5.3平面向量的数量积
第五章 §5.3 平面向量的数量积-2025高中数学大一轮复习讲义人教A版
§5.3平面向量的数量积课标要求1.理解平面向量数量积的含义及其几何意义.2.了解平面向量的数量积与投影向量的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题．知识梳理1．向量的夹角已知两个非零向量a ，b ，O 是平面上的任意一点，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a 与b 的夹角．2．平面向量的数量积已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，我们把数量|a ||b |cos θ叫做向量a 与b 的数量积，记作a ·b .3．平面向量数量积的几何意义设a ，b 是两个非零向量，它们的夹角是θ，e 是与b 方向相同的单位向量，AB →＝a ，CD →＝b ，过AB →的起点A 和终点B ，分别作CD →所在直线的垂线，垂足分别为A 1，B 1，得到A 1B 1—→，我们称上述变换为向量a 向向量b 投影，A 1B 1—→叫做向量a 在向量b 上的投影向量．记为|a |cos θe .4．向量数量积的运算律(1)a ·b ＝b ·a .(2)(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )．(3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c .5．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ.几何表示坐标表示数量积a·b ＝|a ||b |cos θa·b ＝x 1x 2＋y 1y 2模|a |＝a ·a |a |＝x 21＋y 21夹角cos θ＝a ·b |a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22a ⊥b 的充要条件a ·b ＝0x 1x 2＋y 1y 2＝0|a ·b |与|a ||b |的关系|a ·b|≤|a ||b ||x 1x 2＋y 1y 2|≤(x 21＋y 21)(x 22＋y 22)常用结论1．平面向量数量积运算的常用公式(1)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2；(2)(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2.2．有关向量夹角的两个结论(1)若a 与b 的夹角为锐角，则a·b >0；若a·b >0，则a 与b 的夹角为锐角或0.(2)若a 与b 的夹角为钝角，则a·b <0；若a·b <0，则a 与b 的夹角为钝角或π.3．向量a 在向量b 上的投影向量为a ·b |b |·b|b |.自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个向量的夹角的范围是0，π2.(×)(2)若a ，b 共线，则a ·b ＝|a |·|b |.(×)(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量．(√)(4)若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c .(×)2．(必修第二册P60T8改编)已知向量m ＝(2x ,1)与向量n x 等于()A.14B ．－14C.12D ．－12答案C解析∵m ＝(2x ,1)与n∴m ·n ＝(2x x －12＝0，即x ＝12.3．(2023·郑州模拟)已知向量a ，b 满足|b |＝2|a |＝2，且a 与b 的夹角为2π3，则(2a ＋b )·a 等于()A ．12B ．4C ．3D ．1答案D解析因为|b |＝2|a |＝2，所以(2a ＋b )·a ＝2a 2＋a ·b ＝2|a |2＋|a ||b |·cos 2π3＝2＋2×1 1.4．(必修第二册P18例10改编)已知a ＝(1，2)，|b |＝23，a ·b ＝－3，则a 与b 的夹角为________．答案120°解析设a 与b 的夹角为θ，因为a ＝(1，2)，|b |＝23，a ·b ＝－3，所以cos θ＝a ·b |a ||b |＝－33×23＝－12，因为0°≤θ≤180°，所以θ＝120°，即a 与b 的夹角为120°.题型一平面向量数量积的基本运算例1(1)(2023·安康模拟)已知四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝3，|AD →|＝2，DN →＝2NC →，BM →＝3MC →，则AM →·NM →等于()A ．7B ．1 C.34D.14答案D 解析如图，AM →·NM →＝(AB →＋BM →)·(NC →＋CM →)＋34BC －14BC ＝13AB →2－316BC →2＝13×3－316×4＝14.(2)在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD ⊥DC ，AD ＝AB ＝2DC ＝2，E 为BC 的中点，F 为AE 的中点，则CF →·DF →等于()A.3116B.3316C.3516D.3716答案B解析以A 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (2,0)，C (1,2)，D (0,2)，所以CF →－14，－DF →所以CF →·DF →＝－14×34＋＝3316.思维升华计算平面向量数量积的主要方法(1)利用定义：a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．(2)利用坐标运算，若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.(3)利用基底法求数量积．(4)灵活运用平面向量数量积的几何意义．跟踪训练1(1)如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝2，AD ＝1，点E 在边AB 上，且CD →·CE →＝3，则BE 等于()A ．1B ．2C.12D.32答案C解析以B 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则C (2,0)，D (1,2)，设E (0，x )，则CE →＝(－2，x )，CD →＝(－1,2)，则CD →·CE →＝2＋2x ＝3，解得x ＝12即BE ＝12.(2)(2023·唐山模拟)如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝2，∠BAD ＝π3，E 是边BC 的中点，F 是CD 上靠近D 的三等分点，若AE →·BF →＝8，则|AD →|等于()A ．4B ．42C ．43D ．8答案A解析记|AD →|＝m ，因为AB ＝2，且四边形ABCD 为平行四边形，所以AE →·BF →＝(AB →＋BE →)·(BC →＋CF →)＋12AD －23AB ＝AB →·AD →－23|AB →|2＋12|AD →|2－13AB →·AD→＝23|AB →||AD →|cos ∠BAD －23|AB →|2＋12|AD →|2＝2m 3－83＋m 22＝8，解得m ＝－163(舍)或m ＝4.即|AD →|＝4.题型二平面向量数量积的应用命题点1向量的模例2(2023·新高考全国Ⅱ)已知向量a，b满足|a－b|＝3，|a＋b|＝|2a－b|，则|b|＝________.答案3解析方法一因为|a＋b|＝|2a－b|，即(a＋b)2＝(2a－b)2，则a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，整理得a2－2a·b＝0，又因为|a－b|＝3，即(a－b)2＝3，则a2－2a·b＋b2＝b2＝3，所以|b|＝ 3.方法二设c＝a－b，则|c|＝3，a＋b＝c＋2b,2a－b＝2c＋b，由题意可得，(c＋2b)2＝(2c＋b)2，则c2＋4c·b＋4b2＝4c2＋4c·b＋b2，整理得c2＝b2，即|b|＝|c|＝ 3.命题点2向量的夹角例3(2023·深圳模拟)已知a，b为单位向量，且|3a－5b|＝7，则a与a－b的夹角为()A.π3B.2π3C.π6D.5π6答案C解析因为a，b为单位向量，由|3a－5b|＝7，所以(3a－5b)2＝49⇔9a2－30a·b＋25b2＝49，即9－30a·b＋25＝49⇒a·b＝－1 2，设a与a－b的夹角为θ，则cosθ＝a·(a－b)|a||a－b|＝a2－a·b|a|×(a－b)2＝＝32，又θ∈[0，π]，所以θ＝π6 .命题点3向量的垂直例4(2023·新高考全国Ⅰ)已知向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，若(a＋λb)⊥(a＋μb)，则() A．λ＋μ＝1B．λ＋μ＝－1C．λμ＝1D．λμ＝－1答案D解析因为a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，所以a ＋λb ＝(1＋λ，1－λ)，a ＋μb ＝(1＋μ，1－μ)，由(a ＋λb )⊥(a ＋μb )，可得(a ＋λb )·(a ＋μb )＝0，即(1＋λ)(1＋μ)＋(1－λ)(1－μ)＝0，整理得λμ＝－1.命题点4向量的投影例5(1)已知向量a 与b 的夹角为π3，|a |＝2，|b |＝1，则向量a 在b 上的投影向量为()A ．b B.12b C ．aD.12a 答案A解析由题意知，|a |＝2，且向量a 与b 的夹角为π3，所以向量a 在b 上的投影向量为|a |cos 〈a ，b 〉b|b |＝b .(2)已知非零向量a ，b 满足b ＝(3，1)，〈a ，b 〉＝π3，若(a －b )⊥a ，则向量a 在b 方向上的投影向量的坐标为______．答案解析由已知可得，|b |＝(3)2＋12＝2.因为(a －b )⊥a ，所以(a －b )·a ＝a 2－a ·b ＝|a |2－|a ||b |cos π3＝|a |2－|a |＝0，解得|a |＝1或|a |＝0(舍去)，所以向量a 在b 方向上的投影向量为|a |cos π3·b |b |＝14b 思维升华(1)求平面向量的模的方法①公式法：利用|a |＝a ·a 及(a ±b )2＝|a |2±2a ·b ＋|b |2；②几何法：利用向量的几何意义．(2)求平面向量的夹角的方法①定义法：cos θ＝a ·b|a ||b |；②坐标法．(3)两个向量垂直的充要条件a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔|a －b |＝|a ＋b |(其中a ≠0，b ≠0)．跟踪训练2(1)已知非零向量a ，b 满足|b |＝2|a |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为()A ．45°B ．135°C ．60°D ．120°答案B解析根据题意，设a 与b 的夹角为θ，因为(a －b )⊥(3a ＋2b )，|b |＝2|a |，所以(a －b )·(3a ＋2b )＝3a 2－a ·b －2b 2＝－a ·b －a 2＝0，变形可得a ·b ＝－a 2.则cos θ＝a ·b |a ||b |＝－a 2|a |·2|a |＝－22.又0°≤θ≤180°，所以θ＝135°.(2)(多选)已知向量a ＝(m ，－1)，b ＝(－2,1)，则下列说法正确的是()A ．若m ＝1，则|a －b |＝13B ．若a ⊥b ，则m ＝2C ．“m <－12”是“a 与b 的夹角为锐角”的充要条件D ．若m ＝－1，则b 在a －12，－答案ACD解析对于选项A ，因为m ＝1，所以a ＝(1，－1)，又b ＝(－2,1)，所以a －b ＝(3，－2)，故|a －b |＝32＋(－2)2＝13，所以选项A 正确；对于选项B ，因为a ⊥b ，所以－2m －1＝0，解得m ＝－12，所以选项B 错误；对于选项C ，当a 与b 的夹角为锐角时，由cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |>0，得a ·b >0，即－2m －1>0，得m <－12；当m <－12时，可得cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |>0，而〈a ，b 〉∈[0，π]，又当a ∥b 时，m －2＝0得m ＝2，此时a ＝(2，－1)，b ＝(－2,1)，a ，b 反向共线，所以〈a ，b 〉“m <－12”可以得出“a 与b 的夹角为锐角”，所以选项C 正确；对于选项D ，当m ＝－1时，a ＝(－1，－1)，b ＝(－2,1)，b 在a 上的投影向量为a ·b |a |·a |a |＝2－12×(－1，－1)－12，－D 正确．题型三平面向量的实际应用例6(多选)(2023·东莞模拟)在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况．假设行李包所受的重力为G ，所受的两个拉力分别为F 1，F 2，若|F 1|＝|F 2|，且F 1与F 2的夹角为θ，则以下结论正确的是()A ．|F 1|的最小值为12|G |B ．θ的范围为[0，π]C ．当θ＝π2时，|F 1|＝22|G |D ．当θ＝2π3时，|F 1|＝|G |答案ACD解析由题意知，F 1＋F 2＋G ＝0，可得F 1＋F 2＝－G ，两边同时平方得|G |2＝|F 1|2＋|F 2|2＋2|F 1||F 2|cos θ＝2|F 1|2＋2|F 1|2cos θ，所以|F 1|2＝|G |22(1＋cos θ).当θ＝0时，|F 1|min ＝12|G |；当θ＝π2时，|F 1|＝22|G |；当θ＝2π3时，|F 1|＝|G |，故A ，C ，D 正确；当θ＝π时，竖直方向上没有分力与重力平衡，不成立，所以θ∈[0，π)，故B 错误．思维升华用向量方法解决实际问题的步骤跟踪训练3长江流域内某地南北两岸平行，已知游船在静水中的航行速度v 1的大小|v 1|＝10km/h ，水流的速度v 2的大小|v 2|＝6km/h ，如图，设v 1和v 2所成的角为θ(0<θ<π)，若游船从A 航行到正北方向上位于北岸的码头B 处，则cos θ等于()A．－25B．－35C．－45D.45答案B解析由题意知(v1＋v2)·v2＝0，则v1·v2＋v22＝|v1||v2|·cosθ＋v22＝60cosθ＋36＝0，所以cosθ＝－35.课时精练一、单项选择题1．(2023·黔西模拟)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝3，|a－2b|＝3，则a·(a＋b)等于() A．－2B．－1C．1D．2答案D解析由题意，得|a－2b|2＝9，即a2＋4b2－4a·b＝9，即13－4a·b＝9，∴a·b＝1，故a·(a＋b)＝a2＋a·b＝1＋1＝2.2．(2022·新高考全国Ⅱ)已知向量a＝(3,4)，b＝(1,0)，c＝a＋t b，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t 等于()A．－6B．－5C．5D．6答案C解析由题意，得c＝a＋t b＝(3＋t,4)，所以a·c＝3×(3＋t)＋4×4＝25＋3t，b·c＝1×(3＋t)＋0×4＝3＋t.因为〈a，c〉＝〈b，c〉，所以cos〈a，c〉＝cos〈b，c〉，即a·c|a||c|＝b·c|b||c|，即25＋3t 5＝3＋t ，解得t ＝5.3．(2023·大同模拟)平面向量a 与b 相互垂直，已知a ＝(6，－8)，|b |＝5，且b 与向量(1,0)的夹角是钝角，则b 等于()A ．(－3，－4)B ．(4,3)C ．(－4,3)D ．(－4，－3)答案D 解析设b ＝(x ，y )，∵a ⊥b ，∴a ·b ＝6x －8y ＝0，①∵b 与向量(1,0)夹角为钝角，∴x <0，②又|b |＝x 2＋y 2＝5，③由①②③＝－4＝－3，∴b ＝(－4，－3)．4．已知向量a ＝(λ＋1,2)，b ＝(1，－λ)，若a ⊥b ，则向量c ＝(1,2)在向量a ＋b 上的投影向量的坐标为()A ．(3,1)B ．(1,3)答案D 解析依题意得a ＝(λ＋1,2)，b ＝(1，－λ)，a ·b ＝0，所以λ＋1－2λ＝0，解得λ＝1，所以a ＝(2,2)，b ＝(1，－1)，所以a ＋b ＝(3,1)，则向量c ＝(1,2)在向量a ＋b 上的投影向量的坐标为c ·(a ＋b )|a ＋b |·a ＋b |a ＋b |＝3×1＋1×232＋12·(3，1)32＋12＝5．(2023·泰州模拟)已知平面单位向量a ，b ，c 满足〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝2π3，则|3a ＋2b ＋c |等于()A ．0B ．1 C.3 D.6答案C 解析∵|3a ＋2b ＋c |2＝(3a ＋2b ＋c )2＝9a 2＋4b 2＋c 2＋12a ·b ＋6a ·c ＋4b ·c ＝3，∴|3a ＋2b ＋c |＝ 3.6．(2023·佛山模拟)在△ABC 中，设|AC →|2－|AB →|2＝2AM →·(AC →－AB →)，那么动点M 的轨迹必通过△ABC 的()A ．垂心B ．内心C ．重心D ．外心答案D解析设线段BC 的中点为D ，则AB →＋AC →＝2AD →，因为|AC →|2－|AB →|2＝2AM →·(AC →－AB →)，所以(AC →＋AB →)·(AC →－AB →)＝2AM →·BC →，即2AD →·BC →＝2AM →·BC →，即BC →·(AM →－AD →)＝BC →·DM →＝0，即DM ⊥BC ，所以DM 垂直且平分线段BC ，因此动点M 的轨迹是BC 的垂直平分线，必通过△ABC 的外心．二、多项选择题7．(2024·亳州模拟)已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP →·AB →的可能取值是()A ．－2B ．2C ．4D ．8答案BC 解析如图，取A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，易知正六边形的每个内角为120°，所以∠CBx ＝60°，则A (0,0)，B (2,0)，C (3，3)，F (－1，3)．设P (x ，y )，则AP →＝(x ，y )，AB →＝(2,0)，且－1<x <3.所以AP →·AB →＝(x ，y )·(2,0)＝2x ∈(－2,6)．8．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(m －2，－n )，其中m ，n 均为正数，且(a －b )∥c ，则下列说法正确的是()A ．a 与b 的夹角为钝角B ．向量a 在b 上的投影向量为22bC ．2m ＋n ＝4D ．mn 的最大值为2答案CD 解析对于A ，向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－1)，则a ·b ＝2－1＝1>0，又a ，b 不共线，所以a ，b 的夹角为锐角，故A 错误；对于B ，向量a 在b 上的投影向量为a ·b |b |·b |b |＝12b ，故B 错误；对于C ，a －b ＝(1,2)，若(a －b )∥c ，则－n ＝2(m －2)，变形可得2m ＋n ＝4，故C 正确；对于D ，由2m ＋n ＝4，且m ，n 均为正数，得mn ＝12(2m ·n )＝2，当且仅当m ＝1，n ＝2时，等号成立，即mn 的最大值为2，故D 正确．三、填空题9．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－3，－2)，写出一个与a －b 垂直的非零向量c ＝________.答案(1，－1)(答案不唯一)解析由题意可知a －b ＝(5,5)．设c ＝(x ，y )，则(a －b )·c ＝5x ＋5y ＝0.取x ＝1，则y ＝－1，所以与a －b 垂直的非零向量可以为c ＝(1，－1)．(答案不唯一)10.在如图所示的天平中，左、右两个秤盘均被3根细绳均匀地固定在横梁上．在其中一个秤盘中放入重量为60N 的物品，在另一个秤盘中放入重量60N 的砝码，天平平衡.3根细绳通过秤盘分担对物品的拉力(拉力分别为F 1，F 2，F 3)，若3根细绳两两之间的夹角均为π3，不考虑秤盘和细绳本身的重量，则F 1的大小为________N.答案106解析依题意，|F 1|＝|F 2|＝|F 3|且|F 1＋F 2＋F 3|＝60，所以|F 1＋F 2＋F 3|2＝|F 1|2＋|F 2|2＋|F 3|2＋2F 1·F 2＋2F 2·F 3＋2F 3·F 1＝3600，即3|F 1|2＋3×2|F 1|2×12＝3600，解得|F 1|＝106.11．(2024·抚州模拟)定义：|a ×b |＝|a ||b |sin θ，其中θ为向量a 与b 的夹角，若|a |＝2，|b |＝5，a ·b ＝－8，则|a ×b |等于________．答案6解析设向量a 与b 的夹角为θ∈[0，π]，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝－82×5＝－45，因为θ∈[0，π]，可得sin θ＝1－cos 2θ＝35，故|a ×b |＝|a ||b |sin θ＝2×5×35＝6.12．(2023·西安模拟)已知在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝6，其外接圆的圆心为O ，则AO →·BC →＝________.答案10解析如图，设BC 的中点为D ，连接OD ，AD ，则AO →·BC →＝(AD →＋DO →)·(AC →－AB →)＝12(AC →＋AB →)·(AC →－AB →)＋DO →·(AC →－AB →)＝12(|AC →|2－|AB →|2)＝10.四、解答题13．(2023·白银模拟)如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，|AB →|＝2|DC →|＝2，∠BAD ＝π3，E 是BC 边的中点．(1)试用AB →，AD →表示AE →，BC →；(2)求DB →·AE →的值．解(1)AC →＝AD →＋DC →＝AD →＋12AB →，AE →＝12(AB →＋AC →)＋AD →＋12AB ＝34AB →＋12AD →，BC →＝AC →－AB →＝AD →＋12AB →－AB →＝AD →－12AB →.(2)由题意可知，|AD →|＝12(|AB →|－|DC →|)cos π3＝1212＝1，DB →＝AB →－AD →，所以DB →·AE →＝(AB →－AD →＋12AD ＝34|AB →|2－12|AD →|2－14AB →·AD →＝34|AB →|2－12|AD →|2－14|AB →||AD →|·cos π3＝34×4－12×1－14×2×1×12＝94.14．(2023·青岛模拟)如图，正方形ABCD 的边长为6，E 是AB 的中点，F 是BC 边上靠近点B 的三等分点，AF 与DE 交于点M .(1)求∠EMF 的余弦值；(2)设AM →＝λAF →，求λ的值及点M 的坐标．解(1)如图所示，建立以点A 为原点的平面直角坐标系，则D (0,6)，E (3,0)，A (0,0)，F (6,2)，∴DE →＝(3，－6)，AF →＝(6,2)，由于∠EMF 就是DE →，AF →的夹角，∴cos ∠EMF ＝cos 〈DE →，AF →〉＝18－129＋36·36＋4＝210，∴∠EMF 的余弦值为210.(2)∵AM →＝λAF →，则AM →＝(6λ，2λ)，则M (6λ，2λ)，又D ，M ，E 三点共线，则设DM →＝tDE →，0<t <1，即(6λ，2λ－6)＝t (3，－6)，λ＝3t ，λ－6＝－6t ，解得λ＝37，故15．(2024·永州模拟)窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的汉族传统民间艺术之一．图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，如图2所示其外框是边长为2的正六边形ABCDEF ，内部圆的圆心为该正六边形的中心O ，圆O 的半径为1，点P 在圆O 上运动，则PE →·OE →的最小值为()A ．－1B ．－2C ．1D ．2答案D 解析如图，以O 为坐标原点，BE 所在直线为x 轴，AF 的垂直平分线所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，设点P (cos θ，sin θ)(0≤θ≤2π)，由题意知，E (2,0)，O (0,0)，则PE →＝(2－cos θ，－sin θ)，OE →＝(2,0)，所以PE →·OE →＝4－2cos θ，当cos θ＝1，即θ＝0时，PE →·OE →取最小值2.16．(2023·浙江金丽衢十二校联考)在△ABC 中，AB ＝7，BC ＝8，AC ＝9，AM 和AN 分别是BC 边上的高和中线，则MN →·BC →等于()A ．14B ．15C ．16D ．17答案C 解析如图，设AB →＝a ，AC →＝b ，BM →＝λBC →，则有AM →＝AB →＋λBC →＝AB →＋λ(AC →－AB →)＝(1－λ)AB →＋λAC →＝(1－λ)a ＋λb ，由余弦定理得cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝72＋92－822×7×9＝1121，∵AM →⊥BC →，∴AM →·BC →＝0，即[(1－λ)a ＋λb ]·(b －a )＝(1－2λ)a ·b －(1－λ)a 2＋λb 2＝0，其中a ·b ＝|a ||b |cos ∠BAC ＝63×1121＝33，a 2＝49，b 2＝81，解得λ＝14，BN →＝12BC →，∴MN →＝BN →－BM →＝14BC →，MN →·BC →＝14BC →2＝16.。
数量积
§5.3 平面向量的数量积1．平面向量的数量积已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ＝|a ||b |cos θ.规定：零向量与任一向量的数量积为__0__.两个非零向量a 与b 垂直的充要条件是 a·b ＝0，两个非零向量a 与b 平行的充要条件是 a·b ＝±|a||b|.2．平面向量数量积的几何意义数量积a·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． 3．平面向量数量积的重要性质 (1)e·a ＝a·e ＝|a |cos θ；(2)非零向量a ，b ，a ⊥b ⇔a·b ＝0； (3)当a 与b 同向时，a·b ＝|a||b|；当a 与b 反向时，a·b ＝－|a||b|，a·a ＝|a |2，|a |＝a·a ； (4)cos θ＝a·b|a||b|；(5)|a·b |__≤__|a||b|.4．平面向量数量积满足的运算律 (1)a·b ＝b·a (交换律)；(2)(λa )·b ＝λ(a·b )＝a ·(λb )(λ为实数)； (3)(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c .5．平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，由此得到 (1)若a ＝(x ，y )，则|a |2＝x 2＋y 2或|a |＝x 2＋y 2.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A 、B 两点间的距离|AB |＝|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. (3)设两个非零向量a ，b ，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．( )(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．( ) (3)△ABC 内有一点O ，满足OA →＋OB →＋OC →＝0，且OA →·OB →＝OB →·OC →，则△ABC 一定是等腰三角形．( )(4)在四边形ABCD 中，AB →＝DC →且AC →·BD →＝0，则四边形ABCD 为矩形．( )(5)两个向量的夹角的范围是[0，π2]．( )(6)已知a ＝(λ，2λ)，b ＝(3λ，2)，如果a 与b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是λ<－43或λ>0.( )1．(2014·重庆)已知向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k 等于( ) A ．－92B ．0C ．3D.1522．已知向量a ，b 的夹角为60°，且|a |＝2，|b |＝1，则向量a 与向量a ＋2b 的夹角等于( ) A ．150° B ．90° C ．60° D ．30°3．已知a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则a 在b 方向上的投影为________．4．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，点P 在AM 上，且满足AP →＝2PM →，则P A →·(PB →＋PC →)的值为________．题型一 平面向量数量积的运算例1 (1)(2013·湖北)已知点A (－1,1)、B (1,2)、C (－2，－1)、D (3,4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为( ) A.322B.3152C. －322D ．－3152(2)已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为________；DE →·DC →的最大值为________．(1)已知平面向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若|a |＝2，|b |＝3，a ·b ＝－6.则x 1＋y 1x 2＋y 2的值为( )A.23 B ．－23 C.56 D ．－56(2)在△ABC 中，若A ＝120°，AB →·AC →＝－1，则|BC →|的最小值是( ) A. 2 B ．2 C. 6 D ．6题型二 求向量的模与夹角例2 (1)若平面向量a 与平面向量b 的夹角等于π3，|a |＝2，|b |＝3，则2a －b 与a ＋2b 的夹角的余弦值等于( ) A.126 B ．－126C.112D ．－112(2)已知向量a ，b 的夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________.(3)(2013·山东)已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若A P →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为________．(1)(2013·天津)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB 的长为________．(2)(2014·江西)已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝________. 题型三 数量积的综合应用例3 已知△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量m ＝(a ，b )，n ＝(sin B ，sin A )，p ＝(b －2，a －2)．(1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若m ⊥p ，边长c ＝2，角C ＝π3，求△ABC 的面积．已知向量m ＝(2sin(ωx ＋π3)，1)，n ＝(2cos ωx ，－3)(ω>0)，函数f (x )＝m ·n 的两条相邻对称轴间的距离为π2.(1)求函数f (x )的单调递增区间； (2)当x ∈[－5π6，π12]时，求f (x )的值域．高考中以向量为背景的创新题典例：(1)对任意两个非零的平面向量α和β，定义α∘β＝α·ββ·β.若两个非零的平面向量a ，b 满足a 与b 的夹角θ∈(π4，π2)，且a ∘b 和b ∘a 都在集合{n2|n ∈Z }中，则a ∘b 等于( )A.52B.32 C ．1 D.12(2)设向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，定义一种向量积a ⊗b ＝(a 1b 1，a 2b 2)，已知向量m ＝(2，12)，n ＝(π3，0)，点P (x ，y )在y ＝sin x 的图象上运动，Q 是函数y ＝f (x )图象上的点，且满足OQ →＝m ⊗OP →＋n (其中O 为坐标原点)，则函数y ＝f (x )的值域是________．A 组 专项基础训练 (时间：45分钟)1．若向量a ，b 满足|a |＝|b |＝|a ＋b |＝1，则a ·b 的值为( ) A ．－12 B.12C ．－1D ．12．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(－1,0)，则|a ＋2b |等于( ) A ．1 B. 2 C ．2 D ．43．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( ) A.⎝⎛⎭⎫79，73 B.⎝⎛⎭⎫－73，－79 C.⎝⎛⎭⎫73，79D.⎝⎛⎭⎫－79，－73 4．向量AB →与向量a ＝(－3,4)的夹角为π，|AB →|＝10，若点A 的坐标是(1,2)，则点B 的坐标为( ) A ．(－7,8) B ．(9，－4) C ．(－5,10)D ．(7，－6)5．(2013·福建)在四边形ABCD 中，AC →＝(1,2)，BD →＝(－4,2)，则该四边形的面积为( ) A. 5 B ．2 5 C ．5 D ．106．(2014·北京)已知向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(2,1)，且λa ＋b ＝0(λ∈R )，则|λ|＝________. 7．(2013·课标全国Ⅱ)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE →·BD →＝________. 8．已知a ＝(2，－1)，b ＝(λ，3)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是____________． 9．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61. (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |和|a －b |.10．已知△ABC 的内角为A 、B 、C ，其对边分别为a 、b 、c ，B 为锐角，向量m ＝(2sin B ，－3)，n ＝(cos 2B,2cos 2B2－1)，且m ∥n .(1)求角B 的大小；(2)如果b ＝2，求S △ABC 的最大值．B 组 专项能力提升 (时间：20分钟)11．△ABC 的外接圆圆心为O ，半径为2，OA →＋AB →＋AC →＝0，且|OA →|＝|AB →|，则CA →在CB →方向上的投影为( )A ．1B ．2 C. 3 D ．312．在△ABC 中，A ＝90°，AB ＝1，AC ＝2.设点P ，Q 满足AP →＝λAB →，AQ →＝(1－λ)AC →，λ∈R .若BQ →·CP →＝－2，则λ等于( ) A.13 B.23 C.43D ．2 13.如图所示，在平面四边形ABCD 中，若AC ＝3，BD ＝2，则(AB →＋DC →)·(AC →＋BD →)＝________.14．(2014·湖南)在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1,0)，B (0，3)，C (3,0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是________．15．已知向量p ＝(2sin x ，3cos x )，q ＝(－sin x,2sin x )，函数f (x )＝p ·q . (1)求f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且f (C )＝1，c ＝1，ab ＝23，且a >b ，求a ，b 的值．§5.4 平面向量应用举例1．向量在平面几何中的应用(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：平面几何问题――→设向量向量问题――→运算解决向量问题――→还原解决几何问题2．平面向量与其他数学知识的交汇平面向量作为一个运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合，当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式．在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题．此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若AB→∥AC→，则A，B，C三点共线．()(2)解析几何中的坐标、直线平行、垂直、长度等问题都可以用向量解决．()(3)实现平面向量与三角函数、平面向量与解析几何之间的转化的主要手段是向量的坐标运算．()(4)在△ABC中，若AB→·BC→<0，则△ABC为钝角三角形．()(5)已知平面直角坐标系内有三个定点A(－2，－1)，B(0，10)，C(8,0)，若动点P满足：OP→＝OA→＋t(AB→＋AC→)，t∈R，则点P的轨迹方程是x－y＋1＝0.()1．已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(3,4)，B(5，2)，C(－1，－4)，则这个三角形是() A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形2．(2014·山东)已知向量a＝(1，3)，b＝(3，m)．若向量a，b的夹角为π6，则实数m等于()A ．2 3 B. 3 C ．0 D ．－33．平面上有三个点A (－2，y )，B ⎝⎛⎭⎫0，y 2，C (x ，y )，若AB →⊥BC →，则动点C 的轨迹方程为__________． 题型一 向量在平面几何中的应用例1 如图所示，四边形ABCD 是正方形，P 是对角线DB 上的一点(不包括端点)，E ，F 分别在边BC ，DC 上，且四边形PFCE 是矩形，试用向量法证明：P A ＝EF .(1)在边长为1的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 是BC 的中点，则AC →·AE →等于( ) A.3＋33B.92C. 3D.94(2)在△ABC 所在平面上有一点P ，满足P A →＋PB →＋PC →＝AB →，则△P AB 与△ABC 的面积的比值是( )A.13B.12C.23D.34题型二 向量在三角函数中的应用例2 已知在锐角△ABC 中，两向量p ＝(2－2sin A ，cos A ＋sin A )，q ＝(sin A －cos A,1＋sin A )，且p 与q 是共线向量． (1)求A 的大小； (2)求函数y ＝2sin 2B ＋cos ⎝⎛⎭⎫C －3B 2取最大值时，B 的大小．(1)已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝(3，－1)，n＝(cos A ，sin A )．若m ⊥n ，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则角A ，B 的大小分别为( ) A.π6，π3 B.2π3，π6 C.π3，π6D.π3，π3(2)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c ，设向量m ＝(a ＋b ，sin C )，n ＝(3a ＋c ，sin B －sin A )，若m ∥n ，则角B 的大小为________． 题型三 平面向量在解析几何中的应用例3 (1)已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k )，且A 、B 、C 三点共线，当k <0时，若k 为直线的斜率，则过点(2，－1)的直线方程为________．(2)设O 为坐标原点，C 为圆(x －2)2＋y 2＝3的圆心，且圆上有一点M (x ，y )满足OM →·CM →＝0，则yx＝________. 跟踪训练3 (2013·湖南改编)已知a ，b 是单位向量，a ·b ＝0.若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的最大值为________．三审图形抓特点典例：如图所示，把两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若AD →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________，y ＝ ________.A 组 专项基础训练 (时间：45分钟)1．(2014·福建)设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →等于( ) A.OM → B ．2OM → C ．3OM →D ．4OM →2．平面四边形ABCD 中，AB →＋CD →＝0，(AB →－AD →)·AC →＝0，则四边形ABCD 是( ) A ．矩形 B ．梯形 C ．正方形D ．菱形3．在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，则△ABC 的形状一定是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形4．已知点A (－2,0)、B (3,0)，动点P (x ，y )满足P A →·PB →＝x 2－6，则点P 的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线D ．抛物线5.若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象如图所示，M ，N 分别是这段图象的最高点和最低点，且OM →·ON →＝0(O 为坐标原点)，则A 等于( )A.π6B.712πC.76πD.73π6．已知在△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，a·b <0，S △ABC ＝154，|a |＝3，|b |＝5，则∠BAC ＝________.7．已知|a |＝2|b |，|b |≠0且关于x 的方程x 2＋|a |x －a·b ＝0有两相等实根，则向量a 与b 的夹角是________．8．已知在平面直角坐标系中，O (0,0)，M (1,1)，N (0,1)，Q (2，3)，动点P (x ，y )满足不等式0≤OP →·OM →≤1,0≤OP →·ON →≤1，则z ＝OQ →·OP →的最大值为________．9．已知△ABC 中，∠C 是直角，CA ＝CB ，D 是CB 的中点，E 是AB 上一点，且AE ＝2EB ，求证：AD ⊥CE .10．已知A ，B ，C 三点的坐标分别为A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)，其中α∈(π2，3π2)．(1)若|AC →|＝|BC →|，求角α的值． (2)若AC →·BC →＝－1，求tan(α＋π4)的值．B 组 专项能力提升 (时间：20分钟)11．(2014·浙江)记max{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，x ≥y ，y ，x <y ，min{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧y ，x ≥y ，x ，x <y ，设a ，b 为平面向量，则( )A ．min{|a ＋b |，|a －b |}≤min{|a |，|b |}B ．min{|a ＋b |，|a －b |}≥min{|a |，|b |}C ．max{|a ＋b |2，|a －b |2}≤|a |2＋|b |2D ．max{|a ＋b |2，|a －b |2}≥|a |2＋|b |212．(2013·浙江)设△ABC ，P 0是边AB 上一定点，满足P 0B ＝14AB ，且对于边AB 上任一点P ，恒有PB →·PC →≥P 0B →·P 0C →，则( ) A ．∠ABC ＝90° B ．∠BAC ＝90° C ．AB ＝ACD ．AC ＝BC13．已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )，若∠ABC 为锐角，则实数m 的取值范围是________．14．已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3PB →|的最小值为________．15．在△ABC中，设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(cos A，sin A)，向量n ＝(2－sin A，cos A)，若|m＋n|＝2.(1)求内角A的大小；(2)若b＝42，且c＝2a，求△ABC的面积．。
[苏教版][步步高]2021届高三数学(理)大一轮复习练习：5.3 平面
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[苏教版][步步高]2021届高三数学（理）大一轮复习练习：5.3平面5.3 平面向量的数量积一、填空题1. 已知向量a和向量b的夹角为30°,| a |=2,| b |=3 ,则a・b= . 解析考查数量积的运算. a・b =2×3?答案 32．已知a是平面内的单位向量，若向量b满足b・(a－b)＝0，则|b|的取值范围是________．解析∵b・(a－b)＝0，∴a・b＝b，即|a||b|・cosθ＝|b|，当b≠0时，∴|b|＝|a|cosθ＝cosθ∈(0,1]．所以|b|∈[0,1]．答案 [0,1]π3．若e1，e2是夹角为的单位向量，且a＝2e1＋e2，b＝－3e1＋2e2，则a・b等于3________．2解析 a・b＝(2e1＋e2)・(－3e1＋2e2)＝－6e21＋e1・e2＋2e2223=3. 2＝－6＋cos7答案－ 2π17＋2＝－4＋＝－. 3224．已知平面向量a，b的夹角为60°，a＝(3，1)，|b|＝1，则|a＋2b|＝________. 解析由a＝(3，1)，得|a|＝2，所以|a＋2b|＝a＋2b2＝a2＋4a・b＋4b2＝4＋8cos 60°＋4＝12＝23. 答案 23→→5．在△ABC中，已知BC＝2，AB・AC＝1，则△ABC的面积S△ABC最大值是________．解析以线段BC所在直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则B(－1,0)，C(1,0)．设A(x，y) →→则AB＝(－1－x，－y)，AC＝(1－x，－y)，→→于是AB・AC＝(－1－x)(1－x)＋(－y)(－y)＝x2－1＋y2.→→由条件AB・AC＝1知x2＋y2＝2，这表明点A在以原点为圆心，2为半径的圆上．当OA⊥BC时，△ABC面积最大，即 1S△ABC＝×2×2＝2.2【点评】建系设标，数形转化，简单易行，用心体会.2?的两个单位向量, a=e1-2e2,b=ke1+e2, 3若a・b=0,则实数k的值为 .6.已知e1,e2是夹角为解析由a・b=0得（e1-2e2）・（ke1+e2）=0. 整理,得 k- 2+（1-2k）cos答案5 42?5=0,解得k=. 34→→→→→7．如图，在△ABC中，AD⊥AB，BC＝3BD，|AD|＝1，则AC・AD＝________.解析法一建系如图所示．令B(xB,0)，C(xC，yC)，D(0,1)，→所以BC＝(xC－xB，yC)，→BD＝(－xB,1)，→→BC＝3 BD， ??xC－xB＝3所以???yC＝3，－xB，所以xC＝(1－3)xB，yC＝3. →→→→AC＝((1－3)xB，3)，AD＝(0,1)，则AC・AD＝3.→→→→→→→→→法二 AC・AD＝(AB＋BC)・AD＝BC・AD＝3AD・BD，→→→→→→→→|AD|其中AD・BD＝|AD||BD|cos ∠ADB＝|AD||BD|・＝AD2＝1.→|BD|→答案3→→故3 AD・BD＝3.→→→→128．若等边△ABC的边长为23，平面内一点M满足CM＝CB＋CA，则MA・MB＝63________.?331?解析建立直角坐标，由题意，设C(0,0)，A(23，0)，B(3，3)，则M?，?，22??→→?31??35?MA・MB＝?，－?・?－，?＝－2.2??22??2答案－29．已知向量p的模是2，向量q的模为1，p与q的夹角为π，a＝3p＋2q，b＝p4－q，则以a，b为邻边的平行四边形的长度较小的对角线的长是________．解析 |a －b|＝|3p＋2q－p＋q|＝|2p＋3q| ＝＝p＋3q2＝4p2＋12p・q＋9q2 2＋9 28＋122×＝29. 答案2910．在平面直角坐标系xOy中，已知A(0，－1)，B(－3，－4)两点．若点C在∠AOB的平分线上，且|→OC|＝10，则点C的坐标是________．4解析法一：设点C的坐标是(x，y)，且x<0，y<0，直线OB方程为y＝x，因点3|4x－3y|C在∠AOB的平分线上，所以点C到直线OB与y轴的距离相等，从而＝5?x＝－1，|x|.又x＋y＝10，解之得?所以点C的坐标是(－1，－3)．y＝－3，?法二：设点C的坐标是(x，y)，且x<0，y<0，则因点C在∠AOB的平分线上，所以由－y－3x－4ycos〈→OC，→OA〉＝cos〈→OC，→OB〉得＝.又x2＋y2＝10，解之得1・1051022?x＝－1，??y＝－3，所以点C的坐标是(－1，－3)．答案 (－1，－3)→→→→→11．已知O是△ABC的内部一点，OA＋OB＋OC＝0，AB・AC＝2，且∠BAC＝60°，则△OBC的面积为________．→→→→解析由AB・AC＝|AB||AC|cos 60°＝2，→→→→→→→1得|AB||AC|＝4，S△ABC＝|AB||AC|sin 60°＝3，由OA＋OB＋OC＝0知，2O是△ABC的重心，所以S△OBC＝S△ABC＝答案3 3133. 3→→→→→12．已知点G是△ABC的重心，AG＝λAB＋μAC(λ，μ∈R)，若∠A＝120°，AB・AC→＝－2，则|AG|的最小值是________．解析设AG交BC于D，则由G是△ABC的重心，得D是BC的中点，→→→→221所以AG＝AD＝・(AB＋AC)332→→→→→112＝(AB＋AC)，所以|AG|＝(AB＋AC)2 39→→→→1＝(|AB|2＋|AC|2－4)，又由－2＝AB・AC 9→→→→＝|AB||AC|cos 120°，得|AB||AC|＝4，2故当|AB|＝|AC|＝2时，|AG|取最小值.3答案2 3→→→2→→→→13．已知△ABC所在平面上的动点M满足2AM・BC＝AC－AB2，则M点的轨迹过△ABC的________心．→→→→→→→→解析如图，设N是BC的中点，则由2AM・BC＝(AC－AB)・(AC＋AB)＝BC・2AN，→→→→→得(AM－AN)・BC＝0，即NM・BC＝0，→→所以NM⊥BC，所以M点的轨迹过△ABC的外心．答案外心二、解答题14．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，|a－b|＝2. (1)求a・b的值； (2)求|a＋b|的值．解析 (1)因为|a－b|＝2，所以|a－b|2＝a2－2a・b＋b2＝4＋1－2a・b＝4. 1所以a・b＝.21(2)|a＋b|2＝a2＋2a・b＋b2＝4＋2×＋1＝6.2故|a＋b|＝6.15．已知|a|＝2，|b|＝3，a与b夹角为45°，求使向量a＋λb与λa＋b的夹角为钝角时，λ的取值范围．解析由条件知，cos45°＝a・b，∴a・b＝3，|a|・|b|设a＋λb与λa＋b的夹角为θ，则θ为钝角，感谢您的阅读，祝您生活愉快。
平面向量数量积公式
平面向量数量积公式介绍平面向量是二维空间中具有大小和方向的量。
数量积（又称点积或内积）是平面向量运算的一种形式，用于确定两个向量的相关性以及它们之间的夹角。
数量积公式平面向量数量积公式表示为：A ·B = |A| * |B| * cos(θ)其中，A和B是平面向量，|A|和|B|分别代表向量A和B的模（长度），θ则表示向量A和B之间的夹角。
公式解释平面向量数量积公式的等式左边A · B表示向量A和B之间的数量积。
数量积可以通过两个向量的模和它们之间的夹角来计算。
公式右边的|A|和|B|分别代表向量A和B的模（长度）。
向量的模可以通过求平方根来得到，即|A| = √(A1^2 + A2^2)和|B| = √(B1^2 + B2^2)，其中A1和A2分别为向量A在x轴和y轴上的分量，B1和B2类似地代表向量B在x轴和y轴上的分量。
公式右边的cos(θ)表示向量A和B之间的夹角的余弦值。
夹角的余弦可以通过向量的数量积和向量模之间的关系来计算，即cos(θ) = (A · B) / (|A| * |B|)。
综上所述，平面向量数量积公式说明了如何通过向量的模和夹角来计算两个向量之间的数量积。
数量积应用平面向量数量积在多个数学和物理应用中都有重要作用，例如：1.计算向量的模：通过平面向量数量积公式，可以计算向量的模。
向量的模用于衡量向量的长度和大小。
2.计算向量之间的夹角：通过平面向量数量积公式，可以计算两个向量之间的夹角。
夹角的大小和方向可以帮助我们理解向量之间的关系。
3.判断向量的正交性：如果两个向量的数量积为零，即A · B = 0，则称这两个向量为正交向量。
正交向量的特点是它们之间的夹角为90度。
4.判断向量的平行性：如果两个向量的夹角为0度或180度，即θ =0或θ = π，则称这两个向量为平行向量。
平行向量的特点是它们之间的数量积等于两个向量的模的乘积。
5.导出向量的投影：通过平面向量数量积公式，可以导出向量在另一个向量上的投影。
高2020届高2017级高三一轮复习理科数学数学核按钮考点突破全套课件5.3
④ cosθ＝____________．
⑤|a·b|≤____________．
4．数量积的坐标表示
设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
①a·b＝____________；a2＝_______________；|a|＝________________．
选 A．
(2017·全国卷Ⅰ)已知向量 a，b 的夹角为 60°，
|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________．
解：|a＋2b|＝ |a|2＋4a·b＋4|b|2＝2 3．故 填 2 3．
已知A→B＝(2，1)，点 C(－1，0)，D(4，5)，则向量A→B
在C→D方向上的投影为________．
解：因为点 C(－1，0)，D(4，5)，所以C→D＝(5，5)，又 A→B＝(2，1)，所以向量A→B在C→D方向上的投影为|A→B|cos〈A→B，
C→D〉＝A→B|C·→DC→| D＝5152＝3 2 2．故填32 2．
类型一 数量积的定义及几何意义
(1)若 a，b，c 均为非零向量，则下列说法正确的是
② a⊥b⇔____________________．
③|x1x2＋y1y2|≤________________________．
自查自纠：
1．|a||b|cosθ a·b |a||b|cosθ 投影 a 的长度|a|与 b 在 a 的方 向上的投影|b|cosθ 的乘积
2．(1)①a·b＝b·a ②(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)
已知 a，b 是两个单位向量，下列命题中错误的是( ) A．|a|＝|b|＝1 B．a·b＝1 C．当 a，b 反向时，a＋b＝0 D．当 a，b 同向时，a＝b
平面向量的数量积
平面向量的数量积平面向量的数量积是向量运算中的一种，它是两个向量之间的一种乘法运算，也称为点积或内积。
在数学中，平面向量通常用有序对 $(x, y)$ 表示，其中 $x$ 和 $y$ 分别表示向量在 x 轴和 y 轴上的分量。
平面向量的数量积可以通过两个向量的坐标和一些简单的数学运算来计算。
数量积的定义设有两个平面向量 $\mathbf{a} = (x_1, y_1)$ 和$\mathbf{b} = (x_2, y_2)$，其数量积定义为：$$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = x_1 \cdot x_2 + y_1\cdot y_2$$求平面向量的数量积要求两个平面向量的数量积，只需将两个向量的对应分量相乘，并将乘积相加即可。
例如，设有向量 $\mathbf{a} = (2,3)$ 和 $\mathbf{b} = (4, -1)$，我们可以计算它们的数量积：$$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 2 \cdot 4 + 3 \cdot (-1) = 8 - 3 = 5$$性质平面向量的数量积具有以下性质：1. 交换律：$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b}\cdot \mathbf{a}$2. 结合律：$(\mathbf{a} + \mathbf{b}) \cdot \mathbf{c} = \mathbf{a} \cdot \mathbf{c} + \mathbf{b} \cdot\mathbf{c}$3. 数量积的分配律：$\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} +\mathbf{c}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \cdot \mathbf{c}$4. 数量积与数乘的结合律：$(k\mathbf{a}) \cdot\mathbf{b} = k (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) =\mathbf{a} \cdot (k\mathbf{b})$应用平面向量的数量积在几何学和物理学中有广泛的应用。
高三高考数学复习课件5-3平面向量的数量积
－2 5×2
＝－ 2
10 10 .
【答案】
－
10 10
题型二 平面向量数量积的应用 角度一 求向量的模
π 【例 2】(1)(2018·西安模拟)已知平面向量 a，b 的夹角为 6 ， 且|a|＝ 3，|b|＝2，在△ABC 中，A→B＝2a＋2b，A→C＝2a－6b，D 为 BC 的中点，则|A→D|＝________．
＝2(x2＋y2－ 3y)
＝2x2＋y－
232－34≥2×－34＝－32.
当且仅当 x＝0，y＝ 23时，P→A·(P→B＋P→C)取得最小值，最小
值为－23.
故选 B.
方法二 (几何法) 如图②所示，P→B＋P→C＝2 P→D(D 为 BC 的中点)，则P→A·(P→B＋ P→C)＝2 P→A·P→D.
以 a·b＝1，设向量 a 与向量 b 的夹角为 θ，由 cos
θ＝|aa|··|bb|＝
1 2
＝
22，可得
π θ＝ 4 ，即向量
a
与
b
π 的夹角为 4 .
(2)由已知得，a·(a－2b)＝0，∴cos〈a，b〉＝2||aa|||2b|＝12， π
∵0≤〈a，b〉≤π，∴〈a，b〉＝ 3 . ππ
π 【解析】 因为 a 在 b 方向上的投影为|a|cos〈a，b〉＝ 2cos 3
＝
22.故填
2 2.
【答案】
2 2
题型一 平面向量数量积的运算
【例 1】 (2017·全国Ⅱ卷)已知△ABC 是边长为 2 的等边三角
形，P 为平面 ABC 内一点，则P→A·(P→B＋P→C)的最小值是( )
A．－2
即 2a－3b 与 c 反向．
求平面向量数量积的5种方法
求平面向量数量积的5种方法平面向量的数量积（也称为内积、点积或标量积）是两个向量的乘积，结果是一个标量（即一个数），代表了两个向量之间的相似度。
平面向量数量积可以通过多种方法进行计算。
本文将介绍五种常用方法，包括点乘法、分量法、向量夹角法、模长法和运算法。
一、点乘法点乘法是最常用的计算平面向量数量积的方法。
给定两个向量A=(a1,a2)和B=(b1,b2)，则它们的数量积记作A·B，计算公式如下：A·B=a1*b1+a2*b2二、分量法分量法是另一种常用的计算平面向量数量积的方法。
当向量A=(a1,a2)和B=(b1,b2)的夹角为θ时，它们的数量积可以用以下公式表示：A·B = ，A， * ，B，* cos(θ)其中，A，和，B，分别表示向量A和B的模长，cos(θ)表示向量A和B的夹角的余弦值。
三、向量夹角法向量夹角法是通过向量夹角公式直接计算平面向量数量积的方法。
若向量A与向量B之间的夹角为θ，则它们的数量积可以计算如下：A·B = ，A， * ，B，* cos(θ)其中，A，和，B，分别表示向量A和B的模长，cos(θ)表示向量A和B的夹角的余弦值。
四、模长法模长法是一种通过计算向量的模长与夹角的余弦值来求解平面向量数量积的方法。
若向量A的模长为，A，向量B的模长为，B，向量A与向量B之间的夹角为θ，则它们的数量积可以计算如下：A·B = ，A， * ，B，* cos(θ)其中，A，和，B，分别表示向量A和B的模长，cos(θ)表示向量A和B的夹角的余弦值。
五、运算法运算法是一种通过平面向量的加、减、乘、除等运算求解数量积的方法。
根据数量积的性质，有以下运算法则：-若A·B=0，则向量A与向量B相互垂直。
-若A·B>0，则向量A与向量B夹角小于90度，即为锐角。
-若A·B<0，则向量A与向量B夹角大于90度，即为钝角。
平面向量的数量积知识点整理
平面向量的数量积知识点整理1.定义与性质：-向量的数量积定义为：设有两个向量A=(A₁,A₂)和A=(A₁,A₂)，则它们的数量积定义为A·A=A₁A₁+A₂A₂。
-数量积的结果是一个实数。
2.计算方法：-垂直坐标法：直接计算坐标相乘再相加。
-几何解释法：通过几何图形来计算，利用向量的长度和夹角的三角函数关系。
-运算律：满足交换律、分配律和结合律。
3.辅助定理：-平行四边形法则（平行四边形法则）：设有向量A、A和A，则有A·A+A·A=A·(A+A)。
-向量延长线法则：设有向量A和向量A，则有A·A=A·A。
4.性质：-零向量性质：零向量与任何向量的数量积都等于0，即A·A=A。
-等量向量性质：等量向量的数量积等于它们的模长的乘积，即A·A=∣A∣∣A∣。
-单位向量性质：单位向量与任意向量的数量积等于原向量的模长乘以单位向量的模长，即A·A=∣A∣，其中A为单位向量。
-归一型：对于任何非零向量A，总是可以找到一个单位向量A，使得A=∣A∣A。
5.夹角与正交性：- 夹角余弦定理：设有向量A和向量A，则有A·A =∣A∣∣A∣cosθ，其中θ为A与A之间的夹角。
-夹角性质：若A·A=0，则A与A垂直，称为正交向量或垂直向量。
-垂直定理：当且仅当A·A=0时，A与A垂直。
6.平面向量能否为0？-若A·A=0，则向量A与向量A相互垂直。
-反之，若向量A与向量A相互垂直，则A·A=0。
7.一些常用公式的推导：- 向量投影：设有向量A和向量A，A为向量A在向量A上的投影，则有A = (∣A∣cosθ)A，其中θ为两向量之间的夹角，A为单位向量。
- 向量投影的计算公式：向量A在向量A上的投影A的大小为∣A∣cosθ，其中A为两向量之间的夹角。
8.应用：-判断两向量是否垂直。
专题5.3 平面向量的数量积(重难点突破)(解析版)
专题5.3 平面向量的数量积一、考情分析1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题；6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题。
二、经验分享考点一 向量的夹角定义图示范围共线与垂直 已知两个非零向量a 和b ，作OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，则∠AOB 就是a 与b 的夹角设θ是a 与b 的夹角，则θ的取值范围是0°≤θ≤180°θ＝0°或θ＝180°⇔a ∥b ，θ＝90°⇔a ⊥b考点二 平面向量的数量积定义设两个非零向量a ，b 的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a 与b 的数量积，记作a·b投影 |a|cos θ叫做向量a 在b 方向上的投影， |b|cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影几何意义数量积a·b 等于a 的长度|a|与b 在a 的方向上的投影|b|cos θ的乘积考点三 向量数量积的运算律 交换律 a ·b ＝b ·a 分配律 (a ＋b)·c ＝a ·c ＋b ·c 数乘结合律(λa)·b ＝λ(a ·b)＝a ·(λb)考点四 平面向量数量积的有关结论已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ.结论 几何表示 坐标表示模 |a|＝a·a |a|＝x 21＋y 21夹角cos θ＝a·b |a||b|cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22|x1x2＋y1y2|≤ x21＋y21x22＋y22考点五必备结论1．平面向量数量积运算的常用公式：(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；(2) (a±b)2＝a2±2a·b＋b2.2．有关向量夹角的两个结论：(1)两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b＞0，反之不成立(因为a与b夹角为0时不成立)．(2)两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b＜0，反之不成立(因为a与b夹角为π时不成立)．三、题型分析重难点题型突破1 平面向量数量积的运算例1、(2020·西安调研)在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4，BC ＝CD ＝DA ＝2，若E 为BC 的中点，则AC →·AE →＝( ) A. 3 B ．3 C ．2 3 D ．12【答案】D【解析】解法一：如图过点D 作DM ⊥AB ，交AB 于点M ，过点C 作CN ⊥AB ，交AB 于点N ，则MN ＝DC ＝2.在Rt △ADM 中，AD ＝2，AM ＝AB －MN 2＝4－22＝1，所以∠DAM ＝60°.因为AC →＝AD →＋DC →＝AD →＋12AB →，AE →＝AD →＋DC →＋CE →＝AD →＋12AB →＋12CB →＝AD →＋12AB →＋12(CD →＋DA →＋AB →)＝12AD →＋34AB →，所以AC →·AE →＝⎝⎛⎭⎫AD →＋12AB →·⎝⎛⎭⎫12AD →＋34AB →＝12AD →2＋AD →·AB →＋38AB →2＝12×22＋2×4×cos60°＋38×42＝12.故选D.解法二：如图以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系，则A (0,0)，B (4,0)． 设D (m ，n )(n >0)，则C (m ＋2，n )，因此BC 边的中点E ⎝⎛⎭⎫m ＋62，n 2.则AC →＝(m ＋2，n )，AE →＝⎝⎛⎭⎫m ＋62，n 2.又由BC ＝DA ＝2，得⎩⎨⎧(m ＋2－4)2＋n 2＝2，m 2＋n 2＝2，所以m ＝1，n 2＝3.则AC →·AE →＝(m ＋2)·m ＋62＋n 22＝3×72＋32＝12.故选D.【变式训练1-1】、(2020·河南安阳二模)如图所示，直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝AD ＝4，CD ＝8.若CE →＝－7DE →，3BF →＝FC →，则AF →·BE →＝( )A ．11B ．10C ．－10D ．－11【答案】D 【解析】：.以A 为坐标原点，建立直角坐标系如图所示．则A (0，0)，B (4，0)，E (1，4)，F (5，1)，所以AF →＝(5，1)，BE →＝(－3，4)，则AF →·BE →＝－15＋4＝－11.故选D.【变式训练1-2】、(2020·黑龙江大庆实验中学高考模拟)在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在CD 上，若AB →·AF →＝2，则AE →·BF →的值为( )A. 2 B ．2 C ．0 D ．1【答案】A【解析】建立如图所示的坐标系可得A (0,0)，B (2，0)，E (2，1)，F (x,2)，∴AB →＝(2，0)，AF →＝(x,2)，∴AB →·AF →＝2x ＝2，解得x ＝1，∴F (1,2)， ∴AE →＝(2，1)，BF →＝(1－2，2)，重难点题型突破2平面向量数量积的性质例2、已知|a |＝2，|b |＝3，a 与b 的夹角为2π3，且a ＋b ＋c ＝0，则|c |＝________.【答案】7【解析】因为a ＋b ＋c ＝0，所以c ＝－a －b ，所以c 2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝22＋32＋2×2×3×cos 2π3＝4＋9－6＝7.所以|c |＝7.【变式训练2-1】、已知非零向量a ，b 满足|a |＝2|b |，且(a －b )⊥b ，则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B ．π3C.2π3 D ．5π6【答案】B.【解析】：设a 与b 的夹角为α， 因为(a －b )⊥b ， 所以(a －b )·b ＝0， 所以a ·b ＝b 2，所以|a |·|b |cos α＝|b |2，又|a |＝2|b |，所以cos α＝12，因为α∈(0，π)，所以α＝π3.故选B.重难点题型突破3 向量数量积的综合应用例3、(2020·华南师大附中一模)已知向量|OA →|＝3，|OB →|＝2，BC →＝(m －n )OA →＋(2n －m －1)OB →，若OA →与OB →的夹角为60°，且OC →⊥AB →，则实数m n 的值为( )A.87B.43C.65D.16【答案】A【解析】由题意得，OC →＝OB →＋BC →＝(m －n )OA →＋(2n －m )OB →，AB →＝OB →－OA →，OA →·OB →＝3×2×cos60°＝3.又因为OC →⊥AB →，所以OC →·AB →＝[(m －n )OA →＋(2n －m )OB →]·(OB →－OA →)＝－(m －n )OA →2＋(2m －3n )OA →·OB →＋(2n －m )·OB →2＝－9(m －n )＋3(2m －3n )＋4(2n －m )＝0， 整理得7m －8n ＝0，故m n ＝87.【变式训练3-1】、(2020·天津市宁河区芦台第一中学高考模拟)如图所示，等边△ABC 的边长为2，D 为边AC 上的一点，且AD →＝λAC →，△ADE 也是等边三角形，若BE →·BD →＝449，则λ的值是( )A.23B.33C.34D.13【答案】A【解析】 BE →·BD →＝(BA →＋AE →)·(BA →＋AE →＋ED →)＝BA →2＋BA →·AE →＋BA →·ED →＋AE →·BA →＋AE →2＋AE →·ED →＝22＋2·2λcosπ3－2·2λ＋2·2λcos π3＋4λ2＋4λ2cos 2π3＝2λ2＋4＝449⇒λ2＝49，因为λ>0，所以λ＝23，选A.【变式训练3-2】、(2020·石家庄质量检测(一))已知AB →与AC →的夹角为90°，|AB →|＝2，|AC →|＝1，AM →＝λAB →＋μAC →(λ，μ∈R )，且AM →·BC →＝0，则λμ的值为________．【答案】：14【解析】：根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系则A (0，0)，B (0，2)，C (1，0)，所以AB →＝(0，2)，AC →＝(1，0)，BC →＝(1，－2)．设M (x ，y )，则AM →＝(x ，y )，所以AM →·BC →＝(x ，y )·(1，－2)＝x －2y ＝0，所以x ＝2y ，又AM →＝λAB →＋μAC →，即(x ，y )＝λ(0，2)＋μ(1，0)＝(μ，2λ)，所以x ＝μ，y ＝2λ，所以λμ＝12y x ＝14.重难点题型突破4 平面向量与三角函数例4、(2020·开封模拟)已知AB →，AC →是非零向量，且满足(AB →－2AC →)⊥AB →，(AC →－2AB →)⊥AC →，则△ABC 的形状为( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形【答案】C【解析】∵(AB →－2AC →)⊥AB →⇒(AB →－2AC →)·AB →＝0，即AB →·AB →－2AC →·AB →＝0，(AC →－2AB →)⊥AC →⇒(AC →－2AB →)·AC →＝0，即AC →·AC →－2AB →·AC →＝0，∴AB →·AB →＝AC →·AC →＝2AB →·AC →，即|AB →|＝|AC →|，则cos A ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝12，∴∠A ＝60°，∴△ABC 为等边三角形．【变式训练4-1】、在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量m ＝(cos B ，2cos 2 C2－1)，n ＝(c ，b －2a )，且m·n ＝0. (1)求∠C 的大小；(2)若点D 为边AB 上一点，且满足AD →＝DB →，|CD →|＝7，c ＝23，求△ABC 的面积． 【答案】见解析【解析】：(1)因为m ＝(cos B ，cos C )，n ＝(c ，b －2a )，m ·n ＝0，所以c cos B ＋(b －2a )cos C ＝0，在△ABC 中，由正弦定理得sin C cos B ＋(sin B －2sin A )cos C ＝0， sin A ＝2sin A cos C ，又sin A ≠0，所以cos C ＝12，而C ∈(0，π)，所以∠C ＝π3.(2)由AD →＝DB →知，CD →－CA →＝CB →－CD →， 所以2CD →＝CA →＋CB →，两边平方得4|CD →|2＝b 2＋a 2＋2ba cos ∠ACB ＝b 2＋a 2＋ba ＝28.① 又c 2＝a 2＋b 2－2ab cos ∠ACB ， 所以a 2＋b 2－ab ＝12.② 由①②得ab ＝8，所以S △ABC ＝12ab sin ∠ACB ＝23四、迁移应用1．已知AB →＝(2，3)，AC →＝(3，t )，|BC →|＝1，则AB →·BC →＝( ) A ．－3 B ．－2 C ．2 D ．3【答案】C.【解析】：因为BC →＝AC →－AB →＝(1，t －3)，所以|BC →|＝1＋（t －3）2＝1，解得t ＝3，所以BC →＝(1，0)，所以AB →·BC →＝2×1＋3×0＝2，故选C.2．已知向量|OA →|＝3，|OB →|＝2，OC →＝mOA →＋nOB →，若OA →与OB →的夹角为60°，且OC →⊥AB →，则实数m n 的值为( )A.16 B ．14C ．6D ．4 【答案】A.【解析】：因为向量|OA →|＝3，|OB →|＝2，OC →＝mOA →＋nOB →，OA →与OB →夹角为60°，所以OA →·OB →＝3×2×cos 60°＝3，所以AB →·OC →＝(OB →－OA →)·(mOA →＋nOB →)＝(m －n )OA →·OB →－m |OA →|2＋n |OB →|2＝3(m －n )－9m ＋4n ＝－6m ＋n ＝0，所以m n ＝16，故选A.3.已知向量a ＝(－2，m )，b ＝(1,2)，若向量a 在向量b 方向上的投影为2，则实数m ＝( ) A ．－4 B ．－6 C ．4 D.5＋1【答案】D【解析】 ∵a ·b ＝－2＋2m ，∴|a |cos θ＝a ·b |b |＝－2＋2m1＋4＝2.解得m ＝5＋1. 4．已知e 1，e 2为单位向量且夹角为2π3，设a ＝3e 1＋2e 2，b ＝3e 2，则a 在b 方向上的投影为________．【答案】：12【解析】：根据题意得，a ·b ＝9e 1·e 2＋6e 22＝9×1×1×⎪⎭⎫⎝⎛21-＋6＝－92＋6＝32，又因为|b |＝3，所以a 在b 方向上的投影为a ·b |b |＝323＝12.5.已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1,2)． (1)若a ∥b ，求sin θ·cos θ1＋3cos 2θ的值；(2)若|a |＝|b |,0<θ<π，求θ的值．【答案】见解析【解析】(1)因为a ∥b ，所以2sin θ＝cos θ－2sin θ，于是4sin θ＝cos θ； 当cos θ＝0时，sin θ＝0，与sin 2θ＋cos 2θ＝1矛盾， 所以cos θ≠0，故tan θ＝14，所以sin θ·cos θ1＋3cos 2θ＝sin θ·cos θsin 2θ＋4cos 2θ＝tan θtan 2θ＋4＝465. (2)由|a |＝|b |知，sin 2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝5， 即1－4sin θcos θ＋4sin 2θ＝5， 从而－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4， 即sin2θ＋cos2θ＝－1， 于是sin ⎪⎭⎫⎝⎛+42πθ＝－22， 又由0<θ<π知，π4<2θ＋π4<9π4，所以2θ＋π4＝5π4或2θ＋π4＝7π4，因此θ＝π2或θ＝3π4.。
平面向量的数量积与向量积详细解析与归纳
平面向量的数量积与向量积详细解析与归纳平面向量是数学中重要的概念之一，而其中的数量积（也叫点积或内积）与向量积（也叫叉积或外积）是平面向量运算中常用的两种运算方法。
本文将详细解析这两种运算，并对其进行归纳总结。
一、平面向量的数量积数量积，记作A·B，是两个向量A和B的数量上的乘积。
具体计算公式如下：A·B = |A| * |B| * cosθ其中|A|和|B|分别表示向量A和B的模（即长度），θ表示A和B 之间的夹角。
数量积有以下几个重要的性质：1. 交换律：A·B = B·A2. 分配律：(A + B)·C = A·C + B·C3. 数乘结合律：(kA)·B = k(A·B)这些性质使得数量积在计算中更加方便。
数量积的几何意义是，它等于一个向量在另一个向量方向上的投影长度与另一个向量的模的乘积。
通过数量积，我们可以计算向量的夹角、判断两个向量是否垂直以及计算向量的模等。
二、平面向量的向量积向量积，记作A×B，是两个向量A和B的向量上的乘积。
具体计算公式如下：A×B = |A| * |B| * sinθ * n其中|A|和|B|分别表示向量A和B的模，θ表示A和B之间的夹角，n为垂直于A和B所在平面的单位法向量，并满足右手法则。
向量积有以下几个重要的性质：1. 反交换律：A×B = -B×A2. 分配律：A×(B + C) = A×B + A×C3. 数乘结合律：(kA)×B = k(A×B)这些性质使得向量积在计算中更加灵活。
向量积的几何意义是，它等于一个向量在另一个向量所在平面上的投影的长度乘以一个单位法向量。
通过向量积，我们可以计算平行四边形的面积、判断两个向量是否平行以及计算平行四边形的对角线等。
三、数量积与向量积的关系数量积和向量积之间存在一定的关系：A×B = |A| * |B| * sinθ * n由此可得到以下等式：|A×B| = |A| * |B| * sinθ此等式表明，向量积的模等于数量积的模乘上夹角的正弦值。
平面向量的数量积与向量垂直
平面向量的数量积与向量垂直平面向量的数量积是向量运算中的一种重要概念，它可以用来判断两个向量之间的夹角以及它们是否垂直。
本文将介绍平面向量的数量积的定义、性质以及与向量垂直的关系。
1. 平面向量的数量积的定义平面向量的数量积也称为内积或点积，表示为a·b。
对于平面上的两个向量a和b，它们的数量积定义为：a·b = |a|·|b|·cosθ其中，|a|和|b|分别表示向量a和b的模长，θ表示向量a与b之间的夹角。
2. 平面向量的数量积的性质(1) 交换律：a·b = b·a(2) 分配律：(a+b)·c = a·c + b·c(3) 数量积为0的条件：a·b = 0，当且仅当向量a与b垂直。
3. 平面向量的数量积与向量垂直的关系根据数量积为0的条件，可以得出以下结论：若a·b = 0，则向量a与b垂直。
以证明为例，假设a·b = 0，即|a|·|b|·cosθ = 0。
由于向量模长均为非负数，所以可以得出结论：cosθ = 0。
而当cosθ = 0时，夹角θ为90度或其整数倍，即向量a与b垂直。
反之亦成立，即若向量a与b垂直，则a·b = 0。
基于以上性质，可以通过计算平面向量的数量积来判断两个向量之间的关系，特别是向量是否垂直。
4. 使用数量积判断向量是否垂直的实例例1：已知向量a = (2, 3)和向量b = (-3, 2)，判断向量a与向量b是否垂直。
解：计算向量a·b = |a|·|b|·cosθ = 2·(-3) + 3·2 = -6 + 6 = 0。
由于a·b = 0，根据数量积与向量垂直的关系可知，向量a与向量b垂直。
例2：已知向量c = (1, 2)和向量d = (3, 4)，判断向量c与向量d是否垂直。
平面向量的数量积及其应用
解析 解法一:∵|a+b|+|a-b|≥|(a+b)+(a-b)|=2|a|=2,且|a+b|+|a-b|≥|(a+b)(a-b)|=2|b|=4, ∴|a+b|+|a-b|≥4,当且仅当a+b与a-b反向时取等号,此时|a+b|+|a-b|取最 小值4.
| a b |2 | a b |2 | a b| | a b| ∵ ≤ = a 2 b 2 = 5 , 2 2
2 2 x12 y12 ,|b|= x2 y2 (2)|a|= .
平面向量的长度问题
( x1 x2 ) 2 ( y1 y2 ) 2 . 2.若A(x1,y1),B(x2,y2),则| AB |=
考点三
平面向量的夹角、两向量垂直及数量积的应用
x1 x2 y1 y2
已知a=(x1,y1),b=(x2,y2). (1)若a与b的夹角为θ,则cos θ= . 2 (2)a⊥b⇔x1x2+y1y2=0.
∴|a+b|+|a-b|≤2 5 . 当且仅当|a+b|=|a-b|时取等号,此时a· b=0.
故当a⊥b时,|a+b|+|a-b|有最大值2 5 .
解法二:设x=|a+b|,由||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|, 得1≤x≤3.
设y=|a-b|,同理,1≤y≤3. 而x2+y2=2a2+2b2=10, 故可设x= 10 cos θ, ≤cos θ≤ , y= 10 sin θ, ≤sin θ≤ . 设α1,α2为锐角,且sin α1= ,sin α2= ,
方法 2 求向量夹角问题的方法
第五章 5.3平面向量的数量积
1.两个向量的夹角 (1)定义已知两个非零向量a ，b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 称作向量a 和向量b 的夹角，记作〈a ，b 〉. (2)范围向量夹角〈a ，b 〉的范围是[0，π]，且〈a ，b 〉＝〈b ，a 〉. (3)向量垂直如果〈a ，b 〉＝π2，则a 与b 垂直，记作a ⊥b .2.向量在轴上的正射影已知向量a 和轴l (如图)，作OA →＝a ，过点O ，A 分别作轴l 的垂线，垂足分别为O 1，A 1，则向量O 1A 1→叫做向量a 在轴l 上的正射影(简称射影)，该射影在轴l 上的坐标，称作a 在轴l 上的数量或在轴l 的方向上的数量.OA →＝a 在轴l 上正射影的坐标记作a l ，向量a 的方向与轴l 的正向所成的角为θ，则由三角函数中的余弦定义有a l ＝|a |cos θ. 3.向量的数量积(1)平面向量的数量积的定义|a||b |cos 〈a ，b 〉叫做向量a 和b 的数量积(或内积)，记作a·b ，即a·b ＝|a||b |cos 〈a ，b 〉. (2)向量数量积的性质①如果e 是单位向量，则a·e ＝e·a ＝|a |cos 〈a ，e 〉； ②a ⊥b ⇔a·b ＝0； ③a·a ＝|a |2，|a |＝a·a ；④cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b |(|a||b |≠0)；⑤|a·b |__≤__|a||b |. (3)数量积的运算律 ①交换律：a·b ＝b·a .②对λ∈R ，λ(a·b )＝(λa )·b ＝a ·(λb ). ③分配律：(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c . (4)数量积的坐标运算设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则 ①a·b ＝a 1b 1＋a 2b 2； ②a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＝0；③|a |＝a 21＋a 22；④cos 〈a ，b 〉＝a 1b 1＋a 2b 2a 21＋a 22·b 21＋b 22.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.( √ ) (2)向量在另一个向量方向上的正射影为数量，而不是向量.( × )(3)在四边形ABCD 中，AB →＝DC →且AC →·BD →＝0，则四边形ABCD 为矩形.( × ) (4)两个向量的夹角的范围是[0，π2].( × )(5)由a ·b ＝0可得a ＝0或b ＝0.( × ) (6)(a ·b )c ＝a (b ·c ).( × )1.已知向量a ，b 的夹角为60°，且|a |＝2，|b |＝1，则向量a 与向量a ＋2b 的夹角等于( ) A.150° B.90° C.60° D.30°答案 D解析 设向量a 与向量a ＋2b 的夹角为θ. ∵|a ＋2b |2＝4＋4＋4a ·b ＝8＋8cos 60°＝12， ∴|a ＋2b |＝23， a ·(a ＋2b )＝|a |·|a ＋2b |·cos θ ＝2×23cos θ＝43cos θ，又a ·(a ＋2b )＝a 2＋2a ·b ＝4＋4cos 60°＝6， ∴43cos θ＝6，cos θ＝32， ∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝30°，故选D.2.(2015·山东)已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则BD →·CD →等于( ) A.－32a 2B.－34a 2C.34a 2 D.32a 2 答案 D解析 如图所示，由题意，得BC ＝a ，CD ＝a ，∠BCD ＝120°.BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD ·cos 120°＝a 2＋a 2－2a ·a ×⎝⎛⎭⎫－12＝3a 2， ∴BD ＝3a .∴BD →·CD →＝|BD →||CD →|cos 30°＝3a 2×32＝32a 2.3.已知单位向量e 1，e 2的夹角为α，且cos α＝13，若向量a ＝3e 1－2e 2，则|a |＝________.答案 3解析 ∵|a |2＝a ·a ＝(3e 1－2e 2)·(3e 1－2e 2)＝9|e 1|2－12e 1·e 2＋4|e 2|2＝9－12×1×1×13＋4＝9.∴|a |＝3.4.已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB →与AC →的夹角为________.答案 90°解析 由AO →＝12(AB →＋AC →)可知点O 为BC 的中点，即BC 为圆O 的直径，又因为直径所对的圆周角为直角，所以∠BAC ＝90°，所以AB →与AC →的夹角为90°.5.(教材改编)已知|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角θ＝120°，则向量b 在向量a 方向上的正射影的数量为________. 答案 －2解析 由数量积的定义知，b 在a 方向上的正射影的数量为|b |cos θ＝4×cos 120°＝－2.题型一 平面向量数量积的运算例1 (1)(2015·四川)设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4，若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →等于( )A.20B.15C.9D.6(2)已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为________；DE →·DC →的最大值为________.答案 (1)C (2)1 1 解析 (1)AM →＝AB →＋34AD →，NM →＝CM →－CN →＝－14AD →＋13AB →，∴AM →·NM →＝14(4AB →＋3AD →)·112(4AB →－3AD →)＝148(16AB →2－9AD →2)＝148(16×62－9×42)＝9， 故选C.(2)方法一 以射线AB ，AD 为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则A (0，0)，B (1,0)，C (1,1)，D (0,1)，设E (t,0)，t ∈[0,1]，则DE →＝(t ，－1)，CB →＝(0，－1)，所以DE →·CB →＝(t ，－1)·(0，－1)＝1. 因为DC →＝(1,0)，所以DE →·DC →＝(t ，－1)·(1,0)＝t ≤1， 故DE →·DC →的最大值为1.方法二 由图知，无论E 点在哪个位置，DE →在CB →方向上的正射影都是CB →， ∴DE →·CB →＝|CB →|·1＝1，当E 运动到B 点时，DE →在DC →方向上的正射影的数量最大即为DC ＝1， ∴(DE →·DC →)max ＝|DC →|·1＝1.思维升华 (1)求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用向量的正射影.(2)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，可先利用向量的加、减运算或数量积的运算律化简再运算，但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补.(1)如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP→＝2，则AB →·AD →＝________.(2)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE →·BD →＝________. 答案 (1)22 (2)2解析 (1)由CP →＝3PD →，得DP →＝14DC →＝14AB →，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝AP →－AB →＝AD →＋14AB →－AB →＝AD→－34AB →.因为AP →·BP →＝2，所以(AD →＋14AB →)·(AD →－34AB →)＝2，即AD →2－12AD →·AB →－316AB →2＝2.又因为AD →2＝25，AB →2＝64，所以AB →·AD →＝22.(2)由题意知：AE →·BD →＝(AD →＋DE →)·(AD →－AB →) ＝(AD →＋12AB →)·(AD →－AB →)＝AD →2－12AD →·AB →－12AB →2＝4－0－2＝2.题型二 用数量积求向量的模、夹角 命题点1 求向量的模例2 (1)已知向量a ，b 均为单位向量，它们的夹角为π3，则|a ＋b |等于( )A.1B. 2C. 3D.2(2)(2014·湖南)在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1,0)，B (0，3)，C (3,0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是________. 答案 (1)C (2)7＋1解析 (1)因为向量a ，b 均为单位向量，它们的夹角为π3，所以|a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋2cos π3＋1＝ 3.(2)设D (x ，y )，由CD →＝(x －3，y )及|CD →|＝1知(x －3)2＋y 2＝1，即动点D 的轨迹为以点C 为圆心的单位圆.又O A →＋OB →＋OD →＝(－1,0)＋(0，3)＋(x ，y )＝(x －1，y ＋3)，∴|OA →＋OB →＋OD →|＝(x －1)2＋(y ＋3)2.问题转化为圆(x －3)2＋y 2＝1上的点与点P (1，－3)的距离的最大值. ∵圆心C (3,0)与点P (1，－3)之间的距离为(3－1)2＋(0＋3)2＝7， 故(x －1)2＋(y ＋3)2的最大值为7＋1. 命题点2 求向量的夹角例3 (1)(2015·重庆)若非零向量a ，b 满足|a |＝223|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( ) A.π4 B.π2 C.3π4D.π(2)若向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，已知2a －3b 与c 的夹角为钝角，则k 的取值范围是________________________________________________________________________. 答案 (1)A (2)⎝⎛⎭⎫－∞，－92∪⎝⎛⎭⎫－92，3 解析 (1)由(a －b )⊥(3a ＋2b )得(a －b )·(3a ＋2b )＝0，即3a 2－a·b －2b 2＝0.又∵|a |＝223|b |，设〈a ，b 〉＝θ， 即3|a |2－|a |·|b |·cos θ－2|b |2＝0，∴83|b |2－223|b |2·cos θ－2|b |2＝0，∴cos θ＝22.又∵0≤θ≤π，∴θ＝π4.(2)∵2a －3b 与c 的夹角为钝角， ∴(2a －3b )·c ＜0， 即(2k －3，－6)·(2,1)＜0， ∴4k －6－6＜0， ∴k ＜3.又若(2a －3b )∥c ，则2k －3＝－12，即k ＝－92.当k ＝－92时，2a －3b ＝(－12，－6)＝－6c ，即2a －3b 与c 反向.综上，k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－92∪⎝⎛⎭⎫－92，3. 思维升华 (1)根据平面向量数量积的定义，可以求向量的模、夹角，解决垂直、夹角问题；两向量夹角θ为锐角的充要条件是cos θ＞0且两向量不共线；(2)求向量模的最值(范围)的方法：①代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；②几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解.(1)已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝________.(2)在△ABC 中，若A ＝120°，AB →·AC →＝－1，则|BC →|的最小值是( ) A. 2 B.2 C. 6D.6答案 (1)223 (2)C解析 (1)∵|a |＝ (3e 1－2e 2)2＝9＋4－12×1×1×13＝3，|b |＝(3e 1－e 2)2＝9＋1－6×1×1×13＝22，∴a ·b ＝(3e 1－2e 2)·(3e 1－e 2)＝9e 21－9e 1·e 2＋2e 22 ＝9－9×1×1×13＋2＝8，∴cos β＝83×22＝223.(2)∵AB →·AC →＝－1， ∴|AB →|·|AC →|·cos 120°＝－1，即|AB →|·|AC →|＝2，∴|BC →|2＝|AC →－AB →|2＝AC →2－2AB →·AC →＋AB →2 ≥2|AB →|·|AC →|－2AB →·AC →＝6， ∴|BC →|min ＝ 6.题型三 平面向量与三角函数例4 (2015·广东)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. (1)若m ⊥n ，求tan x 的值； (2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值.解 (1)因为m ＝⎝⎛⎭⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，m ⊥n . 所以m ·n ＝0，即22sin x －22cos x ＝0， 所以sin x ＝cos x ，所以tan x ＝1. (2)因为|m |＝|n |＝1，所以m ·n ＝cos π3＝12，即22sin x －22cos x ＝12，所以sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝12， 因为0<x <π2，所以－π4<x －π4<π4，所以x －π4＝π6，即x ＝5π12.思维升华 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立得到三角函数的关系式，然后求解.(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等.已知O 为坐标原点，向量OA →＝(3sin α，cos α)，OB →＝(2sin α，5sin α－4cos α)，α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，且OA →⊥OB →，则tan α的值为( ) A.－43B.－45C.45D.34答案 A解析 由题意知6sin 2α＋cos α·(5sin α－4cos α)＝0，即6sin 2α＋5sin αcos α－4cos 2α＝0，上述等式两边同时除以cos 2α，得6tan 2α＋5tan α－4＝0，由于α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，则tan α＜0，解得tan α＝－43，故选A.7.向量夹角范围不清致误典例 (12分)若两向量e 1，e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1，e 2所成的角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2所成的角为钝角，求实数t 的取值范围.易错分析 两个向量所成角的范围是[0，π]，两个向量所成的角为钝角，容易误认为所成角π为钝角，导致所求的结果范围扩大. 规范解答解 设向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为θ，由θ为钝角，知cos θ＜0，故 (2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)＝2t e 21＋(2t 2＋7)e 1·e 2＋7t e 22＝2t 2＋15t ＋7＜0，解得－7＜t ＜－12.[5分] 再设向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2反向， 则2t e 1＋7e 2＝k (e 1＋t e 2)(k ＜0)，[7分]从而⎩⎪⎨⎪⎧2t ＝k ，7＝tk ，且k ＜0，解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝－142，k ＝－14，即当t ＝－142时，两向量所成的角为π.[10分] 所以t 的取值范围是(－7，－142)∪(－142，－12).[12分] 温馨提醒 (1)两个非零向量的夹角范围为[0，π]，解题时要注意挖掘题中隐含条件.(2)利用数量积的符号判断两向量的夹角取值范围时，应该注意向量夹角的取值范围，不要忽视两向量共线的情况.若a ·b ＜0，则〈a ，b 〉∈(π2，π]；若a ·b ＞0，则〈a ，b 〉∈[0，π2).[方法与技巧]1.计算数量积的三种方法：定义法、坐标运算、数量积的几何意义，解题要灵活选用恰当的方法，和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用.2.求向量模的常用方法：利用公式|a |2＝a 2，将模的运算转化为向量的数量积的运算.3.利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧. [失误与防范]1.数量积运算律要准确理解、应用，例如，a ·b ＝a ·c (a ≠0)不能得出b ＝c ，两边不能约去一个向量.2.两个向量的夹角为锐角，则有a ·b >0，反之不成立；两个向量夹角为钝角，则有a ·b <0，反之不成立.A 组 专项基础训练 (时间：35分钟)1.若向量a ，b 满足|a |＝|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则|a ＋b |等于( ) A.22＋ 3 B.2 3 C.4 D.12答案 B解析 |a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＋2|a ||b |cos 60°＝4＋4＋2×2×2×12＝12，|a ＋b |＝2 3.2.已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m ).若向量a ，b 的夹角为π6，则实数m 等于( )A.2 3B. 3C.0D.－ 3 答案 B解析 ∵a ·b ＝(1，3)·(3，m )＝3＋3m ， a ·b ＝12＋(3)2×32＋m 2×cos π6，∴3＋3m ＝12＋(3)2×32＋m 2×cos π6，∴m ＝ 3.3.设e 1，e 2，e 3为单位向量，且e 3＝12e 1＋k e 2(k ＞0)，若以向量e 1，e 2为邻边的三角形的面积为12，则k 的值为( ) A.32 B.22 C.52D.72 答案 A解析 设e 1，e 2的夹角为θ，则由以向量e 1，e 2为邻边的三角形的面积为12，得12×1×1×sin θ＝12，得sin θ＝1，所以θ＝90°，所以e 1·e 2＝0.从而对e 3＝12e 1＋k e 2两边同时平方得1＝14＋k 2，解得k ＝32或－32(舍去).4.若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，则△ABC 的形状为( ) A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形答案 C解析 因为(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0， 即CB →·(AB →＋AC →)＝0，∵AB →－AC →＝CB →， 所以(AB →－AC →)·(AB →＋AC →)＝0，即|AB →|＝|AC →|， 所以△ABC 是等腰三角形，故选C.5.在△ABC 中，如图，若|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 边的三等分点，则AE →·AF →等于( )A.89B.109C.259D.269 答案 B解析 若|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，则AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →＝AB →2＋AC →2－2AB →·AC →，即有AB →·AC →＝0.E ，F 为BC 边的三等分点，则AE →·AF →＝(AC →＋CE →)·(AB →＋BF →)＝⎝⎛⎭⎫AC →＋13CB →·⎝⎛⎭⎫AB →＋13BC →＝⎝⎛⎭⎫23AC →＋13AB →·⎝⎛⎭⎫13AC →＋23AB →＝29AC →2＋29AB →2＋59AB →·AC →＝29×(1＋4)＋0＝109.故选B.6.在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，点P 在AM 上，且满足AP →＝2PM →，则P A →·(PB →＋PC →)的值为________. 答案 －4解析 由题意得，AP ＝2，PM ＝1， 所以P A →·(PB →＋PC →)＝P A →·2PM → ＝2×2×1×cos 180°＝－4.7.如图，在△ABC 中，O 为BC 中点，若AB ＝1，AC ＝3，〈AB →，AC →〉＝60°，则|OA →|＝________. 答案132解析 因为〈AB →，AC →〉＝60°，所以AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos 60°＝1×3×12＝32，又AO →＝12(AB →＋AC →)，所以AO →2＝14(AB →＋AC →)2＝14(AB →2＋2AB →·AC →＋AC →2)，所以AO →2＝14(1＋3＋9)＝134，所以|OA →|＝132. 8.在△ABC 中，若OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则点O 是△ABC 的________(填“重心”、“垂心”、“内心”、“外心”). 答案 垂心解析 ∵OA →·OB →＝OB →·OC →， ∴OB →·(OA →－OC →)＝0， ∴OB →·CA →＝0，∴OB ⊥CA ，即OB 为△ABC 底边CA 上的高所在直线.同理OA →·BC →＝0，OC →·AB →＝0，故O 是△ABC 的垂心.9.已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61.(1)求a 与b 的夹角θ；(2)求|a ＋b |；(3)若AB →＝a ，BC →＝b ，求△ABC 的面积.解 (1)∵(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，∴4|a |2－4a ·b －3|b |2＝61.又∵|a |＝4，|b |＝3，∴64－4a ·b －27＝61，∴a ·b ＝－6.∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－64×3＝－12， 又∵0≤θ≤π，∴θ＝2π3. (2)|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝42＋2×(－6)＋32＝13，∴|a ＋b |＝13.(3)∵AB →与BC →的夹角θ＝2π3， ∴∠ABC ＝π－2π3＝π3. 又|AB →|＝|a |＝4，|BC →|＝|b |＝3，∴S △ABC ＝12|AB →||BC →|sin ∠ABC ＝12×4×3×32＝3 3. 10.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(cos(A －B )，sin(A －B ))，n ＝(cos B ，－sin B )，且m ·n ＝－35. (1)求sin A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求角B 的大小及向量BA →在BC →方向上的正射影的数量.解 (1)由m ·n ＝－35，得cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35，所以cos A ＝－35. 因为0＜A ＜π，所以sin A ＝1－cos 2 A ＝ 1－⎝⎛⎭⎫－352＝45. (2)由正弦定理，得a sin A ＝b sin B，则sin B ＝b sin A a ＝5×4542＝22， 因为a ＞b ，所以A ＞B ，则B ＝π4. 由余弦定理得(42)2＝52＋c 2－2×5c ×⎝⎛⎭⎫－35， 解得c ＝1，故向量BA →在BC →方向上的正射影的数量为|BA →|cos B ＝c cos B ＝1×22＝22. B 组 专项能力提升(时间：25分钟)11.(2015·湖南)已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC .若点P 的坐标为(2,0)，则|P A →＋PB →＋PC→|的最大值为( )A.6B.7C.8D.9答案 B解析 由A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上，且AB ⊥BC ，所以AC 为圆直径，故P A →＋PC →＝2PO →＝(－4,0)，设B (x ，y )，则x 2＋y 2＝1且x ∈[－1,1]，PB →＝(x －2，y )，所以P A →＋PB →＋PC →＝(x －6，y ).故|P A →＋PB →＋PC →|＝－12x ＋37，所以x ＝－1时有最大值49＝7，故选B.12.在△ABC 中，A ＝90°，AB ＝1，AC ＝2.设点P ，Q 满足AP →＝λAB →，AQ →＝(1－λ)AC →，λ∈R .若BQ →·CP →＝－2，则λ等于( )A.13B.23C.43D.2 答案 B解析 BQ →＝AQ →－AB →＝(1－λ)AC →－AB →，CP →＝AP →－AC →＝λAB →－AC →，BQ →·CP →＝(λ－1)AC →2－λAB →2＝4(λ－1)－λ＝3λ－4＝－2，即λ＝23. 13.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在CD 上，若AB →·AF→＝2，则AE →·BF →的值是( )A. 2B.2C.0D.1答案 A解析 依题意得AE →·BF →＝(AB →＋BE →)·(AF →－AB →)＝AB →·AF →－AB →2＋BE →·AF →－BE →·AB →＝2－2＋1×2－0＝2，故选A.14.设向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，定义一种向量积a ⊗b ＝(a 1b 1，a 2b 2)，已知向量m ＝(2，12)，n ＝(π3，0)，点P (x ，y )在y ＝sin x 的图象上运动，Q 是函数y ＝f (x )图象上的点，且满足OQ →＝m ⊗OP →＋n (其中O 为坐标原点)，则函数y ＝f (x )的值域是________.答案 ⎣⎡⎦⎤－12，12 解析 设Q (c ，d )，由新的运算可得OQ →＝m ⊗OP →＋n ＝(2x ，12sin x )＋(π3，0) ＝(2x ＋π3，12sin x )， 由⎩⎨⎧ c ＝2x ＋π3，d ＝12sin x ，消去x 得d ＝12sin(12c －π6)， 所以y ＝f (x )＝12sin(12x －π6)， 易知y ＝f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－12，12. 15.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若AB →·AC →＝BA →·BC →＝1.(1)判断△ABC 的形状；(2)求边长c 的值；(3)若|AB →＋AC →|＝22，求△ABC 的面积.解 (1)由AB →·AC →＝BA →·BC →＝1，得bc ·cos A ＝ac ·cos B ，由正弦定理，得sin B cos A ＝sin A cos B ，∴sin(A －B )＝0，∴A ＝B ，即△ABC 是等腰三角形.(2)由AB →·AC →＝1，得bc ·cos A ＝1，又bc ·b 2＋c 2－a 22bc＝1，则b 2＋c 2－a 2＝2， 又a ＝b ，∴c 2＝2，即c ＝ 2.(3)由|AB →＋AC →|＝22，得2＋b 2＋2＝8，∴b ＝2，又c ＝2，∴cos A ＝24，sin A ＝144， ∴S △ABC ＝12bc ·sin A ＝12×2×2×144＝72.。
平面向量的数量积和向量积
平面向量的数量积和向量积平面向量是高中数学中的一个重要概念，它具有方向和大小，并且是可以进行运算的。
在平面向量的运算中，数量积和向量积是两个常见且重要的运算。
一、数量积1. 定义数量积又称为点积、内积或标量积，用符号"·"表示。
对于平面内两个向量A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，它们的数量积为：A·B = x₁x₂ + y₁y₂其中，x₁、x₂为A和B的横坐标，y₁、y₂为A和B的纵坐标。
2. 计算方法根据数量积的定义，计算方法简单直接。
对于任意两个向量A和B，只需将它们的横纵坐标带入公式即可。
例如，对于向量A(3,2)和向量B(4,-1)，它们的数量积为：A·B = 3*4 + 2*(-1) = 12 - 2 = 103. 特性数量积具有以下几个重要的特性：- 结果为标量：数量积的结果是一个数，即标量，没有方向。
- 交换律：A·B = B·A，即数量积满足交换律。
若夹角为θ，则A·B = |A||B|cosθ，其中|A|和|B|为向量的长度。
二、向量积1. 定义向量积又称为叉积、外积或矢量积，用符号"×"表示。
对于平面内两个向量A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，它们的向量积为：A×B = (0, 0, x₁y₂ - x₂y₁)其中，向量积是一个垂直于平面的向量，其大小为由A和B所张成的平行四边形的面积。
2. 计算方法根据向量积的定义，计算方法稍微复杂一些。
对于任意两个向量A 和B，只需将它们的横纵坐标带入公式，得到一个新的向量。
例如，对于向量A(3,2)和向量B(4,-1)，它们的向量积为：A×B = (0, 0, 3*(-1) - 4*2) = (0, 0, -11)3. 特性向量积具有以下几个重要的特性：- 结果为向量：向量积的结果是一个向量，具有方向和大小。
哈三中课堂笔记(八)
5.3.1 向量的夹角
平面向量的数量积 r r uu r r uu r r 1、定义：非零向量a， b, 作OA = a, OB = b, 称∠AOB(0o ≤ θ ≤ 180o ) rr 为a， b夹角 rr 注： 1） a， b同起点，α =θ rr a， b同终点，α =θ rr a， b首尾相连，α =180o -θ r r r r r r r r rr rr r a +b+c = 0, a = 2, b = 3, c = 4, a与b， b与c， c与a夹角分别为α，β，γ ，则 α，β，γ 的大小关系：β >γ > α 2)θ ∈ [0, π ] rr θ = 0, a， b同向 rr θ = π , a， b反向 r r π θ = , 定义a ⊥ b 2 一、向量的夹角
r r
r r
(
)
5.3.3 平面向量数量积的坐标表示
17
三、平面向量数量积的坐标表示 r r a = ( x1 , y1 ) b = ( x2 , y2 ) r r 1、 a ⋅ b=x1 x2 +y1 y2 r r 2、 a ⊥ b ⇔ x1 x2 +y1 y2 =0 r 3、 与a = ( x, y )垂直的向量可统一设为λ ( y, − x )(λ ≠ 0) 4、cosθ = x1 x2 +y1 y2 x + y12 x2 2 + y2 2
( ) ( ) ( ) ( ) )( )
(
r r r r r rr r r r r rr 1） c ⋅ b = a ⋅ c ⇒ a ⋅ b-c ⇒ a = 0或b=c或a ⊥ b-c 注： r r r r r r 2) a ⋅ b c ≠ a b ⋅ c (一般来说)
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§5.3 平面向量的数量积
（时间：45分钟 满分：100分）
一、选择题(每小题6分，共42分)
1.(2010·安徽)设向量a ＝(1,0)，b ＝(12，12
)，则下列结论中正确的是( ) A ．|a |＝|b | B ．a·b ＝22
C ．a ∥b
D ．a －b 与b 垂直
2.(2010·广东)若向量a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，c ＝(3，x )，满足条件(8a －b)·c ＝30，则x 等于( )
A ．6
B ．5
C ．4
D ．3
3.已知向量a ，b 的夹角为60°，且|a |＝2，|b |＝1，则向量a 与a ＋2b 的夹角等于( )
A ．150°
B ．90°
C ．60°
D ．30° 4.平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB ＝(2,4)，AC ＝(1,3)，
则⋅A DB D 等于( ) A ．6 B ．8 C ．－8 D ．－6
5.若e 1、e 2是夹角为π3
的单位向量，且向量a ＝2e 1＋e 2，向量b ＝－3e 1＋2e 2，则a·b 等于( ) A ．1 B ．－4 C ．－72 D.72
6．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(a ＋b )·c ＝52
，则a 与c 的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°
7．向量a ，b 的夹角为120°，|a |＝1，|b |＝3，则|5a －b |的值为( )
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
二、填空题(每小题5分，共20分)
8．若向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2且a 与b 的夹角为π3
，则|a ＋b |＝________. 9．已知向量a ，b 满足|a |＝3，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则a·b ＝________，若(a －m b )⊥a ，
则实数m ＝________.
10．设a 、b 、c 是单位向量，且a ＋b ＝c ，则a·c 的值为________．
11.（O 是平面α上一点，A 、B 、C 是平面α上不共线的三点.平面α内的动点P 满足),(AC AB OA OP ++=λ若λ＝12时，()⋅+PA PB PC 的值为______．
三、解答题(共38分)
12．(12分)不共线向量a ，b 的夹角为小于120°的角，且|a |＝1，|b |＝2，已知向量c ＝a ＋2b ，
求|c |的取值范围．
13．(12分)已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )，x ∈R.
(1)若a ⊥b ，求x 的值；
(2)若a ∥b ，求|a －b |.
14．(14分)向量a ＝(cos 23°，cos 67°)，向量b ＝(cos 68°，cos 22°)．
(1)求a·b ；
(2)若向量b 与向量m 共线，u ＝a ＋m ，求u 的模的最小值．
答案 1．D
2.C
3.D
4.B
5.C
6.C
7.C
8. 7
9.3 3 10.12
11.0 12.解 |c |2＝|a ＋2b |2＝|a |2＋4a ·b ＋4|b |2＝17＋8cos θ(其中θ为a 与b 的夹角)．
∵0°<θ<120°，∴－12
<cos θ<1，∴13<|c |<5， ∴|c |的取值范围为(13，5)．
13.解 (1)若a ⊥b ，
则a ·b ＝(1，x )·(2x ＋3，－x)
＝1×(2x ＋3)＋x (－x )＝0.
整理得x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3.
(2)若a ∥b ，则有1×(－x )－x (2x ＋3)＝0，
即x (2x ＋4)＝0，解得x ＝0或x ＝－2.
当x ＝0时，a ＝(1,0)，b ＝(3,0)，
∴a －b ＝(1,0)－(3,0)＝(－2,0)，∴|a －b |＝(－2)2＋02＝2.
当x ＝－2时，a ＝(1，－2)，b ＝(－1,2)，a －b ＝(2，－4)，
∴|a －b |＝22＋(－4)2＝2 5.
综上，|a －b |＝2或2 5.
14.解 (1)a ·b ＝cos 23°·cos 68°＋cos 67°·cos 22° ＝cos 23°·sin 22°＋sin 23°·cos 22°＝sin 45°＝
22. (2)由向量b 与向量m 共线，得m ＝λb (λ∈R)，
u ＝a ＋m ＝a ＋λb ＝(cos 23°＋λcos 68°，cos 67°＋λcos 22°)
＝(cos 23°＋λsin 22°，sin 23°＋λcos 22°)，
|u |2＝(cos 23°＋λsin 22°)2＋(sin 23°＋λcos 22°)2
＝λ2＋2λ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋
222＋12， ∴当λ＝－
22时，|u |有最小值为22.。