数字图像处理数学形态学及其应用

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图9.1 数学形态学的方法
输入图像
移位、交、并等集合运算
输出图像
结构元素
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• 根据探测研究图像的不同结构特点，结构元素可携带形态、 大小、灰度、色度等信息。
• 不同点的集合形成具有不同性质的结构元素。由于不同的 结构元素可以用来检测图像不同侧面的特征，因此设计符 合人的视觉特性的结构元素是分析图像的重要步骤。
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用结构元素g对输入图像f(x, y)进行灰值膨胀
– 一般设集合A为图像集合，集合B为结构元素， 数学形态学运算是用B对A进行操作。
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9.2.1 二值腐蚀
集合A（输入图像）被集合B（结构元素）腐蚀:
AB {x | (B) A} x
d
d
(9.3)
d
A
d/4
d/4
B
AB
d/8
d/8
图9.2 腐蚀示意图
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9.2.2 二值膨胀
• 腐蚀运算的对偶运算，可以直接定义，也可通 过对补集的腐蚀来定义，即以AC表示集合A的 补集， 表示B关于坐标原点的反射。
• 集合A被集合B膨胀表示为：
A B [ ACB]C
也可表示为 A B {x | (B)x A}
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图9.3 膨胀示意图
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腐蚀和膨胀操作的直观解释
• 在多尺度形态学分析中，结构元素的大小 可以变化，但结构元素的尺寸一般地要明 显小于目标图像的尺寸。
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9.2 二值形态学
• 二值图像是数字图像的重要子集，指灰度值
只取两种值的图像。
– 两个灰度值可取为0和1。
二值 分割：
• 二值形态学处理算法都是以膨胀,腐蚀这两种
最基本的运算为基础的。
• 最基本的形态学运算有：腐蚀，膨胀，开启，闭合。
• 用这些算子及其组合来进行图像形状和结构的分析及处理， 可以解决
– 抑制噪声、特征提取、边缘检测、形状识别、纹理分
析、图像恢复与重建等方面的问题。
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数学形态学的特性：
• （1）反映的是一幅图像中像素点间的逻辑 关系，而不是简单的数值关系。
– 在灰值形态学中这两种运算对应于极大和极小运算。
• 可利用填充、极大/极小概念直接定义灰值运算。
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上一页Biblioteka • 用结构元素g对输入图像f (x, y)进行灰值腐蚀记为 用一维函数对其进行简化，定义为
由于结构元素必须在信号的下方，故空间平移结 构元素的定义域必为信号定义域的子集，否则腐蚀 在该点没有定义。
结构元素从信号的下面对信号产生滤波作用，这与结
构元素从内部对二值图像滤波的情况是相似的。
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图9.6 灰值腐蚀运算
y 3
2
1
0
1 2 3 4 5 6 7x
(a)
f
f
(s)
£-b( s
£ x) «
f (s) £-b(s £x) «
y 3
2
1 b £-2 £-1 0 1 2 3 x
(b) f
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开运算的定义
• 假设A仍为输入图像，B为结构元素，利用B 对A作开运算，用符号A○B表示，其定义为：
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图9.4 利用圆盘作开运算
•
A
AB
AOB
AB
AB B
B
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9.2.4 二值闭运算
闭运算是开运算的对偶运算，定义为先作膨 胀后作腐蚀。
开、闭运算也互为对偶运算
第9章 数学形态学及其应用
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9.1 形态学简介
• （1）运算由集合运算（如并、交、补等）来定义； • （2）所有的图像都必须以合理的方式转换为集合。 • 形态学算子的性能主要以几何方式进行刻画，更
适合视觉信息的处理和分析。 • 基本思想：
–利用结构元素作为“探针”在图像中不断移动，在此 过程中收集图像的信息、分析图像各部分间的相互关 系，从而了解图像的结构特征。
B’ A
B
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• 2.移动和反射
• 设A是一幅数字图像，a是A的元素；b是一个点，那么定 义A移动到b后的结果为
•
(A)b＝{(a)b| a∈A}
（9.1）
• 一幅数字图像A关于原点的反射定义为
•
AV＝{a| -a∈A}
（9.2）
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• 3. 结构元素
• 根据不同的图像分析目的，常用的结构元 素有方形、扁平形、圆形等。
O
s¡ä
s¡å
s
O
fb
s
(c)
(d)
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9.3.2 灰值膨胀
• 灰值膨胀可用灰值腐蚀的对偶运算来定义。 • 采用求极大值的方法，即在位于信号下方的条件
下，求上推结构所能达到的最大值。 • 利用结构元素的反射，求将信号限制在结构元素
的定义域内时，上推结构元素使其超过信号时的 最小值来定义。
• 在灰度图像形态处理中，输入和输出的图 像都是灰度级形式的
– 输入和输出像素值是在最低灰度值到最高灰度 值之间。
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9.3.1 灰值腐蚀
• 形态学源于填充的概念
– 灰值形态学处理的对象是图像信号波形的拓扑特性， 结构元素也是一个信号。
• 二值形态学中，集合的交、并运算起到关键作用
• 腐蚀是对图像内部作滤波处理，而膨胀是利用 结构元素对图像补集进行填充，因而它是对图 像外部作滤波处理。
• 腐蚀具有收缩图像的作用，膨胀具有扩大图像 的作用。
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9.2.3 二值开运算
• 有两种二次运算起着非常重要的作用
– 开运算 – 闭运算（开运算的对偶运算） 。
• 从结构元素填充的角度看，它们具有更为 直观的几何形式。
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图9.5 利用圆盘作闭运算
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开运算具有磨光图像外边界的作用 即去除毛刺； 闭运算具有磨光图像内边界的作用 即填充破损。
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二值形态学应用
一、形态学滤波器
(AB) • B
二、图像骨架提取
VC++
MATLAB
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9.3 灰值形态学
• （2）是一种非线性的图像处理方法，并且 具有不可逆性(后边具体解释)。
• （3）可以并行实现(串行和并行的区别)。 • （4）可以用来描述和定义图像的各种集合
参数和特征。
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9.1.2 几个基本概念
•1.击中与击不中 •设有两幅图像A和B，如果A∩B≠Ф（空集），那么称B击中 （ hit ） A ， 记 为 B↑A ， ； 否 则 ， 如 果 A∩B=Ф ， 称 B 击 不 中 （miss）A。