第五章 空间形态讲解

体弯曲特征：弯曲程度及曲线的迂回特性。
L 弯曲度S=L/l
分
l
析
弯曲度的大小可以衡量交通的便利性。
§5－2 曲线插值与光滑
空 一、定义
– 曲线插值：根据线状物体的离散点来确定描述出一条连续曲线，该 曲线必须通过已知的离散点。
间
– 曲线光滑：指所生成的曲线不但要连续，且至少一阶可导，甚至高 阶也可连续。
Yi＋1＝C0＋C1Xi＋1+C2Xi＋12＋C3Xi＋13
分
Y ’ i＋1＝C1＋2C2Xi＋1+3C3Xi＋12
析
3、正轴抛物线加权平均法
4、斜轴抛物线加权平均法
5、三点求导分段三次多项式插值法
6、五点求导分段三次多项式插值法
7、一般样条函数插值法
8、张力样条函数插值法
五、基本步骤：
析
二、分数维数
空 1、整数维数与分数维数

1）整数维：根据欧氏理论，用整数表示几何物体的维数。0、1、2、3维等。
间
分

析
Peano曲线
Koch曲线
整数表示的维数往往不能充分反映几何物体的某些特性，如形态和空间延展特性。
2）分数维
空
“英国海岸线有多长？”——Mandelbrot
——“当量测曲线的尺子越小时，曲线长度就越长，不同的曲线，随着尺子的变化，其
间
2）可以是规则与确定性的，也可以是随机与统计性的。
——前者严格满足自相似原则，是纯数学的。
——后者仅指在概率分布和统计规律上满足自相似原则
分
析
三、曲率和弯曲度
1、曲率：曲线切线方向角相对于弧长的转动率，是描述曲线的局部弯曲特
征。
空
K

(1
y'' y'2
3
)2
间
2、弯曲度：是曲线长度与曲线两端点定义的线段长度之比值，描述曲线整
分
3）曲线分数维长度L与量测尺度（脚距）d之间的关系
4）曲线量测长度L与比例尺分母m之间的关系。
析
l Km f (Df )
3、分数维特征
空
1）相似性：整体与局部的相似，这种相似可以是形态、空间、时间、功能等方面
的相似。
——小范围内的地理现象的变化模式－－比例缩放－－较大范围内的变化模式
空
1、确定相邻两点之间的插值函数
2、求解插值函数的系数（用导数、已知点坐标）
3）确定插值步长
间
4）按步长求定插值点，连成光滑曲线
分
析
§5－3 曲面物体的形态分析
空 一、面积和周长 1、面积是面状物体的最基本的形态参数，其面积计算公式为：
间
1 n1 Xi Yi
S
2 X Y i0
i 1 i 1
析
2）改变计算精度的途径：
•通过合理的选择曲线坐标点串来改善精度。（较好）
•适当的加密坐标点对，但加大了数据量。
2、模拟线状物体
空 1）华罗庚直线外推法:对地图上曲线以两脚规按不同的脚距（d1和d2，假设 d1>d2 ）分别量测曲线，相应地将得到曲线长度l1和l2，由于d1>d2，故l2>l1 ，且l2更接近于曲线长度真值。在x，y直角坐标系中，作平行于x轴地直线段，长 度分别为l1和l2，过两线段顶点作一直线相交x轴于x，则有：
l0 l1
d1 (l1 l2)
l0 l2 d2
d 2 d1
3、栅格情况下线状物体的长度
空
用栅格表示的空间数据，线状物体的长度直接一地物的骨架线延伸通过的栅格 数目来计算。要求骨架线是八方向连接。
432
间
501
栅格1，3，5，7与栅格0以边相邻，而 栅格2，4，6，8则与栅格以顶点相邻。
四、插值与光滑方法
1、线性插值
空
在离散点的相邻两点之间，用直线段进行连接，其直线方程为：

P（u）＝Pi（1－u）＋Pi＋1u
间
支持线性插值的根据：
（1）两相邻抽样点之间的曲线段总是近似与直线
分
（2）直线可认为是一切曲线的“均值”
缺陷：曲线以折线表示，不光滑，视觉效果差。
析
2、分段三次多项式插值
1）四型值点插值方法
空
个对三离次散多点项序式列表中示的：相邻两点（Xi，Yi），（Xi＋1，Yi＋1）之间的曲线，可以用一

Y＝C0＋C1X+C2X2＋C3X3
人为地设定各已知离散点（ Xi，Yi ）上的导数Y ’ i，
间
Yi＝C0＋C1Xi+C2Xi2＋C3Xi3
Y ’ i＝C1＋2C2Xi+3C3Xi2
第五章 空间形态
空
空间物体抽象为点、线、面、体等，除点以外的空间物体都具 有形态特征。
§5－1 线状物体的形态分析
间 一、长度
1、数字线状物体的长度
分
n1
1/ 2
n
L [(Xi 1 Xi)2 (Yi 1 Yi)2 ] li
i0
i1
1）算法缺陷：计算的长度小于实际长度
总长亦发生变化。 ”
Байду номын сангаас
间
分
步长变化——曲线长度——变化率不等
分数维：用分数表示几何物体的几何形态特征，一般的曲线的维数为：1<Df<2。
析
分数维的大小描述了物体的复杂程度。
2、分维数的尺度 根据分数维理论，分数维测度与相应的尺度之间有下述关系。
空
1）曲线量测长度L与量测尺度D之间的关系
间
2）量测面积S与周长P的关系
二、为什么要插值、光滑
分
– 1）采样点为离散点，连接时为折线 – 2）内插格网后，所求得的插值也需光滑。
– 3）压缩后，点变稀疏，必须插值使其光滑。
析 三、基本要求： – 1）曲线必须严格通过已知数据点 – 2）在两点之间插值的曲线保持一定的松紧度 – 3）同一结点两侧两段曲线在该结点上保持一阶可导、二阶可导 – 4）光滑曲线不能自身相交
2、栅格数据表示的面状物体可直接通过栅格计数来获取。
间
分
X的值就是直线外推法计算所得的曲线长度，它是基于两次量测的结果。
析
2）伏尔科夫曲线外推法：基于抛物线的曲线外推法，由n个两脚规距di与n个长度 量测值li所构成的曲线是一条抛物线
空
间
分
l0是曲线实际长度，l为量测值，d为量测脚距，为系数
据上式用二次量测值即可求出l0，即
析
l0 l1 d1
678
分
四方向连接：定义以边相邻的栅格是连接的。
八方向连接：定义以边相邻和以角相邻的栅格都是连接的。
析
四方向
八方向
线状地物长度根据八方向连接的骨架线计算：
空
l (Nd 2Ni) D
间
D为栅格边长，Nd为骨架线中以边相邻的栅格对数，Ni为以角相邻的栅
格对数。
分
l (Nd 2Ni) 3 7 2