第3章静定结构(精)

第3章静定结构

§3.1 静定结构特性

●静力特性（解答惟一性）

全部反力和内力均可由静力平衡条件惟一确定，且数值有限。

●几何特性

体系几何不变，且无多余联系（约束）。

●其它特性

1. 仅荷载引起内力。支座移动、温度改变、制造误差等因素只使结构产生位移，不产生内力、反力。如图3.1.1a所示。

2. 局部平衡原理。结构局部能平衡荷载时，仅此部分受力，其它部分没有内力。如图

3.1.1b所示。

3. 荷载等效变换特性。结构任一几何不变部分上荷载作静力等效变换时，仅使变换部分范围内的内力发生变化。如图3.1.1c所示。

4. 构造变换特性。结构任一几何不变部分在保持连接方式与不变性条件下，用另一构造方式的几何不变体代替时，其它部分受力不变。如图3.1.1d所示。

5. 主次结构传力特性。主次结构当仅基本部分承受荷载时，附属部分不受力；当荷载

§

●一般先求反力后求内力；循结构组成的相反顺序，用截面法取整体或部分为隔离体；据此列出的平衡方程足以求出全部的反力和内力。

●不求反力（或少求反力）求内力。利用梁的荷载、剪力、弯矩之间的微分和积分关系，判断、推算控制截面内力，并以特殊点的已知内力值控制（如铰处弯矩为零）或用区段叠加法（也称简支梁叠加法）可高效准确地绘制M图（弯矩图）。根据微积分关系，由M图作Q 图（剪力图），再根据平衡条件，由Q图作N图（轴力图）。

●根据结构特点分析内力。具有基本部分和附属部分的多层次主从结构(如多跨静定

梁)，荷载作用在基本（或高层次）部分时，附属（或较低层次）部分不受力。

空间刚架内力除弯矩、剪力、轴力外，一般还存在内扭矩。刚结点处传递力矩（力矩平衡），铰结点处传递剪力和轴力（无集中力偶时弯矩为零）。

桁架的反力计算方法同刚架；平面桁架求解中判断零杆和等量杆，可使问题简化。联合使用结点法和截面法，使桁架解法灵活多样。

具有水平推力的拱结构以承受轴向压力为主，压力线为其合理拱轴线。三铰拱为典型的静定拱。

例1 试绘出图3.2.1a结构弯矩图的形状。

解：如图为多跨静定梁与刚架的混合结构，右侧刚架是基本部分。在无水平力作用时，左侧EABCD可视为次基本部分，EFG是最低级附属部分，向两侧传力。根据传力层次和各段M 图特点，尽量少求或不求反力，快捷绘制M图。

先作EFG简支梁弯矩图，并以反作用力向两侧传递（E、G铰传递剪力），弯矩图直线延长，在DE段叠加均布荷载在伸臂段引起的弯矩；在H支座处弯矩图转折。BC杆为二力杆，可使弯矩图转折，AB伸臂段在力偶作用下的弯矩图为水平线（下缘受拉）。联接B、D竖标顶点作为基线，叠加简支梁均布荷载下的弯矩图。I处滑动支座不承受剪力，故HIJ段弯矩图为一水平线，在J支座处转折。K铰结点弯矩为零（控制点），对J、K竖标顶点联以直线，

R支座反力沿L、Q

例2 试用较简便方法求图3.2.2a所示桁架中指定杆件的内力。

解：比较以下两种解法。

解法一⑴对于简支桁架，考虑整体平衡，易求得反力

V A=P（↓)， H A=P（←）， R B=P（↑）

⑵作I-I截面，取右上部分（图3.2.2a）。在与2杆垂直方向投影，得S CB =0。

⑶ B结点成T形结点，S EB=0，S BD=-P（压），则E结点成为不承载的L形结点，S1=0。

⑷ 取D 结点，在2杆方向投影，得P S 2

22= (拉)。 解法二 ⑴ 如解法一求得支座反力后，将荷载与反力分为对称、反对称两组。

⑵ 在反对称情况下（图3.2.2b ），1杆在对称轴上，S 1=0。于是

S AE =S BE =0， S BC =-P/2， S AC =P/2

§● 位移的基本概念

结构截面位移分为线位移和角位移，由结构的形变位移和刚体位移组成，结构变形时产生位移；有时结构某部分并不变形，由于相邻部分的位移或静定结构支座移动也能引起它的

● 在计算梁的位移时，可对挠曲线的近似微分方程 ()z EI x M y -=''两边积分，积分一次得转角方程，积分两次得挠度方程，积分常数值由梁的边界条件或某些截面的已知变形条件来确定。由积分法求出的位移曲线确定了梁的任意截面的位移。

当梁上荷载为分段复杂荷载时，需分段列弯矩方程再分别积分，计算量大。这时可考虑

x=a [][]⎰---=-x a x dx a x 012, [][]⎰-=--x a x dx a x 001 （3.3.1）

其中，第一个是单位力偶函数或称为单位集中力矩，第二个是单位冲量函数或称为单位集中力。其它函数的指数0≥n ，当a x 时，函数f n (x)的值是零，当a x 时f n (x)的值就是n a x )(-。该函数积分如下：[][])0()1/(01≥+-=-⎰+n n a x dx a x x

n n ，当n=0时，该函

数在x=a 处表示一个单位阶跃；当n=1时，该函数表示从x=a 开始的一个单位斜坡。

利用奇异函数写出作用在简支梁（图3.3.3）上的荷载表达式

1021111][][][][]0[)(-----+---+---=l X V c x q b x M a x P X V x P B A （3.3.2） 因为Q dx dM q dx dQ -=-=/,/，积分两次得弯矩表达式

1

201111][2/][][][]0[l x V c x q b x M a x P x V M B A -+---+---= （3.3.3） 上式对任何x 的正值都适用。对B 点取矩可求V A ，代入挠曲线近似微分方程，再完成两次积分就能得到任一点的挠度和转角

B Ax c x q b x M a x P x V EIy A c x q b x M a x P x V dx dy EI A A ++---+--=+---+--=24][2][6][66

][][2][24

213133

1212 （3.3.4） 其中，常数A 、B 由支承条件求出；因 x=l ，故略去V B 项。于是，整个挠度曲线就一次确定了。由于][a x -不能为负，当均布荷载仅在梁的某区段分布时，应把该均布荷载延长到梁的右端，为了等效，叠加一个从区段末到梁右端的大小相等、方向相反的均布荷载，据此写出弯矩表达式，进行两次积分。

两次即可求得完整的挠度曲线。

● 如果只要求某一点或某一个方向的位移，应用单位荷载法是最好的选择。由虚功原理推导出来的单位荷载法计算平面杆件结构位移的一般公式为

∑⎰∑⎰∑⎰+++-=∆ds Q du N d M c R K γϕ （3.3.5） 结构在荷载作用下的位移计算公式：

∑⎰∑⎰∑⎰++=∆GA ds Q Q k EA ds N N EI ds M M P P P KP （3.3.6）

上式中，梁和刚架取弯矩项，桁架取轴力项并化积分为总和，拱和组合结构则取两项（弯矩项和轴力项）。当仅取弯矩项时，繁琐的积分运算常被简单的图乘法所取代（曲杆和高阶变截面直杆仍需用积分法）。但图乘法的应用有其前提条件：杆件为分段等直杆（每段EI 是常数）；弯矩图中至少有一个是直线图。还须记住常用图形的面积公式和形心位置。 结构温度变化时的位移计算公式：