向量空间
空间向量知识点总结简单
空间向量知识点总结简单一、空间向量的概念空间向量是指在空间中既有方向，又有大小的有向线段，它通常用两个端点来确定。
空间向量与数集合相似，但它比数多了方向和长度属性，而且可以进行加法运算。
二、空间向量的表示1. 向量的表示：（1）向量的坐标表示：设 A、B 两个点在空间直角坐标系中的坐标分别为 (x1, y1, z1) 和(x2, y2, z2)，则向量 AB 可用有向线段 OA = (x2-x1, y2-y1, z2-z1) 表示。
（2）向量的分量表示：向量的三个分量包括它在 x 轴、y 轴和 z 轴上的投影。
2. 向量的线性运算：（1）向量的加法：两个向量的加法就是将其对应分量相加。
（2）向量的数乘：一个向量的数乘就是将其三个分量都乘以同一个实数。
（3）向量的减法：向量 C 是向量 A 减向量 B 的运算，其方向由 A 指向 B。
3. 向量的模：（1）向量的模长：在空间直角坐标系中，向量 (x, y, z) 的模长公式为√(x^2 + y^2 +z^2) 。
（2）单位向量：模长为 1 的向量称为单位向量。
三、向量的线运算1. 点积（数量积）：两个向量的点积定义为：A · B = |A| × |B| × cosθ，其中 |A| 和 |B| 分别为 A 和 B 的模长，θ 为 A 和 B 的夹角。
性质：点积满足交换律、分配律、结合律。
应用：点积可以用来判断两个向量的夹角、求向量的投影、求向量的模等。
2. 叉积（向量积）：两个向量的叉积定义为：A × B = |A| × |B| × sinθ × n，其中 |A| 和 |B| 分别为 A 和 B 的模长，θ 为 A 和 B 的夹角，n 为法向量。
性质：叉积不满足交换律，但满足分配律。
应用：叉积可以用来求向量的方向、求平行四边形或平行六面体的面积、求直线、平面的方程等。
四、空间向量的几何应用1. 平面向量的应用：（1）平行四边形面积公式：S = |A × B| = |A| × |B| × sinθ。
空间向量及其运算
(3|a|＋2|c|)(|a|－|c|)＝0，∴|a|－|c|＝0，即|a|＝|c|.
即当＝＝1时，A1C⊥平面C1BD.
【分析点评】
向量是解决立体几何问题的重要工具，利用向量可解决线面平行、线面垂 直、三点共线、四点共面，以及距离和成角等问题，而利用向量解决立体 几何问题关键在于适当选取基底，将几何问题转化为向量问题． 本题第二问用向量法解决是非常好的选择，大大简化了推理和运算过程． 这样就很好地解决：“会做的题目花费时间过多”这一矛盾，考试过程中 方法的选择就显的尤为重要.
解法二：(1)证明：取
由已知|a|＝|b|，且〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
BD＝CD－CB＝a－b，C1C·B＝c·(a－b)＝c·a－c·b
＝|c||a|－|c||b|＝0，
，∴C1C⊥BD.
(2)若A1C⊥平面C1BD，则A1C⊥C1D，CA1＝a＋b＋c，C1D＝a－c.
∴CA1·C1D＝0，即(a＋b＋c)·(a－c)＝0.整理得：3a2－|a||c|－2c2＝0，
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(3)空间的两个向量可用 同一平面内 的两条有向线段来表示．
2．空间向量的运算
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算，如
下：
＝a＋b；
．
3．运算律：(1)加法交换律：a＋)数乘分配律：λ(a＋b)＝ λa＋λb .
4．共线向量定理：空间任意两个向量a、 b(b≠0), a∥b的充要条件是存在实 数λ，使 a ＝λb .
5．共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，p与向量a，b共面的充要条件 是存在实数x，y使 p＝xa＋yb .
6．空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量
向量空间的基本性质及其在几何力学等领域的应用
向量空间的基本性质及其在几何力学等领域的应用向量空间是线性代数中的重要概念，具有广泛的应用。
本文将介绍向量空间的基本性质，并探讨其在几何力学等领域的应用。
一、向量空间的定义与基本性质向量空间是指由向量组成的集合，满足一定的运算规则和代数性质。
具体来说，向量空间需满足以下条件：1. 封闭性：对于任意两个向量u和v，它们的和u+v仍然属于向量空间。
2. 数乘性：对于任意向量u和标量c，它们的乘积cu仍然属于向量空间。
3. 零向量：向量空间中存在一个零向量，满足对任意向量u，u+0=u。
4. 加法逆元：对于任意向量u，向量空间中存在一个加法逆元-v，使得u+(-v)=0。
5. 结合律、分配律和交换律：向量的加法和数乘运算满足结合律、分配律和交换律。
在向量空间中，还有一些基本的性质：1. 唯一性：零向量是唯一的，而任意向量的加法逆元也是唯一的。
2. 零向量的性质：对于任意向量u，u+0=u和0+u=u成立。
3. 数乘的性质：对于任意标量c，c乘以零向量得到的结果仍然是零向量。
二、向量空间在几何力学中的应用几何力学是力学的一个重要分支，研究物体的形状、运动和相互作用。
向量空间在几何力学中有着广泛的应用，以下将介绍其中几个典型的应用案例。
1. 力的合成在几何力学中，经常需要求解多个力的合成，即将多个力合并成一个力的过程。
向量空间提供了一个方便的工具，可以将力表示为向量，并利用向量的加法运算求解合成力。
2. 力矩的计算力矩是力围绕某个点或轴产生的旋转效应，它在刚体力学和机械工程中有着重要的应用。
通过将力矩表示为向量，并运用向量空间的数乘运算和叉乘运算，可以方便地进行力矩的计算和分析。
3. 坐标系变换在几何力学中，常常需要进行坐标系的变换，以便研究不同参考系下的物体运动和物理量变化。
向量空间的基本性质可以帮助我们理解坐标系变换中的向量变换规律，从而更好地描述和分析物体的运动和相互作用。
4. 线性方程组的求解线性方程组是几何力学中常见的数学模型，通过解线性方程组可以求解物体的平衡状态、运动轨迹等重要信息。
第五章-向量空间
第五章 向量空间向量空间或称线性空间是一个重要的代数系统（定义了代数运算的集合），现代数学所涉及的欧氏空间、U 空间、希尔伯特空间等都是建立在向量空间的基础上的.我们知道,在n 元向量集和n m ⨯矩阵集中,都分别定义了加法和数乘运算,并且就这两种运算的基本性质而言,在形式上是完全一样的.向量空间就是对这类集合的共性的抽象.学习向量空间的理论,不仅有助于深化对矩阵理论、线性方程组理论等内容的理解,同时也为后面两章内容的讨论奠定了基础.除此之外,向量空间的理论和方法在自然科学、工程技术等领域都有一定的应用.本章重点是向量空间的定义、基、内积、正交矩阵等.5.1 向量空间的概念定义 1 设V 是一个非空集,F 是一个数域．如果：1) V 中定义了一个加法．α∀、∈βV , V 中有唯一确定的元与它们对应,这个元称为α与β的和,记为α+β.2) F 到V 有一个数量乘法．k ∀∈F ,∀α∈V ,V 中有唯一确定的元与它们对应,这个元称为k 与α的数量乘积,记为αk .3) 加法与数量乘法满足以下算律： ∀α、β、γ∈V ,∀k 、l ∈F 1 α+β=β+α；2 (α+β)+γ=α+(β+γ)；3 0∈V ,称为V 的零元,有0+α=α；4 α-∈V ,称为α的负元,有α+(α-)=0；5 βαβαk k k +=+)(；6 αααl k l k +=+)(；7 )()(ααl k kl =；8 αα=1,那么称V 是数域F 上的一个向量空间.向量空间V 的元称为向量.定义1中的条件1)和2)可以合并为:F l k V ∈∀∈∀、、,βα,有V l k ∈+βα.由于运算是线性的,也将向量空间称为线性空间.例 1 nF 为数域F 上所有n 元向量构成的集,对向量的加法和数乘,nF 是F 上的一个向量空间.例 2 )(},|){()(F M F a a F M ij n m ij ∈=⨯对矩阵的加法和数量乘法构成F 上的一个向量空间.例 3 在解析几何里,平面或空间中从原点出发的一切向量对向量的加法和实数与向量的乘法都构成实数域上的向量空间.分别记为32,V V .例 4 令],[b a C 为定义在区间],[b a 上的一切连续函数所构成的集.对函数的加法,实数与函数的乘法,],[b a C 是实数域上的向量空间.例5 复数域C 是实数域R 上的向量空间.任意数域都是它自身上的向量空间. 由定义1,可以推出向量空间V 的如下几个性质： 1. 在向量空间V 中,零向量是唯一的.事实上,若10与20都是V 的零向量,便有22110000=+=.2. V 中每一向量的负向量是唯一的.事实上,V ∈∀α,若21,αα都是α的负向量,即有0,021=+=+αααα,那么222121110)()(0αααααααααα=+=++=++=+=.规定α-β=α+ (-β). 3. 在V 中, (Ⅰ) 00＝α； (Ⅱ) 00=k ；(Ⅲ) αααk k k -=-=-)()(.事实上, 0=+αα0=+αα1(0+1)ααα==1.等式两边同时加上(-α),得0α=0.故（i ）式成立.由0)00(00k k k k =+=+,两边加上0)(k -,得00=k ,即(ii )式成立.由00)()(==+-=+-k k k k αααα,即)(α-k 是αk 的负元,所以ααk k -=-)(.同样可得ααk k -=-)(.4. 在V 中,如果0=αk ,则=k 0或0=α. 事实上,若0=αk ,而≠k 0,那么001)(1==k k k α.又αααα===1)1()(1k kk k ,故.0=α此外,由于V 中的加法满足交换律﹑结合律,V 中s 个向量相加,可以任意交换各项的次序,任意添加括号,所得结果都相同.定义2 设V 是数域F 上的向量空间,.,φ≠⊆W V W 如果F k W ∈∀∈∀,βα、,有W k W ∈∈+αβα,, (1)那么称W 是V 的一个子空间.由定义,V 的子空间一定含V 中的零向量(则,W ∈α0W ∈=0α).如果W 是V 的子空间,那么W 也是数域F 上的向量空间.这是因为W 对V 的加法和F 到V 的数量乘法封闭，而定义1中的算律1 至8在V 中成立,在W 中当然成立.例 6. 由向量空间V 的零向量构成的集{0}是V 的子空间,称为零空间.V 自身是V 的子空间.这两个子空间都称为V 的平凡子空间.例7. nF 中一切形如),0,,,,(121-n a a a F a i ∈的向量构成的集是nF 的一个子空间.定义2中的条件（1）可表示为:F l k W ∈∀∈∀、、,βαW l k ∈+βα. （2） 反之,若（2）成立,则W 是V 的一个子空间.事实上,在（2）中,令1==l k ,得W ∈+βα;令0=l ,得W k ∈α,由定义2,W 是V 的子空间.在向量空间V 中,我们可以依照3.2中n 元向量线性相关性的表述来定义诸如向量的线性组合、线性相关等相应的概念,从而得出相应的结论.从形式上说,这些概念、结论的表述是完全一样的.只是在向量空间中涉及这些概念、结论的对象——向量以及线性运算,已经不局限于n 元向量及其运算.在此,不再一一列出.现设V 是数域F 上的向量空间,V 中的s 个向量s ααα,,,21 的一切线性组合构成的集},,2,1,|{2211s i F k k k k s i s s =∈+++=ααα是V 的一个子空间.事实上,∀α﹑β∈S ,∀k ∈F ,令s s k k k αααα+++= 2211,2211ααβl l +=s s l α++ ,那么α+β与αk 仍为s ααα,,,21 的线性组合,即有α+β∈S ,αk ∈S .故S 是V 的子空间,它称为由s ααα,,,21 生成的子空间,记为 L (s ααα,,,21 ),s ααα,,,21 称为生成向量.下面我们看一个例子.m 个方程n 个未知量的齐次线性方程组0=AX ,它的所有解向量的集{}元列向量为n A T ααα,0==是n F 的非空子集.若n F ∈βα、（βα、为n 元列向量）,有0,0==βαA A ,那么F k ∈∀,则0)(=+βαA ,0)(=αk A .即F k T ∈∈∀,,βα,有T k T ∈∈+αβα,.因此T 是n F 的一个子空间.由于0=AX 的任一解都可表示为它的基础解系的线性组合,若r n -ηηη,,,21 是0=AX 的一个基础解系,那么α﹑β可表示为r n -ηηη,,,21 的线性组合,于是T 包含于生成子空间),,,(21r n L -ηηη .即 T ⊆),,,(21r n L -ηηη . 反之,任取∈β),,,(21r n L -ηηη ,令F k k k k i r n r n ∈+++=--,2211ηηηβ 为常数,r n i -=,,2,1 ,那么,0)(2211=+++=--r n r n k k k A A ηηηβ ,即β∈T .因而),,,(21r n L -ηηη ⊆T . 故 ),,,(21r n L T -=ηηη .n F 的子空间),,,(21r n L -ηηη 称为齐次线性方程组0=AX 的解空间.最后，我们给出子空间的和的概念。
什么是向量空间向量空间的定义
什么是向量空间向量空间的定义 向量空间⼜称线性空间，是线性代数的中⼼内容和基本概念之⼀。
那么你对向量空间了解多少呢?以下是由店铺整理关于什么是向量空间的内容，希望⼤家喜欢! 向量空间的简介 在解析⼏何⾥引⼊向量概念后，使许多问题的处理变得更为简洁和清晰，在此基础上的进⼀步抽象化，形成了与域相联系的向量空间概念。
譬如，实系数多项式的集合在定义适当的运算后构成向量空间，在代数上处理是⽅便的。
单变元实函数的集合在定义适当的运算后，也构成向量空间，研究此类函数向量空间的数学分⽀称为泛函分析。
向量空间它的理论和⽅法在科学技术的各个领域都有⼴泛的应⽤。
向量空间的线性映射 若 V 和 W 都是域F上的向量空间，可以设定由V到W的线性变换或“线性映射”。
这些由V到W的映射都有共同点，就是它们保持总和及标量商数。
这个集合包含所有由V到W的线性映射，以 L(V, W) 来描述，也是⼀个域F上的向量空间。
当 V 及 W 被确定后，线性映射可以⽤矩阵来表达。
同构是⼀对⼀的⼀张线性映射。
如果在V 和W之间存在同构，我们称这两个空间为同构;域F上每⼀n 维向量空间都与向量空间F同构。
⼀个在F场的向量空间加上线性映射就可以构成⼀个范畴，即阿贝尔范畴。
向量空间的额外结构 研究向量空间很⾃然涉及⼀些额外结构。
额外结构如下： ⼀个实数或复数向量空间加上长度概念。
就是范数称为赋范向量空间。
⼀个实数或复数向量空间加上长度和⾓度的概念，称为内积空间。
⼀个向量空间加上拓扑学符合运算的(加法及标量乘法是连续映射)称为拓扑向量空间。
⼀个向量空间加上双线性算⼦(定义为向量乘法)是个域代数。
向量空间的公理化定义 设F是⼀个域。
⼀个F上的向量空间是⼀个集合V和两个运算： 向量加法: V + V → V, 记作 v + w, ∃ v, w∈V 标量乘法: F × V → V, 记作 a·v, ∃a∈F, v∈V 符合下列公理 (∀ a, b ∈ F 及 u, v, w ∈ V)： 向量加法结合律：u + (v + w) = (u + v) + w; 向量加法交换律：v + w = w + v; 向量加法的单位元：V ⾥有⼀个叫做零向量的 0，∀ v ∈ V , v + 0 = v; 向量加法的逆元素：∀v∈V, ∃w∈V，使得 v + w = 0; 标量乘法分配于向量加法上：a(v + w) = a v + a w; 标量乘法分配于域加法上: (a + b)v = a v + b v; 标量乘法⼀致于标量的域乘法: a(b v) = (ab)v; 标量乘法有单位元: 1 v = v, 这⾥ 1 是指域 F 的乘法单位元。
向量空间的基本概念
向量空间的基本概念
【例3-19】
证明向量组α1=1,1,2T,α2=3,－1,0T,α3=（2,0,－11）T构成R3的 一组基，并求出向量β=1,－1,7T在此基下的坐标.
证明 要证明α1,α2,α3构成R3的一组基，只需证明α1,α2,α3线性 无关.
构造矩阵A=α1,α2,α3,并对A进行初等行变换：
对于向量空间Rn的一组基α1,α2,…，αn，任取Rn中的 一个向量α，则α可由α1,α2,…，αn线性表示，且表达式是 唯一的.由此，我们引进如下定义：
向量空间的基本概念
定义3-14
设α1,α2,…，αr是向量空间V的一组基，α是V中的向量， 则存在唯一的一组数x1,x2,…,xr，使
α=x1α1+x2α2+…+xrαr 称x1,x2,…,xr为向量α在基α1,α2,…，αr下的坐标. 特别地，在n维向量空间R n中取单位坐标向量组 e1,e2,…,en为基，则以x1,x2,…,xn为分量的向量x=x1,x2,…,xn可 表示为
向量空间的基本概念
二、 向量空间的基与维数
向量空间中的每一个元素都是一个 向量.我们在前面介绍的关于n维向量的 概念（线性组合、相性相关、线性无关 等）及有关结论都可以推广到向量空间 上.为简便起见，在向量空间里，我们直 接利用这些概念和性质.
向量空间的基本概念
定义3-13
设向量组V是Rn的一个子空间，则称向量组V的一个极 大无关组为向量空间V的一组基，并且称向量组V的秩为向量 空间V的维数，记作dimV.
向量空间的基本概念
向量空间的基本概念
一、 向量空间与子空间
定义3-11
设V为n维向量的集合，如果集合V非空且对于向 量的线性运算（向量的加法及数乘运算）封闭，即对任 意的α，β∈V和常数k∈R都有
向量空间的基本性质与判定定理
向量空间的基本性质与判定定理向量空间是线性代数中的重要概念，它有一些基本的性质和判定定理。
本文将介绍向量空间的定义、基本性质和判定定理，并探讨它们在数学和实际应用中的重要性。
一、向量空间的定义向量空间是一种包含了向量的集合，满足特定的运算规则和性质。
具体而言，向量空间要满足以下三个条件：1. 封闭性：对于向量空间V中的任意两个向量u和v，它们的线性组合u+v也属于V。
2. 结合律：对于向量空间V中的任意三个向量u、v和w，(u+v)+w=u+(v+w)。
3. 数乘结合律：对于向量空间V中的任意标量c和任意向量v，有c(v+u)=cv+cu。
二、向量空间的基本性质1. 零向量：向量空间V中存在一个特殊的向量0，称为零向量，满足对于任意向量v，v+0=v。
2. 负向量：对于向量空间V中的任意向量v，存在一个唯一的向量-v，满足v+(-v)=0。
3. 唯一性：向量空间V中的零向量和负向量是唯一的，即只有一个零向量和一个负向量。
三、向量空间的判定定理判定一个集合是否构成向量空间的基本手段是验证其是否满足向量空间的定义和基本性质。
除此之外，还有一些判定定理可以用来简化判定过程。
1. 零向量的存在性：一个集合构成向量空间的必要条件是存在一个零向量。
2. 加法逆元的存在性：一个集合构成向量空间的必要条件是每个向量都存在一个加法逆元。
3. 闭性的必要性：一个集合构成向量空间的必要条件是对于任意两个向量，它们的线性组合也属于该集合。
4. 向量空间的非空性：一个集合构成向量空间的充分必要条件是该集合非空。
5. 零乘法：如果向量空间中允许定义零向量与非零向量相乘且结果为零向量，那么该集合不构成向量空间。
四、向量空间的重要性向量空间的概念不仅仅在数学中具有重要性，也被广泛应用于物理学、计算机科学和工程学等领域。
在物理学中，向量空间可以用来描述物体的运动和力的作用；在计算机科学中，向量空间可以用来表示文本、图像等信息；在工程学中，向量空间可以用来描述电路和信号处理等问题。
线性代数中的向量空间
线性代数中的向量空间线性代数是数学中的一个重要分支，研究的是向量和线性方程组的性质。
在线性代数中，向量空间是一个基本的概念，它在许多数学和科学领域中都有重要的应用。
本文将介绍关于向量空间的定义、性质以及应用。
一、向量空间的定义在线性代数中，向量空间是指由一组向量构成的集合，其中包含了向量加法和标量乘法两种运算，并满足以下八个性质：1. 零向量存在性：向量空间中存在一个特殊的向量，被称为零向量，记为0，它满足对于任意向量v，有v + 0 = v。
2. 向量加法封闭性：对于任意向量v和w，它们的和v + w也属于向量空间。
3. 向量加法结合律：对于任意向量u、v和w，有(u + v) + w = u + (v + w)。
4. 向量加法交换律：对于任意向量u和v，有u + v = v + u。
5. 标量乘法封闭性：对于任意标量k和向量v，k * v也属于向量空间。
6. 标量乘法结合律：对于任意标量k和l以及向量v，有(k * l) * v = k * (l * v)。
7. 向量与标量加法的分配律：对于任意标量k和向量v、w，有k * (v + w) = k * v + k * w。
8. 向量与标量乘法的分配律：对于任意标量k和l以及向量v，有(k + l) * v = k * v + l * v。
满足以上八个性质的集合即可称为向量空间。
二、向量空间的性质在向量空间中，还有一些重要的性质：1. 零向量的唯一性：向量空间中的零向量是唯一的，即任意向量空间中的零向量都相等。
2. 负向量的存在性：对于任意向量v，在向量空间中存在一个向量-u，使得v + (-u) = 0。
这里的-u被称为v的负向量。
3. 数乘的零乘性：对于任意标量k和向量v，在向量空间中，有0 * v = 0，其中0表示标量的零。
4. 数乘的单位元性：对于任意向量v，在向量空间中，有1 * v = v，其中1表示标量的单位元。
三、向量空间的应用向量空间的概念和性质在数学和科学中有广泛的应用。
向量空间与子空间
向量空间与子空间向量空间是线性代数中的基本概念之一，它是由一组向量构成的集合，并且满足一定的线性运算规则。
而子空间则是向量空间中的一个子集，满足特定的性质。
本文将详细介绍向量空间与子空间的定义、性质以及它们在实际问题中的应用。
一、向量空间的定义及性质1. 向量空间的定义向量空间是一个集合V，其中包含了一些向量，满足以下性质：（1）对于V中的任意两个向量u和v，u + v 仍然属于V，即向量的加法运算封闭；（2）对于任意向量v和标量k，kv 仍然属于V，即向量的数乘运算封闭；（3）向量空间中存在一个零向量0，满足对于任意向量v，v + 0 = v。
2. 向量空间的性质（1）向量空间必须包含零向量0。
（2）向量空间中的任意向量都有相反向量，即对于任意向量v，存在一个向量-w，使得v + (-w) = 0。
（3）向量空间对于加法运算是封闭的，即对于任意向量u和v，u+ v 仍然属于V。
（4）向量空间对于数乘运算是封闭的，即对于任意向量v和标量k，kv 仍然属于V。
二、子空间的定义及性质1. 子空间的定义子空间是向量空间V的一个子集U，满足以下性质：（1）子空间U非空，即存在向量0属于U。
（2）对于U中的任意两个向量u和v，u + v 仍然属于U。
（3）对于U中的任意向量v和标量k，kv 仍然属于U。
2. 子空间的性质（1）子空间必须包含零向量0。
（2）子空间对于加法运算是封闭的，即对于任意向量u和v，u + v 仍然属于U。
（3）子空间对于数乘运算是封闭的，即对于任意向量v和标量k，kv 仍然属于U。
三、向量空间与子空间的应用向量空间与子空间在实际问题中有着广泛的应用。
以下列举几个例子：1. 线性方程组的解空间解线性方程组的解构成一个向量空间，而线性方程组的一个特解再加上它的解空间构成了该线性方程组的解集。
2. 多项式空间所有次数不超过n的多项式构成一个向量空间，而次数不超过n的特定类型的多项式构成了一个子空间。
空间向量(知识点梳理)
-@>% )一空间向量的概念1.空间向量的有关概念及线性运算(1)空间向量的定义:在空间内具有大小和方向的量叫作空间向量.(2)空间向量的表示:空间向量可用有向线段来表示.(3)零向量:起点与终点重合的向量叫作零向量.(4)空间向量的模(或长度):表示空间向量的有向线段的长度叫作向量的模(或长度).(5)共线向量(或平行向量):基线互相平行或重合的向量叫作共线向量(或平行向量).(6)共面向量:向量所在的直线与平面平行或在平面内,称向量与平面平行,平行于同一平面的向量叫作共面向量.(7)空间向量的加法㊁减法㊁数乘向量运算的定义㊁92.空间向量的有关定理(1)共线向量定理:对空间向量aң,bң(bңʂ0ң),aңʊbң的充要条件是存在实数k,使aң=k bң.推论:①对于空间任一点O,点P在直线A B上的充要条件是存在实数t,使O Pң=(1-t)O Aң+t O Bң或O Pң=xO Aң+y O Bң(其中x+y=1).②如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量aң的直线,那么对任一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,满足关系式O Pң=O Aң+t aң,该方程称为直线方程的向量表达式.(2)共面向量定理:如果两个向量aң,bң不共线,则向量cң与向量aң,bң共面的充要条件是存在唯一的一对实数x,y,使cң=x aң+y bң.推论:空间一点P位于平面A B C内的充要条件是:存在有序实数对x,y,使C Pң=xC Aң+y C Bң,或对空间任一定点O,有O Pң=O Cң+xC Aң+y C Bң,该式称为平面C A B的向量表示式.(3)空间向量分解定理:如果三个向量aң,bң,cң不共面,那么对于空间任意一个向量pң,存在唯一的有序实数组x,y,z,使pң=x aң+y bң+z cң.其中不共面的三个向量aң,bң,cң叫作空间的一个基底,每一个向量aң,bң,cң叫8作基向量.3.空间向量的数量积(1)两个向量的夹角:对于两个非零向量aң,bң,在空间任取一点O,作O Aң=aң,O Bң=bң,则øA O B叫作向量aң,bң的夹角,记作<aң,bң>.注意:两个向量的夹角的取值范围是:0ɤ<aң,bң>ɤπ.(2)两个向量的数量积的定义:aң㊃bң=|aң||bң|㊃c o s<aң,bң>.二空间向量的坐标运算若向量aң=(a1,a2,a3),bң=(b1,b2,b3),则有:(1)aң+bң=(a1+b1,a2+b2,a3+b3);(2)aң-bң=(a1-b1,a2-b2,a3-b3);(3)λaң=(λa1,λa2,λa3);(4)aң㊃bң=a1b1+a2b2+a3b3;(5)距离公式:|aң|=aң2=a21+a22+a23;(6)夹角公式:c o s<aң,bң>=a1b1+a2b2+a3b3a21+a22+a23㊃b21+b22+b23;9(7)aңʊbң(bңʂ0ң)⇔a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λɪR)或aңʊbң(bң与三条坐标轴都不平行)⇔a1b1=a2b2=a3b3;(8)aңʅbң⇔a1b1+a2b2+a3b3=0.三利用空间向量证明空间中的位置关系1.直线的方向向量与平面的法向量(1)直线的方向向量:基线和直线平行的向量叫作这条直线的方向向量.(2)平面的法向量:基线和平面垂直的向量叫作这个平面的法向量.2.利用空间向量证明空间中的位置关系(1)证明直线与直线平行的方法是:若直线l1和l2的方向向量分别为vң1和vң2,则l1ʊl2⇔vң1ʊvң2.(2)证明直线与平面平行的方法有两种:若直线l 的方向向量为vң,平面α内的两个不共线向量是vң1和vң2,平面α的法向量为nң,则有:①lʊα⇔存在实数x,y,使vң=x vң1+y vң2;②lʊα⇔vңʅnң.(3)证明平面与平面平行的方法是将其转化为直线与直线平行或直线与平面平行,然后利用向量方法证明.也可以用如下方法:若平面α和β的法向量分别为nң1和0010 n ң2,则αʊβ⇔n ң1ʊn ң2.(4)证明直线与直线垂直的方法是:若直线l 1和l 2的方向向量分别为v ң1和v ң2,则l 1ʅl 2⇔v ң1ʅv ң2.(5)证明直线与平面垂直的方法是:若直线l 的方向向量为v ң,平面α的法向量为n ң,则l ʅα⇔v ңʊn ң.(6)证明平面与平面垂直的方法是:若平面α和β的法向量分别为n ң1和n ң2,则αʅβ⇔n ң1ʅn ң2.四利用空间向量求空间角1.有关角的概念(1)空间角主要包括两条异面直线所成的角㊁直线与平面所成的角㊁二面角.(2)斜线与平面所成的角:平面的一条斜线和它在这个平面内的射影的夹角叫作斜线和平面所成的角.规定:若一条直线与一个平面平行或在平面内,则这条直线和平面所成的角为0;若一条直线与一个平面垂直,则这条直线和平面所成的角为π2.因此,斜线和平面所成的角的范围是0,π2();直线和平面所成的角的范围是0,π2[].(3)二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面二面角的平面角:在二面角α-l-β的棱l上任取一点O,在两个半平面内分别作射线O Aʅl,O Bʅl,则øA O B叫作二面角α-l-β的平面角.直二面角:平面角是直角的二面角叫作直二面角,互相垂直的两个平面相交所形成的二面角就是直二面角.二面角的取值范围是[0,π].(4)最小角原理:斜线和平面所成的角,是斜线和这个平面所有直线所成角中的最小的角.(5)从角的顶点出发的一条直线,如果它和这个角的两条边所成的角相等,那么它在这个角所在平面内的射影是这个角的平分线.这个结论常用于确定一条直线在一个平面内的射影.(6)利用射影面积公式:S'=S㊃c o sθ,也可以求一些二面角的大小.2.利用空间向量求空间角的方法(1)若异面直线l1和l2的方向向量分别为vң1和vң2,它们所成的角为θ,则c o sθ=|c o s<vң1,vң2>|.(2)利用空间向量求直线与平面所成的角,可以有两种办法:一是分别求出直线和它在平面内的射影直线的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角(或其补02(3)利用空间向量方法求二面角,也有两种办法:一是分别在二面角的两个面内找到一个与棱垂直且从垂足出发的两个向量,则这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小;二是通过平面的法向量来求:设二面角的两个面的法向量分别为nң1和nң2,则二面角的大小等于<nң1,nң2>(或π-<nң1,nң2>).五利用空间向量求点到平面的距离1.定义一个点到它在一个平面内的正射影的距离叫作这个点到平面的距离.2.求法一是根据定义,按照作(或找) 证 求的步骤求解;二是利用空间向量,首先求出平面的单位法向量nң0,再任意找一个从该点出发的平面的斜线段对应的向量vң,则点到平面的距离为d=|nң0㊃vң|.10。
向量空间的定义和例子
向量空间的定义和例子
1. 嘿，你知道向量空间是啥不？就好比一个大舞台，各种向量就像演员在上面表演！比如三维空间里的那些向量，它们能自由移动和组合呢。
2. 向量空间呀，简单说就是向量们的一个家！就好像学校是学生们的地方一样。
像平面上的向量就构成了一个二维的向量空间呀。
3. 哇塞，向量空间很神奇的哟！它可以想象成一个装满各种独特工具的箱子，而那些工具就是向量。
比如在物理中力的向量组成的空间。
4. 嘿呀，向量空间不就是能让向量愉快玩耍的地方嘛！好比一个游乐园，不同的向量在里面有着不同的乐趣。
像在电子游戏中角色移动的向量，不就处在一个向量空间里嘛。
5. 你想想看，向量空间不就相当于一个有规矩的俱乐部吗？各种向量在里面遵循规则活动。
就像在几何图形里的那些向量一样。
6. 哎呀，向量空间就是向量的天地呀！简直就像一片广阔的草原，向量们在上面自由奔跑。
比如在计算机图形学中的向量，它们就组成了特定的向量空间。
7. 哼，向量空间不难理解呀！它就是向量的一个专属领域！跟现实中每个人都有自己的活动范围一样。
像在数学计算中用到的向量，它们就处在一个特定的向量空间中。
结论：向量空间就是这么有趣又神奇，有着各种各样丰富的例子和应用呢！。
向量空间的定义例子和子空间
注：由1，2知①V的子空间W也是F上的一个向量空间， 并且一定含有V中的零向量.
②由定理6.2.1知，要判断 W V是否是V的子空间 只须验证加法与数乘封闭即可.
②要验证一个非空集合是否作成一个数域上的向 量空间，只须对所给的两种运算首先判断其是否 封闭.其次，再判断它们是否满足8条运算即可.
③不利用向量空间中加法的可交换性，证明左逆元 和左零元也是右逆元和右零元.
பைடு நூலகம்
④向量空间定义中的加法交换律可由定义中的其 它公理推出（证明见高代选讲）.
⑤（习题8）向量空间定义中条件中的8）不能由 其余条件推出，即条件
3.例子
例1：零空间，平凡子空间，真子空间
F 例3： n 中一切形如 a1, a2 ,an1,0, ai F 的向量作成 F n 的一个子空间
例4：Fx 中次数不超过一个给定的整数n的多项式
全体连同零多项式一起作成 Fx 的一个子空间.
例5：（补充）数域F上齐次线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn 0 a21 x1 a22 x2 a2n xn 0 am1 x1 am2 x2 amn x n 0
对于 中每V一个向量 ,都有 0
4) 对于V 中每一个向
量 ,使得
量 ,在 V
0 .这样的
中存在一个向
叫做的 的负
向量.
5) a( ) a b
6)(a b) a b
7)(ab) a(b)
8) 1
这里 , , 是V 中任意向量,而a,b 是 F 中任意数.
向量空间的定义和基本性质
向量空间的定义和基本性质向量空间是现代代数学的一个重要分支，与线性代数、函数论、微积分等领域有着紧密的联系。
本文将介绍向量空间的定义及其基本性质。
一、向量空间的定义向量空间是指一个非空集合V及定义在其上的加法和数乘两种运算，满足以下条件：1. 加法满足结合律、交换律和存在零元素的性质。
2. 数乘满足分配律和结合律，并且存在单位元素1。
3. 两种运算满足对于任意的向量u、v和任意的标量a、b，有如下运算规则：（a+b）u = au + bua（u+v）= au + av(ab)u = a(bu)1u = u其中，u、v为V中的向量，a、b为标量。
二、向量空间的基本性质1. 向量空间存在唯一的零元素和相反元素对于V中任意向量v，存在对应的相反元素-v，满足v+（-v）=0。
而0是唯一的零元素，满足对于任意的向量v，v+0=v。
2. 向量空间存在唯一的单位元素单位元素指的是满足1v=v的向量1，它是唯一的。
3. 向量空间中的线性组合向量空间中的线性组合指的是将向量v、w按照一定比例组合得到的新向量，即av+bw。
其中a、b为标量。
线性组合具有封闭性，即对于任意的v、w和标量a、b，有av+bw仍然属于向量空间V。
4. 向量空间的维数向量空间的维数是指该空间中线性无关向量的个数，记作dimV。
如果一组向量v1、v2、...、vn线性无关，则称它们为向量空间的一组基底。
任意向量都可以表示为这组基底的线性组合。
5. 向量空间的子空间向量空间的子空间指的是一个向量空间中的子集，也是一个向量空间。
它必须满足以下条件：1）包含零向量；2）封闭于加法和数乘。
6. 向量空间的同构如果两个向量空间V和W之间存在一个一一映射f，使得V中的任意向量v和w都有唯一的对应关系，同时满足运算规则，即f （v+w）= f(v)+f(w)和f(av)=af(v)，则称向量空间V与W同构。
7. 向量空间的直和向量空间的直和指的是由两个向量空间V和W所组成的向量空间V+W，满足以下条件：1）任意向量都可以表示为v+w的形式，其中v属于V，w属于W；2）V和W的交集只包含零元素。
向量空间
基本要求：
1、理解：n维向量、向量组概念；向量组的线性组 合；向量（,定理2)；
2、理解向量组线性相关（无关）；能判定线性相关 （无关）,P88，定理4.
3、理解向量组的秩概念；能用矩阵初等变换求向量 组的秩和最大无关组,P93,例11.
1
1
5 3
5 3
r1 r3 r3 r2
1 0
0 1
0 0
2
3 2
4 3
1
3
0
0
1
1
2 3
r
因有A ~ E，故R( A) R(a1,a2 ,a3 ) 3. 因此a1,a2 ,a3为R3的一个基，且
2 4
3 3
b1 ,b2
(a1 ,a2
,a3
)
2 3
1 .
1
2 3
b1在
4、清楚齐次（非齐次）线性方程组的通解的结构； 能求基础解系和通解.P97，例12,例16
5、知道向量空间、向量空间的基、维数、向量组 生成的空间等概念；会判定向量空间和基。
作业：P110，34,36.
个基，则 V 可表示为
V x 11 22 rr 1 , ,r R
四、向量在基中的坐标
P105,定义8 如果在向量空间 V 中取定一个基
1,2 , ,ar , 那么 V 中任一向量 x 可唯一地表示
为：
x 11 22 rar ,
数组1,2 , ,r称为向量x在基a1,a2 , ,ar中的
§4.5 向量空间
一、向量空间的定义
定义1 设 V 为 n 维向量的集合，如果集合 V 非空，
向量空间知识点总结
向量空间知识点总结一、向量空间的定义和性质1.1 向量空间的定义向量空间的定义是线性代数中的基础知识之一。
一般来说，向量空间是一个满足一系列条件的集合。
设V是一个包含向量的集合，如果满足以下条件，则称V为一个向量空间：（1）V中的任意两个向量的和仍然在V中，即对于任意的u、v∈V，有u+v∈V；（2）V中的任意一个向量与实数的乘积仍然在V中，即对于任意的u∈V，λ∈R，有λu∈V；（3）向量空间V中存在一个零向量0∈V，满足对于任意的u∈V，有u+0=u。
满足以上三个条件的向量空间V，通常记作（V，+，·），其中“+”表示向量的加法运算，“·”表示数量乘法运算。
1.2 向量空间的性质向量空间具有一些重要的性质，这些性质对于理解向量空间具有重要意义，并且也是研究向量空间的基础。
向量空间的一些性质如下：（1）向量空间的加法和数量乘法封闭性：对于向量空间中的任意两个向量u和v，以及任意的实数λ，有u+v∈V和λu∈V，即向量空间对加法和数量乘法运算是封闭的。
（2）向量空间中的零向量唯一：向量空间中只存在一个零向量0，满足对于任意的u∈V，有u+0=u。
（3）向量空间中的相反元存在性：对于向量空间中的任意一个向量u，存在一个向量-v，使得u+(-v)=0。
（4）向量空间中的数量乘法分配律：对于向量空间中的任意两个实数λ和μ，以及任意的向量u，有(λ+μ)u=λu+μu和λ(u+v)=λu+λv。
向量空间的定义和性质是向量空间理论的基础，对于理解向量空间的概念和性质具有重要的意义。
在实际问题中，向量空间的定义和性质也具有重要的应用价值。
二、子空间2.1 子空间的定义子空间是向量空间中一个重要的概念，它是指在一个向量空间中的子集合，它本身也构成一个向量空间。
设V是一个向量空间，W是V的一个非空子集合，如果满足以下条件，则称W是V的一个子空间：（1）W中的任意两个向量的和仍然在W中，即对于任意的u、v∈W，有u+v∈W；（2）W中的任意一个向量与实数的乘积仍然在W中，即对于任意的u∈W，λ∈R，有λu∈W。
向量空间
解
( a1, a2 ,a3 ) = ( e1, e2 ,e3 ) A, ( e1, e2 ,e3 ) = ( a1, a2 ,a3 ) A−1. ( b1,b2 , b3 ) = ( e1, e2 ,e3 ) B = ( a1, a2 ,a3 ) A−1 B. 即基变换公式为 ( b1,b2 , b3 ) = ( a1, a2 ,a3 ) P,
§5
例
向量空间
设A = ( a1,a2 ,a3 ) , B = ( b1,b2 , b3 ) .求用a1 , a2 ,a3 表示b1,b2 , b3的表达式(基变换公式),
在R3中取定一个基a1 , a2 ,a3 , 再取一个新基b1,b2 , b3 ,
并求向量在两个基中的坐标之间的关系式(坐标变换公式). .
§5
例
向量空间
S=｛x| Ax=b｝
非齐次线性方程组的解集
不是一个向量空间. 证明 x1∈S,即Ax1=b; x2∈S,即Ax2=b, 有A(x1+x2) =2b≠b, 解集S对于加法不封闭,因此S不是一个向量空间.
§5
向量空间
L = { x = λ a + µ b λ , µ ∈ R}
例 设a, b为两个已知的n维向量，集合
解
先 证 a 1， a 2 ， a 3 线 性 无 关 ， 即 A ∼ E 。 −1 2 0 2 1 r A = 2 −1 2 ∼ 0 1 −1 2 2 0 0 因 此 a 1， a 2 ， a 3 是 R 3 的 一 个 基 0 0 ， 1 。
§5
向量空间
x12 x12 , x13 B = AX , X = A−1 B,
x11 ( b1，b2 ) = ( a1，a2，a3 ) x21 x 31
空间向量知识点总结及典型题
空间向量知识点总结及典型题一、空间向量知识点总结。
（一）空间向量的概念。
1. 定义。
- 在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量。
2. 表示方法。
- 用有向线段表示，如→AB，其中A为起点，B为终点；也可以用字母→a,→b,→c·s表示。
3. 向量的模。
- 向量的大小叫做向量的模，对于向量→AB，其模记为|→AB|；对于向量→a，其模记为|→a|。
（二）空间向量的运算。
1. 加法。
- 三角形法则：→AB+→BC=→AC；平行四边形法则：对于不共线的向量→a 和→b，以→a和→b为邻边作平行四边形，则这两个向量之和为平行四边形的对角线所对应的向量。
- 运算律：→a+→b=→b+→a（交换律）；(→a+→b)+→c=→a+(→b+→c)（结合律）。
2. 减法。
- →a-→b=→a+(-→b)，其中-→b是→b的相反向量。
3. 数乘向量。
- 实数λ与向量→a的乘积λ→a仍是一个向量。
- 当λ> 0时，λ→a与→a方向相同；当λ<0时，λ→a与→a方向相反；当λ = 0时，λ→a=→0。
- 运算律：λ(μ→a)=(λμ)→a；(λ+μ)→a=λ→a+μ→a；λ(→a+→b)=λ→a+λ→b。
（三）空间向量的坐标表示。
1. 坐标定义。
- 在空间直角坐标系O - xyz中，设→i,→j,→k分别是x,y,z轴正方向上的单位向量。
对于空间向量→a，若→a=x→i+y→j+z→k，则(x,y,z)叫做向量→a的坐标，记为→a=(x,y,z)。
2. 坐标运算。
- 设→a=(x_1,y_1,z_1)，→b=(x_2,y_2,z_2)，则→a+→b=(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)；→a-→b=(x_1-x_2,y_1-y_2,z_1-z_2)；λ→a=(λx_1,λ y_1,λ z_1)。
- 向量的模|→a|=√(x^2)+y^{2+z^2}。
- 设A(x_1,y_1,z_1)，B(x_2,y_2,z_2)，则→AB=(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)。
空间向量知识点总结
空间向量知识点总结空间向量是高中数学中的重要内容，它为解决立体几何问题提供了一种全新的思路和方法。
下面我们来对空间向量的相关知识点进行一个系统的总结。
一、空间向量的基本概念1、空间向量的定义在空间中，具有大小和方向的量称为空间向量。
2、空间向量的表示空间向量可以用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。
向量通常用小写字母加箭头表示，如\（＼vec{a}＼）。
3、空间向量的模空间向量\（＼vec{a}＼）的模（长度）记作\（｜＼vec{a}｜＼），其计算公式为\（｜＼vec{a}｜＝＼sqrt{a_1^2 ＋ a_2^2 ＋ a_3^2}＼）（假设\（＼vec{a} ＝（a_1, a_2, a_3)＼））。
4、零向量长度为\（0\）的向量称为零向量，记作\（＼vec{0}＼），其方向是任意的。
5、单位向量模为\（1\）的向量称为单位向量。
若\（＼vec{a}＼）是非零向量，则与\（＼vec{a}＼）同向的单位向量为\（＼frac{＼vec{a}｝｛｜＼vec{a}｜｝＼）。
6、相等向量长度相等且方向相同的向量称为相等向量。
7、相反向量长度相等但方向相反的向量称为相反向量。
二、空间向量的运算1、加法空间向量的加法满足三角形法则和平行四边形法则。
设\（＼vec{a}＼）、＼（＼vec{b}＼）为两个空间向量，则它们的和向量\（＼vec{c} ＝＼vec{a} ＋＼vec{b}＼）。
2、减法空间向量的减法是加法的逆运算，＼（＼vec{a} ＼vec{b} ＝＼vec{a} ＋（＼vec{b}）＼）。
3、数乘运算实数\（＼lambda\）与空间向量\（＼vec{a}＼）的乘积\（＼lambda\vec{a}＼）仍然是一个向量。
当\（＼lambda ＞ 0\）时，＼（＼lambda\vec{a}＼）与\（＼vec{a}＼）同向；当\（＼lambda ＜ 0\）时，＼（＼lambda\vec{a}＼）与\（＼vec{a}＼）反向；当\（＼lambda ＝0\）时，＼（＼lambda\vec{a} ＝＼vec{0}＼）。
向量空间的定义和性质
向量空间的定义和性质向量空间是线性代数中的重要概念，它涉及到向量的集合以及相关的运算规则。
本文将介绍向量空间的定义和性质，并逐步展开讨论。
一、向量空间的定义向量空间是指一个由向量构成的集合，同时满足以下条件：1. 加法运算封闭性：对于任意两个向量u和v，它们的和仍然在该向量空间内，记作u+v。
2. 数乘运算封闭性：对于任意向量u和标量k，它们的乘积仍然在该向量空间内，记作ku。
3. 零向量存在性：存在一个称为零向量的特殊向量，满足对于任意向量u，u+0=u。
4. 加法交换律：对于任意两个向量u和v，有u+v=v+u。
5. 加法结合律：对于任意三个向量u、v和w，有(u+v)+w=u+(v+w)。
6. 数乘结合律：对于任意向量u和标量k1、k2，有(k1k2)u=k1(k2u)。
7. 数乘分配律1：对于任意向量u和标量k1、k2，有(k1+k2)u=k1u+k2u。
8. 数乘分配律2：对于任意向量u和标量k，有k(u+v)=ku+kv。
二、向量空间的性质1. 零向量唯一性：零向量是唯一的，即向量空间中只存在一个零向量。
2. 加法逆元存在性：对于任意向量u，都存在一个称为它的加法逆元的向量-v，满足u+(-v)=0。
3. 乘法单位元存在性：对于任意向量u，有1u=u。
4. 数乘分配律3：对于任意向量u和标量k1、k2，有(k1-k2)u=k1u-k2u。
5. 数乘分配律4：对于任意向量u和标量k，有(ku)v=k(uv)。
三、向量空间的例子1. 实数域上的n维向量空间：实数域上由n个实数组成的有序数组成的集合，记作R^n，其满足所有向量空间的定义和性质。
2. 矩阵向量空间：矩阵构成的集合，具有特定的维度，包含了所有矩阵运算规则。
3. 多项式向量空间：包含所有多项式函数的集合，满足多项式的加法和数乘运算规则。
4. 函数空间：由所有满足特定性质的函数构成的集合，包含了函数的加法和数乘运算规则。
四、向量空间的应用向量空间的概念在很多领域都有广泛应用。
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p12 p22 pn2
p1n
p2n
pnn
称为由基e1 , e2 , , en到1 , 2 , , n的过渡矩阵.
设向量 在上述两组基下的坐标分别为
x1, x2 , , xr 和 y1, y2 , , yr ,则
x1e1 x2e2 xnen y11 y2 2 yn n
基，r 称为向量空间 V 的维数，并称 V 为 r 维向量
空间．用dim (V)表示向量空间的维数.
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例如
n维 单 位 向 量 组
1 1，0， ，0 2 0,1， ，0
n 0，0， ，1
是n维 向 量 空 间Rn的 一 个 基 ， 叫 做 标 准 基。 显 然dim(Rn ) n。
试证：V1 V2 .
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证 设x V1，则x可由a1, , am线性表示.
因a1 , ,am可由b1 , ,bs线性表示，故x可由b1 , , bs线性表示，所以x V2 . 这就是说，若x V1，则x V2， 因此V1 V2 . 类似地可证 : 若x V2 ,则x V1 , 因此V2 V1 . 因为V1 V2，V2 V1，所以V1 V2 .
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三、向量空间的基与维数
定义3 设 V是向量空间，如果 r 个向量 1,2 , ,r V，且满足
(1) 1, 2 , , r线性无关; (2)V中任一向量都可由1,2 , ,r线性表示.
那末，向量组 1 ,2 , ,r 就称为向量 V 的一个
kx1 (k1 )a (k1 )b V .
这个向量空间称为由向量a, b所生成的向量空 间.
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我们知道
定义1.5 设有m个n维向量1 , 2 , , m , 对于
任给的实数c1 , c2 , , cm ,由向量线性运算构成 的式子
c11 c2 2 cm m
两 组 基 ， 则 后 一 组 基 可用 前 一 组 基 唯 一 地 表 示
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1 p11e1 p21e2 pn1en
2
p12e1 p22e2
pn2en
n p1ne1 p2ne2 pnnen
V x 1a1 2a2 mam 1,2 , ,m R
构成一个向量空间
一般地，由向量组a1, a2 , , am所生成的向量空 间为
V x 1a1 2a2 mam 1,2 , ,m R
记作 L(1,2 , ,m )
V L(1,2 , ,r )
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说明
（1）只含有零向量的向量空间称为0维向量 空间，因此它没有基．如果向量空间V没有基，就说V
的维数为0。
（2）若把向量空间 V看作向量组，那末V的基 就是向量组的最大无关组, V 的维数就是向量组的
秩.当V由n维向量组成时，它的维数不会超过n。
1 0 0 2 4
0
1
0
3 2
3 1
3
0
0
1
1
2 3
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1 0 0 2 4
3 3
~ ( A B)初等行变换 0
1
0
2 3
1
0
0
1
1
2 3
因有A ~ E，故a1 ,a2 ,a3为R3的一个基，且
即
x11 (b1 ,b2 ) (a1 ,a2 ,a3 ) x21
x31 记作B AX .
x12 x22 , x32
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对矩阵( AB)施行初等行变换，若A能变为E，
则a1 ,a2 ,a3为R3的一个基，且当A变为E时，B变为
X A1B.
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例6 设矩阵
2 2 1
A (a1 ,a2 ,a3 ) 2 1 2 ,
1 2 2
1 4 B (b1 ,b2 ) 0 3,
4 2
验证a1 ,a2 ,a3 ,是R3的一个基，并把b1 ,b2用这个基 线性表示.
2 2 1 1 4
( AB) 2 1 2 0 3
1 2 2 4 2
1 3 (r1
r2
~
r3 )
1 1 1 2 1 2 1 2 2
1 0 4
3 3 2
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1
3 (r1
r2
~
r3 )
1 1 1 2 1 2 1 2 2
称为向量组1 , 2 ,
,
的
m
一
个
线
性
组
合
。
对于n维向量 ,若存在实数1, 2 , , m ,使得
11 22 mm
则称向量能由向量组1,2 ,
,
线
m
性
表
示
或
向量是向量组1,2 ,
,
的
m
一
个
线
性
组
合
。
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设 1,2, ,m 为一个n维向量组，它们的线性组合
V1 x 0, x2 , , xn T x2 , , xn R
解 V1是向量空间 .
因为对于V1的任意两个元素
0, a2 , , an T , 0, b2 , , bn T V1 ,
有 0,a2 b2 , ,an bn T V1
0, a2 , , an T V1 .
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例3 判别下列集合是否为向量空间.
V2 x 1, x2 , , xn T x2 , , xn R
解 V2不是向量空间.
因为若 1,a2 , ,an T V2 , 则2 2,2a2 , ,2an T V2 .
2．n 维向量的集合是一个向量空间,记作Rn.
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例1 3 维向量的全体R3 ,是一个向量空间. 因为任意两个3维向量之和仍然是3维向量, 数
乘3维向量仍然是3维向量，它们都属于R3 .
类似地，n维向量的全体Rn，也是一个向量空 间.
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例2 判别下列集合是否为向量空间.
2 4
3 3
b1
, b2
(a1
,a2
,a3
)
2 3
1 .
1
2 3
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定 义 设1, 2 , , r是 向 量 空 间V的 一 个 基 ， 则
对 任 意 的 V， 存 在 唯 一 一 组 有 序 数x1, x2 , , xr
注意：等价的向量组生成的向量空间必相等
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二、子空间
定义2 设有向量空间 V1及V2，若向量空间V1 V2， 就说 V1 是 V2 的子空间． 实例
设V 是由 n 维向量所组成的向量空间， 显然V Rn 所以V总是 Rn的子空间.
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显 然 ， 零 向 量0属 于 任 何 向 量 空 间 。 如果V是 向 量
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例4 设a,b为两个已知的n维向量，集合
V x a b , R
试判断集合是否为向量空间.
解 V是一个向量空间.因为若x1 1a 1b x2 2a 2b， 则有
x1 x2 (1 2 )a (1 2 )b V ,
r2r3~(
3) 3
1 1 1 1 3
0
1
0
2
1
3
0
1
1
5 3
5 3
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r2r3~(1 1 3
0
1
0
2
1
3
0
1
1
5 3
5 3
使 x11 x2 2 xr r , 称 这 组 有 序 数x1 , x2 ,
,
xr为 向 量在 基1 , 2 ,
,
下
r
的
坐
标.
记
做
x1, x2 , , xr
一个向量空间可能有多个基。同一个向 量在不同基下的坐标可能不同。
设e1 , e2 , , en与1 , 2 , , n是n维向量空间Rn的
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解 要证a1, a2 , a3是R3的一个基，只要证a1, a2 , a3 线性无关，即只要证A ~ E.
N维空间基的判别定理：N维空间V中任N个线性无关的向量皆是 N维空间V中的一组基
设
b1 x11a1 x21a2 x31a3 ,
b2 x12a1 x22a2 x32a3，
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Rn的维数为 n；基为e1, e2 , , en；
V1 (0, a2 , , an ) a2 , , an R
的维数为n 1；基为e2 , , en；
V2 L(1,2 , ,m )的维数为 1,2 , ,m的秩r(1,2 , ,m ). 基为 1,2 , ,m的极大无关组。 若向量空间的基为1,2, ,r
空 间 ， 则V和0都 是V的 子 空 间 ， 称 之 为V的 平 凡 子 空
间 。V的 其 他 子 空 间 称 为V的 非 平 凡 子 空 间 。