12讲：一次函数

一次函数
【课前热身】
1.(2010重庆)小华的爷爷每天坚持体育锻炼，某天他慢步到离家较远的绿岛公园，打了一会
儿太极拳后跑步回家。

下面能反映当天小华的爷爷离家的距离y 与时间x 的函数关系的大致图象是（ ）
2.如图，一次函数y ax b =+的图象经过A 、B 两点，
则关于x 的不等式0ax b +<的解集是 ． 3. 一次函数的图象经过点（1，2），且y 随x 的增大而减小，则这个函数的解析式可以是 .（任写出一个符合题意即可） 4. 如果直线y ax b =+经过第一、二、三象限,那么ab ____0．( 填“>”、“<”、“=”) 【考纲解读】
1. 理解函数的概念，会确定函数自变量的取值范围
2. 理解一次函数的概念和性质，会熟练地画出一次函数的图像
3. 会用待定系数法确定一次函数的解析式，并解决有关的实际问题
4. 会通过函数图象获取信息，利用函数图象解决简单的实际问题
5. 会运用一次函数与一元一次方程、不等式、二元一次方程组之间的关系解决问题 【考点剖析】
1.常量、变量、函数的定义
一般地，设在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 2．正比例函数的一般形式是(0)y kx k =≠，
3. 一次函数：一次函数的一般形式是(0)y kx b k =+≠. 一次函数y kx b =+的图象是经过(0,)b 和(,0)b
k
-两点的一条直线. 一次函数y kx b =+的图象与性质：
k ＞0b ＞0
k ＞0 b ＜0
k ＜0 b ＞0
a
b +
4. 求一次函数的解析式的方法是待定系数法，其基本步骤是：
（1）设出函数表达式的一般形式 （2）把已知条件代入函数表达式中，得到关于待定系数的方程或方程组 （3）解方程组求出待定系数的值，从而写出函数的表达式 5.一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系
（1）利用一次函数的图像可以求解不等式的解集，求二元一次方程组的解 （2）利用方程组求一次函数的表达式，利用不等式解决一次函数应用题 6.一次函数的应用
一次函数的应用题主要有：
（1） 利用一次函数的图像寻找实际问题中的变化规律解题
（2） 利用两个一次函数的图像解决方案选择问题或把问题转化为不等式加以解决 【典例精析】【针对性练习】
例1 已知一次函数物图象经过A(-2,-3)，B(1,3)两点.
⑴ 求这个一次函数的解析式.
⑵ 试判断点P(-1,1)是否在这个一次函数的图象上. ⑶ 求此函数与x 轴、y 轴围成的三角形的面积.
练1.1.一次函数1y kx b =+与2y x a =+的图象 如图，则下列结论：①0k <；②0a >；③当3x < 时，12y y <中，正确的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
练1.2一次函数(1)5y m x =++中，y 的值随x 的增小而减小，则m 的取值范围是（ ）
A ．1m >-
B ． 1m <-
C ．1m =-
D ．1m <
练1.3 如图，一次函数y ax b =+的图象经过A 、B 两点，
则关于x 的不等式0ax b +<的解集是 ．
例2（2010年眉山）某洗衣机在洗涤衣服时经历了注水、清洗、排水三个连续过程（工作前
洗衣机内无水），在这三个过程中洗衣机内水量y （升）与时间x （分）之间的函数关系
练2.1弹簧的长度与所挂物体的质量的关系是一次函数，如图 所示，则不挂物体时弹簧的长度是 .
练2.2如图所示的折线ABC 为某地出租汽车收费y(元)与乘坐路程x(千米)之间 的函数关系式图象，当x ≥3千米时，该函数的解析式为 ， 乘坐2千米时，车费为 元，乘坐8千米时，车费为 元. 练2.3 如图所示，表示的是某航空公司托运行李的费用y （元） 与托运行李的质量x(千克)的关系，由图中可知行李的质量 只要不超过_________千克，就可以免费托运．
例3某农户种植一种经济作物，总用水量y （米3）与种植时间x （天）
之间的函数关系式如图所示． ⑴ 第20天的总用水量为多少米3？
⑵ 当x 20时，求y 与x 之间的函数关系式．
⑶ 种植时间为多少天时，总用水量达到7000米3？
练3.1 如图，在边长为2的正方形ABCD 的一边BC 上，一点P 从B 点运动到C 点，设BP ＝x ，
四边形APCD 的面积为y.
⑴ 写出y 与x 之间的函数关系式及x 的取值范围； ⑵ 说明是否存在点P ，使四边形APCD 的面积为1.5？
练3.2 某市的A 县和B 县春季育苗,急需化肥分别为90吨和60吨, 该市的C 县和D 县分别储存化肥100吨和50吨,全部调配给A 县和B 县.已知C 、D 两县运化肥到A 、B 两县的运费(元/吨)如下表所示：
(1) 设C 县运到A 县的化肥为x 吨,求总费W(元)与x(吨)的函数关系式,并写出自变量
x 的取值范围；(2) 求最低总运费,并说明总运费最低时的运送方案.
天)
练3.3（2010年益阳市）我们知道，海拔高度每上升1千米，温度下降6℃.某时刻，益阳地面温度为20℃，设高出地面x千米处的温度为y℃.
(1)写出y与x之间的函数关系式；
(2)已知益阳碧云峰高出地面约500米，求这时山顶的温度大约是多少℃？
(3)此刻，有一架飞机飞过益阳上空，若机舱内仪表显示飞机外面的温度为-34℃，求飞
机离地面的高度为多少千米?
例4（2010年浙江台州市）A，B两城相距600千米，甲、乙两车同时从A城
出发驶向B城，甲车到达B城后立即返回．如图是它们离A城的距离
y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数图象．
（1）求甲车行驶过程中y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
练4（2010年宁波市）小聪和小明沿同一条路同时从学校出发到宁波天一阁查阅资料，学校与天一阁的路程是4千米，小聪骑自行车，小明步行，当小聪从原路回到学校时，小明刚好到达天一阁，图中折线O－A－B－C和线段OD分别表示两人离学校的路程s（千米）与
所经过的时间t（分钟）之间的函数关系，请根据图象回答下列问题：
（1）小聪在天一阁查阅资料的时间为________分钟，小聪返回学校的速度为_______千米/分钟.
（2）请你求出小明离开学校的路程s（千米）与所经过的时间t（分钟）之间的函数关系;
（3）当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是多少千米？
练4.2（2010江苏泰州）保护生态环境，建设绿色社会已经从理念变为人们的行动．某化工厂2009年1 月的利润为200万元．设2009年1 月为第1个月，第x个月的利润为y 万元．由于排污超标，该厂决定从2009年1 月底起适当限产，并投入资金进行治污改造，导致月利润明显下降，从1月到5月，y与x成反比例．到5月底，治污改造工程顺利完工，从这时起，该厂每月的利润比前一个月增加20万元（如图）．
⑴分别求该化工厂治污期间及治污改造工程完工后y与x之间对应的函数关系式．
⑵治污改造工程完工后经过几个月，该厂月利润才能达到2009年1月的水平？
⑶当月利润少于100万元时为该厂资金紧张期，问该厂资金紧张期共有几个月？
【复习小结】
一次函数是中考必考内容之一，题型多样，形式灵活，综合性强，一般以填空、选择、解答题以及综合题的形式考查函数自变量的取值范围、一次函数的图像和性质、用一次函数解决实际问题.
【达标练习】 一次函数中考真题集锦
1.（2010东阳）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是（ ）
2.(2010重庆市)小华的爷爷每天坚持体育锻炼，某天他慢步到离家较远的绿岛公园，打了一
会儿太极拳后跑步回家。

下面能反映当天小华的爷爷离家的距离y 与时间x 的函数关系的大致图象是（）
3.（2008天津）关于函数21y x =-+，下列结论正确的是（ ） A ．图像必经过点（-2,1） B.图像经过第一、二、三象限 C ．当1
2
x >
时，0y < D. y 随x 的增大而增大 4．（2009陕西）若正比例函数的图像经过点(1,2)-，则这个图像必经过点（ ） A. (1,2) B. (1,2)-- C. (2,1)- D. (1,2)-
5．（2010泰州）下列函数中，y 随x 增大而增大的是（ ）
A.x y 3-
= B. 5+-=x y C. 12y x = D.)0(2
12
<=x x y 6.(2010年浙江省绍兴市)一辆汽车和一辆摩托车分别从A ,B 两地去同一城市,它们离A
地的路程随时间变化的图象如图所示.则下列结论错误．．的是( ) A.摩托车比汽车晚到1 h B. A ,B 两地的路程为20 km C .摩托车的速度为45 km/h D.汽车的速度为60 km/h
7．(2010聊城)如图，过点Q （0，3.5
图象与正比例函数y ＝
2x 的图象相交于点P
，
能表示这个一次函 数图象的方程是（ ） A ．3x －2y ＋3.5＝0 B ．3x －2y －3.5＝0 C ．3x －2y ＋7＝0 D ．3x ＋2y －7＝0
8.（2009日照）如图，点A 的坐标为(1,0)-，点B 在直线y x =上运动，当线段AB 最短时，
点B 的坐标是（ ） A ．(0,0) B. (
,22- C. 11(,)22
-- D. (22--
(A) (B) (C) (D) x
第7题
9.（2010晋江）已知一次函数b kx y +=的图象交y 轴于正半轴，且y 随x 的增大而减小，请写出符合上述条件的一个解析式．．．．．： . 10.(2010泉州) 将直线x y 3
1
=向下平移3个单位所得直线的解析式为___________________.
11.（2010年日照市）一次函数y =
3
4
x +4分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，在x 使△ABC 为等腰三角形，则这样的的点C 最多．．
有 个。

12.（2010年山东省济南市）已知一次函数y kx b =+的图象如图所示，当1x <时，y 值范围是 ．
13.(2010绍兴)在平面直角坐标系中,一次函数的图象与坐标轴围成的三角形, 叫做此一次函数的坐标三角形.例如，图中的一次函数的图象与x ,y 轴分别交于点A ,B ,则△OAB 为此函数的坐标三角形. （1）求函数y ＝4
3
-
x ＋3的坐标三角形的三条边长； 2）若函数y ＝4
3
-x ＋b （b 为常数）的坐标三角形周长为16,求此三角形面积.
14. (2010衢州)小刚上午7：30从家里出发步行上学，途经少年宫时走了1200步，用时10分钟，到达学校的时间是7：55．为了估测路程等有关数据，小刚特意在学校的田径跑道上，按上学的步行速度，走完100米用了150步．
(1) 小刚上学步行的平均速度是多少米/分？小刚家和少年宫之间、少年宫和学校之间
的路程分别是多少米？
(2) 下午4：00，小刚从学校出发，以45米/分的速度行走，按上学时的原路回家，在
未到少年宫300米处与同伴玩了半小时后，赶紧以110米/分的速度回家，中途没有再停留．问： ① 小刚到家的时间是下午几时？
② 小刚回家过程中，离家的路程s (米)与时间t (分)之间的函数关系如图，请写出点B 的坐标，并求出线段CD 所在直线的函数解析式．
)
15.(2010安徽)甲、乙两辆汽车沿同一路线赶赴距出发地480千米的目的地，乙车比甲车晚出发2小时（从甲车出发时开始计时）．图中折线OABC 、线段DE 分别表示甲、乙两车所行路程y （千米）与时间x （小时）之间的函数关系对应的图象（线段AB 表示甲出发不足2小时因故停车检修）．请根据图象所提供的信息，解决如下问题： （1）求乙车所行路程y 与时间x 的函数关系式；
（2）求两车在途中第二次相遇时，它们距出发地的路程；
（3）乙车出发多长时间，两车在途中第一次相遇？（写出解题过程）
【近三年临沂中考】 1（2010临沂）24．（本小题满分10分）某中学九年级甲、乙两班商定举行一次远足活动，A 、B 两地相距10千米，甲班从A 地出发匀速步行到B 地，乙班从B 地出发匀速步行到A 地．两班同时出发，相向而行．设步行时间为x 小时，甲、乙两班离A 地的距离分别为y 1、y 2千米，y 1、y 2与x 的函数关系图象如图所示．根据图象解答下列问题：
（1）直接写出，y 1、y 2与x 的函数关系式；
（2）求甲、乙两班学生出发后，几小时相遇？相遇时乙班离A 地多少千米？ （3）甲、乙两班首次相距4千米时所用时间是多少小时？
O 2 2.5 x /小时
y 1 y 2 10
y /千米 第24题图
2（2009临沂）24．（本小题满分10分）
在全市中学运动会800m比赛中，甲乙两名运动员同时起跑，刚跑出200m后，甲不慎摔倒，他又迅速地爬起来继续投入比赛，并取得了优异的成绩．图中分别表示甲、乙两名运动员所跑的路程y（m）与比赛时间x（s）之间的关系，根据图像解答下列问题：
（1）甲摔倒前，________的速度快（填甲或乙）；
（2）甲再次投入比赛后，在距离终点多远处追上乙？
（第24题图）
3.（2008临沂）24．（本小题满分10分）
某商场欲购进A、B两种品牌的饮料500箱，此两种饮料每箱的进价和售价如下表所示。

设购进A种饮料x箱，且所购进的两种饮料能全部卖出，获得的总利润为y元。

⑴求y关于x的函数关系式？
⑵如果购进两种饮料的总费用不超过20000元，那么该商场如何进货才能获利最多？并求出最大利润。