有质量弹簧振子的弹簧内力_陈奎孚
山东省枣庄市第三中学2019-2020高二物理下学期5月阶段性检测试题(含解析)
B.1∶1 1∶1
C.1∶1 1∶2
D。1∶2 1∶1
【答案】C
【解析】
试题分析：一个弹簧振子，第一次用力把弹簧压缩x后开始振动,第二次把弹簧压缩2x后开始振动,则两次振动的周期之比和最大加速度的大小之比分别为1∶1，1∶2．因为周期是个定值，加速度与弹簧的形变量成正比．
考点：简谐运动具有对称性、周期性
(3）实验测得重力加速度的值较当地重力加速度的值偏大，可能的原因是_______。
A。摆球的质量偏大
B。单摆振动的振幅偏小
C.计算摆长时没有加上摆球的半径值
D.将实际振动次数n次误记成(n＋1）次
(4)用摆长L和周期T计算重力加速度的公式是g=_______。
【答案】 (1）。 BC （2）。 C (3）. D （4）.
A. 两列波的周期均为1s
B。 两列波的周期均为2s
C。t=1s时刻，质点M的位移为－4cm
D. 在两列波叠加的过程中，质点M的振动得到了加强,位移始终是－4cm
【答案】AC
【解析】
【详解】AB．由图知波长 ,由
波的周期为
B错误，A正确;
C． 两列波传到M的时间为
当 时刻，根据波的传播方向和质点的振动方向的关系，两波的波谷恰好传到质点M，所以位移为
D. 对着日光灯从两铅笔缝中看到的彩色条纹
【答案】D
【解析】
【详解】A．雨后天空美丽的彩虹，这是太阳光通过悬浮在空气中细小的水珠折射而成的，白光经水珠折射以后，分成各种彩色光，这种现象叫做光的色散现象,A错误；
B．日光照射在肥皂泡上出现彩色条纹属于光的干涉，故B错误;
C．一束白光通过三棱镜形成彩色光带属于光的折射现象，故C错误；
物理选修二实验归纳总结
物理选修二实验归纳总结物理选修二实验是高中物理课程的一部分，通过进行实验，旨在加深学生对物理原理的理解和应用能力的培养。
在本文中，我将对物理选修二实验进行归纳总结，以帮助同学们更好地掌握实验内容和相关知识点。
实验一：力的平衡实验力的平衡实验是物理选修二实验的基础实验之一，通过调整受力物体的位置和角度，使力合力为零，实现力的平衡。
实验中，我们通过探究杆、板及各种悬挂物的平衡条件，理解力的合成和分解，以及测量力的大小和方向的方法。
实验二：弹簧振子实验弹簧振子实验是物理选修二实验的另一重要实验，通过调整弹簧的长度和质量，测量弹簧振子的周期和频率，研究弹簧振动的规律和影响因素。
实验中，我们可以利用带有刻度的支架和计时器等仪器设备，精确测量振子的振动参数，并通过计算和分析得出结论。
实验三：光的折射实验光的折射实验是物理选修二实验中涉及光学的实验项目之一，通过观察光线从一种介质到另一种介质的传播路径和折射现象，研究光的传播规律和折射定律。
实验中，我们可以使用光线箱、光屏、三棱镜等实验器材，根据光的入射角和折射角之间的关系，验证折射定律，并探究不同介质对光传播速度和方向的影响。
实验四：电学元件实验电学元件实验是物理选修二实验的一个重要部分，通过搭建电路，研究电流、电压和电阻等电学量之间的关系，理解欧姆定律和串并联电路的特性。
实验中，我们需要使用电池、导线、电阻器等元件，利用电流表和电压表等仪器设备，测量电阻和电压的数值，并观察和记录实验现象，从而验证理论公式，并进行相关电路的搭建和计算。
实验五：热传导实验热传导实验是物理选修二实验中考察热学知识的一项实验，通过观察热量在不同材料中的传导方式和速度，研究热传导的规律和影响因素。
实验中，我们可以使用热敏电阻、热盘、测温仪等实验器材，测量不同材料的热传导速度，并探究材料的导热性质和传热方式的区别。
实验六：声音传播实验声音传播实验是物理选修二实验中涉及声学的一项实验，通过观察声波在不同介质中的传播速度和传播特点，研究声音传播的规律和影响因素。
弹簧振子的基本原理与实验
弹簧振子的基本原理与实验弹簧振子是实验物理中常见且经典的实验装置，主要用于探究简谐振动的基本特性。
它由一个弹簧和一个悬挂物体组成，当悬挂物体受到外力扰动后，会在弹簧的作用下发生周期性的振动。
本文将介绍弹簧振子的基本原理以及如何进行相关实验。
一、原理介绍1. 弹簧振动的力学模型弹簧的振动可以看作是一种简谐振动，满足胡克定律。
当弹簧的形变不大时，可以用弹性势能函数描述其受力关系：F = -kx其中，F为弹簧受力，k为弹簧的弹性系数，x为弹簧的形变量。
根据牛顿第二定律和胡克定律，可以得到弹簧振子的运动微分方程：m(d²x/dt²) = -kx2. 弹簧振动的周期和频率根据弹簧振子的微分方程可知，它的振动频率与弹簧的劲度系数和振子的质量有关。
振动周期T与频率f的关系为：T = 1/f = 2π√(m/k)其中，T为振动周期，f为振动频率，m为振子的质量，k为弹簧的劲度系数。
3. 弹簧振动的振幅和相位弹簧振子的振幅A与振子的最大位移有关，而相位则描述了振子当前状态与振动的起始状态之间的关系。
二、实验方法1. 实验器材为了进行弹簧振子的实验，我们需要准备以下器材：- 一根弹簧- 一个悬挂物体- 一个带刻度的直尺- 一个计时器2. 实验步骤具体的实验步骤如下：步骤一：将弹簧挂在一个稳定的支架上，并保证其垂直悬挂。
步骤二：在弹簧下方悬挂一个悬挂物体，使其自由下垂。
步骤三：选择适当的初始位置，并测量悬挂物体的静止长度。
步骤四：用手轻微拉动悬挂物体，使其进行振动，并开始计时。
步骤五：利用计时器测定悬挂物体完成10次完整振动所需的时间，并记录下来。
步骤六：根据记录的数据，计算弹簧的周期和频率。
3. 实验注意事项为了保证实验的准确性和安全性，需要注意以下事项：- 弹簧振子的运动幅度尽量不要过大，避免对实验环境造成干扰。
- 实验时需要保持实验器材的稳定性，避免振动被外界因素干扰。
- 实验数据的采集需要尽可能精确，可以进行多次测量取平均值。
弹簧振子的谐振频率与质量关系
弹簧振子的谐振频率与质量关系弹簧振子是经典力学中的一个重要模型，它是由一个固定的弹簧和一个挂在弹簧下端的质点组成。
当质点受到外力作用时，它会发生振动，而弹簧的弹性力则是质点回到平衡位置的恢复力。
弹簧振子的谐振频率是研究弹簧振动的一个重要参数，它与振子的质量密切相关。
首先，我们来看一下弹簧振子的基本原理。
当振子处于平衡位置时，质点不受外力作用，弹簧既不拉伸也不压缩，此时弹簧处于自然长度。
当质点受到外力作用，振子发生偏离平衡位置的振动。
根据胡克定律，弹簧的伸长或压缩与所受力成正比，即F=kx，其中F为弹簧受力，k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的伸长或压缩量。
根据牛顿第二定律，质点的加速度与受力成正比，即F=ma，其中m为质点的质量，a为质点的加速度。
因此，振子的运动方程为m(d²x/dt²) + kx = 0。
接下来，我们来推导弹簧振子的谐振频率与质量的关系。
假设振子的振动形式为x=Acos(ωt+φ)，其中A为振幅，ω为角频率，t为时间，φ为初相位。
将该振动形式代入运动方程中，并除以m，得到(d²x/dt²) + k/m * x = 0。
由此可得振子的谐振频率表达式为ω=√(k/m)。
上述表达式告诉我们，弹簧振子的谐振频率与振子的质量成反比。
也就是说，质量越大，振子的谐振频率就越小；质量越小，振子的谐振频率就越大。
这是因为振子的谐振频率与振子的有效惯性量有关，而有效惯性量与质量成正比。
质量越大，振子的有效惯性量就越大，对应的振子谐振频率就越小；质量越小，振子的有效惯性量就越小，对应的振子谐振频率就越大。
弹簧振子的质量与其谐振频率的关系在实际生活中有着广泛的应用。
例如，钟摆的摆动，就是一种弹簧振子。
我们可以观察到，当钟摆的质量增加时，它的谐振频率变低，摆动的周期变长。
这也是为什么古代的大钟都是由重物组成的原因。
另外，弹簧秤也是利用了弹簧振子的谐振频率与质量关系。
当被称量物体的质量增加时，弹簧的形变增大，振子的谐振频率变低，通过测量谐振频率的变化，可以推算出物体的质量。
山东省滨州市2020届高三物理下学期第二次模拟考试试题(含解析)
而质子数为
所以 是 ，故B正确;
C．根据质量数与质子数守恒可知 的质量数为
而质子数为
所以 是 ，③是 衰变，故C错误;
D．根据质量数与质子数守恒可知 的质量数为
而质子数为
所以 是 ，故D错误；
故选B。
2.如图所示,一导热良好且足够长的气缸，倒置悬挂于天花板下。气缸内被活塞封闭一定质量的理想气体。活塞质量为m，横截面积为S,当地大气压为p且不随温度变化,重力加速度为g，忽略一切摩擦。当环境温度缓慢升高时，下列说法正确的是( ）
故选D.
7.如图所示，一质量为m的矩形线框abcd被一轻质弹簧竖直悬挂起来,弹簧上端固定,可看作弹簧振子。bc边长为L，处于垂直纸面向里的匀强磁场中，abcd回路的总电阻为R。在外力作用下线框在竖直平面内做简谐运动，运动的周期与弹簧振子的固有周期相同,振幅为A，弹簧的劲度系数为k。线框在运动过程中，bc边始终在磁场中，ad边始终在磁场外，弹簧始终在弹性限度内。已知弹簧振子的振动周期公式为 ，其中m为振子的质量，k为弹簧的劲度系数，下列说法正确的是（ ）
在一个完整的周期内，线框产生的焦耳热为
线框受到的安培力与作用于线框的外力大小相等,方向相反，则有外力做功的大小等于克服线框安培力做的功,所以一个完整的周期内外力做功的大小
故D错误;
故选A.
8。如图所示，一半圆形光滑轨道固定在竖直平面内，半圆顶点有大小可不计的定滑轮，O点为其圆心,AB为半圆上两点,OA处于水平方向，OB与竖直方向夹角为45°，一轻绳两端连接大小可不计的两个小球甲、乙，初始时甲静止在B点,乙静止在O点，绳子处于拉直状态。已知甲球的质量m1=2kg，乙球的质量m2=1kg，半圆轨道的半径r=lm,当地重力加速度为g=10m/s2，忽略一切摩擦.解除约束后，两球开始运动的过程中，下列说法正确的是（ ）
关于“对物理教材中两个概念的讨论”中“加减平衡力系”的商榷
关于“对物理教材中两个概念的讨论”中“加减平衡力系”的商榷陈奎孚;蔡春【摘要】文章讨论了“对物理教材中两个概念的讨论”一文的“加减平衡力系”的不当之处,其根本原因在于弹簧是变形体,而“加减平衡力系”的公理只适应于刚体.使用了一个弹簧振子的例子进行佐证.目前的教学只强调解题速度,为了提高速度而占用了大量的学习资源,导致学生无暇理解科学的本质和科学的美.建议当代教学应强调通用解法和基本思路.【期刊名称】《物理与工程》【年(卷),期】2015(025)001【总页数】3页(P59-60,64)【关键词】势能;弹簧振子;Mathematica软件【作者】陈奎孚;蔡春【作者单位】中国农业大学理学院,北京 100083;北京联合大学应用文理学院,北京100191【正文语种】中文《物理与工程》2010年第20卷第1期发表了《对物理教材中两个概念的讨论》一文（以下简称《对》文）[1].《对》文谈了两个问题，对其中第二个问题“关于势能的计算”的“加减平衡力系”的说法，笔者有不同观点.问题的背景是关于图1所示悬挂弹簧质量系统的势能表达式.图1中：m表示物块的质量；k和l分别为弹簧的劲度系数和弹簧原长；δst＝mg／k为静平衡时的弹簧静伸长（g为重力加速度）.选择静平衡位置O为坐标原点，并选定该点为系统的零势能点后，则系统势能为考虑到静平衡的kδst＝mg，上式就变成十分简洁的形式图1 悬挂弹簧质量系统示意图《对》文认为从式（1）到式（2）的深层物理本质是“重力和弹簧静伸长的弹性力构成了一个平衡力系，由力学中的加减平衡力系公理可知，对于任意一个刚体，对其加上或减去一个平衡力系不影响原力系对刚体的作用效果”.该文还指出使用加减平衡力系公理要“同时满足下列两个条件：一是在静平衡时系统所受平衡力系中是否存在由弹簧静变形而产生的弹性力；二是在静平衡时弹簧的静变形是否是由振动物体的重力所引起”.笔者认为弹簧是变形体，而且对所感兴趣的物理现象——振动，也必须考虑弹簧的变形效应（有弹性势能），因而不能使用“加减平衡力系公理”.该公理适用的对象是刚体.笔者认为能将式（1）变成式（2）是因为：①坐标x轴的原点选得好——正好在静平衡处；②系统零势能点选得好——也正好在静平衡处.力学规律应该与坐标无关，也就是说如果“加减平衡力系公理”能用，并且能够得到式（2）的结果，则改变坐标原点或系统零势能点，也应该得到同样的结果.但事实显然不是这样.下面再给一个反例，说明使用“加减平衡力系公理”的不合理性.图2也是一个单自由度系统，弹簧的一端悬挂在A点，另一端B系有质量块m，m在铅直的光滑滑道内运动.弹簧原长为l，劲度系数为k，AO距离为d.假定图中的实线对应静平衡位置（位置B处）.该系统显然满足《对》文所申明的两个条件. 依《对》文的说法，使用“加减平衡力系公理”后，系统势能为图2 单自由度弹簧系统示意图这里的Δ是质量偏离平衡的位移x所造成的弹簧变形，也就是系统在图2中点线状态下（图2中C处）的弹簧相对平静位置（不是原长）的伸长量，它与重力无关.由图中几何关系有但对微幅的线性振动，上式展开到x的泰勒级数一次项即可，记将式（4）代入式（3）得到从头算起的算法为这里的Δ为图2中点线示意状态的弹簧相对于弹簧原长的伸长量（不是平衡状态）.根据图2中的三角形关系有将式（7）代入式（6），并近似到泰勒级数二次项有根据图2中几何关系，知道上式第一项为零.在平衡位置，隔离质量块m作受力分析，可以得到静平衡时有如下关系这样式（8）的第二式也为零（这是必然的，因为我们选择了平衡位置为坐标原点）.综上，式（8）变为它显然不同于式（5）的U1.前者也无法退化为后者（除非δst＝0）.而式（9）中的δst正是弹簧变形不能忽略的体现.教学实践中，往往强调式（4）解题的方便性，但不得不遗憾地指出它的适用范围非常有限，工程问题大多是像图2那样的模型.目前的教学往往强调解题速度.为了提高速度，学生不得不针对特殊的题型，训练和记住不同解题方法.这不仅大量地占用学习资源，更导致学生无暇理解科学的本质和科学的美.真正的科学教育应该强调通用解法和基本思路，具体公式推导和计算细节交给计算机去完成.比如上述的泰勒级数展开，就是用Mathematica软件完成的.参考文献【相关文献】[1]樊丽俭，冯振宇.对物理教材中两个概念的讨论[J].物理与工程，2010，20（1）：49-52.。
《新编基础物理学》第5章习题解答和分析
第5章 机械振动5-1 有一弹簧振子，振幅22.010m A -=⨯，周期 1.0s T =，初相34πϕ=.试写出它的振动位移、速度和加速度方程。
分析 根据振动的标准形式可得到振动方程，通过求导即可求解速度和加速度方程。
解：振动方程为2cos()cos()x A t A t Tπωϕϕ=+=+ 代入有关数据得30.02cos(2)(m)4x t ππ=+振子的速度和加速度分别是1d 30.04sin(2)(m s )d 4x t t πππ-==-+⋅v 2222d 30.08cos(2)(m s )d 4x a t t πππ-==-+⋅5-2一弹簧振子的质量为0.500kg ，当以35.0cm 的振幅振动时，振子每0.500s 重复一次运动.求振子的振动周期T 、频率ν、角频率ω、弹簧的倔强系数k 、物体运动的最大速率max v 、和弹簧给物体的最大作用力max F .分析：最大速率max A ω=v , 2max a A ω=，max max F ma =，2v ωπ=，1v T=，所以只要求出周期T 即可.解：由题意可知 0.500s T =；所以频率 1/ 2.00Hz v T ==；角频率 12=4=12.6(rad s )v ωππ-=⋅；倔强系数 2210.50012.679.4(N m )k m ω-==⨯=⋅；最大速率 10.3512.6 4.41(m s )max A ω-==⨯=⋅v最大作用力 220.5000.3512.627.8(N)max max F ma mA ω===⨯⨯=5-3质量为2kg 的质点，按方程0.2cos(5)(m)6x t π=-沿着x 轴振动.求：（1）0t =时，作用于质点的力的大小； （2）作用于质点的力的最大值和此时质点的位置.分析 根据振动的动力学特征和已知的简谐运动方程求解，位移最大时受力最大。
解：（1）跟据牛顿第二定律222d d x f m m x t ω==-，0.2cos(5)(m)6x t π=-将0=t 代入上式中，得：5.0N f =（2）由x m f 2ω-=可知，当0.2m x A =-=-时，质点受力最大，为10.0N f = 5-4在某港口海潮引起海洋的水平面以涨落高度d （从最高水平到最低水平）做简谐运动，周期为12.5h.求水从最高处下降了d /4高度需要多少时间？分析：由旋转矢量法即可求解.解：从最高水平到最低水平为2倍的振幅，由题可得旋转矢量图，从解图5-4中可见/4arccos()/23d d πθ== /312.5 2.08(h)2/2t T θθπωππ====5-5一放置在水平桌面上的弹簧振子，其振幅22.010m A -=⨯，周期0.5s T =，当0t =时，则：（1）物体在正方向端点；（2）物体在平衡位置，向负方向运动；（3）物体在21.010m x -=⨯处，向负方向运动； （4）物体在21.010m x -=-⨯处，向负方向运动. 求以上各种情况的振动方程。
弹簧专题之弹簧振子
弹簧专题之弹簧振子【模型构建】定义弹簧振子是一个不考虑摩擦阻力，不考虑空气阻力，不考虑弹簧的质量，不考虑振子（金属小球）的大小和形状的理想化的物理模型。
用来研究简谐振动的规律。
弹簧振子系统在平衡状态下，弹簧没有形变，振子（小球体）在平衡位置保持静止。
若把振子拉过平衡位置，到达最大幅度，再松开，弹簧则会将振子向平衡位置收回。
在收回的过程中，弹簧的势能转换为振子的动能，势能在降低的同时，动能在增加。
当振子到达平衡位置时，振子所积累的动能又迫使振子越过平衡位置，继续向同样的方向移动。
但因已越过弹簧振子系统的平衡位置，所以这时弹簧开始对振子向相反方向施加力。
动能转作势能，动能降低，势能上升，直至到达离平衡位置最大幅度的距离。
这时振子所有的动能被转化为势能，振子速度为零，停止运动。
势能又迫使振子移回平衡位置，在移动过程中，势能转为动能，因而再次越过平衡位置，重复这个过程。
在没有任何其他力影响的完美的条件下，这个弹簧振子系统会在两个最大幅度点间不停地做往返运动。
弹簧振子的固有周期和固有频率与弹簧劲度系数和振子质量有关，与振幅大小无关。
右图为其运动图像。
（注意复习受迫振动，阻尼振动等相关知识）在简谐运动中，我们一般对模型甲（图１）比较熟悉，但模型乙（图２）也经常出现在试题中。
特别注意：模型甲乙都做简谐运动，甲中回复力（弹力），加速度，速度，位移各量都关于平衡位置Ｏ点对称。
但是乙是由弹簧弹力和弹簧重力一起提供回复力，弹簧的弹力大小关于平衡位置是不对称的，但是回复力（加速度）仍然是对称的。
特征图３1：在振动的过程中，振子在任意一点与该点关于平衡位置的对称点上，回复力F与回复加速度a大小相等，方向相反。
平衡位置合力为零，加速度为零，速度最大。
正负位移最大处回复力最大，加速度最大且方向相反，速度为零。
２：如图３所示，O为平衡位置，假设一弹簧振子在A、B两点间来回振动，振动周期为T，C、D两点关于平衡位置O点对称。
从振子向左运动到C点开始计时，到向右运动到D点为止，即振子由C→A→C→O→D的运动时间为３：弹簧振子在振动过程中，机械能守恒，即在振动过程中，振子在任意位置，弹簧振子的机械能不变，弹簧振子的机械能表现为振子的动能与弹簧储存的弹性势能之和。
力学分析中的正号与负号
力学分析中的正号与负号陈奎孚;何坤娜【摘要】力学关系的矢量形式整齐简明,但手工计算往往倾向于投影的标量式.不少学生在标量分析过程中有正负号的纠结.笔者对如下学习情境中的正负号纠结进行了剖析:物理关系、运动量、功、力矩、力偶和力矢量图示.指出消除正负号纠结的关键在于是否画矢量形式的分析图.基于矢量关系的演绎不需要图示信息,但手工计算总是喜欢用图形.有图形情形下,方向相反的矢量关系会由图形显示,标量关系就无负号.理解上述原则有助于提升力学分析的教学效率.%The vector form of mechanics relationship is concise and tidy whereas the projected scalar form is preferred to in manual computation.Plenty of students are frustrated with choosing plus or minus signs in scalar form computation.The frustration with plus or minus signs are investigated in the following contexts,physics relationship,kinematic quantities,work,force moment,force couple and force vector graphing.It is pointed that a key factor is whether the vector diagram is drawn or not.The vector form of relationship does not necessitate a vector diagram;as a result,there is no need to consider the plus or minus sign.On the other hand,a vector diagram is preferred,especially in the case of planar problems.Concerning this case,the opposite directions of two vectors are delineated in the diagram;as a result,the minus sign should not appear in the scalar relationship.Apprehending above rules benefits the educational efficacy of force analysis.【期刊名称】《物理与工程》【年(卷),期】2017(027)002【总页数】7页(P15-21)【关键词】力学教学;力矢量;力偶;惯性力主矢;惯性力主矩;功;运动量;阻尼振子;隔离体图【作者】陈奎孚;何坤娜【作者单位】中国农业大学理学院74#,北京 100083;中国农业大学理学院74#,北京 100083【正文语种】中文力学教学中常常遇到用正号还是负号的纠结，比如文献[1]例2～5中有“小球的粘滞阻力与其运动速度成正比，即fτ=kv, k为比例常数……”，而在文献[2]中有“物体所受的弹力f与弹簧的伸长量即物体相对平衡位置的位移x成正比，即f=-kx…”。
有质量弹簧振子的弹簧内力_陈奎孚
ｘ ｘ ω ｉ ｉ ｘ）＝ ｓ ｉ ｎ ｉ ｎμ ＝ｓ ｉ（ ｖ ｌ
２ 本征振动
（ ） ６
２． １ 内力 为了与文 献 ［ 尽 量 一 致， 暂且假定振子发 １ ０］ 生了一阶本征振动 （ 如果要发生这样 的 自 由 振 动 ， 必须精心控 制 弹 簧 各 断 面 的 初 位 移 和 初 速 度 ， 使 得二者与第一阶本征函数仅相差一个比例系数 ） ． 对这种特殊振动 ， 弹簧各断面的位移为
［ ］
图 １ 模型
／ 其中 ， ｖ＝ ｌ ｋ ｍ ′为 弹 性 波 沿 弹 簧 轴 线 的 传 播 速 槡 度． 对应的边界条件为 ）＝ ０ （ ） ｕ（ ０， ｔｌｔ ＋ｋ ） 和（ 可 导 出 第ｉ 阶 无 量 纲 本 ２ ３） 由边界条件 （ ［ １ １］ 征频率μ ｉ方程 （ ） ｃ ｏ ｓ ｓ ｉ ｎ ４ ｍ ｉ －μ ｉ ｉ ＝０ β μ μ 无量纲本征频率 μ ｉ与有量纲的本征圆频率ω ｉ 之间的关系为 ／ ／槡 ／ ｌ ｖ ＝ω ｋ ｍ ′ ｉ ＝ω ｉ ｉ μ 对应的本征函数如下 （ ） ５
；修回日期 ： 收稿日期 ： ２ ０ １ ５ ０ ６ ０ ３ ２ ０ １ ６ ０ ２ ２ ８ － － － － ； 基金项目 ： 编号 ： 名称： 以工程教育认证为导向的车辆工程专业实践教学改 ２ ０ １ ５ 年度北京高等学校教育教学改革立项项目 （ ２ ０ １ ５ ｓ ０ ４ ９ －ｍ 革研究与实践 ） ． 作者简介 ：陈奎孚 ， 男， 教授 ． 从事力学和振动的教学与研究 ． ｃ ｈ ｅ ｎ ｋ ｕ ｉ ｆ ｕ ａ ｕ． ｅ ｄ ｕ． ｃ ｎ ＠ｃ 通讯作者 ：赵建柱 ， 男， 副教授 ． 主要研究方向为车辆动力学 ． ｚ ｈ ｚ ｈ＠ｃ ａ ｕ． ｅ ｄ ｕ． ｃ ｎ ｊ ］ （ ） ： 引文格式 ：陈奎孚 ， 黄峰 ， 蒋晓 ， 等 ．有质量弹簧振子的弹簧内力 ［ Ｊ ．物理与工程 ， ２ ０ １ ６， ２ ６ ５ ６ １ １， １ ５． －
有质量弹簧振子的弹簧内力
收 稿 Ｅｔ期 ：２Ｏ１５－０６—０３；修 回 日期 ：２０１６一Ｏ２—２８ 基 金 项 目 ：２０１５年 度 北 京高 等 学 校 教 育 教 学 改 革 立 项 项 目（编 号 ：ｚＯ１５一ｍｓ０４９｝名 称 ：以 工程 教 育 认 证 为导 向 的 车 辆 工 程 专 业 实 践 教 学 改 革 研 究 与 实 践 ）． 作 者 简 介 ：陈 奎 孚 ，男 ，教 授 ．从事 力 学和 振 动 的教 学 与 研 究 ．ｃｈｅｎｋｕｉｆｕ＠ ｃａｕ．ｅｄｕ．ｃｎ 通 讯 作 者 ：赵 建 柱 ，男 ，副 教授 ．主要 研 究 方 向为 车 辆 动 力 学 ．ｚｈｊｚｈ＠ ｃａｕ．ｅｄｕ．ｃｎ 引 文 格 式 ：陈 奎 孚 ，黄 峰 ，蒋 晓 ，等 ．有 质 量 弹 簧 振 子 的 弹 簧 内力 ＥＪ３．物 理 与 工 程 ，２０１６，２６（５）：６－ｌ１，１５．
。Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｃｈｉｎａ Ａｇｒｉｃｕｌｔｕｒａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｂｅｉｊｉｎｇ，１０００８３） Ａｂｓｔｒａｃｔ Ｔｈｅ ｓｐｒｉｎｇ’Ｓ ｉｎｔｅｒｎａｌ ｆｏｒｃｅ ｏｆ ａ ｖｉｂｒａｔｏｒ ｗｉｔｈ ａ ｌｉｇｈｔ ｓｐｒｉｎｇ ｉｓ ｔｒｉｖｉａｌｌｙ ａ ｃｏｎｓｔａｎｔ， ｗｈｉｌｅ ｔｈｅ ｃａｓｅ ｗｉｔｈ ａ ｍａｓｓｉｖｅ ｓｐｒｉｎｇ ｉｓ ｍｕｃｈ ｓｏｐｈｉｓｔｉｃａｔｅｄ． Ｔｈｉｓ ｐｒｏｂｌｅｍ ｗａｓ ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｄ ｉｎ ｄｅｔａｉｌ，ａｎｄ ｗａｓ ｖｉｓｕａｌｉｚｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｔｏｏｌ Ｍ ａｔｌａｂ． Ｔｈｉｓ ｓｔｕｄｙ ｓｈｏｗｓ，ｆｉｒｓｔｌｙ，ｔｈａｔ ｔｈｅ ｓｐｒｉｎｇ’Ｓ ｉｎｔｅｒｎａｌ ｆｏｒｃｅ ｖａｒｉｅｓ ａｌｏｎｇ ｔｈｅ ｓｐｒｉｎｇ’Ｓ ｌｅｎｇｔｈ ｆｏｒ ａ ｍ ａｓｓｉｖｅ ｓｐｒｉｎｇ ｃａｓｅ．Ｓｅｃｏｎｄｌｙ， ｔｈｅ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ ｂｙ ｕｎｉｆｏｒｍｌｙ ｓｔｒｅｔｃｈｉｎｇ ａｎｄ ｒｅｌｅａｓｉｎｇ ｔｈｅ ｓｐｒｉｎｇ ｉｓ ｎｏｔ ａ ｓｉｍｐｌｅ ｈａｒ— ｍｏｎｉｃ ｍｏｔｉｏｎ；ａｓ ａ ｒｅｓｕｌｔ，ｔｈｅ ｓｐｒｉｎｇ’Ｓ ｉｎｔｅｒｎａｌ ｆｏｒｃｅ ｄｅｖｉａｔｅｓ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｓｉｍｐｌｅ ｈａｒｍｏｎｉｃ ｐａｔｔｅｒｎ． Ｔｈｉｒｄｌｙ，ｔｈｅ ｄｅｖｉａｔｉｏｎ ｉｓ ｍｏｒｅ ａｎｄ ｍｏｒｅ ｓｉｇｎｉｆｉｃａｎｔ ａｓ ｔｈｅ ｓｐｒｉｎｇ ｍａｓｓ ｉｎｃｒｅａｓｅｓ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ｔｈｅ ｉｎｔｅｒｎａｌ ｆｏｒｃｅ ｌｅｎｄｓ ｉｔｓｅｌｆ ｔｏ ｂｅ ａ ｓｑｕａｒｅ ｗ ａｖｅ ｗ ｈｅｎ ｔｈｅ ｌｕｍｐｅｄ ｍ ａｓｓ ｉｓ ｎｕｌ１． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ ｍ ａｓｓ—ｓｐｒｉｎｇ ｖｉｂｒａｔｏｒ；ｗａｖｅ ｍｏｔｉｏｎ；ｐａｒｔｉａｌ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ；ｉｎｔｅｒｎａｌ ｆｏｒｃｅ
(必考题)高中物理选修一第二章《机械振动》测试题(包含答案解析)(4)
一、选择题1．如图甲所示，弹簧振子以点O 为平衡位置，在A 、B 两点之间做简谐运动。
取向左为正方向，振子的位移x 随时间t 的变化如图乙所示，下列说法正确的是（ ）A ．0.8s t =，振子的速度为零B ．0.2s t =时，振子在O 点右侧6cm 处C ．0.4s t =和 1.2s t =时，振子的加速度均为零D ．0.4s t =到0.8s t =的时间内，振子的速度逐渐增大2．弹簧振子的质量为M ，弹簧劲度系数为k ，在振子上放一质量为m 的木块，使两者一起振动，如图。
木块的回复力F 是振子对木块的摩擦力，F 也满足F k x =-'，x 是弹簧的伸长（或压缩）量，那么k k '为（ ）A ．m MB ．m M m +C ．M M m +D ．M m3．如图所示，两长方体木块A 和B 叠放在光滑水平面上，质量分别为m 和M ，A 与B 之间的最大静摩擦力为0f ，B 与劲度系数为k 的水平轻质弹簧连接构成弹簧振子。
A 和B 在振动过程中始终不发生相对滑动，则（ ）A ．A 受到B 的摩擦力f F 与B 离开平衡位置位移x 总满足f km F x M m =-+ B ．它们的最大加速度不能大于0f M C ．它们的振幅不可能大于0km f M m+ D ．振动过程中，AB 间的摩擦力对A 做正功，对B 做负功4．如图所示，质量为1m 的物体A 放置在质量为2m 的物体B 上，B 与弹簧相连，它们一起在光滑水平面上做简谐运动，振动过程中A 、B 之间无相对运动，设弹簧劲度系数为k ，当物体离开平衡位置的位移为x 时，A 受到的回复力的大小等于（ ）A．0 B．kx C．121mkxm mD．12mkxm5．两个弹簧振子甲的固有频率为f，乙的固有频率为10f。
若它们均在频率为9f的驱动力作用下受迫振动（）A．振子甲的振幅较大，振动频率为f B．振子乙的振幅较大，振动频率为9f C．振子甲的振幅较大，振动频率为9f D．振子乙的振幅较大，振动频率为10f 6．一弹簧振子做机械振动，若从平衡位置O开始计时，经过0.3s时，振子第一次经过P 点，又经过了0.2s，振子第二次经过P点，则从振子第二次经过P点算起，该振子第三次经过P点所需的时间为（）A．4s B．8s C．33s D．1.4s7．如图所示，在光滑水平面上的弹簧振子，弹簧形变的最大限度为20cm，弹簧处于原长时，弹簧振子处于图示P位置，若将质量为m的振子向右拉动5cm后由静止释放，经0.5s 振子第一次回到P位置，关于该弹簧振子，下列说法正确的是（）A．该弹簧振子的振动频率为1HzB．若向右拉动10cm后由静止释放，经过1 s振子第一次回到P位置C．若向左推动8cm后由静止释放，振子连续两次经过P位置的时间间隔是2sD．在P位置给振子任意一个向左或向右的初速度，只要最大位移不超过20cm，总是经0.5s速度就降为08．在上海走时准确的摆钟，随考察队带到北极黄河站，则这个摆钟（）A．变慢了，重新校准应减小摆长B．变慢了，重新校准应增大摆长C．变快了，重新校准应减小摆长D．变快了，重新校准应增大摆长9．如图，轻弹簧上端固定，下端连接一小物块，物块沿竖直方向做简谐运动。
高中物理选修一第二章《机械振动》检测(有答案解析)(7)
一、选择题1．做简谐运动的物体，通过平衡位置时，其（ ）A ．合外力为零B ．回复力为零C ．加速度为零D ．速度为零 2．弹簧振子的质量为M ，弹簧劲度系数为k ，在振子上放一质量为m 的木块，使两者一起振动，如图。
木块的回复力F 是振子对木块的摩擦力，F 也满足F k x =-'，x 是弹簧的伸长（或压缩）量，那么k k '为（ ）A ．m MB ．m M m +C ．M M m +D ．M m3．如图所示，两长方体木块A 和B 叠放在光滑水平面上，质量分别为m 和M ，A 与B 之间的最大静摩擦力为0f ，B 与劲度系数为k 的水平轻质弹簧连接构成弹簧振子。
A 和B 在振动过程中始终不发生相对滑动，则（ ）A ．A 受到B 的摩擦力f F 与B 离开平衡位置位移x 总满足f km F x M m =-+ B ．它们的最大加速度不能大于0f M C ．它们的振幅不可能大于0km f M m+ D ．振动过程中，AB 间的摩擦力对A 做正功，对B 做负功4．劲度系数为20N/cm 的弹簧振子，它的振动图象如图所示，在图中A 点对应的时刻（ ）A ．振子所受的弹力大小为5N ，方向指向x 轴的负方向B ．振子的速度方向指向x 轴的负方向C ．在0~4s 内振子作了1.75次全振动D ．在0~4s 内振子通过的路程为0.35cm ，位移为05．一弹簧振子振动过程中的某段时间内其加速度的值越来越大，则在这段时间内（ ） A ．振子的速度越来越大B ．振子的振幅越来越大C ．振子的速度方向与回复力方向相反D ．振子正在向平衡位置运动6．某弹簧振子如图所示，其中A 、B 均为振子偏离平衡位置的最大位移处，O 为平衡位置。
在振子由O 向A 运动的过程中，下列说法正确的是（ ）A ．振子偏离平衡位置的位移方向向左B ．振子偏离平衡位置的位移正在减小C ．弹簧的弹性势能正在减小D ．振子的速度正在减小7．如图所示，O 是弹簧振子的平衡位置，小球在B 、C 之间做无摩擦的往复运动，则小球任意两次经过O 点可能不同的物理量是（ ）A ．速度B ．机械能C ．回复力D ．加速度 8．物体做简谐运动，其图像如图所示，在t 1和t 2两时刻，物体的（ ）A ．回复力相同B ．位移相同C ．速度相同D ．加速度相同9．一弹簧振子做简谐运动，周期为T （ ）A ．若t 和（t +△t ）时刻振子运动速度的大小相等、方向相同，则△t 一定是2T 的整数倍B ．若t 和（t +△t ）时刻振子运动位移的大小相等、方向相反，则△t 一定是2T 的整数倍 C ．若△t =T ，则t 和（t +△t ）时刻振子运动的加速度一定相等D ．若△t =2T ，则t 和（t +△t ）时刻弹簧的长度一定相等 10．一个质点以O 点为平衡位置，在A 、B 间做简谐运动，如图（a ）所示，它的振动图象如图（b ）所示，设向右为正方向，下列说法正确的是（ ）A ．该质点的振动方程为0.05sin 2.5π(m)x tB ．0.2s 末质点的速度方向向右C ．0.2~0.3s 质点做加速运动D ．0.7s 时质点的位置在O 与B 之间11．如图所示，一劲度系数为k 的轻弹簧竖直放置，下端固定在水平地面上，上端固定一质量可忽略的薄板。
西安博迪学校高中物理选修一第二章《机械振动》检测卷(包含答案解析)
一、选择题1．(0分)[ID ：127384]如图甲所示为以O 点为平衡位置。
在A 、B 两点间做简谐运动的弹簧振子，图乙为这个弹簧振子的振动图像，由图可知下列说法中正确的是（ ）A ．在0.2s t =时，弹簧振子一定运动到B 位置B ．在0.3s t =与0.7s t =两个时刻，弹簧振子的速度相同C ．从0到0.2s t =的时间内，弹簧振子的动能持续地减少D ．在0.2s t =与0.6s t =两个时刻，弹簧振子的加速度相同2．(0分)[ID ：127383]关于简谐运动的质点的以下说法正确的是（ ） A ．间隔半个周期的整数倍的两个时刻，物体的振动情况相同 B ．做简谐运动的质点在半个周期内物体的动能变化一定为零 C ．质点在四分之一周期的时间内的路程一定等于一倍振幅 D ．任一时刻加速度和速度方向都相反3．(0分)[ID ：127358]如图所示，O 是弹簧振子的平衡位置，小球在B 、C 之间做无摩擦的往复运动，则小球任意两次经过O 点可能不同的物理量是（ ）A ．速度B ．机械能C ．回复力D ．加速度4．(0分)[ID ：127352]两个弹簧振子甲的固有频率为f ，乙的固有频率为10f 。
若它们均在频率为9f 的驱动力作用下受迫振动（ ） A ．振子甲的振幅较大，振动频率为f B ．振子乙的振幅较大，振动频率为9f C ．振子甲的振幅较大，振动频率为9fD ．振子乙的振幅较大，振动频率为10f5．(0分)[ID ：127350]如图所示，在光滑水平面上，木块B 与劲度系数为k 的轻质弹簧连接构成弹簧振子，木块A 叠放在B 上表面，A 与B 之间的最大静摩擦力为f m ，A 、B 质量分别为m 和M ，为使A 和B 在振动过程中不发生相对滑动，则（ ）A ．它们的振幅不能大于()m M m f kMB ．滑块A 的回复力是由弹簧的弹力提供C ．它们的最大加速度不能大于mf mD ．振子在平衡位置时能量最大6．(0分)[ID ：127346]一弹簧振子做简谐运动，周期为T （ ）A ．若t 和（t +△t ）时刻振子运动速度的大小相等、方向相同，则△t 一定是2T的整数倍 B ．若t 和（t +△t ）时刻振子运动位移的大小相等、方向相反，则△t 一定是2T的整数倍 C ．若△t =T ，则t 和（t +△t ）时刻振子运动的加速度一定相等 D ．若△t =2T，则t 和（t +△t ）时刻弹簧的长度一定相等 7．(0分)[ID ：127333]读下表：0 T /4 T /2 3T /4 T 甲 零 正向最大 零 负向最大 零 乙 零 负向最大 零 正向最大 零 丙 正向最大 零 负向最大 零 正向最大 丁负向最大零正向最大零负向最大如果表中给出的是做简谐运动的物体的位移x 或速度与时刻的对应关系，T 是振动周期，则下列选项中正确的是（ ）A ．若甲表示位移x ，则丙表示相应的速度vB ．若乙表示位移x ，则甲表示相应的速度vC ．若丙表示位移x ，则甲表示相应的速度vD ．若丁表示位移x ，则乙表示相应的速度v8．(0分)[ID ：127326]如图所示，一个弹赞振子沿x 轴在B 、C 之间做简谐运动，O 是平衡位置，当振子从B 向O 点运动经过P 点时A ．振子的位移为负B ．振子受回复力为负C ．振子速度为负D ．振子的加速度为负9．(0分)[ID ：127325]甲、乙两人观察同一单摆的振动,甲每经过 3.0s 观察一次摆球的位置,发现摆球都在其平衡位置处;乙每经过 4.0s 观察一次摆球的位置,发现摆球都在平衡位置右侧的最高处,由此可知该单摆的周期不可能的是 A ．0.5sB ．1.0sC ．1.5sD ．2.0s10．(0分)[ID ：127323]如图，长为l 的细绳下方悬挂一小球a ．绳的另一端固定在天花板上O点处，在O点正下方34l的O 处有一固定细铁钉．将小球向右拉开，使细绳与竖直方向成一小角度（约为2°）后由静止释放，并从释放时开始计时．当小球a摆至最低位置时，细绳会受到铁钉的阻挡．设小球相对于其平衡位置的水平位移为x，向右为正．下列图像中，能描述小球在开始一个周期内的x-t关系的是_____．A．B．C．D ．11．(0分)[ID ：127319]有一星球其半径为地球半径的2倍，平均密度与地球相同，今把一台在地球表面走时准确的摆钟移到该星球表面，摆钟的秒针走一圈的实际时间变为 A ．0.5minB ．0.7minC ．1.4minD ．2min12．(0分)[ID ：127299]一根自由长度为10cm 的轻弹簧，下端固定，上端连一个质量为m 的物块P ．在P 上再放一个质量也是m 的物块Q ．系统静止后，系统静止后，弹簧长度为6cm ，如图所示．如果迅速向上移去Q ．物块P 将在竖直方向做简谐运动．此后，弹簧的最大长度是（ ）A ．8cmB ．9cmC ．10cmD ．11cm二、填空题13．(0分)[ID ：127466]在光滑绝缘的水平面上有一长为l 的绝缘细线，细线一端系在O 点，另一端系一质量为m 、带电量为q 的小球。
重弹簧振系的自由振动
重弹簧振系的自由振动*陈奎孚1 付志一 高阳（中国农业大学东校区理学院应用力学系， 100083）摘要 介绍了非Sturm -Liouville 型边界波动方程的自由振动分析方法。
将不同阶的振型函数交叉乘积直接写出显式，并利用边界条件，就可以在回避广义正交性概念下，把自由振动的振型贡献系数求得。
利用该方法分析了重弹簧振系的自由振动，并对纯弹簧情形进行了直观展示。
关键词：弹簧质量系统；振型；正交性；非Sturm-Liouville 型边界。
一、 引言无论是理论分析还是实验训练，轻弹簧质量振系都是最基本振动教学例子。
然而再轻的弹簧也有质量，此外介绍威力强大的瑞利法也一般以有质量弹簧振系为例。
在学习连续体振动时，讨论纵向振动的模型一般用均质等截面杆，但是纵波在杆中传播用裸眼很难观察到，而规律符合完全相同偏微分方程的重弹簧纵向振动就很容易用裸眼观察到。
然而很少教材在弹性体这部分内容中使用重弹簧振子作为例子。
这有两个方面原因。
一是总感觉弹簧不象杆那样简单。
二是弹簧振子的边界条件并不是Sturm –Liouville 型。
Sturm –Liouville 型的边界保证了主振型函数的正交性，一般用这个性质确定各阶主振型对自由振动的贡献系数。
对重弹簧质量系统的边界，采用δ函数可定义广义正交。
但是部分学生对广义δ函数总有畏惧感，而学时的限制又不允许在驾驭δ函数上花很多时间。
实际上求自由振动的振型系数也并非非要使用振型函数的正交性不可。
本文以重弹簧质量系统为例，介绍自由振动分析中如何回避主振型函数正交性(从而回避δ函数)的处理措施。
二、 模型在图1所示的模型中，弹簧原长l, 刚度系数k ，质量m '均匀分布(线密度ρl =m'/l )，质点的质量m (为了方便讨论，后文经常使用质量比m /m m μ'=这个参数)。
记在弹簧原长中处于x 的点在振动过程中的位移为u (x ,t )。
弹簧的波动方程可参比弹性杆的纵向振动[1]2tt xx u c u = (1)其中c =(0,)0u t = (2)* 中国科学院力学研究所非线性力学国家重点实验室开放课题资助 1报告人简介：1969.12-，振动/生物力学，教授：ChenKuiFu@(,)(,)0tt x mu l t klu l t += (3)利用边界条件(2)和(3)，可得到无量纲模态频率μi 方程m cos sin 0i i i μμμμ-= (4)μi 与有量纲的物理圆频率p i 之间关系为i /i i p l c p μ== (5)与p i 相对应的振型函数如下：()sinsin i i i p x xx c lμφ== (6) 振系的初条件为(,0)()u x x ϕ= (7)(,0)()t u x x ψ= (8)三、 自由振动分析自由振动可假设为11(,)()sin()()(sin cos cos sin )i i i i i i i i i i i i i u x t x p t x p t p t βφαφβαβα∞∞===+=+∑∑ (9)由式(7)和(8)的边值条件有1(,0)sin ()()i i i i u x x x βαφϕ∞===∑ (10) 1(,0)cos ()()t i i i i i u x p x x βαφψ∞===∑ (11)大多教材利用振型的正交性求解式(9)的系数sin i i βα和cos i i βα。
【单元练】深圳大学附属中学高中物理选修1第二章【机械振动】复习题(含答案解析)
一、选择题1．如图甲所示为以O 点为平衡位置。
在A 、B 两点间做简谐运动的弹簧振子，图乙为这个弹簧振子的振动图像，由图可知下列说法中正确的是（ ）A ．在0.2s t =时，弹簧振子一定运动到B 位置B ．在0.3s t =与0.7s t =两个时刻，弹簧振子的速度相同C ．从0到0.2s t =的时间内，弹簧振子的动能持续地减少D ．在0.2s t =与0.6s t =两个时刻，弹簧振子的加速度相同C 解析：CA ．在t =0.2s 时，弹簧振子位移最大，但没有规定正方向，故可能在A 点，也可能在B 点，故A 错误；B ．x -t 图象的切线斜率表示速度，在t =0.3s 与t =0.7s 两个时刻，弹簧振子的速度大小相等，方向相反，故B 错误；C ．从t =0到t =0.2s 的时间内，位移增加，远离平衡位置，故动能减小，故C 正确；D ．在t =0.2s 与t =0.6s 两个时刻，位移相反，根据kxa m=-可知，加速度大小相等，方向相反，故D 错误。
故选C 。
2．做简谐运动的物体，通过平衡位置时，其（ ） A ．合外力为零 B ．回复力为零C ．加速度为零D ．速度为零B解析：BABC ．简谐运动的物体通过平衡位置时回复力为零，而物体在平衡位置时合力不一定为零，加速度不一定为零，例如，单摆在平衡位置时，合力不为零，加速度不为零，即存在向心加速度，AC 错误，B 正确；D ．简谐运动的物体经过平衡位置时速度最大，动能最大，位移为零，D 错误。
故选B 。
3．一质点做简谐运动，先后以相同的速度依次通过A 、B 两点，历时1s ，质点通过B 点后再经过1s 又第2次通过B 点，在这两秒钟内，质点通过的总路程为12cm ，则质点的振动周期和振幅分别为（ ） A ．3s ，6cm B ．4s ，6cmC ．4s ，9cmD ．2s ，8cm B解析：B简谐运动的质点，先后以同样大小的速度通过A 、B 两点，则可判定A 、B 两点关于平衡位置O 点对称，所以质点由A 到O 时间与由O 到B 的时间相等。
零势能位置的巧妙选取
零势能位置的巧妙选取
史建新;陶平
【期刊名称】《物理通报》
【年(卷),期】2009(000)008
【摘要】如图1，已知轻质弹簧劲度系数为k，物块质量为m，分别处于图中的A，B，C三个位置，弹簧处于原长时平衡位置为O，当物块m放在弹簧上时平衡位置为O′，且｜OO′｜=l1，当用手将物块拉伸至A位置时，系统保持静止，｜AO′｜=l，求系统处于C位置时的机械能．
【总页数】2页(P63-64)
【作者】史建新;陶平
【作者单位】南京理工大学紫金学院基础教学系,江苏南京,210046;南京理工大学紫金学院基础教学系,江苏南京,210046
【正文语种】中文
【中图分类】O4
【相关文献】
1.关于弹性势能与势能零点和坐标原点选取问题的讨论 [J], 熊正文
2.势能零点位置选取的简便方法 [J], 唐新科
3.仅据平衡位置为系统弹性势能零点就能使振子势能为kx2/2吗? [J], 陈奎孚;蔡春
4.探讨"零势能面"的选取 [J], 朱芸; 罗琬华; 吴沛豪
5.对弹性势能零势能位置选择的讨论 [J], 马守田
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苏州胥江中学高中物理选修一第二章《机械振动》测试题(答案解析)
一、选择题1．(0分)[ID ：127378]弹簧振子的质量为M ，弹簧劲度系数为k ，在振子上放一质量为m 的木块，使两者一起振动，如图。
木块的回复力F 是振子对木块的摩擦力，F 也满足F k x =-'，x 是弹簧的伸长（或压缩）量，那么k k '为（ ）A ．m MB ．m M m +C ．M M m +D ．M m2．(0分)[ID ：127376]如图甲所示，弹簧振子以O 点为平衡位置，在光滑水平面上的A 、B 两点之间做简谐运动，A 、B 分居O 点的左右两侧的对称点。
取水平向右为正方向，振子的位移x 随时间t 的变化如图乙所示的正弦曲线，下列说法正确的是（ ）A ．0.6s t =时，振子在O 点右侧6cm 处B ．振子0.2s t =和 1.0s t =时的速度相同C ． 1.2s t =时，振子的加速度大小为223πm/s 16，方向水平向右 D ． 1.0s t =到 1.4s t =的时间内，振子的加速度和速度都逐渐增大3．(0分)[ID ：127357]如图所示为单摆在两次受迫振动中的共振曲线，下列说法正确的是（ ）A ．若两次受迫振动分别在月球上和地球上进行，且摆长相等，则图线II 是月球上的单摆共振曲线B ．图线II 若是在地球表面上完成的，则该摆摆长约为2mC ．若摆长约为1m ，则图线I 是在地球表面上完成的D ．若两次受迫振动均在地球上同一地点进行的，则两次摆长之比为l 1：l 2= 25：4 4．(0分)[ID ：127336]在上海走时准确的摆钟，随考察队带到北极黄河站，则这个摆钟（ ）A．变慢了，重新校准应减小摆长B．变慢了，重新校准应增大摆长C．变快了，重新校准应减小摆长D．变快了，重新校准应增大摆长5．(0分)[ID：127329]如图所示是在同一地点甲乙两个单摆的振动图像，下列说法正确的是A．甲乙两个单摆的振幅之比是1：3B．甲乙两个单摆的周期之比是1：2C．甲乙两个单摆的摆长之比是4：1D．甲乙两个单摆的振动的最大加速度之比是1 ：46．(0分)[ID：127328]光滑水平面上的弹簧振子，以O为平衡位置在A、B间做简谐运动，则下列说法中正确的是（）A．物体在A和 B 处加速度为零B．物体通过 O 点时，加速度的方向发生改变C．回复力的方向总跟物体的速度方向相反D．物体离开平衡位置 O 后的运动是匀减速运动7．(0分)[ID：127327]如图所示，一块涂有炭黑的玻璃板在拉力F的作用下，竖直向上运动.一个装有水平振针的固定电动音叉在玻璃板上画出了图示曲线，下列判断正确的是A．音叉的振动周期在增大B．音叉的振动周期不变C．玻璃板在向上做减速运动D．玻璃板在向上做匀速直线运动8．(0分)[ID：127323]如图，长为l的细绳下方悬挂一小球a．绳的另一端固定在天花板上O点处，在O点正下方34l的O 处有一固定细铁钉．将小球向右拉开，使细绳与竖直方向成一小角度（约为2°）后由静止释放，并从释放时开始计时．当小球a摆至最低位置时，细绳会受到铁钉的阻挡．设小球相对于其平衡位置的水平位移为x，向右为正．下列图像中，能描述小球在开始一个周期内的x-t关系的是_____．A．B．C．D．9．(0分)[ID：127321]将一个摆长为l的单摆放在一个光滑的，倾角为α的斜面上，其摆角为 ，如图下列说法正确的是（）A ．摆球做简谐运动的回复力sin sin F mg θα=B ．摆球做简谐运动的回复力为sin mg θC ．摆球做简谐运动的周期为2sin l g πθD ．摆球在运动过程中，经平衡位置时，线的拉力为sin T mg α=10．(0分)[ID ：127318]弹簧振子作简谐运动，在平衡位置O 两侧A 、B 间振动，当时间t =0时，振子位于B 点，若规定向右的方向为正方向，则下图中哪个图象表示振子相对平衡位置的位移随时间变化的关系A ．AB ．BC ．CD ．D 11．(0分)[ID ：127311]一洗衣机正常工作时非常平稳，当切断电源后，发现洗衣机先是振动越来越剧烈，然后振动再逐渐减弱，对这一现象，下列说法正确的是( )①正常工作时，洗衣机波轮的运转频率比洗衣机的固有频率大②正常工作时，洗衣机波轮的运转频率比洗衣机的固有频率小③正常工作时，洗衣机波轮的运转频率等于洗衣机的固有频率④当洗衣机振动最剧烈时，波轮的运转频率等于洗衣机的固有频率A ．①④B ．只有①C ．只有③D ．②④12．(0分)[ID ：127294]如图，O 点为弹簧振子的平衡位置，小球在B 、C 间做无摩擦的往复运动．若小球从C 点第一次运动到O 点历时0.1s ，则小球振动的周期为（ ）A ．0.1sB ．0.2sC ．0.3sD ．0.4s二、填空题13．(0分)[ID ：127483]一质量为m 的小球，通过一根轻质弹簧悬挂在天花板上，如图所示。
河南省实验中学高中物理选修一第二章《机械振动》测试题(有答案解析)
一、选择题1．如图甲所示，在一条张紧的绳子上挂几个摆。
当a摆振动的时候，其余各摆在a摆的驱动下也逐步振动起来，不计空气阻力，达到稳定时，b摆的振动图像如图乙。
下列说法正确的是（）A．稳定时b摆的振幅最大B．稳定时b摆的周期最大C．由图乙可以估算出b摆的摆长D．由图乙可以估算出c摆的摆长2．做简谐运动的物体，通过平衡位置时，其（）A．合外力为零B．回复力为零C．加速度为零D．速度为零3．弹簧振子的质量为M，弹簧劲度系数为k，在振子上放一质量为m的木块，使两者一起振动，如图。
木块的回复力F是振子对木块的摩擦力，F也满足F k x=-'，x是弹簧的伸长（或压缩）量，那么kk'为（）A．mMB．mM m+C．MM m+D．Mm4．把一个筛子用四根弹簧支起来，筛子上装一个电动偏心轮，它每转一周，给筛子一个驱动力，这就做成了一个共振筛，如图所示。
不开电动机让这个筛子自由振动时，完成20次全振动用15 s，在某电压下，电动偏心轮的转速是50 r/min。
已知增大电动偏心轮电压可使其转速提高，而增加筛子的总质量可以增大筛子的固有周期。
为使共振筛的振幅增大，以下做法可行的是（）①降低输入电压②提高输入电压③增加筛子质量④减小筛子质量A．①③B．①④C．②③D．②④5．在科学研究中，科学家常将未知现象同已知现象进行比较，找出其共同点，进一步推测未知现象的特性和规律．法国物理学家库仑在研究异种电荷的吸引力问题时，曾将扭秤的振动周期与电荷间距离的关系类比单摆的振动周期与摆球到地心距离的关系．已知单摆摆长为l ，引力常量为G ，地球质量为M ，摆球到地心的距离为r ，则单摆振动周期T 与距离r 的关系式为( )A ．T =2πr GM lB ．T =2πr l GMC ．T =2πGM r lD ．T =2πlr GM 6．如图所示，O 是弹簧振子的平衡位置，小球在B 、C 之间做无摩擦的往复运动，则小球任意两次经过O 点可能不同的物理量是（ ）A ．速度B ．机械能C ．回复力D ．加速度 7．如图所示，在光滑水平面上，木块B 与劲度系数为k 的轻质弹簧连接构成弹簧振子，木块A 叠放在B 上表面，A 与B 之间的最大静摩擦力为f m ，A 、B 质量分别为m 和M ，为使A 和B 在振动过程中不发生相对滑动，则（ ）A ．它们的振幅不能大于()m M m f kMB ．滑块A 的回复力是由弹簧的弹力提供C ．它们的最大加速度不能大于m f m D ．振子在平衡位置时能量最大 8．如图所示，一块涂有炭黑的玻璃板在拉力F 的作用下，竖直向上运动.一个装有水平振针的固定电动音叉在玻璃板上画出了图示曲线，下列判断正确的是A ．音叉的振动周期在增大B ．音叉的振动周期不变C ．玻璃板在向上做减速运动D ．玻璃板在向上做匀速直线运动 9．如图所示，一个弹赞振子沿x 轴在B 、C 之间做简谐运动，O 是平衡位置，当振子从B向O 点运动经过P 点时A ．振子的位移为负B ．振子受回复力为负C ．振子速度为负D ．振子的加速度为负10．如图所示为单摆在两次受迫振动中的共振曲线，则下列说法不正确的是（ ）A ．若两次受迫振动分别在月球和地球上进行，且摆长相同，则图线Ⅰ表示月球上单摆的共振曲线B ．若两次受迫振动是在地球上同一地点进行，则两次摆长之比12:25:4l lC ．图线Ⅱ若是在地球上完成的，则该摆摆长约为1mD ．若摆长均为1m ，则图线Ⅰ是在地球上完成的11．如图，细绳一端固定于悬挂点O ，另一端系一小球．在悬挂点正下方A 点处钉一个钉子．小球从B 点由静止释放，摆到最低点C 的时间为t 1，从C 点向右摆到最高点的时间为t 2．摆动过程中，如果摆角始终小于5º，不计空气阻力．下列说法正确的是A ．t 1= t 2，摆线碰钉子的瞬间，小球的速率变小B ．t 1> t 2，摆线碰钉子的瞬间，小球的速率变小C ．t 1> t 2，摆线碰钉子的瞬间，小球的速率不变D ．t 1= t 2，摆线碰钉子的瞬间，小球的速率不变12．甲、乙两个单摆在同一地点做简谐振动，在相等的时间内，甲完成10次全振动，乙完成20次全振动．已知甲摆摆长为1 m ，则乙摆的摆长为( )A ．2 mB ．4 mC ．0.5 mD ．0.25 m13．图(甲)所示为以O 点为平衡位置、在A 、B 两点间做简谐运动的弹簧振子，图(乙)为这个弹簧振子的振动图象，由图可知下列说法中正确的是( )A．在t=0.2s时，弹簧振子可能运动到B位置B．在t=0.1s与t=0.3s两个时刻，弹簧振子的速度相同C．从t=0到t=0.2s的时间内，弹簧振子的动能持续地增加D．在t=0.2s与t=0.6s两个时刻，弹簧振子的加速度相同14．如图所示,甲、乙两物块在两根相同的弹簧和一根张紧的细线作用下静止在光滑水平面上,已知甲的质量小于乙的质量．当细线突然断开斤两物块都开始做简谐运动,在运动过程中（）A．甲的最大速度大于乙的最大速度B．甲的最大速度小于乙的最大速度C．甲的振幅大于乙的振幅D．甲的振幅小于乙的振幅15．一个做简谐运动的质点,它的振幅是5 cm,频率是2.5 Hz,该质点从平衡位置开始经过2.5 s后,位移的大小和经过的路程为( )A．5 cm、12.5 cmB．5 cm、125cmC．0、30cmD．0、125 cm二、填空题16．一质量为m的小球，通过一根轻质弹簧悬挂在天花板上，如图所示。
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物理与工程 Ｖ ｏ ｌ ． ２ ６ Ｎ ｏ ． ５ ２ ０ １ ６
有质量弹簧振子的弹簧内力
陈奎孚１ 黄 峰１ 蒋 晓２ 赵建柱３
１ ２ （ ； ； 中国农业大学理学院 ， 北京 北京农业职业学院机电工程学院 ， 北京 １ ０ ０ ０ ８ ３ １ ０ ２ ２ ０ ８ ３
９］ 相关争议进行了澄清 ［ ． 需要特别指出的是 ： 有些 特 性 ， 它们在弹簧质 量可忽略的 情 形 下 是 显 而 易 见 的 ， 但在波动问题
下就不那么 直 观 了 ． 比 如， 若 弹 簧 质 量 不 计， 则其 内力并不随 弹 簧 的 断 面 位 置 而 变 化 （ 为了表述清 ， ， 晰 我们把弹簧当成圆柱体 垂直 于 弹 簧 轴 线 的 横 ； 截面称为弹 簧 的 断 面 ） 然 而， 若弹簧质量必须考 其断面上内力变化规律可能 会 很 复 杂 ． 柯红卫 虑， １ ０］ ， 等研究了简谐 振 动 的 弹 簧 内 力 ［ 但在考虑弹簧 质量情形下 ， 纯简谐振动的实现 很 困 难 ， 比如通常 并 所讨论的例 子 均 匀 拉 伸 后 释 放 所 建 立 的 振 动 ， 非简谐振动 ， 而是多个本征振动叠加在一起的复 合振动 ． 可以推测此情形下 ， 弹簧 内 力 随 时 间 和 空
；修回日期 ： 收稿日期 ： ２ ０ １ ５ ０ ６ ０ ３ ２ ０ １ ６ ０ ２ ２ ８ － － － － ； 基金项目 ： 编号 ： 名称： 以工程教育认证为导向的车辆工程专业实践教学改 ２ ０ １ ５ 年度北京高等学校教育教学改革立项项目 （ ２ ０ １ ５ ｓ ０ ４ ９ －ｍ 革研究与实践 ） ． 作者简介 ：陈奎孚 ， 男， 教授 ． 从事力学和振动的教学与研究 ． ｃ ｈ ｅ ｎ ｋ ｕ ｉ ｆ ｕ ａ ｕ． ｅ ｄ ｕ． ｃ ｎ ＠ｃ 通讯作者 ：赵建柱 ， 男， 副教授 ． 主要研究方向为车辆动力学 ． ｚ ｈ ｚ ｈ＠ｃ ａ ｕ． ｅ ｄ ｕ． ｃ ｎ ｊ ］ （ ） ： 引文格式 ：陈奎孚 ， 黄峰 ， 蒋晓 ， 等 ．有质量弹簧振子的弹簧内力 ［ Ｊ ．物理与工程 ， ２ ０ １ ６， ２ ６ ５ ６ １ １， １ ５． －
Ｔ Ｈ Ｅ Ｓ Ｐ Ｒ Ｉ Ｎ Ｇ Ｓ Ｉ Ｎ Ｔ Ｅ Ｒ Ｎ Ａ Ｌ Ｆ Ｏ Ｒ Ｃ Ｅ Ｏ Ｆ Ｖ Ｉ Ｂ Ｒ Ａ Ｔ Ｏ Ｒ Ｗ Ｉ Ｔ Ｈ Ａ ＭＡ Ｓ Ｓ Ｉ Ｖ Ｅ Ｓ Ｐ Ｒ Ｉ Ｎ Ｇ Ｔ Ｈ Ｅ
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［ ］
图 １ 模型
／ 其中 ， ｖ＝ ｌ ｋ ｍ ′为 弹 性 波 沿 弹 簧 轴 线 的 传 播 速 槡 度． 对应的边界条件为 ）＝ ０ （ ） ｕ（ ０， ｔ ２ （ ， ） （ ， ） （ ） ｍ ｕ ｕｘ ｌｔ ＝ ０ ３ ｔ ｔ ｌｔ ＋ｋ ） 和（ 可 导 出 第ｉ 阶 无 量 纲 本 ２ ３） 由边界条件 （ ［ １ １］ 征频率μ ｉ方程 （ ） ｃ ｏ ｓ ｓ ｉ ｎ ４ ｍ ｉ －μ ｉ ｉ ＝０ β μ μ 无量纲本征频率 μ ｉ与有量纲的本征圆频率ω ｉ 之间的关系为 ／ ／槡 ／ ｌ ｖ ＝ω ｋ ｍ ′ ｉ ＝ω ｉ ｉ μ 对应的本征函数如下 （ ） ５
） 中国农业大学工学院 ， 北京 １ ０ ０ ０ ８ ３
摘 要 文章分析了有质 量 弹 簧 振 子 的 弹 簧 内 力 ， 并用 Ｍ 分析表 ａ ｔ ｌ ａ ｂ 工 具 进 行 图 形 化 展 示． 明： 弹簧质量不可忽略时 ， 弹簧 各 断 面 上 内 力 是 断 面 位 置 的 函 数 ； 对 振 子 均 匀 拉 伸 －释 弹簧内力随时间的变化规律不再是简谐波 ； 随着弹簧质量的增加 ， 内 放所建立的振动 ， 力偏离简谐波越来越明显 ； 质点质量为零时 ，内力随时间的变化规律为周期性方波 ． 关键词 弹簧振子 ； 波动 ； 偏微分方程 ； 内力
３
， ， ， ） Ｃ ｏ ｌ ｌ ｅ ｅ ｏ ｆ Ｅ ｎ ｉ ｎ ｅ ｅ ｒ ｉ ｎ Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ Ａ ｒ ｉ ｃ ｕ ｌ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ Ｂ ｅ ｉ ｉ ｎ １ ０ ０ ０ ８ ３ ｇ ｇ ｇ ｇ ｙ ｊ ｇ
， Ａ ｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ｈ ｅ ｓ ｒ ｉ ｎ ｓ ｉ ｎ ｔ ｅ ｒ ｎ ａ ｌ ｆ ｏ ｒ ｃ ｅ ｏ ｆ ａ ｖ ｉ ｂ ｒ ａ ｔ ｏ ｒ ｗ ｉ ｔ ｈ ａ ｌ ｉ ｈ ｔ ｓ ｒ ｉ ｎ ｉ ｓ ｔ ｒ ｉ ｖ ｉ ａ ｌ ｌ ａ ｃ ｏ ｎ ｓ ｔ ａ ｎ ｔ Ｔ ｐ ｇ ｇ ｐ ｇ ｙ ｗ ｈ ｉ ｌ ｅ ｔ ｈ ｅ ｃ ａ ｓ ｅ ｗ ｉ ｔ ｈ ａ ｍ ａ ｓ ｓ ｉ ｖ ｅ ｓ ｒ ｉ ｎ ｉ ｓ ｍ ｕ ｃ ｈ ｓ ｏ ｈ ｉ ｓ ｔ ｉ ｃ ａ ｔ ｅ ｄ ．Ｔ ｈ ｉ ｓ ｒ ｏ ｂ ｌ ｅ ｍ ｗ ａ ｓ ｉ ｎ ｖ ｅ ｓ ｔ ｉ ａ ｔ ｅ ｄ ｉ ｎ ｐ ｇ ｐ ｐ ｇ ， ， ， ｄ ｅ ｔ ａ ｉ ｌａ ｎ ｄ ｗ ａ ｓ ｖ ｉ ｓ ｕ ａ ｌ ｉ ｚ ｅ ｄ ｂ ｔ ｈ ｅ ｍ ａ ｔ ｈ ｅ ｍ ａ ｔ ｉ ｃ ａ ｌ ｔ ｏ ｏ ｌ Ｍ ａ ｔ ｌ ａ ｂ．Ｔ ｈ ｉ ｓ ｓ ｔ ｕ ｄ ｓ ｈ ｏ ｗ ｓｆ ｉ ｒ ｓ ｔ ｌ ｈ ａ ｔ ｙ ｙ ｙ ｔ ， ｔ ｈ ｅ ｓ ｒ ｉ ｎ ｓ ｉ ｎ ｔ ｅ ｒ ｎ ａ ｌ ｆ ｏ ｒ ｃ ｅ ｖ ａ ｒ ｉ ｅ ｓ ａ ｌ ｏ ｎ ｔ ｈ ｅ ｓ ｒ ｉ ｎ ｓ ｌ ｅ ｎ ｔ ｈ ｆ ｏ ｒ ａ ｍ ａ ｓ ｓ ｉ ｖ ｅ ｓ ｒ ｉ ｎ ｃ ａ ｓ ｅ ． Ｓ ｅ ｃ ｏ ｎ ｄ ｌ ｐ ｇ ｇ ｐ ｇ ｇ ｐ ｇ ｙ ｔ ｈ ｅ ｖ ｉ ｂ ｒ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｅ ｓ ｔ ａ ｂ ｌ ｉ ｓ ｈ ｅ ｄ ｂ ｕ ｎ ｉ ｆ ｏ ｒ ｍ ｌ ｓ ｔ ｒ ｅ ｔ ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ｎ ｄ ｒ ｅ ｌ ｅ ａ ｓ ｉ ｎ ｔ ｈ ｅ ｓ ｒ ｉ ｎ ｉ ｓ ｎ ｏ ｔ ａ ｓ ｉ ｍ ｌ ｅ ｈ ａ ｒ － ｙ ｙ ｇ ｇ ｐ ｇ ｐ ； ， ａ ｔ ｔ ｅ ｒ ｎ ． ｍ ｏ ｎ ｉ ｃ ｍ ｏ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｓ ａ ｒ ｅ ｓ ｕ ｌ ｔｔ ｈ ｅ ｓ ｒ ｉ ｎ ｓ ｉ ｎ ｔ ｅ ｒ ｎ ａ ｌ ｆ ｏ ｒ ｃ ｅ ｄ ｅ ｖ ｉ ａ ｔ ｅ ｓ ｆ ｒ ｏ ｍ ｔ ｈ ｅ ｓ ｉ ｍ ｌ ｅ ｈ ａ ｒ ｍ ｏ ｎ ｉ ｃ ｐ ｐ ｇ ｐ ， ， Ｔ ｈ ｉ ｒ ｄ ｌ ｔ ｈ ｅ ｄ ｅ ｖ ｉ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｉ ｓ ｍ ｏ ｒ ｅ ａ ｎ ｄ ｍ ｏ ｒ ｅ ｓ ｉ ｎ ｉ ｆ ｉ ｃ ａ ｎ ｔ ａ ｓ ｔ ｈ ｅ ｓ ｒ ｉ ｎ ｍ ａ ｓ ｓ ｉ ｎ ｃ ｒ ｅ ａ ｓ ｅ ｓ ． Ｆ ｉ ｎ ａ ｌ ｌ ｔ ｈ ｅ ｉ ｎ ｔ ｅ ｒ ｎ ａ ｌ ｇ ｙ ｐ ｇ ｙ ｆ ｏ ｒ ｃ ｅ ｌ ｅ ｎ ｄ ｓ ｉ ｔ ｓ ｅ ｌ ｆ ｔ ｏ ｂ ｅ ａ ｓ ｕ ａ ｒ ｅ ｗ ａ ｖ ｅ ｗ ｈ ｅ ｎ ｔ ｈ ｅ ｌ ｕ ｍ ｅ ｄ ｍ ａ ｓ ｓ ｉ ｓ ｎ ｕ ｌ ｌ ． ｑ ｐ ； ； ； ａ ｒ ｔ ｉ ａ ｌ Ｋ ｅ ｗ ｏ ｒ ｄ ｓ ａ ｓ ｓ ｓ ｒ ｉ ｎ ｖ ｉ ｂ ｒ ａ ｔ ｏ ｒ ｗ ａ ｖ ｅ ｍ ｏ ｔ ｉ ｏ ｎ ｐ ｄ ｉ ｆ ｆ ｅ ｒ ｅ ｎ ｔ ｉ ａ ｌ ｅ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ｉ ｎ ｔ ｅ ｒ ｎ ａ ｌ ｆ ｏ ｒ ｃ ｅ ｍ － ｐ ｇ ｑ ｙ 在这 弹 簧 振 子 是 大 学 物 理 教 学 的 经 典 例 子 ． 个经典例子中 ， 一般都忽略不计弹 簧 的 质 量 ． 若与 ， ， 质点相比 弹 簧 不 是 很 轻 就 需 要 考 虑 弹 簧 的 质 量． 弹簧质量 必 须 考 虑 的 弹 簧 振 子 本 质 上 是 波 动 问题 ， 研究它的工具变得复杂 ， 相应 的 物 理 现 象 也 复 杂 得 多． 就 该 问 题， 国内已经发表了很多文 ］ １ ８ － ， 朱 洪 玉 对 这 一 问 题 做 了 很 系 统 的 总 结， 对 章［
）＝ Ａ （ ｕ（ ｘ， ｔ ｘ） ｃ ｏ ｓ ｔ＋α）＝ ω １ １（ ｘ （ １ （ ） Ａ ｓ ｉ ｎμ ｃ ｏ ｓω ｔ＋α） ７ １ ｌ 其中 ， 注 Ａ 和α 分别为质点 的 振 幅 和 振 动 初 相 位 ． ， 意质点 ｍ 最大位移是 Ａ 而不是 ｓ ｉ ｎ Ａ ． １ μ ， 对质量不计的轻弹簧 （ 弹簧内力沿轴 ｍ ′＝０） 且等于作用在弹簧两端的所 谓 “ 弹 力” 但 线不变 ， ． 当质量不能 忽 略 时 ， 弹簧内力沿轴线变化规律正 是本文要探 究 的 内力 ． 考虑未变形时位于 ｘ 的断面 ． 记该断面的局部 ／ ， 在单位长度上的伸缩 ） 为ｕ 伸缩率 （ ｕ ｕ ｘ） ｘ（ ｘ＝ ， 相应的内力则能写成κ 其中 是与弹簧劲度系 ｕ κ ｘ 为 了 确 定κ 与ｋ 的 关 系 ， 假 数ｋ 有关的比例系数 ． 定弹簧退化成无质量情形 ， 则弹簧总 伸 长 量 （ 此时 发生均匀变形 ） 为ｌ 由弹簧胡克定律得到的弹 ｕ ｘ， （ ） ， 它也等于从局部伸缩率角度的 力为 ｋ× ｌ ｕ ｘ 这样得到 利 用 这 个 关 系， 有质量弹簧 ｕ ． ＝ ｋ ｌ ． κ κ ｘ 各断面的内力可表示为 （ 适合于任何形式的振动 ） ）＝ ｋ （ ） Ｆ（ ｘ， ｔ ｌ ｕｘ ８ ） ） 代入式 （ 有 ７ ８ 将式 （ （ ， ） Ｆ ｘｔ ＝ｋ ｌ ｕｘ ＝ （ ） （ （ ） ｋ Ａ ｃ ｏ ｓ ｘ ｌ ｃ ｏ ｓ ｔ＋α） ９ ω １ １ １ μ μ ／ 表观劲度 ２． ２ “ 通常说法 “ 弹力与位移成正比 ” 中： 位移 ” 指的 ， （ ， ） ； 是质点 ｍ 的位移 也就是图 １ 中 Ｐ 点位 移 ｕ ｌ ｔ 力则是弹簧作用在质点上的力 ， 它也等于 式 （ 取 ９） （ 的函数 值 ． 由式（ 和式（ 可知 Ｐ 端 ｘ＝ ｌ Ｐ 点） ７） ９） 但是比例系数 的弹力与该端点位移仍成正比 ， ， ） Ｆ（ ｌ ｔ （ ） ｋ ｋ ｃ ｏ ｔ１ １ ０ Ｂ ＝ ， ）＝ μ１ μ ｕ（ ｌ ｔ ］ 不再恒等于弹簧的劲度系数ｋ． 文献 ［ 已指出这 １ ０ 一点 ， 但是文献［ 是基于动态时弹簧仍均匀变 １ ０］ ） 形的假定 ， 所得到 ｋ 有一定差异 ． １ ０ Ｂ 与式 （ 进 而 与 质 量 比β ｋ Ｂ 和ｋ 的 关 系 与 μ １ 有 关， ｍ 有关 ． Ｑ 端的弹力和 Ｐ 端质点 ｍ 位移比值为 ） Ｆ（ ０， ｔ （ ） ｋ ｃ ｓ ｃ １ １ ＝ｋ Ａ ＝ １ μ１ μ （ ， ） ｕｌｔ ］ 它与文献 ［ 结果也有不同 ． １ ０ 容易验证 ， 可推知弹簧沿轴线存 ｋ ｋ＜ｋ Ｂ＜ Ａ， 在一断面 ， 该 断 面 内 力， 如 同 无 质 量 弹 簧 那 样， 精 确地等于质点 ｍ 位 移 与 弹 簧 劲 度 系 数 的 乘 积 ． 该 位置 ｘ 珚 由下式确定 （ ／ ） ） ｋ ｃ ｏ ｓ ｘ ｌ Ｆ（ ｘ ｔ 珚 １ 珚， μ１ μ ｋ＝ （ ＝ ， ） ｕｌ ｔ ｓ ｉ ｎ １ μ 可化为 （ ／ ）＝ ｓ ｃ ｏ ｓ ｘ ｌ ｉ ｎ 珚 １ １ １ μ μ μ