有质量弹簧振子的弹簧内力_陈奎孚

３
， ， ， ） Ｃ ｏ ｌ ｌ ｅ ｅ ｏ ｆ Ｅ ｎ ｉ ｎ ｅ ｅ ｒ ｉ ｎ Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ Ａ ｒ ｉ ｃ ｕ ｌ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ Ｂ ｅ ｉ ｉ ｎ １ ０ ０ ０ ８ ３ ｇ ｇ ｇ ｇ ｙ ｊ ｇ
， Ａ ｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ｈ ｅ ｓ ｒ ｉ ｎ ｓ ｉ ｎ ｔ ｅ ｒ ｎ ａ ｌ ｆ ｏ ｒ ｃ ｅ ｏ ｆ ａ ｖ ｉ ｂ ｒ ａ ｔ ｏ ｒ ｗ ｉ ｔ ｈ ａ ｌ ｉ ｈ ｔ ｓ ｒ ｉ ｎ ｉ ｓ ｔ ｒ ｉ ｖ ｉ ａ ｌ ｌ ａ ｃ ｏ ｎ ｓ ｔ ａ ｎ ｔ Ｔ ｐ ｇ ｇ ｐ ｇ ｙ ｗ ｈ ｉ ｌ ｅ ｔ ｈ ｅ ｃ ａ ｓ ｅ ｗ ｉ ｔ ｈ ａ ｍ ａ ｓ ｓ ｉ ｖ ｅ ｓ ｒ ｉ ｎ ｉ ｓ ｍ ｕ ｃ ｈ ｓ ｏ ｈ ｉ ｓ ｔ ｉ ｃ ａ ｔ ｅ ｄ ．Ｔ ｈ ｉ ｓ ｒ ｏ ｂ ｌ ｅ ｍ ｗ ａ ｓ ｉ ｎ ｖ ｅ ｓ ｔ ｉ ａ ｔ ｅ ｄ ｉ ｎ ｐ ｇ ｐ ｐ ｇ ， ， ， ｄ ｅ ｔ ａ ｉ ｌａ ｎ ｄ ｗ ａ ｓ ｖ ｉ ｓ ｕ ａ ｌ ｉ ｚ ｅ ｄ ｂ ｔ ｈ ｅ ｍ ａ ｔ ｈ ｅ ｍ ａ ｔ ｉ ｃ ａ ｌ ｔ ｏ ｏ ｌ Ｍ ａ ｔ ｌ ａ ｂ．Ｔ ｈ ｉ ｓ ｓ ｔ ｕ ｄ ｓ ｈ ｏ ｗ ｓｆ ｉ ｒ ｓ ｔ ｌ ｈ ａ ｔ ｙ ｙ ｙ ｔ ， ｔ ｈ ｅ ｓ ｒ ｉ ｎ ｓ ｉ ｎ ｔ ｅ ｒ ｎ ａ ｌ ｆ ｏ ｒ ｃ ｅ ｖ ａ ｒ ｉ ｅ ｓ ａ ｌ ｏ ｎ ｔ ｈ ｅ ｓ ｒ ｉ ｎ ｓ ｌ ｅ ｎ ｔ ｈ ｆ ｏ ｒ ａ ｍ ａ ｓ ｓ ｉ ｖ ｅ ｓ ｒ ｉ ｎ ｃ ａ ｓ ｅ ． Ｓ ｅ ｃ ｏ ｎ ｄ ｌ ｐ ｇ ｇ ｐ ｇ ｇ ｐ ｇ ｙ ｔ ｈ ｅ ｖ ｉ ｂ ｒ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｅ ｓ ｔ ａ ｂ ｌ ｉ ｓ ｈ ｅ ｄ ｂ ｕ ｎ ｉ ｆ ｏ ｒ ｍ ｌ ｓ ｔ ｒ ｅ ｔ ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ｎ ｄ ｒ ｅ ｌ ｅ ａ ｓ ｉ ｎ ｔ ｈ ｅ ｓ ｒ ｉ ｎ ｉ ｓ ｎ ｏ ｔ ａ ｓ ｉ ｍ ｌ ｅ ｈ ａ ｒ － ｙ ｙ ｇ ｇ ｐ ｇ ｐ ； ， ａ ｔ ｔ ｅ ｒ ｎ ． ｍ ｏ ｎ ｉ ｃ ｍ ｏ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｓ ａ ｒ ｅ ｓ ｕ ｌ ｔｔ ｈ ｅ ｓ ｒ ｉ ｎ ｓ ｉ ｎ ｔ ｅ ｒ ｎ ａ ｌ ｆ ｏ ｒ ｃ ｅ ｄ ｅ ｖ ｉ ａ ｔ ｅ ｓ ｆ ｒ ｏ ｍ ｔ ｈ ｅ ｓ ｉ ｍ ｌ ｅ ｈ ａ ｒ ｍ ｏ ｎ ｉ ｃ ｐ ｐ ｇ ｐ ， ， Ｔ ｈ ｉ ｒ ｄ ｌ ｔ ｈ ｅ ｄ ｅ ｖ ｉ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｉ ｓ ｍ ｏ ｒ ｅ ａ ｎ ｄ ｍ ｏ ｒ ｅ ｓ ｉ ｎ ｉ ｆ ｉ ｃ ａ ｎ ｔ ａ ｓ ｔ ｈ ｅ ｓ ｒ ｉ ｎ ｍ ａ ｓ ｓ ｉ ｎ ｃ ｒ ｅ ａ ｓ ｅ ｓ ． Ｆ ｉ ｎ ａ ｌ ｌ ｔ ｈ ｅ ｉ ｎ ｔ ｅ ｒ ｎ ａ ｌ ｇ ｙ ｐ ｇ ｙ ｆ ｏ ｒ ｃ ｅ ｌ ｅ ｎ ｄ ｓ ｉ ｔ ｓ ｅ ｌ ｆ ｔ ｏ ｂ ｅ ａ ｓ ｕ ａ ｒ ｅ ｗ ａ ｖ ｅ ｗ ｈ ｅ ｎ ｔ ｈ ｅ ｌ ｕ ｍ ｅ ｄ ｍ ａ ｓ ｓ ｉ ｓ ｎ ｕ ｌ ｌ ． ｑ ｐ ； ； ； ａ ｒ ｔ ｉ ａ ｌ Ｋ ｅ ｗ ｏ ｒ ｄ ｓ ａ ｓ ｓ ｓ ｒ ｉ ｎ ｖ ｉ ｂ ｒ ａ ｔ ｏ ｒ ｗ ａ ｖ ｅ ｍ ｏ ｔ ｉ ｏ ｎ ｐ ｄ ｉ ｆ ｆ ｅ ｒ ｅ ｎ ｔ ｉ ａ ｌ ｅ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ｉ ｎ ｔ ｅ ｒ ｎ ａ ｌ ｆ ｏ ｒ ｃ ｅ ｍ － ｐ ｇ ｑ ｙ 在这 弹 簧 振 子 是 大 学 物 理 教 学 的 经 典 例 子 ． 个经典例子中 ， 一般都忽略不计弹 簧 的 质 量 ． 若与 ， ， 质点相比 弹 簧 不 是 很 轻 就 需 要 考 虑 弹 簧 的 质 量． 弹簧质量 必 须 考 虑 的 弹 簧 振 子 本 质 上 是 波 动 问题 ， 研究它的工具变得复杂 ， 相应 的 物 理 现 象 也 复 杂 得 多． 就 该 问 题， 国内已经发表了很多文 ］ １ ８ － ， 朱 洪 玉 对 这 一 问 题 做 了 很 系 统 的 总 结， 对 章［
６
物理与工程 Ｖ ｏ ｌ ． ２ ６ Ｎ ｏ ． ５ ２ ０ １ ６
有质量弹簧振子的源自文库簧内力
陈奎孚１ 黄 峰１ 蒋 晓２ 赵建柱３
１ ２ （ ； ； 中国农业大学理学院 ， 北京 北京农业职业学院机电工程学院 ， 北京 １ ０ ０ ０ ８ ３ １ ０ ２ ２ ０ ８ ３
） 中国农业大学工学院 ， 北京 １ ０ ０ ０ ８ ３
摘 要 文章分析了有质 量 弹 簧 振 子 的 弹 簧 内 力 ， 并用 Ｍ 分析表 ａ ｔ ｌ ａ ｂ 工 具 进 行 图 形 化 展 示． 明： 弹簧质量不可忽略时 ， 弹簧 各 断 面 上 内 力 是 断 面 位 置 的 函 数 ； 对 振 子 均 匀 拉 伸 －释 弹簧内力随时间的变化规律不再是简谐波 ； 随着弹簧质量的增加 ， 内 放所建立的振动 ， 力偏离简谐波越来越明显 ； 质点质量为零时 ，内力随时间的变化规律为周期性方波 ． 关键词 弹簧振子 ； 波动 ； 偏微分方程 ； 内力
１ （ ， ， Ｃ ｏ ｌ ｌ ｅ ｅ ｏ ｆ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ Ａ ｒ ｉ ｃ ｕ ｌ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ Ｂ ｅ ｉ ｉ ｎ １ ０ ０ ０ ８ ３； ｇ ｇ ｙ ｊ ｇ ２
， ， Ｓ ｃ ｈ ｏ ｏ ｌ ｓ ｏ ｆ Ｍ ｅ ｃ ｈ ａ ｎ ｉ ｃ ａ ｌ ＆Ｅ ｌ ｅ ｃ ｔ ｒ ｉ ｃ ａ ｌ Ｅ ｎ ｉ ｎ ｅ ｅ ｒ ｉ ｎ Ｂ ｅ ｉ ｎ Ｖ ｏ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｌ Ｃ ｏ ｌ ｌ ｅ ｅ ｏ ｆ Ａ ｒ ｉ ｃ ｕ ｌ ｔ ｕ ｒ ｅ Ｂ ｅ ｉ ｉ ｎ １ ０ ２ ２ ０ ８； ｇ ｇ ｊ ｇ ｇ ｇ ｊ ｇ
９］ 相关争议进行了澄清 ［ ． 需要特别指出的是 ： 有些 特 性 ， 它们在弹簧质 量可忽略的 情 形 下 是 显 而 易 见 的 ， 但在波动问题
下就不那么 直 观 了 ． 比 如， 若 弹 簧 质 量 不 计， 则其 内力并不随 弹 簧 的 断 面 位 置 而 变 化 （ 为了表述清 ， ， 晰 我们把弹簧当成圆柱体 垂直 于 弹 簧 轴 线 的 横 ； 截面称为弹 簧 的 断 面 ） 然 而， 若弹簧质量必须考 其断面上内力变化规律可能 会 很 复 杂 ． 柯红卫 虑， １ ０］ ， 等研究了简谐 振 动 的 弹 簧 内 力 ［ 但在考虑弹簧 质量情形下 ， 纯简谐振动的实现 很 困 难 ， 比如通常 并 所讨论的例 子 均 匀 拉 伸 后 释 放 所 建 立 的 振 动 ， 非简谐振动 ， 而是多个本征振动叠加在一起的复 合振动 ． 可以推测此情形下 ， 弹簧 内 力 随 时 间 和 空
）＝ Ａ （ ｕ（ ｘ， ｔ ｘ） ｃ ｏ ｓ ｔ＋α）＝ ω １ １（ ｘ （ １ （ ） Ａ ｓ ｉ ｎμ ｃ ｏ ｓω ｔ＋α） ７ １ ｌ 其中 ， 注 Ａ 和α 分别为质点 的 振 幅 和 振 动 初 相 位 ． ， 意质点 ｍ 最大位移是 Ａ 而不是 ｓ ｉ ｎ Ａ ． １ μ ， 对质量不计的轻弹簧 （ 弹簧内力沿轴 ｍ ′＝０） 且等于作用在弹簧两端的所 谓 “ 弹 力” 但 线不变 ， ． 当质量不能 忽 略 时 ， 弹簧内力沿轴线变化规律正 是本文要探 究 的 问 题 ． 下面通过弹簧的局部变形 来确定弹簧内力 ． 考虑未变形时位于 ｘ 的断面 ． 记该断面的局部 ／ ， 在单位长度上的伸缩 ） 为ｕ 伸缩率 （ ｕ ｕ ｘ） ｘ（ ｘ＝ ， 相应的内力则能写成κ 其中 是与弹簧劲度系 ｕ κ ｘ 为 了 确 定κ 与ｋ 的 关 系 ， 假 数ｋ 有关的比例系数 ． 定弹簧退化成无质量情形 ， 则弹簧总 伸 长 量 （ 此时 发生均匀变形 ） 为ｌ 由弹簧胡克定律得到的弹 ｕ ｘ， （ ） ， 它也等于从局部伸缩率角度的 力为 ｋ× ｌ ｕ ｘ 这样得到 利 用 这 个 关 系， 有质量弹簧 ｕ ． ＝ ｋ ｌ ． κ κ ｘ 各断面的内力可表示为 （ 适合于任何形式的振动 ） ）＝ ｋ （ ） Ｆ（ ｘ， ｔ ｌ ｕｘ ８ ） ） 代入式 （ 有 ７ ８ 将式 （ （ ， ） Ｆ ｘｔ ＝ｋ ｌ ｕｘ ＝ （ ） （ （ ） ｋ Ａ ｃ ｏ ｓ ｘ ｌ ｃ ｏ ｓ ｔ＋α） ９ ω １ １ １ μ μ ／ 表观劲度 ２． ２ “ 通常说法 “ 弹力与位移成正比 ” 中： 位移 ” 指的 ， （ ， ） ； 是质点 ｍ 的位移 也就是图 １ 中 Ｐ 点位 移 ｕ ｌ ｔ 力则是弹簧作用在质点上的力 ， 它也等于 式 （ 取 ９） （ 的函数 值 ． 由式（ 和式（ 可知 Ｐ 端 ｘ＝ ｌ Ｐ 点） ７） ９） 但是比例系数 的弹力与该端点位移仍成正比 ， ， ） Ｆ（ ｌ ｔ （ ） ｋ ｋ ｃ ｏ ｔ１ １ ０ Ｂ ＝ ， ）＝ μ１ μ ｕ（ ｌ ｔ ］ 不再恒等于弹簧的劲度系数ｋ． 文献 ［ 已指出这 １ ０ 一点 ， 但是文献［ 是基于动态时弹簧仍均匀变 １ ０］ ） 形的假定 ， 所得到 ｋ 有一定差异 ． １ ０ Ｂ 与式 （ 进 而 与 质 量 比β ｋ Ｂ 和ｋ 的 关 系 与 μ １ 有 关， ｍ 有关 ． Ｑ 端的弹力和 Ｐ 端质点 ｍ 位移比值为 ） Ｆ（ ０， ｔ （ ） ｋ ｃ ｓ ｃ １ １ ＝ｋ Ａ ＝ １ μ１ μ （ ， ） ｕｌｔ ］ 它与文献 ［ 结果也有不同 ． １ ０ 容易验证 ， 可推知弹簧沿轴线存 ｋ ｋ＜ｋ Ｂ＜ Ａ， 在一断面 ， 该 断 面 内 力， 如 同 无 质 量 弹 簧 那 样， 精 确地等于质点 ｍ 位 移 与 弹 簧 劲 度 系 数 的 乘 积 ． 该 位置 ｘ 珚 由下式确定 （ ／ ） ） ｋ ｃ ｏ ｓ ｘ ｌ Ｆ（ ｘ ｔ 珚 １ 珚， μ１ μ ｋ＝ （ ＝ ， ） ｕｌ ｔ ｓ ｉ ｎ １ μ 可化为 （ ／ ）＝ ｓ ｃ ｏ ｓ ｘ ｌ ｉ ｎ 珚 １ １ １ μ μ μ
７
物理与工程 Ｖ ｏ ｌ ． ２ ６ Ｎ ｏ ． ５ ２ ０ １ ６
间的变化规 律 应 当 不 会 很 简 单 ． 但由于以前技术 限制 ， 大多教 科 书 或 学 习 辅 导 书 往 往 止 步 于 冗 长 的级数表达 式 ． 这 样 做， 一 则 不 直 观， 另则也不容 易激发学生深入探究的兴趣 ． 本文将对弹簧质量必须考虑 的 振 子 的 弹 簧 内 力进行探 究 ， 并 利 用 数 学 工 具 软 件 ＭＡＴ Ｌ Ａ Ｂ的 计算和图形 功 能 把 其 复 杂 性 展 示 出 来 ， 让学生对 其复杂性有直观的认识 ， 进而促进学习兴趣 ． １ 模型 ，劲 度 在图 １ 所示的模型 中 ， 设 弹 簧 原 长 为ｌ ， （ ／ 系数 ｋ 弹 簧 的 质 量 ｍ ′均 匀 分 布 线 密 度 ρ ′ ｌ ＝ｍ ） ， 质点的 质 量 为 ｍ （ 为 了 方 便 讨 论， 后文经常使 ｌ ／ 记位于弹簧原长 用质量比β ′ ｍ 这 个 参 数） ． ｍ ＝ｍ 弹 簧 的 波 动 方 程 为 １－４ ｘ 断 面 的 位 移 为 ｕ（ ｘ， ｔ） ． １ １］ （ ） 也可参照弹性杆的纵向振动 ［ ２ （ ） ｕ １ ｔ ｔ ＝ ｖｕ ｘ ｘ
［ ］
图 １ 模型
／ 其中 ， ｖ＝ ｌ ｋ ｍ ′为 弹 性 波 沿 弹 簧 轴 线 的 传 播 速 槡 度． 对应的边界条件为 ）＝ ０ （ ） ｕ（ ０， ｔ ２ （ ， ） （ ， ） （ ） ｍ ｕ ｕｘ ｌｔ ＝ ０ ３ ｔ ｔ ｌｔ ＋ｋ ） 和（ 可 导 出 第ｉ 阶 无 量 纲 本 ２ ３） 由边界条件 （ ［ １ １］ 征频率μ ｉ方程 （ ） ｃ ｏ ｓ ｓ ｉ ｎ ４ ｍ ｉ －μ ｉ ｉ ＝０ β μ μ 无量纲本征频率 μ ｉ与有量纲的本征圆频率ω ｉ 之间的关系为 ／ ／槡 ／ ｌ ｖ ＝ω ｋ ｍ ′ ｉ ＝ω ｉ ｉ μ 对应的本征函数如下 （ ） ５
；修回日期 ： 收稿日期 ： ２ ０ １ ５ ０ ６ ０ ３ ２ ０ １ ６ ０ ２ ２ ８ － － － － ； 基金项目 ： 编号 ： 名称： 以工程教育认证为导向的车辆工程专业实践教学改 ２ ０ １ ５ 年度北京高等学校教育教学改革立项项目 （ ２ ０ １ ５ ｓ ０ ４ ９ －ｍ 革研究与实践 ） ． 作者简介 ：陈奎孚 ， 男， 教授 ． 从事力学和振动的教学与研究 ． ｃ ｈ ｅ ｎ ｋ ｕ ｉ ｆ ｕ ａ ｕ． ｅ ｄ ｕ． ｃ ｎ ＠ｃ 通讯作者 ：赵建柱 ， 男， 副教授 ． 主要研究方向为车辆动力学 ． ｚ ｈ ｚ ｈ＠ｃ ａ ｕ． ｅ ｄ ｕ． ｃ ｎ ｊ ］ （ ） ： 引文格式 ：陈奎孚 ， 黄峰 ， 蒋晓 ， 等 ．有质量弹簧振子的弹簧内力 ［ Ｊ ．物理与工程 ， ２ ０ １ ６， ２ ６ ５ ６ １ １， １ ５． －
ｘ ｘ ω ｉ ｉ ｘ）＝ ｓ ｉ ｎ ｉ ｎμ ＝ｓ ｉ（ ｖ ｌ
２ 本征振动
（ ） ６
２． １ 内力 为了与文 献 ［ 尽 量 一 致， 暂且假定振子发 １ ０］ 生了一阶本征振动 （ 如果要发生这样 的 自 由 振 动 ， 必须精心控 制 弹 簧 各 断 面 的 初 位 移 和 初 速 度 ， 使 得二者与第一阶本征函数仅相差一个比例系数 ） ． 对这种特殊振动 ， 弹簧各断面的位移为
Ｔ Ｈ Ｅ Ｓ Ｐ Ｒ Ｉ Ｎ Ｇ Ｓ Ｉ Ｎ Ｔ Ｅ Ｒ Ｎ Ａ Ｌ Ｆ Ｏ Ｒ Ｃ Ｅ Ｏ Ｆ Ｖ Ｉ Ｂ Ｒ Ａ Ｔ Ｏ Ｒ Ｗ Ｉ Ｔ Ｈ Ａ ＭＡ Ｓ Ｓ Ｉ Ｖ Ｅ Ｓ Ｐ Ｒ Ｉ Ｎ Ｇ Ｔ Ｈ Ｅ
１ １ ２ ３ Ｃ ｈ ｅ ｎ Ｋ ｕ ｉ ｆ ｕ ｕ ａ ｎ Ｆ ｅ ｎ ｉ ａ ｎ Ｘ ｉ ａ ｏ ｈ ａ ｏ Ｊ ｉ ａ ｎ ｚ ｈ ｕ Ｈ Ｚ ｇ ｇ Ｊ ｇ