浙大版概率论与数理统计答案---第六章

第六章 统计量与抽样分布

注意： 这是第一稿（存在一些错误）

1、解：易知的X 期望为μ，方差为2n

σ

，则()0,1X N μσ-:近似地

， 所以，(

)

(0.10.10.909X P X P μσ

μσσ

σ⎛

⎫

- ⎪

-<=<≈Φ=

⎪ ⎪

⎪⎝⎭

。 2、解 （1）由题意得：

2

2

2

2211111

()()()()n n i i i i E X D X E X D X E X n n n

σμ==⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭∑∑

()2211111111

()()n n i i i i E X X E X X E X X n n n

σμ==⋅=⋅==+∑∑

（2）1X X -服从正态分布，其中：

1()0E X X -=，22

1122111()(

)()()n n n D X X D X D X n n n

σ----=+= 从而 2

11~(0,)n X X N n

σ-- 由于

~(0,1)i X N μ

σ

-，1,2,i n =L ，且相互独立，因此：

()

()2

22

1

~n

i i X n μχσ

=-∑

~(0,1)X N μ-，所以()()2

22

~1n X μχσ

-

由于

()2

22

(1)~1n S n χσ

--，所以

()

()

()2

2

2

2

22

(1)/~1,1(1)n X n X n S

F n n S μ

μσσ---=--

（3）由于

()

2

/2

2

1

~(/2)n i i X n μχσ=-∑

，以及

()

2

2

1/2

~(/2)n

i i n X n μχσ=+-∑

，因此有：

()

()

()()2

2

/2

/2

2

2

2

2

1

1/2

11/2

/

/

~(,)22n n

n n

i i i i i i n i i n X X n n X X F μμμμσσ==+==+--=--∑

∑

∑∑ 3、解：（1）()11111

1

1n n

n i

i

n n n i i n X X X

X nX X ++++==+==+=+∑∑

故1111

n n n X n

X X n n ++=

+++ （2）()()

()

()

12

2

2

2

2

11

1

1

1

1n n n

n

n n i n i n

i i nS n S X X X X X X ++++==----=---∑∑

()()

2

2

1

1n

i n i

n i X X X

X +=⎡⎤=---⎢⎥⎣⎦∑

()()

1

11

2n

i

n n n

n i X

X X X

X ++==

---∑

()2

1

n n n X X +=-

()2

11111n n n n n X X X n +++⎧⎫

⎡⎤=+--⎨⎬⎣⎦⎩⎭

()

2111

n n X X n

++=

- ()2111

n n X X n

++=-

4、解 用X 表示a

~(0,1)X a N -。由题意得：

95%(0.5)2(0.5)121P X a P X a ≤-≤=-≤-=Φ- 经查表有：97n =

5、解：（1）221111lim n n p i i

n i i X X E n n σσ→∞==⎛⎫⎛⎫⎛⎫−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

∑∑， 因()0,1i

X N σ:，故()2

21n

i i X n χσ=⎛⎫

⎪⎝⎭

∑:， 所以2211111

lim 1n n i i n i i X X E E n n n n σσ→∞

==⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑。 （2）因21n i i X E n σ=⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑，212n i i X D n σ=⎛⎫

⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

∑，

()

2

0,1

n

i

X

n

N

⎛⎫

-

⎪

∑

:近似地，

由分布函数的的右连续性知，()()

lim

n

n

F x x

→∞

=Φ，即()()

lim11

n

n

F

→∞

=Φ。（3）()()

()()

2

22

1

11

n

i

i

E X X X E n S nσ

=

⎛⎫

--=-=-

⎪

⎝⎭

∑

()()

()

2

2

1

1

n

i

i

D X X X D n S DX

=

⎛⎫

--=-+

⎪

⎝⎭

∑

()22

4

2

1

n S

D

n

σ

σ

σ

⎛⎫

-

=+

⎪

⎝⎭

因

()

()

2

2

2

1

1

n S

n

χ

σ

-

-

:，故

()

()

2

2

1

21

n S

D n

σ

⎛⎫

-

=-

⎪

⎝⎭

故()()2

2

4

1

21

n

i

i

D X X X n

n

σ

σ

=

⎛⎫

--=-+

⎪

⎝⎭

∑

6、解（1）由题意得：

()2

10

2

2

1

~(10)

i

i

Xμ

χ

σ

=

-

∑，于是：

()

()2

1010

2

22

2

11

1

(0.26 2.3)(2.623)0.9786

10

i

i

i i

X

P X P

μ

σμσ

σ

==

-

≤-≤=≤≤=

∑∑

（2）由于()

2

2

2

(101)

~1

S

n

χ

σ

-

-，即

()2

10

2

2

1

~(9)

i

i

X X

χ

σ

=

-

∑，于是

()()2

1010

2

22

2

11

1

(0.26 2.3)(2.623)0.9719

10

i

i

i i

X X

P X X P

σσ

σ

==

-

≤-≤=≤≤=

∑∑

7、解：()

112

0,8

Y X X N

=+:，

()

2345

0,12

Y X X X N

=++:，

()

36789

0,16

Y X X X X N

=+++:，

显然

1

Y，

2

Y和

3

Y相互独立。

()

0,1

N

:

()

0,1

N

:，()

30,1

4

Y

N

:，