4-11-常系数高阶线性齐次方程的解法

4.2 常系数高阶线性方程基本解组求法

(How to Solve higher order Linear ODE with constant coefficients)

[教学内容] 1. 介绍常系数高阶齐次线性微分方程特征方程的概念; 2.介绍如何由常系数高阶齐次线性微分方程特征方程的根来获得原微分方程基本解组; 3. 介绍如何说明常系数齐次线性微分方程一组解能否构成基本解组;4. 介绍欧拉方程及其解法.

[教学重难点] 重点是知道并会常系数高阶齐次线性微分方程（或 欧拉方程）特征方程来获得原微分方程基本解组； 难点是如何由特征方程的特征根来写出原微分方程的基本解组. [教学方法] 预习1、2；讲授3 [考核目标]

1. 能写出常系数高阶齐次线性微分方程或欧拉方程的特征方程的形式

2. 能由常系数高阶齐次线性微分方程或欧拉方程的特征方程的特征根写出原微分方程基本解组;

3. 知道试解法以及微分方程复函数解概念以及其与实函数解关系.

1. 认识常系数高阶齐次线性微分方程的试解法. 例45. 考察微分方程

x λdt

dx

=，由分离变量法可得其通解为λt Ce x =. 现考察常系数齐次线性微分方程06x dt

dx

dt x d 22=--

. 大胆假定方程具有形如λt e x =的解，将其代入原方程得到，06)λ(λ e 2

λt

=--.

注意到0e λt

≠，因此λt

e x =是方程的解⇔ 06λλ2

=--.

我们称代数方程06λλ2

=--为微分方程06x dt

dx

dt x d 22=--

的特征方程. ( 如何由常系数齐次线性微分方程来写出其特征方程 ？)

由特征方程06λλ2

=-- 解出3λ 2,λ21=-=，相应地得到原微分方程的两个解

-2t 1e (t)x =，3t 2e x =.

下面验证(t) x (t),x 21线性无关：

21212)t

(33t

2t

-3t -2t

21λλ ,0λλ11e 3e

2e -e e (t)]x (t),W[x ≠≠==

-（这里行列式叫做范德蒙行列式，参见《高等代数》 P79例2）

因此，(t) x (t),x 21构成了原微分方程一个基本解组，原方程的通解为

R C ,C ,e C e C x 213t 22t 1∈+=-.

例46. Solve the differential equation 02y dt

dy

6

dt y d 222=++. Solution The associated characteristic equation is 026λ2λ2=++. By applying the quadratic formula, we get two different roots:2

5

32216366λ±-=⋅-±-=。

Thus, the general solution to the differential equation is R C ,C ,e C e C y 21)t/2

53(2)t/2

53(1∈+=-

-+

-.

注解47. 一般的n 阶齐次线性方程的特征方程具有n 个不同实根情形下基本解组参见教材

P137 表达式 (4.22).

作业44. Solve the following differential equations (1)

04y dx dy

5dx y d 22=+-; (2) 0y dt

dy

dt y d 222=-+

. 例48. 求解09x 6x''x'=+-和0'y'=，其中dt

dy

y' ,dt dx x'y(t),y x(t),x =

===. 解：原方程的特征方程为096λλ2

=+-，解得3λλ21==. 于是，我们得到原方程的一个非零解3t

1e x =.

我们知道二阶齐次线性微分方程的基本解组含有两个线性无关的解函数，如何求出另一个与之线性无关的解函数呢？

考察方程0'y'=，其特征方程为02

=μ，得特征值为021==μμ. 此处很容易求出方程0'y'=两个线性无关的解函数t y 1,y 21==. 因此，通解为R C ,C t,C C y 2121∈+=. 考察方程09x 6x''x'=+-，令y e x 3t

=，代入方程得到，

'y'e y'6e y 9e ' x ',y'e y 3e x '3t 3t 3t 3t 3t ++=+=，

0)6y'6y''(y'e )y 9e )'6(e ')'((e 3t 3t 3t 3t =-+++-，

注意到3t

e 为方程09x 6x''x'=+-的解，于是0)y 9e )'6(e ')'((e 3t

3t

3t

=+-，因而0''y =.

解得t y 1,y 21==，相应地，原方程的两个解为3t

23t

1te x ,e x ==. 下证(t) x (t),x 21线

性无关. 考察0(t)x c (t)x c 2211=+，即0e t c e c 3t

23t

1=+，注意到0e 3t

≠，于是上式两边

同除3t

e 得到，0t c c 21=+，这是等式成立只能是0c c 21==. 因此，(t) x (t),x 21为原方