第四章扭转
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材料力学 第四章 扭转
W = Me 2 n
60 外力偶每秒所做的功即为输入的功率
P 1000= Me 2 n
60
明德行远 交通天下
材料力学
P─kW
M e 9549
P n
n─r/min
M e ─N m
或
P─PS(马力）
Me
7024
P
n
n─r/min M e ─N m
明德行远 交通天下
材料力学
二、扭矩及扭矩图
D
2 d
2
2
2
d
32
(D4
d
4)
D4 (1 4 ) 0.1D4 (1 4 )
32
d
( Dd )
O
D
明德行远 交通天下
材料力学
④ 应力分布
（实心截面）
（空心截面）
工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，
结构轻便，应用广泛。
明德行远 交通天下
材料力学
⑤ 确定最大剪应力：
由
Ip—极惯性矩，纯几何量，无物理意义。
Ip A 2dA
单位：mm4，m4。
③ 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，只是Ip值不同。
明德行远 交通天下
材料力学
对实心圆截面：
D
I p A 2dA
2 2 2 d
0
D4 0.1D4
32
d
O
D
对于空心圆截面：
d
I p A 2dA
A
B
M1 =9.55 103
P1 n
9.55
103
500 300
N
m=15.9kN
m
M 2 =M3 =9.55103
60 外力偶每秒所做的功即为输入的功率
P 1000= Me 2 n
60
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材料力学
P─kW
M e 9549
P n
n─r/min
M e ─N m
或
P─PS(马力）
Me
7024
P
n
n─r/min M e ─N m
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材料力学
二、扭矩及扭矩图
D
2 d
2
2
2
d
32
(D4
d
4)
D4 (1 4 ) 0.1D4 (1 4 )
32
d
( Dd )
O
D
明德行远 交通天下
材料力学
④ 应力分布
（实心截面）
（空心截面）
工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，
结构轻便，应用广泛。
明德行远 交通天下
材料力学
⑤ 确定最大剪应力：
由
Ip—极惯性矩，纯几何量，无物理意义。
Ip A 2dA
单位：mm4，m4。
③ 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，只是Ip值不同。
明德行远 交通天下
材料力学
对实心圆截面：
D
I p A 2dA
2 2 2 d
0
D4 0.1D4
32
d
O
D
对于空心圆截面：
d
I p A 2dA
A
B
M1 =9.55 103
P1 n
9.55
103
500 300
N
m=15.9kN
m
M 2 =M3 =9.55103
第四章 扭转(张新占主编 材料力学)
2M A M e M B 0 （2）
联立式（1）与式（2），得
Me MB 3
MA MB Me 3
26
4.6 等直圆轴扭转时的应变能
圆轴在外力偶作用下发生扭转变形，轴内将积蓄应变能。这种 应变能在数值上等于外力所做的功。
T1 在位移 d1上所做的功为 dW T1d1
PB M eB M eC 9549 n 796(N m) PA M eA 9549 1910(N m) n PD M eD 9549 318(N m) n
5
（2）求扭矩（扭矩按正方向假设） 1-1 截面
M M M
x
0
T1 M eB 0
T1 M eB 796N m
d1 85.3 mm
取 d1 85.3 mm。 BC段：同理，由扭转强度条件得 d2 67.4 mm ，由扭转刚度条件得
d 2 74.4 mm
取 d 2 74.4 mm。
23
（2）将轴改为空心圆轴后，根据强度条件和刚度条件确定轴的 外径D。 由强度条件得 D 96.3 mm 由刚度条件得 D 97.3 mm 取 D 97.3 mm ，则内径为
T Me
M e RdA RRd 2R 2
A 0
2
Me 2 2R
8
二、切应力互等定理
M
z
0
（dy）dx （ dx）dy
得到
切应力互等定理：在单元体在相互垂直的一对平面上，切应力 同时存在，数值相等，且都垂直于两个平面的交线，方向共同 指向或共同背离这一交线。 纯剪应力状态：单元体上四个侧面上只有切应力，而无正应力 作用
材料力学4.
1. 剪应力互等定理 由 MZ 0
'dxdz dy dydzdx 0
得： '
图4-1
2. 剪切虎克定律 在弹性范围内应有：
G G ——剪切弹性模量
图4-2
3.E、G、μ μ μ 的关系
G
E
21
低碳钢：
E 2 105 MPa
Mnmax 4.5KN m
max
M nmax Wn
Wn
D3
16
M nmax
解得： D 66mm
（三）由刚度条件设计 D 。
max
M nmax GI p
180
D4
32
Ip
M nmax
G
180
解得： D 102mm
从以上计算可知，该轴直径应由刚度条件确定，选用 D=102mm 。
六、矩形截面杆的自由扭转
1. 矩形截面杆的剪应力及扭转角计算
最大剪应力发生在长边中点处：
max
Mn
hb2
4
9
单位长度的扭转角为：
Mn
G hb3
4 10
剪应力分布图 图4-10
材料力学
第四章 扭转
一、扭转时的内力及扭矩图
扭转时横截面上的内力以 Mn 表示，称为扭矩。杆件 上各截面上的扭矩如果以图来表示，该图就是扭矩图。
下面结合实例来加以说明。
例1 传动轴受力如图示，试求各段内力并绘扭矩图。 例1图
'dxdz dy dydzdx 0
得： '
图4-1
2. 剪切虎克定律 在弹性范围内应有：
G G ——剪切弹性模量
图4-2
3.E、G、μ μ μ 的关系
G
E
21
低碳钢：
E 2 105 MPa
Mnmax 4.5KN m
max
M nmax Wn
Wn
D3
16
M nmax
解得： D 66mm
（三）由刚度条件设计 D 。
max
M nmax GI p
180
D4
32
Ip
M nmax
G
180
解得： D 102mm
从以上计算可知，该轴直径应由刚度条件确定，选用 D=102mm 。
六、矩形截面杆的自由扭转
1. 矩形截面杆的剪应力及扭转角计算
最大剪应力发生在长边中点处：
max
Mn
hb2
4
9
单位长度的扭转角为：
Mn
G hb3
4 10
剪应力分布图 图4-10
材料力学
第四章 扭转
一、扭转时的内力及扭矩图
扭转时横截面上的内力以 Mn 表示，称为扭矩。杆件 上各截面上的扭矩如果以图来表示，该图就是扭矩图。
下面结合实例来加以说明。
例1 传动轴受力如图示，试求各段内力并绘扭矩图。 例1图
第四章：扭转
T Ip
——切应力公式
扭转
4、圆轴扭转时横截面上的最大切应力
max 发生在横截面周边上各点处
max
T max TR T Ip Ip Ip R
max
取 I p /R = Wt —抗扭截面系数 最大切应力： max
max
O
T
T Wt
注意： 以上公式只适合于扭转圆轴， 且材料服从胡克定律。
R γ l
剪切胡克定律：
当切应力不超过材料的剪切比例极 限，切应力与切应变成正比，即：
Gγ
G ——剪变模量
对各向同性材料，E, , G 之间关系： G
E 2(1 )
扭转
四、圆轴扭转时的应力 1、实验现象：
圆周线——形状、大小、
间距不变，各圆周线绕轴 线相对转动了一个角度。
横截面上的最大切应力
max
T 1000 6 Pa 41.7 10 Pa 41.7 MPa 6 Wt 24 10
扭转
例4-4 如图所示，圆轴 AB的 AC 段为空心，CB段为实 心。已知 D 3cm、 d 2cm ；圆轴传递的功率 P 7.5kW，转速 n 360 r/ min。试求 AC及CB段的 Me Me 最大与最小切应力。 解：（1）计算扭矩
许用切应力
u
n
max
u s u b
T
max
塑性材料 脆性材料
对等截面圆轴
Wt
圆轴强度计算可解决工程中的三类问题：
（1）强度校核；（2）截面设计；（3）确定许用载荷。
扭转
例4-5 如图阶梯轴， d1 80mm、d 2 50mm；外力偶矩 M 2 3.2 kN m 、M 3 1.8kN m； M 1 5 kN m 、 材料的许用切应力[ ] 60 MPa 。试校核该轴强度。
第四章 扭转
T3 MD
T2 7.64KN m M B
M C T2
M D T3 0 T3 M D 5.09KN m
Chapter 4
③SkIenttcehrntha单al ttoer击xqpure此esdsiea处sgtrha编emlaw辑扭o矩f母c图ha版nge标of 题the 样torque
are unk• n第o三wn级, however, the powers transmitted by
shaft are u–s第u»四al第级ly五k级nown.
input power :P
The relation between
the transmission
Me
n
power, revolution and
Me
7.1•2第1 三P 级(kN –n第四级
m)
Where: P - horsepower (HP) n - r/min or（rpm）
» 第五B级
C
A
D
A: input power
n
B ,C , D:
output power
MB
MC
Chapter 4
MA
MD
2. Internal torque and its diagram 扭矩与扭矩图
§4–2 Eto单xrteqr击uneaa此lntod处rtqour编equo辑fe adit母argarn版asmm标issi题on样shaft 外力偶矩的计算 式扭矩和扭矩图
1.•E单xte击rn此al t处or编que辑o母f a版tra文ns本mi样ssi式on shaft
So传m–动et第i轴m二的es级,外th力e偶tw矩isting couples applied on shaft
T2 7.64KN m M B
M C T2
M D T3 0 T3 M D 5.09KN m
Chapter 4
③SkIenttcehrntha单al ttoer击xqpure此esdsiea处sgtrha编emlaw辑扭o矩f母c图ha版nge标of 题the 样torque
are unk• n第o三wn级, however, the powers transmitted by
shaft are u–s第u»四al第级ly五k级nown.
input power :P
The relation between
the transmission
Me
n
power, revolution and
Me
7.1•2第1 三P 级(kN –n第四级
m)
Where: P - horsepower (HP) n - r/min or（rpm）
» 第五B级
C
A
D
A: input power
n
B ,C , D:
output power
MB
MC
Chapter 4
MA
MD
2. Internal torque and its diagram 扭矩与扭矩图
§4–2 Eto单xrteqr击uneaa此lntod处rtqour编equo辑fe adit母argarn版asmm标issi题on样shaft 外力偶矩的计算 式扭矩和扭矩图
1.•E单xte击rn此al t处or编que辑o母f a版tra文ns本mi样ssi式on shaft
So传m–动et第i轴m二的es级,外th力e偶tw矩isting couples applied on shaft
材料力学第四章 扭转
则上式改写为
max
T GI p
180
(/m)
×
例５ 图示圆轴，已知mA =1kN.m， mB =3kN.m， mC
=2kN.m；l1 =0.7m，l2 =0.3m；[]=60MPa，[ ]=0.3°/m，
G=80GPa；试选择该轴的直径。
mA
mB mC 解： ⑴按强度条件
A
l1
B l2 C
max
9.55
200 300
6.37
(kN m)
×
n D
m2 1 m3 2 m1 3 m4
n A 1 B 2 C 3D
②求扭矩（扭矩按正方向假设）
m 0 , T1 m2 0, T1 m2 4.78kN m m 0; T2 m1 m2 0
T2 m2 m3 (4.78 4.78) 9.56kN m
T
2 r02
t
T 2 A0
t
T
A0为平均半径所作圆的面积。
×
三、切应力互等定理：
´
a
b
dy
´
c
z
dx
d t
mz 0; t dxdy t dxdy
'
这就是切应力互等定理：在单元体相互垂直的两个截面
上，切应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平
面的交线，其方向或共同指向交线，或共同背离交线。
垂直，则杆件发生的变形为扭转变形。
A
B O
A
BO
m
m
——扭转角（两端面相对转过的角度）
——剪切角，剪切角也称切应变。
×
§4–2 扭转的内力—扭矩与扭矩图
一、扭矩 圆杆扭转横截面的内力合成
结果为一合力偶，合力偶的力偶 矩称为截面的扭矩，用T 表示之。 m
max
T GI p
180
(/m)
×
例５ 图示圆轴，已知mA =1kN.m， mB =3kN.m， mC
=2kN.m；l1 =0.7m，l2 =0.3m；[]=60MPa，[ ]=0.3°/m，
G=80GPa；试选择该轴的直径。
mA
mB mC 解： ⑴按强度条件
A
l1
B l2 C
max
9.55
200 300
6.37
(kN m)
×
n D
m2 1 m3 2 m1 3 m4
n A 1 B 2 C 3D
②求扭矩（扭矩按正方向假设）
m 0 , T1 m2 0, T1 m2 4.78kN m m 0; T2 m1 m2 0
T2 m2 m3 (4.78 4.78) 9.56kN m
T
2 r02
t
T 2 A0
t
T
A0为平均半径所作圆的面积。
×
三、切应力互等定理：
´
a
b
dy
´
c
z
dx
d t
mz 0; t dxdy t dxdy
'
这就是切应力互等定理：在单元体相互垂直的两个截面
上，切应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平
面的交线，其方向或共同指向交线，或共同背离交线。
垂直，则杆件发生的变形为扭转变形。
A
B O
A
BO
m
m
——扭转角（两端面相对转过的角度）
——剪切角，剪切角也称切应变。
×
§4–2 扭转的内力—扭矩与扭矩图
一、扭矩 圆杆扭转横截面的内力合成
结果为一合力偶，合力偶的力偶 矩称为截面的扭矩，用T 表示之。 m
单辉祖材力-4(第四章 扭转)
最大切应力发生在簧丝截 面内侧，其值为:
max max
d 8 FD 1 3 2D d
当D >> d 时, 略去 剪力的影响和簧圈 曲率的影响: 当D / d < 10 时, 或计 算精度要求较高时,须 考虑剪力和簧圈曲率 的影响:
max max
8 FD 3 d
8 FD 4 m 2 3 d 4 m 3
d
mD
§4-5 等直圆轴扭转时的变形•刚度条件
Ⅰ、扭转时的变形 ——两个横截面的相对扭转角 Me Me
a T O1 A b T O2 d b
a
D D' dx
扭转角沿杆长的变化率 d T d x GI p 相距d x 的微段两端截面间 相对扭转角为 T d dx GI p
即该轴满足强度条件。
14
例 实心圆截面轴Ⅰ和空心圆截面轴Ⅱ (= d2/D2 =0.8) 的材料、扭转力偶矩 Me 和长度l 均相同。试求在 两圆轴横截面上最大切应力相等的情况下，D2/d1 之比以及两轴的重量比。 Me Me Ⅰ (a) l
d
Me D2 (b) l
d1
Ⅱ
Me
2
πd πD 4 W W 1 解 p1 p2 16 16 ： T1 M e 16 M e 1,max Wp1 Wp1 πd13 Me 16 M e T2 2,max 3 1 4 Wp 2 Wp 2 πD2
首先必须计算作用在各轮上的外力偶矩 解 ： M M M M4 1 3 2 1 2 3 A
1
B
3
2
C
3
D
500 M 1 (9.55 10 ) N m 15.9kN m 300 3 150 M 2 M 3 (9.55 10 ) N m 4.78kN m 100 200 3 M 4 (9.55 10 ) N m 6.37 kN m 300
材料力学 第4章_扭转
z
d x d z d y d y d z d x 0
返回
4. 切应力互等定理
切应力互等定理： 也称切应力双生定理， 指在单元体相互垂直的两 个面上，切应力必成对存 在，且数值相等；两者都 垂直于两个平面的交线， 方向共同指向或背离这一 交线。
纯剪切
BC B
TCD mB mC 700N m
(b)
TDA mA 1146N m
可见:主动轮与从动轮位置不 同,轴内最大扭矩也不同,显 然(a)方案比(b)方案合理。
返回
§4.3 圆轴扭转时的应力与强度条件
返回总目录
一、薄壁圆筒扭转时的切应力 1. 变形现象 圆周线大小、形状、间距 不变，纵向线相同倾斜。 2. 横截面上应力分析 因纵向纤维无正应变， 有角应变，因此横截面上 无，有， 与圆周相切。 又因壁很薄，可近似认 为沿壁厚应力相等。
第4章 扭转
第4章 扭转
§4.1 扭转的概念 §4.2 外力偶矩、扭矩和扭矩图
§4.3 圆轴扭转时的应力与强度条件
§4.4 圆杆扭转时的变形及刚度条件
§4.5 非圆截面杆的扭转概念
§4.1 扭转的概念
返回总目录
工程中的受扭转杆件
拧紧螺母的工具杆产生扭转变形
返回
工程中的受扭转杆件
返回
工程中的受扭转杆件
r
d dx
横截面上任一点的 ⊥半 径，并与该点到轴线的距离 成正比。
返回
4. 应力公式 静力关系
T
dA
横截面上分布内力系对 圆心的矩等于扭矩T。
T d A A d d 2 G d A G d A A dx dx A
d x d z d y d y d z d x 0
返回
4. 切应力互等定理
切应力互等定理： 也称切应力双生定理， 指在单元体相互垂直的两 个面上，切应力必成对存 在，且数值相等；两者都 垂直于两个平面的交线， 方向共同指向或背离这一 交线。
纯剪切
BC B
TCD mB mC 700N m
(b)
TDA mA 1146N m
可见:主动轮与从动轮位置不 同,轴内最大扭矩也不同,显 然(a)方案比(b)方案合理。
返回
§4.3 圆轴扭转时的应力与强度条件
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一、薄壁圆筒扭转时的切应力 1. 变形现象 圆周线大小、形状、间距 不变，纵向线相同倾斜。 2. 横截面上应力分析 因纵向纤维无正应变， 有角应变，因此横截面上 无，有， 与圆周相切。 又因壁很薄，可近似认 为沿壁厚应力相等。
第4章 扭转
第4章 扭转
§4.1 扭转的概念 §4.2 外力偶矩、扭矩和扭矩图
§4.3 圆轴扭转时的应力与强度条件
§4.4 圆杆扭转时的变形及刚度条件
§4.5 非圆截面杆的扭转概念
§4.1 扭转的概念
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工程中的受扭转杆件
拧紧螺母的工具杆产生扭转变形
返回
工程中的受扭转杆件
返回
工程中的受扭转杆件
r
d dx
横截面上任一点的 ⊥半 径，并与该点到轴线的距离 成正比。
返回
4. 应力公式 静力关系
T
dA
横截面上分布内力系对 圆心的矩等于扭矩T。
T d A A d d 2 G d A G d A A dx dx A
材料力学第4章扭转变形
1 1
T
1 1
T
1
Me
+
B
x
T Me
Me
B
T图 x
例 一传动轴如图，转速n = 300r/min； 主动轮输 入的功率P1= 500kW，三个从动轮输出的功率分 别为： P2= 150kW， P3= 150kW， P4= 200kW。 试作轴的扭矩图。
解： 首先必须计算作用在各轮上的外力偶矩
M2 1
2 T
1
1 T
1
材料不同），可见在两
杆交界处的切应力是不
同的。
d
D
§4. 7 非圆截面杆扭转的概念
对非圆截面杆的扭转问题，主要介绍矩形截面 杆的扭转。
试验现象
横向线变 成曲线
横截面发生 翘曲不再保 持为平面
平面假设不再 成立，可能产 生附加正应力
自由扭转 翘曲不受限制。 纵向纤维无伸长 横截面上无正应力
T
max
O
max
D
d
T
Ip
max
T Wp
圆截面的极惯性矩Ip和扭转截面系数Wp —几何性质 实心圆截面：
d
O
d
O
d D d
Ip
2 d A πd 4
A
32
Wp
Ip d /2
πd 3 16
Ip
2 d A πD4
A
32
1 4
Wp
Ip D /2
πD 3 16
1 4
4-4 圆轴扭转强度条件与合理设计
B 0
按叠加原理：
B BB BM 0
BB、BM分别为MB、Me 引起的在杆端B的扭转角。
线弹性时，物理关系(胡克定理)为
材料力学 第四章扭转
(r, ) Gf (r )
T (r, )dA M
A
截面上各点变形的规律：实验观测
合理假设
Page11
连续体的变形协调条件(数学公式)
第四章
扭转
一、试验与假设
1. 实验观测
圆周线：形状、大小与间距均不改变，仅绕轴线相对旋转。 纵线：倾斜同一角度并保持直线。 2. 扭转平面假设 各横截面如同刚性圆片，仅绕轴线作相对旋转。 这一假设为建立单参数的变形协调公式提供了依据。
T
2M x a
M
A B
2M
x
T
可能危险截面A、B
Page36
第四章 2、总扭转角 T
m 2M a
扭转
(分4段计算)
A B
M
3M
d D
a
T
a
a
a
M
x
A B
2M
x
2M T x a
2M x a 2 Ma Ma Ma T a 4 dx 0 D D4 D4 D4 d 4 G G G G 32 32 32 32
Page 6
第四章
扭转
扭矩图：扭矩 (T) 随轴线位置(x)变化的图线。 例：画扭矩图。 在AB和BC段分别切开，分别 考察左与右段平衡（设正）
2M
2M
B
M
A
3M
C
AB段： T1 2 M BC段： T2 M
T2 M
T1 2M
M
A
C
T
M
画扭矩图。
注意：扭矩图与受扭轴对齐， 标注正负号。
轴：
以扭转变形为主要变形的直杆称为轴。
材料力学-第4章 扭转 ppt课件
dA
T
O
dA
23
材料力学－第4章 扭转
圆轴扭转横截面上的应力
A dA T
代入：
G
G
d dx
得到：
G d 2dA T dx A
记： IP －2dA称为圆截面的极惯性矩
A
则：圆轴扭转角的变化率 d T
dx GIP
圆截面切应力
采用右手螺旋法则，如果用四指表示扭矩的转向， 拇指的指向与截面的外法线n的方向相同时，该扭矩为 正；反之，规定扭矩为负
正扭矩
负扭矩
——保证了无论从哪一段计算，扭矩的大小和符号 都相同
12
材料力学－第4章 扭转
扭力偶矩计算与扭矩
讨论：如图受扭圆轴，m-m截面上扭矩为多少？
Me
m
2M e
m m
T Me
17
材料力学－第4章 扭转
圆轴扭转横截面上的应力
几何变形：
1. 横截面绕圆轴的轴线转动
？
主要
2. 圆轴中段的横截面缩小 几何变形特征
有剪切应变 rz 次要
3. 圆轴的长度略有增长
有轴向应变 z 次要
– 变形后，横截面仍保持为平面，其形状和大小均不
改变，半径仍为直线
– 变形后，相邻横截面的间距保持不变，相邻横截面 绕圆轴轴线转动一定的角度
外力偶矩的计算
• 工程中的传动轴，通常给出传动轴所传递的功率和转 速，而不直接给出外力偶矩的数值
• 设外力偶矩为Me，传动轴的功率为P，角速度为w，则
有（理论力学）
Me
P
w
外力偶矩Me 单位：N·m (牛顿·米) 功率为P 单位：J (焦耳)
理论力学第四章扭转
由 M x 0, T Me 0 得T＝M e
内力T称为截面n-n上的扭矩。
Me
Me
x T
Me
扭矩的符号规定：按右手螺旋法则判断。
右手的四指代表扭矩的旋转方向，大拇指代表其矢量方向，若 其矢量方向与截面的外法线方向相同，则扭矩规定为正值，反之为 负值。
+
T
-
扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。
4
32 7640180 80109 π 2 1
86.4 103 m 86.4mm
d1 86.4mm
4.直径d2的选取
按强度条件
A M e1 d1
B d2 C
M e2
M e3
3 16T 3 16 4580
②各纵向线均倾斜了同一微小角度 。
③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。
结论：
0, 0
横截面上
0 0
根据对称性可知切应力沿圆周均匀分布；
t D, 可认为切应力沿壁厚均匀分布, 且方向垂直于其半径方向。
t
D
微小矩形单元体如图所示：
①无正应力
②横截面上各点处，只产生垂 直于半径的均匀分布的剪应力
强度计算三方面：
① ②
校核强度：
max
Tm a x WP
设计截面尺寸：
WP
Tmax
[ ]
[ ]
Wt
实：D3 16 空：1D6（3 1 4）
③ 计算许可载荷： Tmax WP[ ]
例4.2 图示阶梯状圆轴，AB段直径 d1=120mm，BC段直径
d2=100mm 。扭转力偶矩 MA=22 kN•m， MB=36 kN•m， MC=14 kN•m。 材料的许用切应力[t ] = 80MPa ，试校核该轴 的强度。
内力T称为截面n-n上的扭矩。
Me
Me
x T
Me
扭矩的符号规定：按右手螺旋法则判断。
右手的四指代表扭矩的旋转方向，大拇指代表其矢量方向，若 其矢量方向与截面的外法线方向相同，则扭矩规定为正值，反之为 负值。
+
T
-
扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。
4
32 7640180 80109 π 2 1
86.4 103 m 86.4mm
d1 86.4mm
4.直径d2的选取
按强度条件
A M e1 d1
B d2 C
M e2
M e3
3 16T 3 16 4580
②各纵向线均倾斜了同一微小角度 。
③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。
结论：
0, 0
横截面上
0 0
根据对称性可知切应力沿圆周均匀分布；
t D, 可认为切应力沿壁厚均匀分布, 且方向垂直于其半径方向。
t
D
微小矩形单元体如图所示：
①无正应力
②横截面上各点处，只产生垂 直于半径的均匀分布的剪应力
强度计算三方面：
① ②
校核强度：
max
Tm a x WP
设计截面尺寸：
WP
Tmax
[ ]
[ ]
Wt
实：D3 16 空：1D6（3 1 4）
③ 计算许可载荷： Tmax WP[ ]
例4.2 图示阶梯状圆轴，AB段直径 d1=120mm，BC段直径
d2=100mm 。扭转力偶矩 MA=22 kN•m， MB=36 kN•m， MC=14 kN•m。 材料的许用切应力[t ] = 80MPa ，试校核该轴 的强度。
《材料力学》第四章 扭转
第四章 扭转§4—1 工程实例、概念一、工程实例1、螺丝刀杆工作时受扭。
2、汽车方向盘的转动轴工作时受扭。
3、机器中的传动轴工作时受扭。
4、钻井中的钻杆工作时受扭。
二、扭转的概念受力特点：杆两端作用着大小相等方向相反的力偶，且作用面垂直杆的轴线。
变形特点：杆任意两截面绕轴线发生相对转动。
轴：主要发生扭转变形的杆。
§4—2 外力偶矩、扭矩一、外力：m （外力偶矩）1、已知：功率 P 千瓦(KW ），转速 n 转／分(r ／min ； rpm)。
外力偶矩：m)(N 9549⋅=nPm 2、已知：功率 P 马力(Ps)，转速 n 转／分(r ／min ；rpm)。
外力偶矩：m)(N 7024⋅=nPm 二、内力：T （扭矩） 1、内力的大小：（截面法）mT m T mx==-=∑002、内力的符号规定：以变形为依据，按右手螺旋法则判断。
（右手的四指代表扭矩的旋转方向，大拇指代表其矢量方向，若其矢量方向背离所在截面则扭矩规定为正值，反之为负值。
）3、注意的问题：（1）、截开面上设正值的扭矩方向；（2）、在采用截面法之前不能将外力简化或平移。
4、内力图（扭矩图）：表示构件各横截面扭矩沿轴线变化的图形。
作法：同轴力图：§4—3 薄壁圆筒的扭转 一、薄壁圆筒横截面上的应力(壁厚0101r t ≤,0r ：为平均半径） 实验→变形规律→应力的分布规律→应力的计算公式。
1、实验：2、变形规律：圆周线——形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动了一个不同的角度。
纵向线——倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。
3、切应变（角应变、剪应变）：直角角度的改变量。
4、定性分析横截面上的应力(1) 00=∴=σε ；（2）00≠∴≠τγ因为同一圆周上切应变相同，所以同一圆周上切应力大小相等。
⑶ 因为壁厚远小于直径，所以可以认为切应力沿壁厚均匀分布,而且方向垂直于其半径方向。
材料力学：第四章 扭转
回顾: 极惯性矩、抗扭截面系数的计算
抗扭截面系数 极惯性矩
薄壁圆管 扭转切应力
回顾: 圆轴扭转强度条件 & 应力计算公式
薄壁圆管扭 转切应力
圆轴扭转 强度条件
max
[ ] u
n
扭转极限应力τu =
扭转屈服应力ts (塑性材料) 扭转强度极限tb (脆性材料)
§5 圆轴扭转变形与刚度计算
单辉祖：材料力学Ⅰ
14
例题
例 2-1 MA=76 Nm, MB=191 Nm, MC=115 Nm, 画扭矩图 解：用截断法,列力偶
矩平衡方程,和x轴正向 相同者取正 (1) 1-1截面
单辉祖：材料力学Ⅰ
(2) 2-2截面 T2 MC 115 N m
(3) 画扭矩图
15
§3 圆轴扭转横截面上的应力
单辉祖：材料力学Ⅰ
64
薄壁杆扭转
开口与闭口薄壁杆
截面中心线
－截面壁厚平分线
薄壁杆
－壁厚<<截面中心线 长度的杆件
闭口薄壁杆
－截面中心线为封闭曲线的薄壁杆
开口薄壁杆
－截面中心线为非封闭曲线的薄壁杆
单辉祖：材料力学Ⅰ
65
闭口薄壁杆扭转应力与变形
假设 切应力沿壁厚均匀分布, 并平行于中心线切线 应力公式
单辉祖：材料力学Ⅰ
62
例题
例 7-1 试比较闭口与开口薄壁圆管的抗扭性能,设 R0＝20d
解：1. 闭口薄壁圆管
2. 开口薄壁圆管
3. 抗扭性能比较
单辉祖：材料力闭学Ⅰ口薄壁杆的抗扭性能远比开口薄壁杆好
63
§8 薄壁杆扭转
开口与闭口薄壁杆 闭口薄壁杆扭转应力与变形 开口薄壁杆扭转简介 薄壁杆合理截面形状 例题
材料力学课件 第四章扭转
4. 公式讨论： ① 仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面
直杆。
② 式中：T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。
—该点到圆心的距离。
Ip—截面极惯性矩，纯几何量，无物理意义。
17
Ip A 2dA 单位：mm4，m4。
③ 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，
只是Ip值不同。
一、传动轴的外力偶矩 传递轴的传递功率、转数与外力偶矩的关系：
m
9.55
P n
(kN
m)
其中：P — 功率，千瓦（kW） n — 转速，转/分（rpm）
m
7.024
P n
(kN
m)
其中：P — 功率，马力（PS） n — 转速，转/分（rpm）
m
7.121
P n
(kN
m)
其中：P — 功率，马力（HP） n — 转速，转/分（rpm）
22
[例2]有一阶梯形圆轴，如图(a)所示轴的直径分别d为1 50mm,d2 80mm 。扭转力偶矩分别为 Me1 0.8kN m ，Me2 1.2kN m ，M e3 2kN m。若 材料的许用切应力 [ ] 40MPa ，试校核该轴的强度。
解： 方法一（理论计算法） 用截面法求出圆轴各段的扭矩，如图(b)所示。 由扭矩图可见，CD段和DB段的直径相同，但DB段的扭矩大 于CD段，故这两段只要校核DB段的强度即可。AC段的扭矩 虽然也小于DB段，但其直径也比DB段小，故AC段的强度也 需要校核。
2GI p
W
U ;
64PR3n Gd 4
P K
;
K
Gd 4 64R3n
为弹簧常数。
36
[例3] 圆柱形密圈螺旋弹簧的平均直径为：D=125mm，簧丝直 径为：d =18mm，受拉力 P=500N 的作用，试求最大剪应力 的近似值和精确值；若 G =82GPa，欲使弹簧变形等于 6mm， 问：弹簧至少应有几圈？
直杆。
② 式中：T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。
—该点到圆心的距离。
Ip—截面极惯性矩，纯几何量，无物理意义。
17
Ip A 2dA 单位：mm4，m4。
③ 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，
只是Ip值不同。
一、传动轴的外力偶矩 传递轴的传递功率、转数与外力偶矩的关系：
m
9.55
P n
(kN
m)
其中：P — 功率，千瓦（kW） n — 转速，转/分（rpm）
m
7.024
P n
(kN
m)
其中：P — 功率，马力（PS） n — 转速，转/分（rpm）
m
7.121
P n
(kN
m)
其中：P — 功率，马力（HP） n — 转速，转/分（rpm）
22
[例2]有一阶梯形圆轴，如图(a)所示轴的直径分别d为1 50mm,d2 80mm 。扭转力偶矩分别为 Me1 0.8kN m ，Me2 1.2kN m ，M e3 2kN m。若 材料的许用切应力 [ ] 40MPa ，试校核该轴的强度。
解： 方法一（理论计算法） 用截面法求出圆轴各段的扭矩，如图(b)所示。 由扭矩图可见，CD段和DB段的直径相同，但DB段的扭矩大 于CD段，故这两段只要校核DB段的强度即可。AC段的扭矩 虽然也小于DB段，但其直径也比DB段小，故AC段的强度也 需要校核。
2GI p
W
U ;
64PR3n Gd 4
P K
;
K
Gd 4 64R3n
为弹簧常数。
36
[例3] 圆柱形密圈螺旋弹簧的平均直径为：D=125mm，簧丝直 径为：d =18mm，受拉力 P=500N 的作用，试求最大剪应力 的近似值和精确值；若 G =82GPa，欲使弹簧变形等于 6mm， 问：弹簧至少应有几圈？
材料力学：第4章扭转变形
dx GIp
或
d
dx
T GI p
180
(/m)
GIp反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的
抗扭刚度。 三、刚度条件
或
max
T GIp
(rad/m)
θ Mx θ
GIP
max
T GI p
180
(/m)
[ ]称为许用单位扭转角。
刚度计算的三方面：
① 校核刚度： ② 设计截面尺寸：
max
圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。关于横截 面上的剪应力分布，有图中（A）、（B）、（C）、 （D）所示的四种结论，请判断哪一种是正确的。
例题
解：圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动，这表 明二者形成一个整体，同时产生扭转变形。根据平面假 定，二者组成的组合截面，在轴受扭后依然保持平面， 即其直径保持为直线，但要相当于原来的位置转过一角 度。
钢材的G值约为80GPa。
剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三
个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系
（推导详见后面章节）：
G
E 2(1
)
可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量
就可以推算出来。
§圆轴扭转时横截面上剪应力分析和强度计算
应用平衡方法可以确定圆杆扭转时横截面上的 内力分量扭矩，但是不能确定横截面上各点剪应 力的大小。为了确定横截面上各点的剪应力，在确 定了扭矩后，还必须知道横截面上的剪应力是怎样 分布的。
Me
Me
Me
Mx
Mx n
+
外加扭力矩Me确定后，应用截面法可以确定横 截面上的内力—扭矩，圆轴两端受外加扭力矩Me作 用时，横截面上将产生分布剪应力，这些剪应力将 组成对横截面中心的合力矩,称为扭矩（twist moment），用Mx表示。
或
d
dx
T GI p
180
(/m)
GIp反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的
抗扭刚度。 三、刚度条件
或
max
T GIp
(rad/m)
θ Mx θ
GIP
max
T GI p
180
(/m)
[ ]称为许用单位扭转角。
刚度计算的三方面：
① 校核刚度： ② 设计截面尺寸：
max
圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。关于横截 面上的剪应力分布，有图中（A）、（B）、（C）、 （D）所示的四种结论，请判断哪一种是正确的。
例题
解：圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动，这表 明二者形成一个整体，同时产生扭转变形。根据平面假 定，二者组成的组合截面，在轴受扭后依然保持平面， 即其直径保持为直线，但要相当于原来的位置转过一角 度。
钢材的G值约为80GPa。
剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三
个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系
（推导详见后面章节）：
G
E 2(1
)
可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量
就可以推算出来。
§圆轴扭转时横截面上剪应力分析和强度计算
应用平衡方法可以确定圆杆扭转时横截面上的 内力分量扭矩，但是不能确定横截面上各点剪应 力的大小。为了确定横截面上各点的剪应力，在确 定了扭矩后，还必须知道横截面上的剪应力是怎样 分布的。
Me
Me
Me
Mx
Mx n
+
外加扭力矩Me确定后，应用截面法可以确定横 截面上的内力—扭矩，圆轴两端受外加扭力矩Me作 用时，横截面上将产生分布剪应力，这些剪应力将 组成对横截面中心的合力矩,称为扭矩（twist moment），用Mx表示。
第四章：扭转
2 2
64.22
45.02
0.611
A1
d12
58.62
小 结 在最大切应力相同的情况下，空心轴所用的材料是实心轴的
61.1%，自重也减轻了 38.9%。其原因是：圆轴扭转时，横截面上应力
呈线性分布，越接近截面中心，应力越小，此处的材料就没有充分发挥 作用。做成空心轴，使得截面中心处的材料安置到轴的外缘，材料得到 了充分利用，而且也减轻了构件的自重。但空心轴的制造要困难些，故 应综合考虑。
解：1）用截面法求各段扭矩 AB 段：
1
2
T1 MA 900 N m
BC 段：
T
T2 M c 600 N m
600Nm
画出扭矩图如图所示
900Nm
第五节：圆轴扭转时的变形
AB 截面 极惯性矩
I P1
πd14 32
BC 截面 极惯性矩
2）C 截面相对于 A 截面的转角
IP2
πd
4 2
32
第一节：扭转的概念
扭转：是杆的又一种基本变形形式。其受力特点是：构件两 端受到两个作用面与杆的轴线垂直的、大小相等的、转向相 反的力偶矩作用，使杆件的横截面绕轴线发生相对转动。
扭转角：任意两横截面间的相对角位移。如图所示的 φ 角。
轴：工程中以扭转为主要变形的构件。如钻探机的钻杆，电 动机的主轴及机器的传动轴等。
叠加原理
CA CB BA
AB 段：
BA =
T1l1 GI P1
×
1800
=-0.8110
BC 段：
CB =
T2l2 GI P2
×
1800
=0.9810
CA CB BA 0.9810 (0.8110 ) 0.17 0
材料力学课件-第四章 扭转-薄壁杆件的扭转
部分加厚由于最小壁厚不变，最大应力不变。部分加厚后甚至由于应力集中更危险。
例2：某等壁厚d闭口薄壁杆受扭矩T，中心线周长S，轴的最大扭转切应力与扭转变形:(1)在 S/2中心线长度上壁厚增加一倍到2d；(2)在很小的局部受损伤壁厚减薄到d/2。
解：(2)第2种情形
局部减薄对积分值影响甚微，可以忽略不计。
最大应力增加一倍。
定性研究结论：强度是局部量，刚度是整体量。
例3：比较扭转切应力与扭转变形
解：
R0
R0
比较
（1）闭口薄壁圆管
（2）开口薄壁圆管
(狭长矩形)
作业 4-22 4-27 4-35 4-36
谢谢
薄壁圆管
思考：公式的精度？
在线弹性情况下，精确解为
思考：公式（1）和（2）的适用范围？
(1)
(2)
误差
T
dx
a
b
c
d
二、闭口薄壁杆的扭转变形
dx
ds
分析方法讨论:
由静力学、几何和物理三方面求解所遇到的困难：几何形状复杂。
新方法探索：
尝试能量法。
一未知量
无未知量
问题可解
二、闭口薄壁杆的扭转变形
假设：切应力沿壁厚均匀分布，其方向平行于中心线 假设依据：
T
dx
a
b
c
d
a
b
c
d
2
1
dx
1
1
2
2
薄，切应力互等定理
利用切应力互等定理，转化为研究纵向截面切应力，利用平衡方程求解.
截面中心线所围面积 的2倍
思考：O点位置可否任选，如截面外？
ds
o
ds
例2：某等壁厚d闭口薄壁杆受扭矩T，中心线周长S，轴的最大扭转切应力与扭转变形:(1)在 S/2中心线长度上壁厚增加一倍到2d；(2)在很小的局部受损伤壁厚减薄到d/2。
解：(2)第2种情形
局部减薄对积分值影响甚微，可以忽略不计。
最大应力增加一倍。
定性研究结论：强度是局部量，刚度是整体量。
例3：比较扭转切应力与扭转变形
解：
R0
R0
比较
（1）闭口薄壁圆管
（2）开口薄壁圆管
(狭长矩形)
作业 4-22 4-27 4-35 4-36
谢谢
薄壁圆管
思考：公式的精度？
在线弹性情况下，精确解为
思考：公式（1）和（2）的适用范围？
(1)
(2)
误差
T
dx
a
b
c
d
二、闭口薄壁杆的扭转变形
dx
ds
分析方法讨论:
由静力学、几何和物理三方面求解所遇到的困难：几何形状复杂。
新方法探索：
尝试能量法。
一未知量
无未知量
问题可解
二、闭口薄壁杆的扭转变形
假设：切应力沿壁厚均匀分布，其方向平行于中心线 假设依据：
T
dx
a
b
c
d
a
b
c
d
2
1
dx
1
1
2
2
薄，切应力互等定理
利用切应力互等定理，转化为研究纵向截面切应力，利用平衡方程求解.
截面中心线所围面积 的2倍
思考：O点位置可否任选，如截面外？
ds
o
ds
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(3)圆杆扭转时横截面上的最大切应力发生在外表面处
式中Wt=Ip/R，称为圆杆抗扭截面系数（或抗抟截面模量）。
圆杆扭转时的强度条件
(4)圆杆扭转时，圆杆各点处于“纯剪切”应力状态，如图3—1所示。其最大拉应力、最大压应力和最大切应力数值相等。
低碳钢材料抗拉与抗压的屈服强度相等，抗剪能力较差，所以低碳钢材料圆杆扭转破坏是沿横截面被剪断的。
答： =
13、一薄壁钢管受扭矩Me=2kN．m作用。己知D=60mm，d=50mm，E=210GPa。己测得管表面上相距l=200mm的AB两截面的相对扭转角 =0.430，试求材料的泊松比。
答：μ=0.3
14、一联轴器，由分别分布在半径为R1和R2圆周上的8只直径相同的螺栓相联接（如图所示）。则内圈（R1）螺栓横截面上的切应力 与外圈（R2）螺栓截面上的切应力 的比值为（）。
(8) 矩形截面杆自由扭转时，横截面上的剪应力呈线性分布。（错）
3、选择题
（1）阶梯圆轴的最大切应力发生在（D）。
A 扭矩最大的截面； B 直径最小的截面
C 单位长度扭转角最大的截面 D 不能确定
（2）空心圆轴的外径为D，内径为d， =d /D。其抗扭截面系数为（D）。
A B
C C
（3）扭转切应力公式 适用于（D）杆件。
在相互垂直的两个平面上，切应力必然成对存在且数值相等，两者都垂直于两个平面的交线、方向到共同指向或共同背离积这一交线，这就是切应力互等定理。
5、切应变剪切虎克定律
对于纯剪切的单元体，其变形是相对两侧面发生的微小错动，以γ来度量错动变形程度，即称切应变。
当切应力不超过材料的剪切比例极限时，切应力τ和切应变γ成正比，即
第三部分扭转
4.1预备知识
一、基本概念
1、扭转变形
扭转变形是杆件的基本变形之一，扭转变形的受力特点是：杆件受力偶系的作用，这些力偶的作用面都垂直于杆轴。此时，截面B相对于截面A转了一个角度 ，称为扭转角。同时，杆件表面的纵向直线也转了一个角度 变为螺旋线， 称为剪切角。
2、外力偶
杆件所受外力偶的大小一般不是直接给出时，应经过适当的换算。若己知轴传递的功率P(kW)和转速n(r/min)，则轴所受的外力偶矩 。
A） ；（B） ；（C） ；（D）
15、 试作图4—32所示各轴的扭矩图，并求出 及其作用处。
16、 齿轮轴上有四个齿轮,见图4—33,己算出各轮所受外力偶矩为mA=52N•m、mB=120N·m、mC=40N·m、mD=28N·m.己知各段轴的直径分别为dAB=15mm、dBC=20mm、dCD=12mm。
11、图示某带轮传动轴，己知：P=14kW，n=300r/min， =40MPa， =0.01rad/min，G=80GPa。试根据强度和刚度条件计算两种截面的直径：（1）实心圆截面的直径d；（2）空心圆截面的内径d1和外径d2（d1/d2=3/4）
答：d≥49mm，d2≥53.7mm
12、图示一圆截面杆，左端固定，右端自由，在全长范围内受均布力偶矩作用，其集度为me。设杆的材料的切变模量为G，截面的极惯性矩为Ip，杆长为l。试求自由端的扭转角 。
d=31mm
二、计算题
一为实心、一为空心的两根圆轴，材料、长度和所受外力偶均一样，实心直径d1，空心轴外径D2、内径d2，内外径之比α=d2/D2=0.8。若两轴重量一样，试求两轴最大相对扭转角之比。
解：两轴材料、重量和长度一样，则截面积也一样A1=A2，即
可得
因承受的外力偶矩相同，两轴截面上扭矩也应相等T1=T2。
答：
10、图示一传动轴，主动轮I传递力偶矩1kN．m，从动轮Ⅱ传递力偶0.4kN．m，从动轮Ⅲ传递力偶矩0.6kN．m.。己知轴的直径d=40mm，各轮间距l=500mm，材料的切变模量G=80GPa。要求（1）合理布置各轮的位置；（2）求出轴在合理位置时的最大切应力 和最大扭转角 。
答： =47.8MPa, =0.015rad
(2)矩形截面杆
矩形截面杆扭转时，由切应力互等定理可知，横截面周边上的切应力和周边相切，角点处切应力为零。横截面上最大切应力发生在长边的中点处。
设矩形截面杆长为l，承受扭矩T，矩形截面的长为h，宽为b。
最大切应力
杆两端的相时扭转角
式中α，β是与长宽比h/b相关的系数，计算时可查阅有关手册。
当长宽比 时，称为狭长矩形，α，β可近似为1/3。
A 任意截面； B 任意实心截面；
C 任意材料的圆截面 D 线弹性材料的圆截面。
（4）单位长度扭转角 与（A）无关。
A 杆的长度； B 扭矩
C 材料性质； D 截面几何性质。
（5）图示圆轴由钢杆和铝套管牢固地结合在一起。扭转变形时，横截面上切应力分布如图（B）所示。
（6）若将受扭实心圆轴的直径增加一圆轴扭转时，截面上的内力矩称为扭矩，用T表示。扭矩的正负号，按右手螺旋法则判定。如扭矩矢量与截面外向法线一致，为正扭矩，反之为负；求扭矩时仍采用截面法。扭矩图是扭矩沿轴线变化图形，与轴力图的画法是相似
4、纯剪切切应力互等定理
单元体的左右两个侧面上只有切应力而无正应力，此种单元体发生的变形称为纯剪切。
A 2倍 B 4倍
C 8倍 D 16倍
(7) 空心圆轴，其内外径之比为 ，扭转时轴内的最大剪应力为 ，这时横截面上内边缘的剪应力为（ B ）。
Ａ Ｂ
Ｃ 零 Ｄ
(8) 实心圆轴扭转，己知不发生屈服的极限扭矩为T0，若将其横截面积增加１倍，那么极限扭矩是（ C ）。
Ａ Ｂ
Ｃ Ｄ
(9) 对于受扭的圆轴，关于如下结论：
答：τmax=100MPa
3、设将例题4—2中直径d=0.０６m的实心圆轴制成外径Ｄ与内径d之比为３／２的空心圆轴，仍受力偶矩Ｍe＝２.５kN．m的作用。试求：使τmax与该例题相同时，能节省多少材料？
答：D＝0.065m
4、图示一圆锥形杆AB，受力偶矩Me作用，杆长为l，两端截面的直径分别为d1和d2=1.2d1，材料的切变模量为G。试求：（1）截面A和B的扭转角 ，（2）若按平均直径的等直杆计算扭转角，误差等于多少？
一、计算题
等截面传动轴的转速n=150r/min，由A转输入功率NA=8kW，由B、C、D各轮输出功率分别为NB=3kW，NC=1kW，ND=4kW。己知轴的许用剪应力[τ]=60MPa，剪切弹性模量G=80GPa，[θ]=20/m。要求首先安排各轮的位置，然后绘出传动轴的扭矩图，并确定轴的直径。
解：四轮各位置如图，其中A轮应放在轴的中间位置，使得从A轮输入的扭矩由该轮的两侧分担，不会使轴的某段承担输入的全部扭矩。根据功率转化为扭矩关系，A、B、C、D各点的扭矩
己知各轮承担的扭矩后，由截面法可得各截面的扭矩，扭矩图如图。从扭矩图可知，最大扭矩应在DA、AB段，为
最大剪应力为
强度条件为
得到
(1)
由于轴为等截面的，最大单位长度的扭转角也应在DA、AB段，等圆截面杆的单位长度的扭转角
刚度条件为
得
(2)
从式(1)和式(2)中选择较大的作为轴的直径，可同时满足刚度和强度条件，轴的直径
答：d=85mm
8、钻探机钻杆的外径D=60mm，内径d=50mm，切率P=7.355kW,轴的转速n=180r/min，钻杆钻入土层的深度l=40m，材料的切变模量G=80GPa，许用切应力 =40MPa，假设土壤对钻杆的阻力沿长度均匀分布，试求：（1）土壤对钻杆单位长度的阻力矩m；（2）作钻杆的扭矩图，并进行强度校核；（3）计算A、B截面的相对扭转角。
解(1)开口薄壁圆环
开口薄壁圆环可以看成一个长为 、宽为t的狭长矩形，则最大切应力
扭转角
(2)闭口薄壁圆环
最大切应力
扭转角
对于薄壁圆环，Ip可以写成
因此
(3)两杆最大切应力之比
两杆扭转角之比
讨论：由本题的计算结果可以看出，闭口薄壁圆环的切应力及扭转角要比开口薄壁圆环小得多，因而在薄壁构件中应尽量采用闭口薄壁杆件。
实心轴和空心轴最大相对扭转角分别是
式中，l为轴的长度。故两轴最大相对扭转角之比
将 代入上式，则
再将α＝0.8代入上式，得
可见，空心轴的扭转角远小于实心轴的。因此，采用空心圆轴不仅强度高，而且刚度也远优于实心圆轴。
三、计算题
两个受扭薄壁杆截面，一个是开有纵向细缝的开口薄壁圆环，另一个是闭口薄壁圆环，如图所示。两杆的材料相同，尺寸相同，平均直径D=40mm，壁厚t=2mm，长度为l。两杆承受的扭矩相同。试求两杆最大切应力之比及扭转角之比。
①最大剪应力只出现在横截面上；
②在横截面上和包含杆件的纵向截面上均无正应力；
③圆轴内最大拉应力的值和最大剪应力的值相等。
现有四种答案，正确的是（ A ）。
A②③对 B①③对
C①②对 D 全对
二、计算题
1、试用截面法求出图示圆轴各段内的扭矩T，并作扭矩图。
答：
2、图示一齿轮传动轴，传递力偶矩Me=10kN．m,轴的直径d=80mm.。试求轴的最大切应力。
答：
7、图示传动轴，主动轮B输入功率P1=368kW,从动轮A，阵C输出的功率分别为P2=147kW,P3=221kW,轴的转速n=500r/min,材料的G=80GPa，许用切应力 =70MPa，许用单位长度扭转角 =10/m。（1）画出轴的扭矩图；（2）设计轴的直径；（3）讨论提高轴强度和刚度的措施
二、重点与难点
1、受扭杆件所受的外力偶矩，常由杆件所传递的功率及其转速来换算。
2、圆杆扭转时，横截面上切应力沿半径线性分布，并垂直于半径，最大切应力在外表面处。
3、低碳钢材料圆杆扭转破坏时，将沿横截面被剪断。铸铁材料圆杆扭转破坏时，将沿与杆轴线成450螺旋面被拉断。
三、解题方法要点
1、
2、
4.2典型题解
（3）薄壁圆管和空心圆管的扭转切应力公式完全一样。（错）
式中Wt=Ip/R，称为圆杆抗扭截面系数（或抗抟截面模量）。
圆杆扭转时的强度条件
(4)圆杆扭转时，圆杆各点处于“纯剪切”应力状态，如图3—1所示。其最大拉应力、最大压应力和最大切应力数值相等。
低碳钢材料抗拉与抗压的屈服强度相等，抗剪能力较差，所以低碳钢材料圆杆扭转破坏是沿横截面被剪断的。
答： =
13、一薄壁钢管受扭矩Me=2kN．m作用。己知D=60mm，d=50mm，E=210GPa。己测得管表面上相距l=200mm的AB两截面的相对扭转角 =0.430，试求材料的泊松比。
答：μ=0.3
14、一联轴器，由分别分布在半径为R1和R2圆周上的8只直径相同的螺栓相联接（如图所示）。则内圈（R1）螺栓横截面上的切应力 与外圈（R2）螺栓截面上的切应力 的比值为（）。
(8) 矩形截面杆自由扭转时，横截面上的剪应力呈线性分布。（错）
3、选择题
（1）阶梯圆轴的最大切应力发生在（D）。
A 扭矩最大的截面； B 直径最小的截面
C 单位长度扭转角最大的截面 D 不能确定
（2）空心圆轴的外径为D，内径为d， =d /D。其抗扭截面系数为（D）。
A B
C C
（3）扭转切应力公式 适用于（D）杆件。
在相互垂直的两个平面上，切应力必然成对存在且数值相等，两者都垂直于两个平面的交线、方向到共同指向或共同背离积这一交线，这就是切应力互等定理。
5、切应变剪切虎克定律
对于纯剪切的单元体，其变形是相对两侧面发生的微小错动，以γ来度量错动变形程度，即称切应变。
当切应力不超过材料的剪切比例极限时，切应力τ和切应变γ成正比，即
第三部分扭转
4.1预备知识
一、基本概念
1、扭转变形
扭转变形是杆件的基本变形之一，扭转变形的受力特点是：杆件受力偶系的作用，这些力偶的作用面都垂直于杆轴。此时，截面B相对于截面A转了一个角度 ，称为扭转角。同时，杆件表面的纵向直线也转了一个角度 变为螺旋线， 称为剪切角。
2、外力偶
杆件所受外力偶的大小一般不是直接给出时，应经过适当的换算。若己知轴传递的功率P(kW)和转速n(r/min)，则轴所受的外力偶矩 。
A） ；（B） ；（C） ；（D）
15、 试作图4—32所示各轴的扭矩图，并求出 及其作用处。
16、 齿轮轴上有四个齿轮,见图4—33,己算出各轮所受外力偶矩为mA=52N•m、mB=120N·m、mC=40N·m、mD=28N·m.己知各段轴的直径分别为dAB=15mm、dBC=20mm、dCD=12mm。
11、图示某带轮传动轴，己知：P=14kW，n=300r/min， =40MPa， =0.01rad/min，G=80GPa。试根据强度和刚度条件计算两种截面的直径：（1）实心圆截面的直径d；（2）空心圆截面的内径d1和外径d2（d1/d2=3/4）
答：d≥49mm，d2≥53.7mm
12、图示一圆截面杆，左端固定，右端自由，在全长范围内受均布力偶矩作用，其集度为me。设杆的材料的切变模量为G，截面的极惯性矩为Ip，杆长为l。试求自由端的扭转角 。
d=31mm
二、计算题
一为实心、一为空心的两根圆轴，材料、长度和所受外力偶均一样，实心直径d1，空心轴外径D2、内径d2，内外径之比α=d2/D2=0.8。若两轴重量一样，试求两轴最大相对扭转角之比。
解：两轴材料、重量和长度一样，则截面积也一样A1=A2，即
可得
因承受的外力偶矩相同，两轴截面上扭矩也应相等T1=T2。
答：
10、图示一传动轴，主动轮I传递力偶矩1kN．m，从动轮Ⅱ传递力偶0.4kN．m，从动轮Ⅲ传递力偶矩0.6kN．m.。己知轴的直径d=40mm，各轮间距l=500mm，材料的切变模量G=80GPa。要求（1）合理布置各轮的位置；（2）求出轴在合理位置时的最大切应力 和最大扭转角 。
答： =47.8MPa, =0.015rad
(2)矩形截面杆
矩形截面杆扭转时，由切应力互等定理可知，横截面周边上的切应力和周边相切，角点处切应力为零。横截面上最大切应力发生在长边的中点处。
设矩形截面杆长为l，承受扭矩T，矩形截面的长为h，宽为b。
最大切应力
杆两端的相时扭转角
式中α，β是与长宽比h/b相关的系数，计算时可查阅有关手册。
当长宽比 时，称为狭长矩形，α，β可近似为1/3。
A 任意截面； B 任意实心截面；
C 任意材料的圆截面 D 线弹性材料的圆截面。
（4）单位长度扭转角 与（A）无关。
A 杆的长度； B 扭矩
C 材料性质； D 截面几何性质。
（5）图示圆轴由钢杆和铝套管牢固地结合在一起。扭转变形时，横截面上切应力分布如图（B）所示。
（6）若将受扭实心圆轴的直径增加一圆轴扭转时，截面上的内力矩称为扭矩，用T表示。扭矩的正负号，按右手螺旋法则判定。如扭矩矢量与截面外向法线一致，为正扭矩，反之为负；求扭矩时仍采用截面法。扭矩图是扭矩沿轴线变化图形，与轴力图的画法是相似
4、纯剪切切应力互等定理
单元体的左右两个侧面上只有切应力而无正应力，此种单元体发生的变形称为纯剪切。
A 2倍 B 4倍
C 8倍 D 16倍
(7) 空心圆轴，其内外径之比为 ，扭转时轴内的最大剪应力为 ，这时横截面上内边缘的剪应力为（ B ）。
Ａ Ｂ
Ｃ 零 Ｄ
(8) 实心圆轴扭转，己知不发生屈服的极限扭矩为T0，若将其横截面积增加１倍，那么极限扭矩是（ C ）。
Ａ Ｂ
Ｃ Ｄ
(9) 对于受扭的圆轴，关于如下结论：
答：τmax=100MPa
3、设将例题4—2中直径d=0.０６m的实心圆轴制成外径Ｄ与内径d之比为３／２的空心圆轴，仍受力偶矩Ｍe＝２.５kN．m的作用。试求：使τmax与该例题相同时，能节省多少材料？
答：D＝0.065m
4、图示一圆锥形杆AB，受力偶矩Me作用，杆长为l，两端截面的直径分别为d1和d2=1.2d1，材料的切变模量为G。试求：（1）截面A和B的扭转角 ，（2）若按平均直径的等直杆计算扭转角，误差等于多少？
一、计算题
等截面传动轴的转速n=150r/min，由A转输入功率NA=8kW，由B、C、D各轮输出功率分别为NB=3kW，NC=1kW，ND=4kW。己知轴的许用剪应力[τ]=60MPa，剪切弹性模量G=80GPa，[θ]=20/m。要求首先安排各轮的位置，然后绘出传动轴的扭矩图，并确定轴的直径。
解：四轮各位置如图，其中A轮应放在轴的中间位置，使得从A轮输入的扭矩由该轮的两侧分担，不会使轴的某段承担输入的全部扭矩。根据功率转化为扭矩关系，A、B、C、D各点的扭矩
己知各轮承担的扭矩后，由截面法可得各截面的扭矩，扭矩图如图。从扭矩图可知，最大扭矩应在DA、AB段，为
最大剪应力为
强度条件为
得到
(1)
由于轴为等截面的，最大单位长度的扭转角也应在DA、AB段，等圆截面杆的单位长度的扭转角
刚度条件为
得
(2)
从式(1)和式(2)中选择较大的作为轴的直径，可同时满足刚度和强度条件，轴的直径
答：d=85mm
8、钻探机钻杆的外径D=60mm，内径d=50mm，切率P=7.355kW,轴的转速n=180r/min，钻杆钻入土层的深度l=40m，材料的切变模量G=80GPa，许用切应力 =40MPa，假设土壤对钻杆的阻力沿长度均匀分布，试求：（1）土壤对钻杆单位长度的阻力矩m；（2）作钻杆的扭矩图，并进行强度校核；（3）计算A、B截面的相对扭转角。
解(1)开口薄壁圆环
开口薄壁圆环可以看成一个长为 、宽为t的狭长矩形，则最大切应力
扭转角
(2)闭口薄壁圆环
最大切应力
扭转角
对于薄壁圆环，Ip可以写成
因此
(3)两杆最大切应力之比
两杆扭转角之比
讨论：由本题的计算结果可以看出，闭口薄壁圆环的切应力及扭转角要比开口薄壁圆环小得多，因而在薄壁构件中应尽量采用闭口薄壁杆件。
实心轴和空心轴最大相对扭转角分别是
式中，l为轴的长度。故两轴最大相对扭转角之比
将 代入上式，则
再将α＝0.8代入上式，得
可见，空心轴的扭转角远小于实心轴的。因此，采用空心圆轴不仅强度高，而且刚度也远优于实心圆轴。
三、计算题
两个受扭薄壁杆截面，一个是开有纵向细缝的开口薄壁圆环，另一个是闭口薄壁圆环，如图所示。两杆的材料相同，尺寸相同，平均直径D=40mm，壁厚t=2mm，长度为l。两杆承受的扭矩相同。试求两杆最大切应力之比及扭转角之比。
①最大剪应力只出现在横截面上；
②在横截面上和包含杆件的纵向截面上均无正应力；
③圆轴内最大拉应力的值和最大剪应力的值相等。
现有四种答案，正确的是（ A ）。
A②③对 B①③对
C①②对 D 全对
二、计算题
1、试用截面法求出图示圆轴各段内的扭矩T，并作扭矩图。
答：
2、图示一齿轮传动轴，传递力偶矩Me=10kN．m,轴的直径d=80mm.。试求轴的最大切应力。
答：
7、图示传动轴，主动轮B输入功率P1=368kW,从动轮A，阵C输出的功率分别为P2=147kW,P3=221kW,轴的转速n=500r/min,材料的G=80GPa，许用切应力 =70MPa，许用单位长度扭转角 =10/m。（1）画出轴的扭矩图；（2）设计轴的直径；（3）讨论提高轴强度和刚度的措施
二、重点与难点
1、受扭杆件所受的外力偶矩，常由杆件所传递的功率及其转速来换算。
2、圆杆扭转时，横截面上切应力沿半径线性分布，并垂直于半径，最大切应力在外表面处。
3、低碳钢材料圆杆扭转破坏时，将沿横截面被剪断。铸铁材料圆杆扭转破坏时，将沿与杆轴线成450螺旋面被拉断。
三、解题方法要点
1、
2、
4.2典型题解
（3）薄壁圆管和空心圆管的扭转切应力公式完全一样。（错）