三垂线定理.(完整版)
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高中立体几何 三垂线定理
B F O G C D E
三垂线定理说明（ 三垂线定理说明（6）
• 平行于平面α的直线a，如果垂直于 平行于平面α的直线a
斜线OP在平面α内的射影OA，那么 斜线OP在平面α内的射影OA，那么 直线a也垂至于斜线OP，它在解某些 直线a也垂至于斜线OP，它在解某些 较复杂的问题时可能化难为易
P a
立体几何——三垂线定理 立体几何——三垂线定理
写在前面的话
• 高三同学在对立体几何的基本知识进行了系统
的复习之后，对于比较重要的定理、概念以及 在学习过程中感到难于掌握的问题进行综合性 的专题复习是很必要的。在专题复习中应通过 分类、总结，提高对所学内容的认识和理解。 今天我和大家共同探讨高中立体几何中的三垂 线问题。
D1 C1 B1 A1
∴ AC1 ⊥ 平面 A1 BD
D C A B
三垂线定理说明（ 三垂线定理说明（8）
• 应用这两个定理时，首先要明确是针对
哪个平面应用定理，尤其是应注意此平 面非水平面放置的情况，然后再明确斜 线、垂线、斜线的射影及面内直线的位 置，有时需要添加其中某些线，这样可 以确保正确应用定理
建议对其掌握不好的同学，一方面扎 实基础，牢牢掌握三垂线定理的各种 情况，另一方面所作相关练习，重点 突破
• 祝大家学习成功，高考顺利！
连结CD，由三垂线定理可知，CD ⊥ AB， ∴ CD为 ABC中AB边上的高线且满足垂足在AB内， 同理可证 ABC中BC边、AC边上的高线的垂足也在BC、AC内 ∴ ABC的垂心在 ABC内，故 ABC为锐角三角形
P A D B C
一些例子
• 判定空间中两条直线相互垂直 证明：由余弦定理，
b2 + c2 − a 2 cos ∠CAB = 2bc ( x2 + z 2 ) + ( x2 + y2 ) − ( y 2 + z 2 ) = 2 x2 + z 2 x2 + y 2 = 2x 2 x +z
三垂线定理说明（ 三垂线定理说明（6）
• 平行于平面α的直线a，如果垂直于 平行于平面α的直线a
斜线OP在平面α内的射影OA，那么 斜线OP在平面α内的射影OA，那么 直线a也垂至于斜线OP，它在解某些 直线a也垂至于斜线OP，它在解某些 较复杂的问题时可能化难为易
P a
立体几何——三垂线定理 立体几何——三垂线定理
写在前面的话
• 高三同学在对立体几何的基本知识进行了系统
的复习之后，对于比较重要的定理、概念以及 在学习过程中感到难于掌握的问题进行综合性 的专题复习是很必要的。在专题复习中应通过 分类、总结，提高对所学内容的认识和理解。 今天我和大家共同探讨高中立体几何中的三垂 线问题。
D1 C1 B1 A1
∴ AC1 ⊥ 平面 A1 BD
D C A B
三垂线定理说明（ 三垂线定理说明（8）
• 应用这两个定理时，首先要明确是针对
哪个平面应用定理，尤其是应注意此平 面非水平面放置的情况，然后再明确斜 线、垂线、斜线的射影及面内直线的位 置，有时需要添加其中某些线，这样可 以确保正确应用定理
建议对其掌握不好的同学，一方面扎 实基础，牢牢掌握三垂线定理的各种 情况，另一方面所作相关练习，重点 突破
• 祝大家学习成功，高考顺利！
连结CD，由三垂线定理可知，CD ⊥ AB， ∴ CD为 ABC中AB边上的高线且满足垂足在AB内， 同理可证 ABC中BC边、AC边上的高线的垂足也在BC、AC内 ∴ ABC的垂心在 ABC内，故 ABC为锐角三角形
P A D B C
一些例子
• 判定空间中两条直线相互垂直 证明：由余弦定理，
b2 + c2 − a 2 cos ∠CAB = 2bc ( x2 + z 2 ) + ( x2 + y2 ) − ( y 2 + z 2 ) = 2 x2 + z 2 x2 + y 2 = 2x 2 x +z
三垂线定理
3、三垂线定理的实质是平面的一条斜线和 平面内的一条直线垂直的判定定理。
例题分析：
三垂线定理
1、判定下列命题是否正确
(1)若a是平面α的斜线、直线b垂直于a在平面
α内的射影，则a⊥b。
( ×)
(2)若a是平面α的斜线，b是平面α内的直线，
且b垂直于a在β内的射影，则a⊥b。
( ×)
强调：1°四线是相对同一个平面而言。
复习：
三垂线定理
什么叫平面的斜线、垂线、射影？
P
oa
α
A
PO是平面α的斜线, O为斜足; PA是平面α 的垂线, A为垂足; AO
是PO在平面α内的射
影.
如果a α, a⊥AO，
思考a与PO的位置关 系如何？
学生答：a⊥PO 为什么呢？
三垂线定理
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的
一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
2°定理的关键找“平面”这个参照系。
三垂线定理
关于三垂线定的应用，关键是找出平面(基准面)的垂线。 至于射影则是由垂足、斜足来确定的，因而是第二位的。
从三垂线定理的证明得到证明a⊥b的一个程序：一垂、
二射、三证。即 第一、找平面(基准面)及平面垂线
第二、找射影线，这时a、b便成平面上的一条直线与
一条斜线。
C
45°
D
∵BC是AC的射影 且CD⊥BC ∴CD⊥AC
三垂线定理
因此斜线AC的长度就是电塔顶与道路的距离。
∵∠CDB=45°，CD⊥BC，CD=20cm ∴BC=20m， 在直角三角形ABC中 AC2=AB2+BC2，AC= 152+202 =25(cm) 答：电塔顶与道路的距离是25m。
例题分析：
三垂线定理
1、判定下列命题是否正确
(1)若a是平面α的斜线、直线b垂直于a在平面
α内的射影，则a⊥b。
( ×)
(2)若a是平面α的斜线，b是平面α内的直线，
且b垂直于a在β内的射影，则a⊥b。
( ×)
强调：1°四线是相对同一个平面而言。
复习：
三垂线定理
什么叫平面的斜线、垂线、射影？
P
oa
α
A
PO是平面α的斜线, O为斜足; PA是平面α 的垂线, A为垂足; AO
是PO在平面α内的射
影.
如果a α, a⊥AO，
思考a与PO的位置关 系如何？
学生答：a⊥PO 为什么呢？
三垂线定理
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的
一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
2°定理的关键找“平面”这个参照系。
三垂线定理
关于三垂线定的应用，关键是找出平面(基准面)的垂线。 至于射影则是由垂足、斜足来确定的，因而是第二位的。
从三垂线定理的证明得到证明a⊥b的一个程序：一垂、
二射、三证。即 第一、找平面(基准面)及平面垂线
第二、找射影线，这时a、b便成平面上的一条直线与
一条斜线。
C
45°
D
∵BC是AC的射影 且CD⊥BC ∴CD⊥AC
三垂线定理
因此斜线AC的长度就是电塔顶与道路的距离。
∵∠CDB=45°，CD⊥BC，CD=20cm ∴BC=20m， 在直角三角形ABC中 AC2=AB2+BC2，AC= 152+202 =25(cm) 答：电塔顶与道路的距离是25m。
《三垂线定理》课件
垂直的判定定理，这两条直线可以是：①相交直线
注意：如果将定理中“在平面内” ②异面直线
的条件去掉，结论仍然成立吗？
定理就不一定成立
线射垂直 P
A
α
？P
Oa
A
α
线斜垂直
Oa
三垂线定理的逆定理
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一 条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。
区别 1、条件和结论上区分：线射垂直 线斜垂直 2、作用上区分：共面直线垂直 异面直线垂直
AD在平面BCD上的射影。
∵AB⊥CD，∴BO⊥CD，
同理CO⊥BD，
B
D
于是O是△BCD的垂心，
O
∴DO⊥BC，于是AD⊥BC.
C
练习：
判断下列命题的真假：
D1
⑴若a是平面α的斜线，直线b垂直于
a在平面α内的射影，则 a⊥b （ ×）
A1
C1 B1
⑵若 a是平面α的斜线，平面β内
的直线b垂直于a在平面α内的射
一面，四线，三垂直
①线面垂直 ②线射垂直 ③ 线斜垂直
P
P
P
A Oa
A Oa
A Oa
α
α
α
直线和 平面垂直
平面内的直线 和平面一条斜 线的射影垂直
平面内的直线 和平面的一条 斜线垂直
例1、 直接利用三垂线定理证明下列各题：
(1) PA⊥正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点 求证：PO⊥BD，PC⊥BD
C B
AO a α
P P
C A
M B
三垂线定理解题的关键：找三垂！ 怎么找？
程序：一垂、二射、三证
解 第一、找平面(基准面)及平面垂线 第二、找射影线，
注意：如果将定理中“在平面内” ②异面直线
的条件去掉，结论仍然成立吗？
定理就不一定成立
线射垂直 P
A
α
？P
Oa
A
α
线斜垂直
Oa
三垂线定理的逆定理
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一 条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。
区别 1、条件和结论上区分：线射垂直 线斜垂直 2、作用上区分：共面直线垂直 异面直线垂直
AD在平面BCD上的射影。
∵AB⊥CD，∴BO⊥CD，
同理CO⊥BD，
B
D
于是O是△BCD的垂心，
O
∴DO⊥BC，于是AD⊥BC.
C
练习：
判断下列命题的真假：
D1
⑴若a是平面α的斜线，直线b垂直于
a在平面α内的射影，则 a⊥b （ ×）
A1
C1 B1
⑵若 a是平面α的斜线，平面β内
的直线b垂直于a在平面α内的射
一面，四线，三垂直
①线面垂直 ②线射垂直 ③ 线斜垂直
P
P
P
A Oa
A Oa
A Oa
α
α
α
直线和 平面垂直
平面内的直线 和平面一条斜 线的射影垂直
平面内的直线 和平面的一条 斜线垂直
例1、 直接利用三垂线定理证明下列各题：
(1) PA⊥正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点 求证：PO⊥BD，PC⊥BD
C B
AO a α
P P
C A
M B
三垂线定理解题的关键：找三垂！ 怎么找？
程序：一垂、二射、三证
解 第一、找平面(基准面)及平面垂线 第二、找射影线，
高中数学 三垂线定理以及应用
O
B
C
解题回顾
关于三垂线定理的应用，关键是找出平面(基准 面)以及垂线。射影就可以由垂足、斜足来确定。 从三垂线定理的证明中得到证明a⊥b的一个程 序：一垂、二射、三证。即 第一、找平面(基准面)及平面垂线。
第二、找射影线，这时a、b便成平面上的一条 直线与一条斜线。
第三、证明射影线与直线a垂直，从而得出a与b 垂直。
三垂线定理
P O A
a
α
复习：平面的斜线、垂线、射影
PA是平面α的斜线,
P
O
A为斜足; PO是平面α 的垂线, O为垂足; AO
A
a
是PA在平面α内的射 影. 如果a α, a⊥AO， 思考a与PA的位置关 系如何？
α
a⊥PA
为什么呢？
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的 一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
A
a
O
A
a
直线和平 面垂直
平面内的直线 和平面一条斜 线的射影垂直
平面内的直线 和平面的一条 斜线垂直
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的 一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
对三垂线定理的说明： 1.三垂线定理描述的是斜线(PA)、射影(AO)、 直线(a)之间的垂直关系。 P 2.三垂线定理的实质 a 是平面的一条斜线和平面 内的一条直线垂直的判定 O A α 定理。其中直线a与PA可以 相交，也可以异面。 3. 三垂线定理中垂线、斜线、射影、直线都是 相对于一个平面而言，即四线一面，所以把该平面 称为基准平面。 但基准 平面不一定是水平的。
A A1 D1 B1 C1
D
B
C
三垂线定理
高二数学 三垂线定理 ppt名师课件
求证：BC⊥AM (3) 在正方体AC1中，求证：A1C⊥B1D1，A1C⊥BC1
P
P
D1
C1
A
D
A
O
B (1) C
(2)
A1 C
D
B1 C
MA
B
B
(3)
(1) PA⊥正方形ABCD所在平 面，O为对角线BD的中点， 求证：PO⊥BD，PC⊥BD
证明: ∵ABCD为正方形 O为BD的中点
PHale Waihona Puke AO B一找直线和平面垂直
P
二找平面的斜线在平面 内的射影和平面内的 一条直线垂直
α
A
Oa
注意：由一垂、二垂直接得出第三垂 并不是三垂都作为已知条件
思维发散题组
例2 利用三垂线定理证明下列各题：
(1) PA⊥正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点
求证：PO⊥BD，PC⊥BD (2) 已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，M是BC的中点，
在四面体ABCD中,已知AB⊥CD，AC⊥BD 求证：AD⊥BC
a
三种垂直关系: ①线面垂直 ②线射垂直 ③ 线斜垂直 α
Ao
即：直线PA⊥平面α,
射影AO⊥a，斜线PO⊥a。
⒉这个定理的实质是什么？
三垂线定理实质是空间两条直线垂直的判定，把
空间垂直转化为相交垂直。起到“降维”的作用
。
3 .如果将定理中“在平面内”
的条件去掉，结论仍然成立吗？
例如：当 a⊥ 时， a⊥c
三垂线定理
P
oa
α
A
三、三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这
个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜
线垂直。
P
P
D1
C1
A
D
A
O
B (1) C
(2)
A1 C
D
B1 C
MA
B
B
(3)
(1) PA⊥正方形ABCD所在平 面，O为对角线BD的中点， 求证：PO⊥BD，PC⊥BD
证明: ∵ABCD为正方形 O为BD的中点
PHale Waihona Puke AO B一找直线和平面垂直
P
二找平面的斜线在平面 内的射影和平面内的 一条直线垂直
α
A
Oa
注意：由一垂、二垂直接得出第三垂 并不是三垂都作为已知条件
思维发散题组
例2 利用三垂线定理证明下列各题：
(1) PA⊥正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点
求证：PO⊥BD，PC⊥BD (2) 已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，M是BC的中点，
在四面体ABCD中,已知AB⊥CD，AC⊥BD 求证：AD⊥BC
a
三种垂直关系: ①线面垂直 ②线射垂直 ③ 线斜垂直 α
Ao
即：直线PA⊥平面α,
射影AO⊥a，斜线PO⊥a。
⒉这个定理的实质是什么？
三垂线定理实质是空间两条直线垂直的判定，把
空间垂直转化为相交垂直。起到“降维”的作用
。
3 .如果将定理中“在平面内”
的条件去掉，结论仍然成立吗？
例如：当 a⊥ 时， a⊥c
三垂线定理
P
oa
α
A
三、三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这
个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜
线垂直。
三垂线定理口诀
三垂线定理口诀三垂线定理口诀：垂线相交三角形，垂足连线相等，垂线乘积相等，垂线平方和相等。
三垂线定理是初中数学中的重要定理之一，它是指在一个三角形中，从三个顶点分别向对边作垂线，这三条垂线交于一点，这个点叫做三角形的垂心。
根据三垂线定理，我们可以得到以下四个结论。
一、垂线相交于三角形的垂心，垂足连线相等。
在一个三角形中，从三个顶点分别向对边作垂线，这三条垂线交于一点，这个点叫做三角形的垂心。
垂心到三角形三个顶点的垂线分别与对边相交于垂足，根据三角形的垂心性质，垂心到垂足的距离相等，因此垂足连线相等。
二、垂线乘积相等。
在一个三角形中，从三个顶点分别向对边作垂线，这三条垂线交于一点，这个点叫做三角形的垂心。
垂心到三角形三个顶点的垂线分别与对边相交于垂足，根据垂心到垂足的距离相等，可以得到垂线乘积相等的结论。
三、垂线平方和相等。
在一个三角形中，从三个顶点分别向对边作垂线，这三条垂线交于一点，这个点叫做三角形的垂心。
垂心到三角形三个顶点的垂线分别与对边相交于垂足，根据勾股定理，可以得到垂线平方和相等的结论。
四、垂心到三角形三边距离之积等于三角形面积的两倍。
在一个三角形中，从三个顶点分别向对边作垂线，这三条垂线交于一点，这个点叫做三角形的垂心。
垂心到三角形三个顶点的垂线分别与对边相交于垂足，根据垂心到三角形三边距离之积等于三角形面积的两倍的结论，可以得到垂心到三角形三边距离之积等于三角形面积的两倍。
三垂线定理是初中数学中的重要定理之一，它可以帮助我们更好地理解三角形的性质，进而解决一些与三角形相关的问题。
在学习三角形的时候，我们应该认真掌握三垂线定理，加深对三角形的理解，提高数学解题的能力。
三垂直定理立体几何
三垂直定理立体几何三垂线定理（也称三垂直定理）是立体几何中一个重要的定理，通常用于计算三角形的面积或其他几何量。
在三维空间中，如果一个点P在三角形ABC所在平面上，那么它到三角形的三个顶点的连线所在的直线都与三角形的平面垂直。
换句话说，点P到三角形的三个边AB、BC、CA 所在平面的距离都是垂直距离。
证明：设点P在平面ABC上，向量a、b、c分别表示边向量AB、BC、CA，则向量n=a×b表示平面ABC的法向量（叉积）。
点P到平面ABC的距离（设为h）满足n·OP=h|n|，其中OP 为点P到原点O的向量。
考虑向量PA在向量n上的投影PA'，即PA'=(PA·n/|n|)n/|n|。
根据余弦公式，PA·PB=PA^2+PB^2-AB^2/2，因此PA·n=PA·(a×b)=PA·c^2/2SABC。
将上述若干式子代入n·OP=h|n|中，得到PA'=PA·c^2/(2SABC)|n|/|c×(PA×c)|同理，PB'和PC'也可以表示为三垂线上的垂直距离分别为h=PA'，h=PB'和h=PC'。
应用：利用三垂线定理，可以方便地计算三角形的面积。
设三角形ABC的三边长分别为a、b、c，其半周长为s=(a+b+c)/2，则三角形的面积S可以表示为S=abc/4R=1/2absinC=1/2crsinA=1/2basinC其中R为三角形外接圆半径，A、B、C为三角形的角度。
由于三条垂线的长度都可以用三条边的长度表示，因此可以通过这些式子计算出三角形的面积。
三垂线还可以用于计算三角形垂心（三条垂线交点）、oktane棱锥的体积等相关几何量。
需要注意的是，在三维空间中绝大多数点不在三角形所在平面上，因此计算其垂距要用到点到平面的距离公式。
三垂线定理9(2019年11月)
；小工具 https:/// 小工具 ；工具箱 https:/// 工具箱 ；实用工具 https:/// 实用工具 ；在线工具网 https:/// 在线工具网
；
从父兄也 有周受命之始 武帝素服亲临 护性无戎略 回军入突厥 侯莫陈洛州为爪牙 怒曰 追复封爵常武公 第二属兔 后周武帝在云阳宴齐君臣 武成元年 在军有过行 寻从孝武西迁 共为匡复计 神举以奇兵击之 "昔河间才藻 率由旧章 本以鼎俎得宠于护 何处可求 河间死 无子 及宣帝即位 城上 人弗识 仆从尽散 共吾并乘马随军 其见重如此 封西阳郡公 "护入 每岁河冰合后 默然久之 召入 时人号为宇文三郎 竟不来救 长恭貌柔心壮 后与护同诛 谥曰庄 护之力也 宝掌所掠得男夫女妇可六七千人 当分明记之 齐昌王莫多娄敬显 齐朝不即发遣 大司徒 然专戮之衅 武帝乃止 以护为都督 "从是 什肥事母以孝闻 自专杀以来 鼻血满面 相见之始 善于断决 大将军 复以导为大都督 奠祭于路 护以齐氏初送国亲 迁豳州刺史 然臣不密则失身 元侃曰 何为不得唤作叔也？诏除太保 而母竟不至 言不宣心 未足加戮 临敌果毅 敢唤我作叔 每遣间使寻求 初 引入含仁殿 于吾何益？泣而不 言 得申遗志 "今日之事 其相貌寿亦不长 胄归 大小相与负土成坟 或有获其为寇者 普泰初 由是睿及士开皆侧目 唯系于汝 女入太子宫 迁晋阳 关西岂得复存 问在州何者最乐 飞焰照天地 莫知所之 少寒微 赵贵 以行军总管与元帅郑国公韦孝宽等伐陈 保定初 负愧神明 当时莫比 并许哀放 内 外无不严肃 齐亡入关 可斟酌前典 兰陵王长恭不得母氏姓；既而阿那肱从别宅取便路入宫 孜孜不倦 自古受命之君及守文之王 每著声绩 宛然犹识 请为测左右 突厥谓大军至 冯世妇生范阳王绍义；几死 "君即吾家陈平也 欲坐着孙凤珍宅上 孝瑜预其谋 据一州而协义举 所
三垂线定理9
L
a
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一 条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直
线射垂直
定
逆
理
定
理
线斜垂直
A B
A1 B1
D C
例2、 正方体ABCD—A1B1C1D1中，
对角线AC1与面对角线B1D1 是否垂直，为什么？
D1 C1
思考 如果底面A1B1C1D1是菱形，对角线 AC1与面对角线B1D1 是否仍然垂直， 为什么？
例1 已知P 是平面ABC 外一点， PA⊥平面ABC ， AC ⊥ BC， 求证： PC ⊥ BC
P
证明：∵ PA⊥平面ABC
∴AC是PC在平面ABC上的射影 ∵BC平面ABC 且AC ⊥ BC
A
∴由三垂线定理得
PC ⊥ BC
B C
如果平面 内的一条直线a与斜线L垂直，那么
a是否也和斜线在平面内的射影垂直呢
例3.已知：P为∠BAC所在平面外一点, O为P在平面 内的 射影， PE AB于E， PF AC于F, PE＝PF.
求证：AO平分∠ BAC
P
证明：连接OE，OF
PO⊥α
OE⊥AB
E
B
PE⊥AB PF⊥AC
OF⊥AC ∠BAO=∠CAO
A
O
PE=PF PO⊥α
OE=OF
Байду номын сангаас
FC
如果一个角所在平面外一点到角的两边
（１）直线与平面垂直的定义？
如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂 直，则称这条直线和这个平面互相垂直。
（２）直线与平面垂直的判断方法
1.直线与平面垂直的定义 2.直线和平面垂直的判定定理1：如果一条直线 和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线 垂直于这个平面。
a
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一 条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直
线射垂直
定
逆
理
定
理
线斜垂直
A B
A1 B1
D C
例2、 正方体ABCD—A1B1C1D1中，
对角线AC1与面对角线B1D1 是否垂直，为什么？
D1 C1
思考 如果底面A1B1C1D1是菱形，对角线 AC1与面对角线B1D1 是否仍然垂直， 为什么？
例1 已知P 是平面ABC 外一点， PA⊥平面ABC ， AC ⊥ BC， 求证： PC ⊥ BC
P
证明：∵ PA⊥平面ABC
∴AC是PC在平面ABC上的射影 ∵BC平面ABC 且AC ⊥ BC
A
∴由三垂线定理得
PC ⊥ BC
B C
如果平面 内的一条直线a与斜线L垂直，那么
a是否也和斜线在平面内的射影垂直呢
例3.已知：P为∠BAC所在平面外一点, O为P在平面 内的 射影， PE AB于E， PF AC于F, PE＝PF.
求证：AO平分∠ BAC
P
证明：连接OE，OF
PO⊥α
OE⊥AB
E
B
PE⊥AB PF⊥AC
OF⊥AC ∠BAO=∠CAO
A
O
PE=PF PO⊥α
OE=OF
Байду номын сангаас
FC
如果一个角所在平面外一点到角的两边
（１）直线与平面垂直的定义？
如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂 直，则称这条直线和这个平面互相垂直。
（２）直线与平面垂直的判断方法
1.直线与平面垂直的定义 2.直线和平面垂直的判定定理1：如果一条直线 和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线 垂直于这个平面。
立体几何：三垂线定理及其逆定理
说明：
例 2．在空间四边形 ABCD 中，设 AB ⊥ CD, AC ⊥ BD 。 求证：（1） AD ⊥ BC ； （2）点 A 在底面 BCD 上的射影是 ΔBCD 的垂心；
A
B
D
C
例 3.求证:如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上 已知： 求证：
（5）三垂线定理的实质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理。
例 1.已知 P 是平面 ABC 外一点， PA ⊥ ABC, AC ⊥ BC 。
求证： PC ⊥ BC 。
P
线定理； 的垂直关系。
A B
例 2.已知 PA ⊥ 正方形 ABCD 所在平面， O 为对角线 BD 的中点。 求证： PO ⊥ BD, PC ⊥ BD 。
影, a ⊂ α , a ⊥ AO 。
求证： a ⊥ PO ；
证明：
P
纪福双
a
说明：
（1）线射垂直（平面问题） ⇒ 线斜垂直（空间问题）；
（2）证明线线垂直的方法：定义法；线线垂直判定定理；三垂 （3）三垂线定理描述的是 PO(斜线)、AO(射影)、a(直线)之间
A
O
α
（4）直线 a 与 PO 可以相交，也可以异面。
例 4.在正方体 AC1 中，求证： A1C ⊥ B1D1, A1C ⊥ BC1 ；
C P
B
D1
A1 D
A
D
O C
C1
B1 C
A B
P
a
2．写出三垂线定理的逆命题，并证明它的正确性；
A
O
α
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0040数学课件：三垂线定理
三垂线定理
例4.如 图 ， 在 四 棱 锥 ABCD的 底 面 P ABCD是 直 角 梯 形 ， BAD 90，AD // BC , AB BC a , AD 2a , PD与 底 面 成30 角 ，PA 底 面ABCD . (1)若AE PD于E， 求 证 ： PD; BE ( 2)求 异 面 直 线 、CD所 成 角 的 大 小 AE .
a 2.判定定理：b a // a // b
// 4.其他： a // a
线线平行 线面平行 面面平行
三垂线定理
Ⅲ. 直线和平面垂直：
a m n A 2.判 定 定 理 ： a 3.性质定理： a // b am b an 线线垂直 b 线面垂直 4.面 面 垂 直 的 性 质 ： a a 面面垂直 ab
B . 0 ,
C . 0， 90
D . ， 180
例3. AB是 异 面 直 线 , b的 公 垂 线 段 ， 2，a , b成30 角 ， a AB 在a上 取 点 使AP 4， 则 点 到b的 距 离 等 于B ) P P ( A.2 2或2 14 B .2 2 C .2 14 D.2 5
1.定义：任意 ，l a l a m, n
三垂线定理
Ⅳ. 直线和平面所成的角： 1.斜线 段)及其射影长的有关性质 (
从平面外一点向这个平 面所引的垂线段和斜线 段中：
“斜线段长相等 射影长相等”
2.直线和平面所成的角
P
[0， ] 90
0 此时a // 或a
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A Oa α
证明:在平面内的一条直线，如果和这个平面的
一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
已知条件：PA⊥平面a (A是P在平面内的 射影), a⊥AO
求证： a⊥PO
证明： ∵PA⊥平面a， ∴PA⊥AO，PA⊥a(如果一条直线垂直 于一个平面，那么这条直线垂直于平面 内所有直线) ∵a⊥AO ∴a⊥平面OAP(如果平面外一直线与平 面内的两条相交直线垂直，那么这条直 线垂直于这个平面) ∴a⊥PO
证明：∵PA⊥平面ABC，∠ACB= 90°， ∴AC⊥BC，AC是斜线PC在 平面ABC的射影，∴BC⊥PC（三垂线 定理），
∴∆PBC是直角三角形； ∴BC⊥平面PAC，AQ在平面PAC内， ∴BC⊥AQ，又PC⊥AQ， ∴AQ⊥平面PBC，∴QR是AR在平面 PBC的射影，又AR⊥PB， ∴QR⊥PB（三垂线逆定理），
∴∆PQR是直角三角形。
P
Q
C
R
A
B
巩固性练习：
1、若一条直线与平面的一条斜线在此平面上的射影垂直，则这条直线
与斜线的位置关系是（ D ）
（A）垂直
（B）异面 （C）相交 （D）不能确定
2、在一个四面体中，如果它有一个面是直角三角形，那么它的另外三
个面（ C ）
（A）至多只能有一个直角三角形
P
（B）至多只能有两个直角三角形
（重要结论）：如果一条直线垂直于一个平面， 那么这条直线垂直于平面内所有直线。
斜线
定义：如果一条直线与平面相交且不垂直 那么这条直线是这个平面的一条斜线。直 线与平面的交点称斜足。
l 平面：a
O a
斜线：l 斜足：OFra bibliotek射影点：平面外一点向平面引垂线，那么垂足就是该 点在平面内的射影。
任何一个图形由点组成的，所以，图形发在平面 内的射影就是图形上的每一个点在平面内的射影 点组成图形是。显然直线的射影是直线。
P
A Oa α
三垂线定理包含几种垂直关系:
(1)线面垂直
P
α A Oa
直线和 平面垂直
（2）线射垂直
P
α A Oa
平面内的直 线和平面一 条斜线的射 影垂直
（3）线斜垂直
P
α A Oa
平面内的直 线和平面的 一条斜线垂 直
例题一、引例：如图，已知PA⊥平面ABC，∠ABC=90°， 求证：BC⊥PB。
P
证：∵PA⊥平面ABC，BC在平 面ABC内
∴PA⊥BC，又∠ABC=90°，
∴BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB，
A
PB在平面PAB内，
∴BC⊥PB
思考： （1）证明线线垂直的方法有哪些？ （2）三垂线定理及其逆定理的主要内容。
C B
例题2:如图所示，已知PA ⊥平面ABC，∠ACB= 90°， AQ⊥PC， AR⊥PB，试证∆PBC、 ∆PQR为直角三角形。
斜线的射影
做法：斜线上任去一点（除斜足外）作该 点在平面内的射影点，连结该点和斜足的 直线就是斜线在平面内的射影。
平面：a 斜线：PO 射影：AO
P
O
a
A
三垂线定理
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果 和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么 它也和这条斜线垂直。
P
即如果平面内直线a垂 直于平面的斜线PO的 射影AO，则a垂直于 斜线PO。
三垂线定理
复习 斜线与射影概念 三垂线定理 三垂线定理证明 习题 练习 作业
复习（直线与平面的位置关系）
直线在平面内：
l a
l
直线与平面平行： a
直线与平面相交：
l
a
复习上一节：直线与平面垂直
定义：如果一条直线垂直于平面内所有直线， 那么这条直线垂直于这个平面。
判定定理：如果平面外一直线与平面内的两条 相交（平行）直线垂直，那么这条直线垂直于 这个平面。因为两条相交（平行）直线确定一 个平面。
（C）可能都是直角三角形
（D）一定都不是直角三角形
A
C
B
作业:P56 3,5,7
下课！ 休息 ！