六年级数学分数的速算与巧算

六年级数学讲义（2016年春季班）
第一讲 分数的速算与巧算
教学目标
本讲知识点属于计算大板块内容，分为三个方面系统复习和学习小升初常考计算题型.
1、 裂项：是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握裂项技巧及寻找通项进行解题的能力
2、 换元：让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。

3、 循环小数与分数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要利用运算定律进行简算的问题．
4、通项归纳法
通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算，使计算过程更加简便，而通项归纳法能将“形似”的复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形式．
知识点拨
一、裂项综合
（一）、“裂差”型运算
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b
⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b
=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：
1(1)(2)
n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)
n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)
n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+ 裂差型裂项的三大关键特征：
（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。

（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”
（3）分母上几个因数间的差是一个定值。

（二）、“裂和”型运算：
常见的裂和型运算主要有以下两种形式：
（1）11a b a b a b a b a b b a
+=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：
裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

三、整数裂项
(1) 122334...(1)n n ⨯+⨯+⨯++-⨯1(1)(1)3
n n n =-⨯⨯+ (2) 1123234345...(2)(1)(2)(1)(1)4
n n n n n n n ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++-⨯-⨯=--+ 二、换元
解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简．
三、循环小数化分数
0.9a =； 0.99ab =； 0.09910990
ab =⨯=； 0.990abc =，…… 2、单位分数的拆分：
例：110=112020+=()()11+=()()11+=()()11+=()()
11+ 分析：分数单位的拆分，主要方法是：
从分母N 的约数中任意找出两个m 和n,有：
11()()()()m n m n N N m n N m n N m n +==++++=11A B
+ 本题10的约数有:1,10,2,5.。

例如：选1和2，有：
11(12)12111010(12)10(12)10(12)3015
+==+=++++ 本题具体的解有：
1111111111011110126014351530=+=+=+=+ 例题精讲
模块一、分数裂项
【例 1】 11111123423453456678978910
+++⋅⋅⋅++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
【例 2】 计算：57191232348910
+++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯
【例 3】
12349223234234523410
+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【例 4】 22222211111131517191111131+++++=------ .
模块二、换元与公式应用
【例 5】 计算：3333333313579111315+++++++
【例 6】 计算：234561111111333333
++++++
【例 7】 计算：22222222(246100)(13599)12391098321
+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++
【例 8】 计算：2222222222
12233445200020011223344520002001
+++++++++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯⨯
三、循环小数与分数互化
【例 9】 某学生将1.23乘以一个数a 时，把1.23误看成1.23，使乘积比正确结果减少0.3.则正确结果该是多少?
【例 10】 有8个数，0.51，23,59,0.51,2413,4725
是其中6个，如果按从小到大的顺序排列时，第4个数是0.51，那么按从大到小排列时，第4个数是哪一个数?
【例 11】 20022009和1287
化成循环小数后第100位上的数字之和是_____________.
【例 12】 在下面的括号里填上不同的自然数，使等式成立．
（1）
()()()()()()()()11111111111102020=+=+=+=+=+； （2）
()()11110=-
【例 13】 若1112004a b
=+，其中a 、b 都是四位数，且a<b ，那么满足上述条件的所有数对（a,b ）是
课后练习：
练习1. 123456121231234123451234561234567+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
练习2. 12389(1)(2)(3)(8)(9)234910
-⨯-⨯-⨯⨯-⨯- 练习3. 计算：333313599++++=___________．
练习4. 计算：
练习5. 1111111111112
200723200822008232007⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⨯+++-+++⨯+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 练习6. ⑴ ····110.150.2180.3111⎛⎫+⨯⨯ ⎪⎝⎭
； ⑵ ()
2.2340.9811-÷ (结果表示成循环小数) 【备选1】计算：23993!4!100!
+++= . 【备选2】计算：22222222
1223200420052005200612232004200520052006
++++++++⨯⨯⨯⨯ 【备选3】计算：333
12320061232006
+++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+ 【备选4】计算：
621739458739458378621739458378739458126358947358947207126358947207358947⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⨯++-+++⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
【备选5】计算200920091199900999909901⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭ (结果表示为循环小数)。