12讲：一次函数

一次函数

【课前热身】

1.(2010重庆)小华的爷爷每天坚持体育锻炼，某天他慢步到离家较远的绿岛公园，打了一会

儿太极拳后跑步回家。下面能反映当天小华的爷爷离家的距离y 与时间x 的函数关系的大致图象是（ ）

2.如图，一次函数y ax b =+的图象经过A 、B 两点，

则关于x 的不等式0ax b +<的解集是 ． 3. 一次函数的图象经过点（1，2），且y 随x 的增大而减小，则这个函数的解析式可以是 .（任写出一个符合题意即可） 4. 如果直线y ax b =+经过第一、二、三象限,那么ab ____0．( 填“>”、“<”、“=”) 【考纲解读】

1. 理解函数的概念，会确定函数自变量的取值范围

2. 理解一次函数的概念和性质，会熟练地画出一次函数的图像

3. 会用待定系数法确定一次函数的解析式，并解决有关的实际问题

4. 会通过函数图象获取信息，利用函数图象解决简单的实际问题

5. 会运用一次函数与一元一次方程、不等式、二元一次方程组之间的关系解决问题 【考点剖析】

1.常量、变量、函数的定义

一般地，设在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 2．正比例函数的一般形式是(0)y kx k =≠，

3. 一次函数：一次函数的一般形式是(0)y kx b k =+≠. 一次函数y kx b =+的图象是经过(0,)b 和(,0)b

k

-两点的一条直线. 一次函数y kx b =+的图象与性质：

k ＞0b ＞0

k ＞0 b ＜0

k ＜0 b ＞0

a

b +

4. 求一次函数的解析式的方法是待定系数法，其基本步骤是：

（1）设出函数表达式的一般形式 （2）把已知条件代入函数表达式中，得到关于待定系数的方程或方程组 （3）解方程组求出待定系数的值，从而写出函数的表达式 5.一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系

（1）利用一次函数的图像可以求解不等式的解集，求二元一次方程组的解 （2）利用方程组求一次函数的表达式，利用不等式解决一次函数应用题 6.一次函数的应用

一次函数的应用题主要有：

（1） 利用一次函数的图像寻找实际问题中的变化规律解题

（2） 利用两个一次函数的图像解决方案选择问题或把问题转化为不等式加以解决 【典例精析】【针对性练习】

例1 已知一次函数物图象经过A(-2,-3)，B(1,3)两点.

⑴ 求这个一次函数的解析式.

⑵ 试判断点P(-1,1)是否在这个一次函数的图象上. ⑶ 求此函数与x 轴、y 轴围成的三角形的面积.

练1.1.一次函数1y kx b =+与2y x a =+的图象 如图，则下列结论：①0k <；②0a >；③当3x < 时，12y y <中，正确的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3

练1.2一次函数(1)5y m x =++中，y 的值随x 的增小而减小，则m 的取值范围是（ ）

A ．1m >-

B ． 1m <-

C ．1m =-

D ．1m <

练1.3 如图，一次函数y ax b =+的图象经过A 、B 两点，

则关于x 的不等式0ax b +<的解集是 ．

例2（2010年眉山）某洗衣机在洗涤衣服时经历了注水、清洗、排水三个连续过程（工作前

洗衣机内无水），在这三个过程中洗衣机内水量y （升）与时间x （分）之间的函数关系

练2.1弹簧的长度与所挂物体的质量的关系是一次函数，如图 所示，则不挂物体时弹簧的长度是 .

练2.2如图所示的折线ABC 为某地出租汽车收费y(元)与乘坐路程x(千米)之间 的函数关系式图象，当x ≥3千米时，该函数的解析式为 ， 乘坐2千米时，车费为 元，乘坐8千米时，车费为 元. 练2.3 如图所示，表示的是某航空公司托运行李的费用y （元） 与托运行李的质量x(千克)的关系，由图中可知行李的质量 只要不超过_________千克，就可以免费托运．

例3某农户种植一种经济作物，总用水量y （米3）与种植时间x （天）

之间的函数关系式如图所示． ⑴ 第20天的总用水量为多少米3？

⑵ 当x 20时，求y 与x 之间的函数关系式．

⑶ 种植时间为多少天时，总用水量达到7000米3？

练3.1 如图，在边长为2的正方形ABCD 的一边BC 上，一点P 从B 点运动到C 点，设BP ＝x ，

四边形APCD 的面积为y.

⑴ 写出y 与x 之间的函数关系式及x 的取值范围； ⑵ 说明是否存在点P ，使四边形APCD 的面积为1.5？

练3.2 某市的A 县和B 县春季育苗,急需化肥分别为90吨和60吨, 该市的C 县和D 县分别储存化肥100吨和50吨,全部调配给A 县和B 县.已知C 、D 两县运化肥到A 、B 两县的运费(元/吨)如下表所示：

(1) 设C 县运到A 县的化肥为x 吨,求总费W(元)与x(吨)的函数关系式,并写出自变量

x 的取值范围；(2) 求最低总运费,并说明总运费最低时的运送方案.

天)

练3.3（2010年益阳市）我们知道，海拔高度每上升1千米，温度下降6℃.某时刻，益阳地面温度为20℃，设高出地面x千米处的温度为y℃.

(1)写出y与x之间的函数关系式；

(2)已知益阳碧云峰高出地面约500米，求这时山顶的温度大约是多少℃？

(3)此刻，有一架飞机飞过益阳上空，若机舱内仪表显示飞机外面的温度为-34℃，求飞

机离地面的高度为多少千米?

例4（2010年浙江台州市）A，B两城相距600千米，甲、乙两车同时从A城

出发驶向B城，甲车到达B城后立即返回．如图是它们离A城的距离

y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数图象．

（1）求甲车行驶过程中y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；

练4（2010年宁波市）小聪和小明沿同一条路同时从学校出发到宁波天一阁查阅资料，学校与天一阁的路程是4千米，小聪骑自行车，小明步行，当小聪从原路回到学校时，小明刚好到达天一阁，图中折线O－A－B－C和线段OD分别表示两人离学校的路程s（千米）与

所经过的时间t（分钟）之间的函数关系，请根据图象回答下列问题：