新北师大版九年级数学上册相似三角形复习.
数学北师大版九年级上册相似三角形复习
活动4：渐入佳境
2.如图，已知△ABC∽△ADE， ∠AED=40°，∠B=80°，则 ∠A的度数为（ ） A．40° B．60° C．70° D．80°
活动4：渐入佳境
3.如图， ABCD中，G是BC延长线 上一点，AG交BD于E，与DC交于点F， 则图中相似三角形共有___ 对。
B E C F D G
A
活动4：渐入佳境
4.如图，在△ABC中，AD、BE是两条中线， 则S△DOE：S△AOB=（ ） A．1：2 C．1：3 B．2：3 D．1：4
S△DOB：S△AOB = ?
活动5：勇于尝试:
如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边 上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点 E、H分别在AB、AC上，BC=40cm，AD=30cm． （1）求证：△AEH∽△ABC； （2）求这个正方形的边长．
D
A
G
B
F C
相似三角形的性质：
1、相似三角形对应角相等，对应边成比例。
2、相似三角形的周长之比等于相似比，面积 之比等于相似比的平方。 3、相似三角形对应边上的高线、中线、对应 角平分线之比都等于相似比。
活动：渐入佳境
1.如图所示，△ABC∽△ACD，且AB=10cm， AC=8cm，则AD的长是（ ） A．6.4cm C．2cm B．6cm D．4cm
A
B C
相似三角形的判定：
相似三角形的判定1： 两角对应相等，两三角形相似。 相似三角形的判定2： 两边对应成比例且夹角相等，两三角 形相似。 相似三角形的判定3： 三边对应成比例，两三角形相似。
活动3：乘胜追击
如图，由边长为1的 25个小正方形组成的网 格上有一个△ABC，在网 格上有一个与△ABC相似 且面积最大的△DEF ，使 它的三个顶点都落在小 正方形的顶点上，你能 E 求出△DEF 的面积吗？
北师大版九年级数学上册《相似三角形的性质》2
1
3．两个相似三角形对应中线的比为 4，
1
1
则相似比为___4___,对应高的比为___4___ .
例：已知△ABC∽ △A´B ´C ´，BD和B ´D ´分 别是△ABC和△A´B´C´中线，且AB＝10，A´B´ ＝2，BD＝6。求B´D´的长。
解：∵ △ABC∽△A´B´C´
∴
AAB´B´＝
第四章 图形的相似
4.7 相似三角形的性质
课前复习:
（1）什么叫相似三角形？
对应角相等、对应边成比例 的三角形,叫做相似三角形. （2）如何判定两个三角形相似？
①两个角对应相等； ②两边对应成比例，且夹角相等； ③三边对应成比例.
课前复习:
（3）相似三角形有何性质？ A/
A
B
C
B/
C/
①相似三角形的对应角_____________
似
三 对应中线的比
都等于相似比.
角 对应角平分线的比
形
填一填
1.相似三角形对应边的比为2∶3,那么 相似比为_2_∶___3____,对应角的角平分线
的比为_2__∶__3_.
2．两个相似三角形的相似比为1:4,
则对应高的比为____1_:_4___,对应角的
角平分线的比为___1_:_4___.上的高B，C求 证： 证明：∵△ABC∽△ABC
S ABC k 2
S ABC
A
∴ AD k, BC k
AD BC
B
D
C
∴ SABC
1 AD BC 2
k2
A'
SABC 1 AD BC
2
B' D' C'
北师大版九年级上第四章相似三角形复习课件
6. 四边形ABCD是平行四边形,点E是 BC的延长线 上的一点,而CE:BC=1:3,则 △ADG和△EBG的周 长比3：4 ， 9：16 为面积比。
A
D
GF
B
CE
7. 举例说明三角形类似的一些应用． 例如用类似测物体的高度
测山高
测楼高
D
E 1.2m
A 1.6m B 8.4m C
8. 如图，△ABC是一块锐角三角形材料，边BC＝120mm，高AD＝ 80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两 个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？
3.如图,DE∥BC,AD:DB=1:2,DC,BE交于点O, 则△DOE与△BOC的周长之比是__1_:_3___, 面积比是___1_:_9___.
A
D
E
O
B
C
4、 两类似三角形对应高之比为3∶4，周长之和为28cm， 则两个三角形周长分别为 12cm与16cm
5、 两类似三角形的类似比为3∶5，它们的面积和为 102cm2，则较大三角形的面积为 75cm2
C2
A
C
B
A2
C1 B2
A
A1 B1
C
B
4、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6， BC=12,点P从A点出发向B以1m/s的速度移动，点Q 从B点出发向C点以2m/s的速度移动，如果P、Q分别 从A、B两地同时出发，几秒后△ PBQ与原三角形类 似？
C
Q Q
B PP A
学以致用：
5.如图⊿ABC中，AB=8cm，BC=16cm ，点P从A点开始沿AB边向点B以2cm/s 的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向 点C以4cm/s的速度移动。若点P、Q从A 、B处同时出发，经过几秒钟后， ⊿PBQ与⊿ABC类似？
北师大版数学九年级上 相似三角形的性质及判定知识点总结 习题型总结(学生版)
板块考试要求A 级要求B 级要求C 级要求相似三角形 了解相似三角形掌握相似三角形的概念，判定及性质，以及掌握相关的模型会运用相似三角形相关的知识解决有关问题一、相似的有关概念1．相似形具有相同形状的图形叫做相似形．相似形仅是形状相同，大小不一定相同．相似图形之间的互相变换称为相似变换． 2．相似图形的特性两个相似图形的对应边成比例，对应角相等． 3．相似比两个相似图形的对应角相等，对应边成比例．二、相似三角形的概念1．相似三角形的定义对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形．如图，ABC △与A B C '''△相似，记作ABC A B C '''△∽△，符号∽读作“相似于”．知识点睛 中考要求 相似三角形的性质及判定A 'B 'C 'CB A2．相似比相似三角形对应边的比叫做相似比．全等三角形的相似比是1．“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”．三、相似三角形的性质1．相似三角形的对应角相等如图，ABC △与A B C '''△相似，则有A A B B C C '''∠=∠∠=∠∠=∠，，．A 'B 'C 'CB A2．相似三角形的对应边成比例ABC △与A B C '''△相似，则有AB BC ACk A B B C A C ===''''''（k 为相似比）．3．相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比．如图1，ABC △与A B C '''△相似，AM 是ABC △中BC 边上的中线，A M ''是A B C '''△中B C ''边上的中线，则有AB BC AC AMk A B B C A C A M ====''''''''（k 为相似比）． M 'MA 'B 'C 'C BA图1如图2，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AHk A B B C A C A H====''''''''（k 为相似比）．H 'H AB C C 'B 'A '图2如图3，ABC △与A B C '''△相似，AD 是ABC △中BAC ∠的角平分线，A D ''是A B C '''△中B A C '''∠的角平分线，则有AB BC AC ADk A B B C A C A D ====''''''''（k 为相似比）．D 'D A 'B 'C B A图34．相似三角形周长的比等于相似比． 如图4，ABC △与A B C '''△相似，则有AB BC ACk A B B C A C ===''''''（k 为相似比）．应用比例的等比性质有AB BC AC AB BC ACk A B B C A C A B B C A C ++====''''''''''''++．A 'B 'C 'CB A图45．相似三角形面积的比等于相似比的平方．如图5，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AHk A B B C A C A H ====''''''''（k 为相似比）．进而可得21212ABC A B C BC AHS BC AH k S B C A H B C A H '''⋅⋅==⋅=''''''''⋅⋅△△．H 'H AB C C 'B 'A '图5四、相似三角形的判定1．平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．2．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．可简单说成：两角对应相等，两个三角形相似．3．如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．4．如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相似．可简单地说成：三边对应成比例，两个三角形相似．5．如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．6．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明）7．如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似；如果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似．五、相似证明中的比例式或等积式、比例中项式、倒数式、复合式证明比例式或等积式的主要方法有“三点定形法”．1．横向定型法欲证AB BCBE BF=，横向观察，比例式中的分子的两条线段是AB和BC，三个字母A B C，，恰为ABC△的顶点；分母的两条线段是BE和BF，三个字母B E F，，恰为BEF△的三个顶点．因此只需证ABC EBF△∽△．2．纵向定型法欲证AB DEBC EF=，纵向观察，比例式左边的比AB和BC中的三个字母A B C，，恰为ABC△的顶点；右边的比两条线段是DE和EF中的三个字母D E F，，恰为DEF△的三个顶点．因此只需证ABC DEF△∽△．3．中间比法由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可考虑运用等线，等比或等积进行变换后，再考虑运用三点定形法寻找相似三角形．这种方法就是等量代换法．在证明比例式时，常用到中间比．比例中项式的证明，通常涉及到与公共边有关的相似问题。
4.7.1 相似三角形的性质(课件)2024-2025学年九年级数学上册北师大版)
特别提醒：
(1)注意“对应”二字，应用时要找准对应线段；
(2)相似比是有顺序的，不能颠倒线段的顺序.
例题欣赏
☞
例题&解析
例1.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，矩形EFGH内接于△ABC，
且长边FG在BC上，AD与EH的交点为P，矩形相邻两边的比为1∶2.
若BC=30cm，AD=10cm， 求矩形EFGH的周长.
E
∴∠A′B′C′=∠ABC, ．
B
又AD、AD′分别为对应边的中线.
AB
BD
,
A' B ' B ' D '
AB
BC
A' B ' B 'C '
∴ △ABD∽△A′B′D′，
AD
k.
A'D'
C
D
A'
E'
B'
C'
D'
探索&交流
相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比
都等于相似比．
AC
3
，BD=4cm，求B′D′的长.
第四章 图形的相似
4.7.1 相似三Байду номын сангаас形的性质
北师大版九年级数学上册
学习&目标
1.明确相似三角形中对应线段与相似比的关系.（重点）
2.能熟练运用相似三角形的性质解决实际问题．（难点）
情景&导入
问题1：△ABC与△A1B1C1相似吗？
A
B
A1
B1
△ABC∽ △A1B1C1
C
C1
相似三角形对应角相等、对应边成比例.
北师大版九年级数学上册第4章 相似三角形判定定理的证明
∴易得 AD=AF,∠DAE=∠FAE=α.
∴∠DAF=2α=∠BAC.
∵ = , = , ∴
∴ ∼ .
=
,
例 4: 在△ABC中,AB=AC,点 D,E在BC 边上,∠BAC=2∠DAE=2α.
(2)如图②,在(1)的条件下,若α=45°,连接CF,求证: ² = ² + ².
∴ = ⋅ =
∵ =
− ⋅ = − ,
⋅ = × × = ,
∴当 = 时, − = × ,整理得 ² − + = ,解得 ₁
EF 是直角三角形,. ∴ ² = ² + ².
∵D,F关于直线AE 对称,∴易得 DE=EF. ∴ ² = ² + ².
【题型三】和相似有关的动点问题
例 5: 如图,在直角梯形 ABCD 中,AD=3,AB=11,BC=6,AB⊥BC,
点 P是线段AB 上一动点,如果满足△ADP 和△BCP 相似,求线
点 B以1cm/s的速度移动,点 Q从点 B 出发沿 BC 边向点 C以2cm/s的速度移动
(其中一点到达终点，另一点也停止运动)，设移动时间为 ts.
(1)如果 P、Q 分别从 A、B 两点同时出发，那么几秒时，△PBQ的面
积等于△ABC面积的 ?
解: (1)由题意得 = , = ,则 = − ,
求AB 的长.
解: ∵∠A = ∠A,∠ABD = ∠C,
∴△ABD∽ , ∴
北师大版九年级数学上册第4章：相似三角形 复习
A．36° B．117° C．143°D．153°
知识梳理 2.如图，在△ABC中，AB＝9， AC＝6，D是AB边上的一点．若 △ABC∽△ACD，则AD的长
为（ C ）．
A．3 B．7 C. 4 D．12
知识梳理
3.如图，在 △ABC中，点D为AB边上的一点， 要使 △ABC∽ △AED成立，
（3）若AD＝4，AB＝6，求 AF的值．
反思升华
同学们，经过今天的学习，你收获了什么？
教师寄语
从错误中吸取教训， 从失败中取得进步，
完善完整知识网络， 我们将会成为最棒的一个！
作业：
A：完成助学126页5题，129页16,17题. B： 完成助学125页3,4题.
知识梳理
6.如图，在平行四边形ABCD中， 点E在边DC上，DE：EC＝3：1， 连接AE交BD于点F，则 △DEF的面积与△BAF的
面积之比为（ A ）
A．9：16 B．3：4 C．9：4 D．3：2
知识梳理
判定 相似三角形
性质
两角分别相等的两个三角形相似.
两边成比例且夹角相等的两个三 角形相似.
三边对应成比例的两个三角形相似.
相似三角形的对应角相等，对应边 成比例. 相似三角形的对应高线的比、对应角平分 线的比、对应中线的比、周长比都等于相 似比. 相似三角形的面积比等于相似比的平方.
应用提升 相似三角形的判定与性质应用
锐角三角形 ABC，过点E用直线 去截三角形 ，使截得 的三角形与三角形 ABC 相似
连接BF交DC与点E,若AB 4，AD 6，DF 2，
则EC __3_____.(5分）
方程思想
达标检测
3. 如 图 ， 四 边 形 ABCD 中 ， AC 平 分 ∠ DAB ， ∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点， （1）求证：AC2＝AB AD ；
北师大版 九年级上册 相似三角形复习课优质课件
AD k BE
(中考真题·河南)(1)问题发现 如图①，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝40°，连接
AC，BD交于点M.填空： ①AC/BD的值为________；②∠AMB的度数为________；
(2)类比探究 如图②，在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°， 连接AC交BD的延长线于点M.①AC/BD的值为____ ；②∠AMB的度数为_____；
B
B
D
E DD
D
C
E
A
C
A
用旋转的观念来解释
不变特征之旋转结构
01 旋转全等（也叫手拉手全等）
A D
E
①共顶点
B
C
△ABC 和△CDE 均是顶角为42°的等腰三角形
②顶角相等 ③等腰三角形
△ACE ≌△BCD “SAS”
不变特征之旋转结构
02 旋转放缩（也叫手拉手相似）
①共顶点
△ABC∽△ADE ，∠ DAE=∠ BAC
请仅就图2的情况给出证明.
归纳提升
我对自己说---收获 我对同学说---提醒 我对老师说---困惑
“旋转结构”——全等
B D
M
αα E
A
C
△ACB,△DCE为等腰三角 形，∠ACB=∠DCE
△ACD ≌△BCE
“旋转结构”——相似 E
Cα α
D
M
A
B
△ACB∽△DCE
△ACD ∽△BCE
AC Q²三者之间的数量关
系为
；
（2）如图②，若点P在AB的延长线上，在（1）中所猜想的结
论仍然成立，请你利用图②给出证明过程.
北师大版九年级上册数学《探索三角形相似的条件》图形的相似说课教学课件复习提高
知识技能 3．如图所示的 6 个三角形中，哪些三角形相似？为什么？
数学理解
4．在一张 8 × 8 的方格纸上连接三个格点，得到一个三角 形．在这样的三角形中，找出三对两两相似、大小不同的三 角形，并指出它们的相似比．
已知△ABC和 △A’B’C’,根据下列条件判断它们是 否相似.
A
B
C
交流讨论 在上题的条件下，设 AB BC CA k ，改变
DE EF FD
k的值再试一试，你能判断△ABC与△DEF相似吗？
D A
B
CE
F
判定方法三：如果一个三角形的三条边与另一个三角 形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。
简单叙述：三边对应成比例的两个三角形相似。
A
B
C E
D 几何语言：
(1)∠B＝∠B’＝75°，∠C＝50°，∠A’＝55°
(2) ∠A＝45°，AB=12cm， AC=15cm ∠A’＝45°，A’B’＝16cm，A’C’＝20cm
(3) AB=12cm， BC=15cm， AC＝24cm A’B’＝16cm，B’C’＝20cm，A’C’＝30cm
已知：如图 AB BC CA ， BD BE ED
九年级数学(上) 第四章 图形的相似
探索三角形 相似的条件
课件
复习回顾：
三角形相似判定方法
1.相似三角形的定义可以作为三角形相似的一种判定方法。 2.两角对应相等的两个三角形相似。
探索:如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对 应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似吗？
A
4 cm
∠B ' ＝∠B
能力拓展
北师大版数学九年级上册第四单元图形的相似单元复习课件
（1） 求 的值；
（2） 求 的长.
（1） 求 的值；
解： , . .
（2） 求 的长.
[答案] 如图，过点 作 ，交 的延长线于点 .
， ， . . 是 的中线，
A
A. B. C. D.
3.如图，点 ， 在 的边 上，点 在边 上，且 ， .
（1） 求证： .
（2） 如果 ，求证： .
（1） 求证： .
证明： ， . , . . .
（2） 如果 ，求证： .
[答案] ， . ， .又 ， . . ， . . .
6.如图，在 中， ， ，则图中类似三角形有( )
C
A.2对 B.3对 C.4对 D.5对
Ⅳ.“旋转型”
7.如图，在 和 中， ， .
（1） 写出图中两对类似三角形（不得添加字母和线）；
（2） 请说明其中一对三角形类似的理由.
（1） 写出图中两对类似三角形（不得添加字母和线）；
Ⅱ.斜“A字形”（不平行）
4.如图， ， 两点分别在 的边 ， 上， 与 不平行.当添加条件_______________（写出一个即可）时， ．
如
5.如图，在 中， ， ， ．某一时刻，动点 从点 出发沿 方向以 的速度向点 匀速运动；同时，动点 从点
Ⅱ.反“8字形”（不平行）
9.如图，在 中， 平分 交 于点 ，点 在 的延长线上，且 .
（1） 求证： .
（2） 求证： .
（1） 求证： .
证明： 平分 ， . , . .
（2） 求证： .
[答案] ， . ， .又 ， . ，即 .
北师大版九年级上册数学[《探索相似三角形相似的条件》知识点整理及重点题型梳理](基础)
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新北师大版九年级上册初中数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习探索相似三角形相似的条件(基础)【学习目标】1. 相似三角形的概念.2.相似三角形的三个判定定理.3.黄金分割.4. 进一步探索相似三角形的判定及其应用，提高运用“类比”思想的自觉性，提高推理能力.【要点梳理】要点一、相似三角形的概念相似三角形：三个角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形.要点诠释：(1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′；(2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等.要点二、相似三角形的三个判定定理定理：两角分别相等的两个三角形相似.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.三边成比例的两个三角形相似.要点诠释：（1）要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.（2）此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.要点三、相似三角形的常见图形及其变换：要点四、黄金分割1.定义：一般地，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC 两段,如果AC BC AB AC=,那么线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比.要点诠释：12AC AB =≈0.618AB(0.618是黄金分割的近似值，12是黄金分割的准确值). 2.作一条线段的黄金分割点：如图，已知线段AB ，按照如下方法作图：（1）经过点B 作BD ⊥AB ，使BD =21AB . （2）连接AD ，在DA 上截取DE =DB .（3）在AB 上截取AC =AE .则点C 为线段AB 的黄金分割点. 要点诠释：一条线段的黄金分割点有两个.【典型例题】类型一、相似三角形的概念1. 下列能够相似的一组三角形为( ).A.所有的直角三角形B.所有的等腰三角形C.所有的等腰直角三角形D.所有的一边和这边上的高相等的三角形【答案】C【解析】A 中只有一组直角相等，其他的角是否对应相等不可知；B 中什么条件都不满足；D 中只有一条对应边的比相等；C 中所有三角形都是由90°、45°、45°角组成的三角形，且对应边的比也相等.答案选C.【总结升华】根据相似三角形的概念，判定三角形是否相似，一定要满足三个角对应相等，三条对应边的比相等.举一反三：【变式】（2014秋•江阴市期中）给出下列几何图形：①两个圆；②两个正方形；③两个矩形；④两个正六边形；⑤两个等边三角形；⑥两个直角三角形；⑦两个菱形．其中，一定相似的有 （填序号）．【答案】①②④⑤.类型二、相似三角形的三个判定定理2、如图，点D在等边△ABC的BC边上，△ADE为等边三角形，DE与AC交于点F．（1）证明：△ABD∽△DCF；（2）除了△ABD∽△DCF外，请写出图中其他所有的相似三角形．【思路点拨】（1）利用等边三角形的性质以及相似三角形的判定方法两角对应相等的两三角形相似得出即可；（2）利用对顶角的性质以及相似三角形的性质进而判断得出即可．【答案与解析】（1）证明：∵△ABC，△ADE为等边三角形，∴∠B=∠C=∠3=60°，∴∠1+∠2=∠DFC+∠2，∴∠1=∠DFC，∴△ABD∽△DCF；（2）解：∵∠C=∠E，∠AFE=∠DFC，∴△AEF∽△DCF，∴△ABD∽△AEF，故除了△ABD∽△DCF外，图中相似三角形还有：△AEF∽△DCF，△ABD∽△AEF．【总结升华】此题主要考查了相似三角形的两个对应角相等的判定方法以及等边三角形的性质等知识，得出对应角关系是解题关键．举一反三【变式】如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．求证：△ABD∽△CBE．【答案】证明：在△ABC中，AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∵CE⊥AB，∴∠ADB=∠CEB=90°，又∵∠B=∠B，∴△ABD∽△CBE．3、（2014秋•洪江市期中）如图所示，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，点P从点A开始沿边AB 向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，经过多长时间后，△PBQ与△ABC相似？试说明理由．【思路点拨】首先设经x秒钟△PBQ与△ABC相似，由题意可得AP=xcm，BQ=2xcm，BP=AB﹣AP=（8﹣x）cm，又由∠B是公共角，分别从=或=分析，即可求得答案．【答案与解析】解：设经x秒钟△PBQ与△ABC相似，则AP=xcm，BQ=2xcm，∵AB=8cm，BC=16cm，∴BP=AB﹣AP=（8﹣x）cm，∵∠B是公共角，∵①当=，即=时，△PBQ∽△ABC，解得：x=4；②当=，即=时，△QBP∽△ABC，解得：x=1.6，∴经4或1.6秒钟△PBQ与△ABC相似．【总结升华】此题考查了相似三角形的判定．属于动点型题目，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．4、网格图中每个方格都是边长为1的正方形．若A，B，C，D，E，F都是格点，试说明△ABC∽△DEF．【思路点拨】利用图形与勾股定理可以推知图中两个三角形的三条对应边成比例，由此可以证得△ABC∽△DEF．【答案与解析】举一反三【变式】如图所示，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：∠ABC=________，BC=_________；（2）判断△ABC与△DEF是否相似？并证明你的结论．【答案】（1）解：∠ABC=90°+45°=135°，（2）△ABC ∽△DEF ．证明：∵在4×4的正方形方格中，∠ABC=135°，∠DEF=90°+45°=135°， ∴∠ABC=∠DEF ．BC FE===∴△ABC ∽△DEF ．类型三、黄金分割5. 如图所示，矩形ABCD 是黄金矩形（即BC AB ＝215-≈0.618），如果在其内作正方形CDEF ，得到一个小矩形ABFE ，试问矩形ABFE 是否也是黄金矩形？【思路点拨】（1）矩形的宽与长之比值为215-，则这种矩形叫做黄金矩形．（2）要说明ABFE 是不是黄金矩形只要证明AB AE ＝215-即可． 【答案与解析】矩形ABFE 是黄金矩形． 理由如下：因为AB AE ＝ABED AB AD AB ED AD -=- ＝21512151)15)(15()15(21152-=-+=-+-+=-- 所以矩形ABFE 也是黄金矩形．【总结升华】判断四边形是否是黄金矩形，要根据实际条件灵活选择判断方法.举一反三：【变式】以长为2的线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连接PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF ＝PD ，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上，如图所示，（1）求AM ，DM 的长，（2）试说明AM 2=AD ·DM（3）根据（2）的结论，你能找出图中的黄金分割点吗？【答案】（1）∵正方形ABCD 的边长是2，P 是AB 中点，∴AD ＝AB ＝2，AP ＝1，∠BAD ＝90°，∴PD ＝522=+AD AP 。
北师大版 九年级数学 相似三角形的复习
相似三角形的复习课前测试【题目】课前测试1如图，点D、E分别是△ABC边BC、AB上的点，AD、CE相交于点G，过点E作EF∥AD 交BC于点F，且CF2=CD•CB，联结FG。
（1）求证：GF∥AB；（2）如果∠CAG=∠CFG，求证：四边形AEFG是菱形。
【答案】（1）证明：∵CF2=CD•CB，∴=，∵EF∥AD，∴=，∴=，∴GF∥AB；（2）解：联结AF，∵GF∥AB，∴∠CFG=∠B，∵∠CAG=∠CFG，∴∠CAG=∠B，∵∠ACD=∠ACB，∴△CAD∽△CBA，∴=，即CA2=CD•CB，∵CF2=CD•CB，∴CA=CF，∴∠CAF=∠CFA，∵∠CAG=∠CFG，∴∠GAF=∠GFA，∴GA=GF，∵GF∥AB，EF∥AD，∴四边形AEF是平行四边形，∴四边形AEFG是菱形．【解析】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的判定，平行线的判定，（1）证明：∵CF2=CD•CB，∴=，∵EF∥AD，∴=，∴=，∴GF∥AB；（2）解：联结AF，∵GF∥AB，∴∠CFG=∠B，∵∠CAG=∠CFG，∴∠CAG=∠B，∵∠ACD=∠ACB，∴△CAD∽△CBA，∴=，即CA2=CD•CB，∵CF2=CD•CB，∴CA=CF，∴∠CAF=∠CFA，∵∠CAG=∠CFG，∴∠GAF=∠GFA，∴GA=GF，∵GF∥AB，EF∥AD，∴四边形AEF是平行四边形，∴四边形AEFG是菱形．总结：熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键，（1）根据已知条件得到CD：CF=CF：CB，根据平行线分线段成比例定理得到CG：CE=CD：CF，等量代换得到CF：CB=CG：CE，于是得到结论；（2）联结AF，根据平行线的性质得到∠CFG=∠B，等量代换得到∠CAG=∠B，根据相似三角形的性质得到CA2=CD•CB，等量代换得到CA=CF，根据等腰三角形的性质得到∠CAF=∠CFA，于是得到结论。
【难度】4【题目】课前测试2如图，在▱ABCD中，AB：BC=2：3，点E、F分别在边CD、BC上，点E是边CD的中点，CF=2BF，∠A=120°，过点A分别作AP⊥BE、AQ⊥DF，垂足分别为P、Q，那么的值为。
北师大版九年级上册数学相似三角形整理与复习
相似三角形整理与复习【考点分析】①了解比例的性质、线段的比、成比例的线段；通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割． ②通过具体实例认识图形的相似，了解相似多边形和相似比． ③掌握两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．一、比例线段1. 比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条 线段叫做成比例线段，简称比例线段.2. 第四比例项：若d cb a =，则d 叫a 、b 、c 的第四比例项. 3. 比例中项：若cb b a =，即ac b =2，则b 叫a 、c 的比例中项.针对练习：1、下列说法中正确的是（ ）A.两条线段的比总是整数B.两条线段的比总是正数C.两条线段的比可能为0D.两条线段的比与所采用的长度单位有关 2、下列各组中的四条线段成比例的是( )A.a =2，b =3，c =2，d =3B.a =4，b =6，c =5，d =10C.a =2，b =5，c =23，d =15D.a =2，b =3，c =4，d =1二、比例的性质1 基本性质：ac b cbb a bc ad d c b a =⇔==⇔=2;（a 、b 、c 、d 都不为零） 2 等比性质： 如果)0(≠++++====n f d b nm f e d c b a ，那么b a n f d b m e c a =++++++++ ．温馨提示：(1)此性质的证明运用了“设k 法”，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．(2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．(3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：ba f db ec a f ed c b a fe d c b a =+-+-⇒=--=⇒==32323322；其中032≠+-f d b三、黄金分割点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC, 如果ACBCAB AC =,那么称线段AB 被点C 黄金分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点, AC 与AB 的比叫做黄金比.四、相似多边形1. 一般地,形状相同的图形称为相似图形。
北师版九年级数学 4.7相似三角形的性质(学习、上课课件)
的平方
感悟新知
知2－练
例 2 如果两个相似三角形的相似比是3 ∶2，它们的周长 差为8，那么较大的三角形的周长为______. 解题秘方：紧扣“相似三角形的周长比等于相似比” 列方程求解.
感悟新知
解：设较大的三角形的周长为x，则较小 的三角形的周长为x－8. ∵这两个相似三角形的相似比为3 ∶ 2， ∴这两个三角形的周长比为3 ∶ 2. ∴x－x 8=32，解得x =24. ∴较大三角形的周长为24 . 答案：24
两个三角形高(或底)的比相混淆.
如下表：
感悟新知
图形 周 长 比
面 积 比
推理
A′ABB′＋＋BB′CC＋′＋AAC′C′=
(A′B ＋B′C ＋A′ C )·k A′B ＋B′C ＋A′C
=k
S△ ABC S△ A′ B′C′
=12B12′BCC′ ··AA论
周长比等 于相似比
∴AA′DD′=AA′BB′ =k
感悟新知
图形
对应 中线 的比
AM，A′M′分别为 △ ABC 和△ A′B′C′对应边上的 中线
知1－讲
证明过程
结论
∵△ ABC ∽△ A′B′C′，
∴∠ B=∠ B′，AA′BB′=BB′CC′ . 对应 ∵AM，A′M′分别是边BC， 中线
B′C′上的中线，∴
感悟新知
知1－讲
图形
证明过程
结论
∵△ ABC ∽△
对应
A′B′C′，∴∠ B=∠ B′. 高的
对应
∵ AD ⊥ BC，A′D′⊥ 比等
高的
B′C′，∴∠ ADB= 于相
比 AD，A′D′分别为△ ∠A′D′B′=90° .∴△ 似比
北师大版九年级数学上册 相似三角形的性质
SE R
∴SR∥BC
∴∠AER=∠ADC=90° ∴ AE是ΔASR的高.
B PD Q C
BC=60cm，AD=40cm，四边形PQRS是正方形. （2） ΔASR与ΔABC相似吗？为什么？
解： ΔASR与ΔABC相似. 理由:
∵ SR∥BC
A
∴ ∠ASR=∠B, ∠ARS=∠C ∴ ΔASR与ΔABC相似.
【详解】解：如图所示，过点 C 作CF AB交 AB 的延长线于点 F，设 BD＝m，
∵ AD AC ， ∴∠DAC＝90°， 又∵∠DAE+∠DAC+∠CAF＝180°， ∴∠DAE+∠CAF＝90°， 又∵ ， ， DE AB CF AB ∴∠DEA＝∠CFA＝90°， 又∵∠CAF+∠ACF＝90°， ∴∠DAE＝∠ACF，
故这两条角平分线的长分别为18cm，24cm.
练一练
1、△ABC∽△A'B'C'，BD和B'D'是它们的对应 中线，已知 AC ，2B'D'=4cm，求BD的长.
A' C' 3
解：∵ △ABC∽△A'B'C′， BD和B'D'是它们的对应中线
∴
BD AC 2 B'D' A'C' 3
（相似三角形对应中线的比等于相似比）
AD
BC
，
AD∥
BC
，得出
BE
1 2
AD
，
BEF ∽△DAF ，由相似三角形的性质
得出 ： ： 即可． S BEF
S
ADF
(1)2 2
1
4
【详解】解： 点 E 是边 BC 的中点，
4.4.2 相似三角形的判定九年级上册数学北师大版
即 ∠DAE =∠BAC，
B
∴△ABC ∽△ADE.
E
=
是三角形的内角吗？
C
2.如图，在四边形 ABCD 中，已知 ∠B =∠ACD，
1
AB=6，BC=4，AC=5，CD= 7 ，求 AD 的长．
2
1
解：∵AB=6，BC=4，AC=5，CD= 7 ，C
8
边所对的角对应相等的两
D
6.4
4
个三角形不一定相似.
B
40°
C
E
40°
3.2
F
随堂练习
1.如图，△ABC 与△ADE 都是等腰三角形，AD=AE，
AB=AC，∠DAB=∠CAE. 求证：△ABC ∽△ADE.
证明：∵ AD =AE，AB = AC，
∴
D
A
又 ∵∠DAB = ∠CAE，
和夹角来判定两个三角形相似呢？
A
D
B
E
C
新知探究 知识点：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
做一做
A
△ABC∽△A′B′C′
①任意画△ABC；
AB
AC
；
k
②再画△A′B′C′，使∠A′=∠A，且
AB AC
B
③量出∠B及∠B′的度数，∠B＝∠B′吗？
C
A′
由此可以推出∠C=∠C′吗？为什么？
综上所述，经过 1 s 或 2.5 s 后，△PBQ 与△ABC 相似.
课堂小结
利用
两边
和夹
角判
定两
个三
角形
北师大版九年级数学上册_三角形相似判定方法的汇总及选用
三角形相似判定方法的汇总及选用一.相似三角形的判定方法:(1)定义法:对应角相等,对应边的比相等的两个三角形相似.(2)平行法:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似.(3)判定定理1:如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似.(4)判定定理2:如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似.(5)判定定理3:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.注意:①在两个三角形中，只要满足两个角对应相等,那么这两个三角形相似,证明时,关键是寻找对应角;②一般地,公共角、对顶角、同角的余角(或补角)都是相等的，在证明过程中要特别注意，这一判定方法是三角形相似的最常用的方法.二.合理选择判定方法在运用相似三角形的判定定理解几何问题时，要注意定理的选择，即①已知有一角相等时，可选择判定定理2 或判定定理3；②已知有两边的比相等时，可选择判定定理1或判定定理2.还应注意形似三角形判定定理的作用，即①可以用来判定两个三角形相似；②间接证明角相等，线段成比例：间接地为计算线段长度及角的大小创造条件.例1：如图1，点D 在△ABC 的边AB 上，满足怎样的条件时，△ACD ∽△ABC ？试分别加以举例.分析：此题属于探索性问题，由相似三角形的判定方法可知：△ACD 与△ABC 已有公共角∠A,要使这两个三角形相似，可根据相似三角形的判定方法寻找一个条件即可.解：当满足以下三个条件之一时，△ACD ∽△ABC.条件一：∠ACD=∠B;条件二：∠ADC=∠ACB; 条件三：,ABAC AC AD =.2AB AD AC ⋅= 反思：本题探索的问题是相似三角形的判别方法，在探索两个三角形形似时，用分析法，可先证明△ACD ∽△ABC 然后寻找两个三角形中边的关系或角的关系即可.例2:如图2,已知△ABC 中,,900=∠C D 、E 在BC 上，且BD=DE=EC=AC ，指出图中相似三角形,并证明你的结论.分析:先利用排除法找到不可能形似的,再证明相似的,△ACE 是等腰直角三角形,所以不可能同其他三角形相似;又△ACD 是直角三角形,所以不可能和非直角三角形△ADE 、△ABD 、△ABE 相似；又△ACD 和△ACB 对应边的比不相等,所以一也不可能相似;因为∠AED=∠BEA ，所以△AED 和△BEA 可能相似.证明:设AC=CE=ED=DB=a.,2,22a EB ED a AE =⋅=.2EB ED AE ⋅= 即AEEB ED AE =.∠AED=∠BEA ， △AED ∽△BEA.反思:对于具体问题，一定要灵活处理.因为此题出现三角形较多,首先要“快刀斩乱麻”去掉那些不可能相似的三角形，再来检验那些可能相似的三角形. 例3:(苏州)如图3，梯形ABCD 中．AB ∥CD ．AB=2CD ，E,F 分别是AB ，BC 的中点.EF 与BD 相交于点M ．(1)求证：△EDM ∽△FBM ；(2)若DB=9，求BM ．分析：(1)从已知条件中易推出BE=CD,BE ∥CD,于是根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，得四边形DCBE 是平行四边形.因此CB ∥DE,故可推出△EDM ∽△FBM. (2)利用(1)中的△EDM ∽△FBM ，可得,BFDE BM DM =而F 为BC 的中点，得DE=2BF,DM=2EB.故BM 为所求. 解：(1)∵E 是AB 的中点,∴AB=2EB.∵AB ∥CD,∴四边形CBED 为平行四边形,∴ CB ∥DE.∴∠DEM=∠BFM, ∠EDM=∠FBM. ∴△EDM ∽△FBM.(2) ∵△EDM ∽△FBM, ∴BFDE BM DM =.∵F 是BC 的中点,∴ DE=2BF. ∴DM=2BM,∴BM=.331=DB图2BA 图3反思:遇到有平行条件时,通常利用平行线的性质;借助平行线的性质,找相等的角来证明三角形相似.例4:如图4,已知在△ABC 中, ∠C=,900D 、E 分别为AB 、BC 上的点,且.BC BE AB BD ⋅=⋅求证:DE ⊥AB.分析:证垂直的方法很多,我们已知当一个三角形与已知直角三角形全等,那么这个三角形也是直角三角形,类似地,我们也可以通过证一个三角形与已知三角形相似来证明垂直问题，而由∠B 为公共角, .BC BE AB BD ⋅=⋅可得△ABC ∽△EBD,故问题得证.证明: ∵.BC BE AB BD ⋅=⋅∠B=∠B, ∴△ABC ∽△EBD.∴∠EDB=∠C.又∵∠C=,900∴∠EDB=.900 ∴DE ⊥AB.反思:若将题设里的BC BE AB BD ⋅=⋅与结论DE ⊥AB 交换后,该如何证明?请与同伴交流你的证明思路.图4。
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E
B
M
C
4、如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边长 BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成正方形零 件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在 AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？ 解：设正方形PQMN的边长为x毫米. A
∵PN∥BC，
∴△APN∽
△ABC AE PN AD BC
图3
图1
D
A
C
一、基本图形(母子相似或A型)
A D E
A D
C A E C
B
B
D B
C
小结：相似的形式二
（1）如图1，当AB∥ED时，则△ ABC ∽△ DEC 。 （2）如图2，当 ∠B′= ∠E′或 则 △ A′B′C′ ∽△ D′E′C′
A′ B′ C′ E′
图2
∠A′= ∠D′或
A/ C / B / C / D / C / E / C / 时，
2.相似比： 相似三角形的对应边的比，叫做相似三角形的相似比。
★△ABC∽△A/B/C/,如果BC=3,B/C/=1.5,那么 △A/B/C/与 △ABC的相似比为_________.
1:2
1、判定
①如果一个三角形的两角分别与另一个 三角形的两角对应相等，那么这两个三角形 A 相似． A
B
C
C
F
推论 平行于三角形一边的直线与其他两边(或两 边的延长线)相交，截得的对应线段成比例. l l l l A D E l l 上 上
1
①
D B
E C2
上 ② 全 下 ③ 全
上 = 全
下 = 全
A B
l2
l3
C
l3
1.相似三角形的定义：
对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相 似三角形。
一、平行线分线段成比例定理：
两直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
∵
l1∥l 2∥l 3
上 ① 下 上 ② 全 下 ③ 全 上 = 下 上 全 下 全
AB DE ( 1 ). ∴ BC EF AB DE ( 2). AC DF (3). BC EF AC DF
=
=
（D） ∵ l1∥l 2∥l 3 A
y
B O A
x
y C2(4，4)
2 5
B
5
5 2 5
C1(5，2) x
2
O
1A
补充练习：
• 1、已知：平行四边形ABCD，E是 BA延长线上一点，CE与AD、BD 2 交于G、F，求证： CF GF×EF
E A G F B D
C
2 、矩形 ABCD 中， AB ＝ 4 ， BC ＝ 6 ， M 是 BC 的中 点，DE⊥AM，E是垂足。求DE的长。
A D E
B
F
C 如图(1)
2:已知,如图,梯形ABCD中,AD∥BC, ∠A=900,对角线BD⊥CD
A
D
求证:(1) △ABD∽△DCB; (2)BD2=AD· BC
B C
证明:(1) ∵AD∥BC, ∴ ∠ADB= ∠DBC ∵ ∠A=∠BDC= 90°, ∴ △ABD∽△DCB
(2) ∵ △ABD∽△DCB ∴AD = BD BD BC 即:BD2=AD· BC
③如果一个三角形的三条边分别与另 一个三角形的三条边对应成比例，那么这 两个三角形相似．
A
A
B
C
B
C
AB AC BC ABC ∽ ABC AB AC BC
2、性质
相似三角形的对应边成比例， 对应角相等；
应用举例
例1 判断 ①所有的等腰三角形都相似． (×) ②所有的直角三角形都相似． (×)
.
A C E
图1
B
D
D′
二、（兄弟相似或X型）
A’ A C E D D’ E’ B C’ B’
小结：相似的形式三 特殊图形（双垂直型）
A
B
∵∠BAC=90°, ∴
D
C
AD BC
△ ABC ∽ △ DBA ∽ △ DAC
1、 如图1,已知:DE∥BC,EF ∥AB,则图中共 3 对三角形相似. 有_____
P
B
E
N
C
80 x x 80 120
x=48
Q
D M
答：正方形零件的边长是45毫米。
5、在方格纸中，每个小格的顶点称为格点， 以格点的连线为边的三角形称为格点三角 形，如图所示的5×5的方格纸中，如果想 作格点ΔABC与ΔOAB相似(相似比不能为1)， 则C点坐标为____________．
B C
图2
E F
∴(1).
AB DE BC EF
上 ① 下 上 ② 全 下 ③ 全
=
上 下
AB DE ( 2). AC DF BC EF (3). AC DF
上 = 全
下 = 全
D
A
B(E)
∵
l1∥l 2∥l 3
上 ① 下
上 ② 全 下 ③ 全 = 上 下 上 = 全 = 下 全
AB DE ∴(1). BC EF AB DE ( 2). AC DF BC EF (3). AC DF
③所有的等边三角形都相似．
(√) ④所有的等腰直角三角形都相似． (√)
小结：相似的形式一
（1）如图1，当
DE∥BC
时，△ABC∽ △ADE
（2）如图2，当 ∠AED=∠B 时， △ABC∽ △AED。 （3）如图3，当 ∠ACD=∠B 时， △ABC∽ △ACD。
A
D E C
A D B
图2
B E C B
A A ABC ∽ ABC B B
B
C
②如果一个三角形的两条边分别与另 一个三角形的两条边对应成比例，并且夹 角相等，那么这两个三角形相似．
A
A
B
C
B
C
AB AC AB AC ABC ∽ ABC A A