三垂线定理.(完整版)

A Oa α
证明:在平面内的一条直线，如果和这个平面的
一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
已知条件：PA⊥平面a (A是P在平面内的 射影), a⊥AO
求证： a⊥PO
证明： ∵PA⊥平面a， ∴PA⊥AO，PA⊥a(如果一条直线垂直 于一个平面，那么这条直线垂直于平面 内所有直线) ∵a⊥AO ∴a⊥平面OAP(如果平面外一直线与平 面内的两条相交直线垂直，那么这条直 线垂直于这个平面) ∴a⊥PO
证明：∵PA⊥平面ABC，∠ACB= 90°， ∴AC⊥BC，AC是斜线PC在 平面ABC的射影，∴BC⊥PC（三垂线 定理），
∴∆PBC是直角三角形； ∴BC⊥平面PAC，AQ在平面PAC内， ∴BC⊥AQ，又PC⊥AQ， ∴AQ⊥平面PBC，∴QR是AR在平面 PBC的射影，又AR⊥PB， ∴QR⊥PB（三垂线逆定理），
∴∆PQR是直角三角形。
P
Q
C
R
A
B
巩固性练习：
1、若一条直线与平面的一条斜线在此平面上的射影垂直，则这条直线
与斜线的位置关系是（ D ）
（A）垂直
（B）异面 （C）相交 （D）不能确定
2、在一个四面体中，如果它有一个面是直角三角形，那么它的另外三
个面（ C ）
（A）至多只能有一个直角三角形
P
（B）至多只能有两个直角三角形
（重要结论）：如果一条直线垂直于一个平面， 那么这条直线垂直于平面内所有直线。
斜线
定义：如果一条直线与平面相交且不垂直 那么这条直线是这个平面的一条斜线。直 线与平面的交点称斜足。
l 平面：a
O a
斜线：l 斜足：OFra bibliotek射影点：平面外一点向平面引垂线，那么垂足就是该 点在平面内的射影。
任何一个图形由点组成的，所以，图形发在平面 内的射影就是图形上的每一个点在平面内的射影 点组成图形是。显然直线的射影是直线。
P
A Oa α
三垂线定理包含几种垂直关系:
(1)线面垂直
P
α A Oa
直线和 平面垂直
（2）线射垂直
P
α A Oa
平面内的直 线和平面一 条斜线的射 影垂直
（3）线斜垂直
P
α A Oa
平面内的直 线和平面的 一条斜线垂 直
例题一、引例：如图，已知PA⊥平面ABC，∠ABC=90°， 求证：BC⊥PB。
P
证：∵PA⊥平面ABC，BC在平 面ABC内
∴PA⊥BC，又∠ABC=90°，
∴BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB，
A
PB在平面PAB内，
∴BC⊥PB
思考： （1）证明线线垂直的方法有哪些？ （2）三垂线定理及其逆定理的主要内容。
C B
例题2:如图所示，已知PA ⊥平面ABC，∠ACB= 90°， AQ⊥PC， AR⊥PB，试证∆PBC、 ∆PQR为直角三角形。
斜线的射影
做法：斜线上任去一点（除斜足外）作该 点在平面内的射影点，连结该点和斜足的 直线就是斜线在平面内的射影。
平面：a 斜线：PO 射影：AO
P
O
a
A
三垂线定理
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果 和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么 它也和这条斜线垂直。
P
即如果平面内直线a垂 直于平面的斜线PO的 射影AO，则a垂直于 斜线PO。
三垂线定理
复习 斜线与射影概念 三垂线定理 三垂线定理证明 习题 练习 作业
复习（直线与平面的位置关系）
直线在平面内：
l a
l
直线与平面平行： a
直线与平面相交：
l
a
复习上一节：直线与平面垂直
定义：如果一条直线垂直于平面内所有直线， 那么这条直线垂直于这个平面。
判定定理：如果平面外一直线与平面内的两条 相交（平行）直线垂直，那么这条直线垂直于 这个平面。因为两条相交（平行）直线确定一 个平面。
（C）可能都是直角三角形
（D）一定都不是直角三角形
A
C
B
作业:P56 3,5,7
下课！ 休息 ！