[整理]三重积分重积分习题.

第九章 重积分

第六讲 三重积分、重积分应用习题课

教学目的 使学生能更清楚进行三重积分计算时．在何种情况下用何种坐标计算，以便灵活

的进行三重积分的计算．使学生能方便地运用重积分进行曲面的面积，质心，转动恒量以及引力的计算

教学重点 通过三重积分计算的强化使学生明确在三重积分计算时如何确定用何种坐标以及

各是如何化为三次积分．

教学难点 柱面坐标与球面坐标所适用情况的区分与判定. 教学时数 2学时 教学过程

一、知识回顾

1．三重积分的意义及物理模型(空间物体的质量) 2．在直角坐标，柱面坐标，球面坐标下计算三重积分 (1) 柱面坐标与球面坐标.

(2) 柱面坐标，球面坐标分别与直角坐标之关系. (3) 直角坐标化柱面坐标，球面坐标的公式. (4) 何时用何种坐标计算.

3．曲面的面积，物体的质心，转动惯量及引力的计算

曲面的面积：关键在找曲面在坐标面的投影，这里问题是 (1) 往何坐标面上投 (2) 如何找投影区域

物理应用，注意利用密度为常数以及物体所占区域在坐标面上的对称性.

二、练习

1．将I=

zdv

Ω

⎰⎰⎰分别表示成直角坐标，柱面坐标和球面坐标下

的三次积分，并选择其中一种计算出结果．其中Ω是由曲面

z=2

2

2y x --及z=x 2+y 2

所围成的闭区域.

分析 为计算该三重积分，我们先把积分区域投影到某坐标

平面上，由于是由两张曲面222y x z --=及2

2y x z +=，而由这两个方程所组成的方

程组z z ⎧=⎨=⎩ 极易消去z ，我们把它投影到xoy 面上．然后，为在指定的坐标

系下计算之，还应该先把Ω的边界曲面用相应的坐标表示，并找出各种坐标系下各个变量的取值范围，最后作代换即可．

解 将Ω投影到xoy 平面上，

由z z ⎧=⎨=⎩消去z 得 (x 2+y 2)2=2-(x 2+y 2)，

或(x 2+y 2+2)(x 2+y 2-1)=0，于是有 x 2+y 2

=1．即知，Ω在xoy 平面上的投影为圆域D ：x 2+y 2

≤1 ．

为此在D 内任取一点Q(x ，y)，过Q 作平行于z 轴的直线自下而上穿过Ω．穿入时碰

到的曲面为2

2y x z +=，离开时碰到的曲面为222y x z --=(不画图，仅用代数方法也易判断22y x z +=≤222y x z --=)，这是因为x 2+y 2≤1)

(1) 直角坐标系下，我们分直角坐标及柱面坐标，下边找z 的变化范围从而化为三重积

分．因此再由D ：x 2+y 2

≤1，有22y x z +=≤222y x z --=

，于是在直角坐标下，Ω

可表示为

Ω

:22y x y z ⎧⎪≤⎨⎪+≤≤⎩，

于是有

I=⎰⎰----2

2

111

1

x x dy dx ⎰--+2

22

22y x y x zdz

.

(2) 柱面坐标下

首先把Ω的表面方程用柱面坐标表示，这时z=x 2+y 2

表示为z= 2ρ，z=2

22y

x --表示为z=2

2ρ-．再由投影区域D 为x 2+y 2≤1．故0ρ≤≤1，0≤θ≤2π．于是Ω可

表示为

Ω：⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨⎧-≤≤≤≤≤≤.2,10,2022ρρρπθz

将所给三重积分中的体积元素υd 用υd =dz d d θρρ去替换，有

I=

Ω

⎰⎰⎰υzd =

Ω

⎰⎰⎰dz d d z θρρ=

⎰π

θ

20

d ⎰1

ρ

d ⎰-22

22ρρρdz

.

(3) 球面坐标下

用球面坐标代换两曲面的方程，得曲面z=x

2

+y

2

变为ρ=φφ

2

sin cos ；曲面

z=2

22y x --变为ρ=2．

由Ω在xoy 平面上的投影为x 2

+y 2

≤1知0θ≤≤2π，下边找φ的变化范围．

正z 轴在Ω内，即Ω内有点P ，使→

op 与→

oz 夹角为零，即φ的下界为零．又曲面z=x 2+y

2

与xoy 平面相切，故φ的上界为2π，于是0≤φ≤2π

再找ρ的变化范围．

原点在Ω的表面上，故ρ取到最小值为零．

为找ρ的上界，从原点出发作射线穿过Ω，由于Ω的表面由两张曲面所组成，因而ρ

的上界随相应的φ的不同而不同．为此在两曲面的交线⎪⎩⎪⎨⎧--=+=222

22y x z y x z ，上取一点A(0，1，

1)，故A 所对应的

4π

φ=

．

当24π

φπ≤≤时，r 的上界由曲面r=φφ2sin cos 所给，故这时r φφφφ

csc cot sin cos 2

≤≤．即

r 的变化范围为

0⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧≤≤≤≤≤≤时。，当时，当24cot 40,2πφπφπφr

因此

I=

⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅+⋅φ

φπ

π

π

π

π

φφφθφφφθ2sin cos 0

2

2

4

20

2

2

4

20

sin cos sin cos dr r r d d dr r r d d ．

由Ω的特点(在xoy 平面上的投影为圆域，而Ω本身不是球或球锥)，故采用柱面坐标