2020高考数学最后押题

2020高考数学最后押题

一、填空题

1．设抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，准线为l ．点A (0，2)，线段AF 交抛物线于点B ，过点B 作l 垂线，垂足为M ，若AM ⊥MF ，则p ＝ ．

2．已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与双曲线C 2：x 2

－y 2

4＝1有公共的焦点，C 2的一条渐近

线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点，若C 1恰好将线段AB 三等分，则b 2＝ ．

的面积为______________．

4．如图，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为2cm ，高为6cm ，一质点自A 点出发，沿着三棱柱的侧面经过棱B 1B 上点D 和棱C 1C 上点E 绕行一周到达A 1点，当绕行路径最短时，三棱锥B 1－ADE 的体积为 cm 3．

5．已知数列{a n }是等差数列，且a 7

a 6

＜－1，它的前n 项和S n 有最小值，则S n 取到最小正数

时的n ＝ ．

A 1

B 1

A

B

C

C 1

D E

6．已知函数f (x )＝x 3－3ax (a ∈R )，若直线x ＋y ＋m ＝0对任意的m ∈R 都不是曲线y ＝f (x )的切线，则a 的取值范围是 ．

7．已知函数f (x )＝ax 2＋2x ＋b 的值域为[0，＋∞)，则a ＋2b

a 3＋12b

的最大值为 ．

▲8．已知xy －z ＝0，且0＜y z ＜1

2，则xz 2－4yz x 2z 2＋16y 2的最大值为__________．

▲9．若关于x 的不等式ax 2＋x －2a ＜0的解集中仅有4个整数解，则实数a 的取值范围

为 ．

▲10．在平面直角坐标系xOy 中，对任意的实数m ，集合A 中的点(x ，y )都不在直线2mx

＋(1－m 2)y －4m －2＝0上，则集合A 所对应的平面图形面积的最大值为 ．

▲11．已知数列{a n }满足a n

＋1

≤a n ＋2＋a n

2

，a 1＝1，a 403＝2011，则a 5的最大值为 ．

二、解答题

1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ．

（1）设向量x ＝(sin B ，sin C )，向量y ＝(cos B ，cos C )，向量z ＝(cos B ，– cos C )， 若z //(x ＋y )，求tan B ＋tan C 的值；

（2）已知a 2－c 2＝8b ，且sin A cos C ＋ 3cos A sin C ＝0，求b ．

2．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos A cos B ＝b

a ＝3．

（1）求C ；

（2）如图，设半径为R 的圆O 过A ，B ，C 三点，点P 位于劣

弧⌒AC 上，∠P AB ＝θ，求四边形APCB 面积S (θ)的解析式及 最大值．

3．设△ABC 中，→AB ＝c ，→BC ＝a ，→

CA ＝b ，且a ⋅b ＝b ⋅c ＝－2，b 与c －b 的夹角为150︒． （1）求∣b ∣； （2）求△ABC 的面积．

A

C

B

E

D

G

P

A

B

C O

4．如图①，直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，将△ADE 沿着DE 折起到△A 1DE 的位置，如图②，连结A 1B ，A 1C ． （1）若F 为A 1B 的中点，求证：DF ∥平面A 1EC ； （2）求证：平面A 1BC ⊥平面A 1BD ．

5．某高校从参加今年自主招生考试的学生中随机抽取容量为50的学生成绩样本，得频率分布表如下：

A

C

B

D E

图①

E

D C

A 1

F

B

图②

（1）写出表中①②位置的数据；

（2）为了选拔出更优秀的学生，高校决定在第三、四、五组中用分层抽样法抽取6名学生进行第二轮考核，分别求第三、四、五各组参加考核人数；

（3）在（2）的前提下，高校决定在这6名学生中录取2名学生，求2人中至少有1名是第四组的概率．

6．在南海的渔政管理中，我海监船C在我作业渔船A的北20︒东方向上，渔政船310在A 的北40︒西方向上的B处，测得渔政船310距C为62海里．上级指示，海监船原地监测，渔政船310紧急前往A处，走了40海里后，到达D处，此时测得渔政船310距C为42海里，问我渔政船310还要航行多少海里才能到达A处？

D

A

7．某种角钢部件是由如图1所示的矩形状钢板ABCD 按下列要求制作而成． ①制作角钢部件的矩形钢板的长AB ＝15cm ，宽AD ＝10cm ；

②在矩形钢板的长边CD 上选一点E (异于C ，D )，将钢板沿着AE 折起，使得△ADE 、梯形ABCE 所在的平面互相垂直．

当ABCDE 为顶点的四棱锥的体积最大时，这个角钢部件“最标准”． 设∠DAE ＝θ，DE ＝x cm ，四棱锥D －ABCE 的体积为V cm 3，

（1）分别求:①V 关于θ的函数关系式V (θ)；②V 关于x 的函数关系式V (x )； （2）试确定点E 的位置，使得角钢部件“最标准”．

8．某电子器件厂兼营生产和销售某种电子器件，流水线启动后每天生产300个产品，可销售p ＝200个产品，未售出的产品存入库房，每个产品在库房内每过一夜将支出存储费用r ＝0．2元，该流水线在开机生产一段时间后停机销售，待所有库房产品售完后再开机生产，流水线启动的费用为c ＝1200元（与产品数量无关）．这样开机生产－－停机销售－－产品售完构成了一个产销周期．为管理方便，流水线的生产和停机的时间均以天为单位安排．

（1）若开机生产时间为m 天，停机销售时间为n 天，最后一天卖出a 个产品，写出m ，

C D

B

A

E

图1

C

E B

A

D

图2