．

【解析】解：|﹣1|=1=1.75，﹣（﹣1.8）=1.8，

∵1.75＜1.8，

∴|﹣1|＜﹣（﹣1.8），

故答案为：＜．

【总结升华】本题考查了有理数大小比较，解决本题的关键是掌握绝对值的化简以及多重复号的化简方法．

举一反三：

【变式1】比大小：

6

53-______763- ； -|-3.2|______-(+3.2)； 0.0001______－1000； 1.38-&&______－1.384； －π______－3.14．

【答案】＞；=；＞；＞；＜

【变式2】下列各数中，比－1小的数是（ ）

A ．0

B ．1

C ．－2

D ．2

【答案】C

【变式3】数a 在数轴上对应点的位置如图所示，则a ，-a ，-1的大小关系是( )．

A ．-a ＜a ＜-1

B ．-1＜-a ＜a

C ．a ＜-1＜-a

D ．a ＜-a ＜-1

【答案】C 类型三、绝对值非负性的应用

4. 已知|2-m|+|n-3|＝0，试求m-2n 的值．

【思路点拨】由｜a ｜≥0即绝对值的非负性可知，｜2-m ｜≥0，｜n-3｜≥0，而它们的和为0．所以｜2-m ｜＝0，|n-3|＝0．因此，2-m ＝0，n-3＝0，所以m ＝2，n ＝3．

【答案与解析】因为|2-m|+|n-3|＝0