数学的魅力_8. 一元n次方程求根公式

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一元二次方程求根方法

一元二次方程求根方法一元二次方程是高中数学中的重要内容，求解一元二次方程的根是我们学习的基础。

本文将介绍一元二次方程的概念、求解方法以及求根的具体步骤。

一、一元二次方程的概念一元二次方程是形如 ax^2 + bx + c = 0 的方程，其中 a、b、c 分别为已知系数（且a ≠ 0），x 为未知数。

这个方程的解即为方程的根。

二、求解一元二次方程的方法求解一元二次方程的方法有多种，常用的有因式分解法、配方法和求根公式法。

1. 因式分解法当一元二次方程可以进行因式分解时，我们可以通过因式分解的方式求解方程的根。

具体步骤如下：Step 1：将方程写成 (px + q)(rx + s) = 0 的形式，其中 p、q、r、s 为常数。

Step 2：得到两个一次方程 px + q = 0 和 rx + s = 0。

Step 3：分别求解这两个一次方程，得到 x 的值。

2. 配方法当一元二次方程无法通过因式分解时，我们可以通过配方法求解方程的根。

具体步骤如下：Step 1：将方程中二次项的系数变为 1，即将方程写成 x^2 + bx + c = 0 的形式。

Step 2：在方程两边同时加上一个适当的常数 d，使得方程可以进行配方。

Step 3：根据配方公式 (x + d)^2 = x^2 + 2dx + d^2，将方程转化为一个完全平方的形式。

Step 4：利用完全平方公式将方程进行化简，并求解得到 x 的值。

3. 求根公式法一元二次方程的求根公式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。

具体步骤如下：Step 1：将方程写成标准形式 ax^2 + bx + c = 0。

Step 2：根据求根公式，将 a、b、c 的值代入公式中，计算得到 x 的值。

三、一元二次方程求根步骤示例以方程 2x^2 - 5x - 3 = 0 为例，演示一元二次方程求根的具体步骤。

Step 1：将方程写成标准形式，即 2x^2 - 5x - 3 = 0。

1元二次求根公式

1元二次求根公式
嘿，朋友们！今天咱来聊聊超重要的一元二次求根公式呀！
一元二次方程的求根公式就是：$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。

这就好像是一把神奇的钥匙，能帮我们打开一元二次方程的秘密之门哟！
比如说方程$x^2-5x+6=0$，这里$a=1$，$b=-5$，$c=6$。

把这些值带进求根公式里，不就可以求出方程的根啦！哇塞，是不是很厉害呀！
可以想象一下，这个求根公式就像是一个超级英雄，不管遇到多么复杂的一元二次方程大坏蛋，都能轻松把它搞定呢！
所以呀，大家一定要好好记住这个超有用的一元二次求根公式哟，它能在很多时候帮我们解决大问题呢！别小看它，它可牛啦！。

高中数学公式总结大全最全面、最易懂

高中数学公式总结大全一元二次方程•解的一般形式：( ax^2 + bx + c = 0 )•解的公式：[ x = ]一元一次方程•解的一般形式：( ax + b = 0 )•解的公式：( x = - )二元一次方程•解的一般形式：( ax + by = c )•解的公式：( x = , y = )不等式•一元一次不等式：( ax > b ) 的解为 ( x > )•二元一次不等式：( ax + by > c ) 的解为 ( x > )（a, b同号）或 ( x < )（a, b异号）•通分公式：( = )•约分公式：( = )（a, b, c, d互质）三角形•面积公式：( S = abC )•余弦定理：( a^2 = b^2 + c^2 - 2bcA )•正弦定理：( = = )•圆的标准方程：( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 )•圆的周长公式：( C = 2r )•圆的面积公式：( S = r^2 )解析几何•点与直线：( (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2 )•直线与直线：( a_1x + b_1y + c_1 = 0, a_2x + b_2y + c_2 = 0 ) 的交点为( x = , y = )三角函数正弦函数•定义：( = )•周期：( 2)•奇偶性：奇函数余弦函数•定义：( = )•周期：( 2)•奇偶性：偶函数正切函数•定义：( = )•周期：( )•奇偶性：奇函数概率与统计•古典概率：( P(A) = )•条件概率：( P(A|B) = )•独立事件的概率：( P(A B) = P(A)P(B) )•平均数：( {x} = )•中位数：将一组数据从小到大排序，若数据个数为奇数，则中位数为中间的那个数；若数据个数为偶数，则中位数为中间两个数的平均数。

•众数：一组数据中出现次数最多的数。

•方差：( s^2 = )•标准差：( s = )立体几何•圆锥体积：( V = r^2h )•圆锥表面积：( S = rl + r^2 )•棱柱体积：( V = Bh )•棱柱表面积：( S = 2B + 2h AP )•球体体积：( V = r^3 )•球体表面积：( S = 4r^2 )等差数列•通项公式：( a_n = a_1 + (n-1)d )•求和公式：( S_n = (a_1 + a_n) )等比数列•通项公式：( a_n = a_1 q^{n-1} )•求和公式：( S_n = )高中数学公式总结大全涵盖了代数、几何、三角函数、概率与统计、立体几何和数列等多个领域的知识点。

一元n次方程的解法

分类号O151.1编号2012010634毕业论文题目学院姓名专业学号研究类型指导教师提交日期原创性声明本人郑重声明：本人所呈交的论文是在指导教师的指导下独立进行研究所取得的成果。

学位论文中凡是引用他人已经发表或未经发表的成果、数据、观点等均已明确注明出处。

除文中已经注明引用的内容外，不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。

本声明的法律责任由本人承担。

论文作者签名：年月日论文指导教师签名：一元n次方程的解法摘要:讨论了几类特殊五次以上的代数方程的根式解,并且介绍了方程的一种新的求根方法,通过求其相应矩阵的特征值来解方程.关键字: 高次方程;根;倒数方程;二项方程;特征值Special-ary n-equation SolutionAbstract This paper discussed the radical solution of algebraic equations about some special classes of more than five times, and introduced a new equation of roots, by solving the corresponding matrix eigenvalue to solve equations.Keywords higher degree equation, root, reciprocal equation, two equations, eigenvalue目录0引言 .............................................................. 1 1二,三,四次方程根的情况: . (1)1.1二次方程求根公式 ............................................. 1 2.1三次方程求根公式 ............................................. 2 3.1.四次方程求根公式 ............................................ 3 2 几类特殊高次方程的解法.. (4)1.2 解方程0=-A x n............................................. 4 2.2解方程02=++c bu au n n ........................................ 4 3.2 解方程0221=++++++--a bx cx cx bx ax n n n ......................5 4.2求解方程()101n-10n n n f x a x a x a x a -=++++=()00≠a.............. 6 5.2求解方程0012211=+++++--a x a x a x a x a n n n n ()0≠n a ............. 7 3 利用a Mathematic 软件解方程 . (9)1.3求解步骤: .................................................... 92.3例题展示..................................................... 9 4 小结............................................................. 13 参考文献........................................................... 14 致谢 (15)一元n 次方程的解法0引言方程根式解得问题就是如何把方程的根用公式表示出来.二,三,四次方程的根的表达式以及根与系数之间的关系都已经很成熟.但求五次及更高次方程的根式解法,数学家们经历了一个非常艰难的过程.第一个证明“高于四次方程不能用根号求解”的是挪威数学家阿贝尔.对于一般的高于五次的方程没有一般的根式解法.因此,数学家们转而研究特殊的高次方程,他们能用方程系数的代数式来表示.代数学基本定理[]1 每个次数1≥的复系数多项式在复数域中有一根. 定义1 形如0)(122110=+++++=---n n n n n a x a x a x a x a x f 的方程称为在一个数域S 上的一个未知数的n 次代数方程，)(x f 称为一元n 次多项式，式中n 为正整数,0a ,1a ,2a ,...,1-n a ,n a 都是属于数域S 的常数,称为方程的系数.定义2 若存在一个常数C,使0)(=c f ,则称C 为多项式)(x f 或方程0)(=x f 的根.1 二,三,四次方程根的情况: 1.1 二次方程求根公式1.1.1 一般形式 02=++c bx ax )0(≠a 1.1.2 根的表达式 aacb b x 2422,1-±-=1.1.3 根与系数的关系 a b x x -=+21 a cx x =211.1.4 判别式 ac b 42-=∆当0>∆,方程有两个不相等的实根; 当0=∆,方程有两个相等的实根;当0<∆,方程有两个复根.1.2 三次方程求根公式1.2.1 一般形式023=+++d cx bx ax )0(≠a (1) 求解过程: 对(1)式除以a,并设aby x 3-=.则(1)式可以化成如下形式, 03=++q py y (2) (1),(2)式有相同的根，因此求解方程(1)的根可以转化为求解方程(2)的根. 对于方程(2)的三个根有:3323321322322⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=p q q p q q y33233222322322⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=p q q p q q y ωω33223323322322⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=p q q p q q y ωω其中 231i +-=ω,2312i --=ω. 再把321,,y y y 带入aby x 2-=解出321,,x x x . 例1 解方程0223223=++-x x x .解对方程0223223=++-x x x 两边同除以2,再设21+=y x ,方程化为,054433=++y y ,45,43=-=q p代人以上公式解得:i y i y y -=+=-=21,21,1321 因此解得：i x i x x -=+=-=1,1,21321.1.2.2 根与系数的关系a b x x x -=++321,a c x x x -=++321111, a dx x x -=3211.2.3 方程(2)的判别式3232⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆p q当0>∆时,方程有一个实根和两个复根;当0=∆时,方程有三个实根;0==q p 时,有一个三重零根;03232≠⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛p q 时,三个实根中有两个相等;当0<∆时,有三个不等的实根.1.3 四次方程求根公式1.3.1 一般形式0234=++++e dx cx bx ax (0≠a ) （3）给(3)式两边同除以a,原方程可以转化成首项系数为1的四次方程；而方程0234=++++e dx cx bx x 的四个根与下面两个方程的四个根完全相同.()()048248048248222222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+-+-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-++-+++c b y d by y x c b y b x c b y d by y x c b y b x其中y 是三次方程()()0482482223=--+-+-d b c e y e bd cy y 的任一实根. 在方程0234=++++a bx cx bx ax 中,设xx y 1+=,则原方程可化为二次方程,可解出四个根为2424,3,2,1-±=y y x , 其中a a ac b b y 28422+-±-= 若四次方程为024=++e cx ax ,则设2x y =,原方程可化为二次方程02=++e cy ay ,可解出四个根为aaec c x 2424,3,2,1-±-±=阿贝尔定理]2[ 五次以及更高次的代数方程没有一般的代数解法.由代数数基本定理可知,任何方程在复数域中至少有一根.以下我们来讨论几类特殊一元高次方程的解法.2 几类特殊高次方程的解法定义3 形如0=-A x n 的方程称为二项方程.2.1 解方程0=-A x n解题过程: 把A 写成()θθsin cos i r A +=,则方程0=-A x n 的n 个根是⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n k n i n k nr x n k πθπθ2sin 2cos ()1,,2,1-=n k几何说明: 复平面上与数()θθsin cos i r +的n 次方根对应的点是一个正n 边形的顶点,这些顶点在以原点为中心,以n r 为半径的圆上,而这个n 边形的顶点之一有辐角nθ.定义4 形如02=++c bu au n n 的方程称为三项方程,其中a,b,c,n 都不等于0,n 为整数.2.2 解方程02=++c bu au n n 解题过程: l 令x u n =,代入以上方程得02=++c bx ax ，由此解出x,则0=-x u n 是一个二项方程,从而再解出u,方程的解.例 2031124=+-u u 解令 x u =21,代入方程得 0342=+-x x ，求解此方程得 3,121==x x ,从而有112=u ,或312=u,解这两方程,得出原方程的解为31,31,1,14321-==-==u u u u .定义5 形如0221=++++++--a bx cx cx bx ax n n n 的方程称为倒数方程（其中k n x -和k x 项的系数相同）.2.3 解方程0221=++++++--a bx cx cx bx ax n n n2.3.1 方程求解过程：a) 解偶次()k n 2=倒数方程,对方程两边除以k x ,再令xx z 1+=,则原方程可化为z 的k 次方程,解此方程,得z 值,然后对应x 的值可由二次方程012=+-zx x 求出.b) 解奇次()12+=k n 倒数方程归结到解偶次倒数方程,奇数次倒数方程必有一个根为11-=x ,因此,先把原方程除以1x +化成偶数次方程再求解.例 3 求方程0251313522345=++--+x x x x x 的根.解由于11-=x 是原方程的一个根,因此把原方程除以1+x ,得到四次倒数023*******=++-+x x x x再对其除以2x ,然后合并整理得：016131222=-⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x令 x x z 1+=,则22112222-=-⎪⎭⎫⎝⎛+=+z x x x x 从而上式变为:()0163222=---z z ,即 020322=-+z z ,解得25,421=-=z z 因而有确定x 得两个方程:025201422=+-=++x x x x 和,由这两个方程解得:21,2,32,325432==--=+-=x x x x . 定义6 对于一般的方程()101n-10n n n f x a x a x a x a -=++++=()00≠a假定1,1,2,,,kk a q k n a -==则原方程可解.2.4求解方程()101n-10n n n f x a x a x a x a -=++++=()00≠a求解过程: 对于101n-10n n n a x a x a x a -++++=,利用0n n a a q =,则此方程为1100000n n n n a x a qx a q x a q --++++=方程两边同除以0a ,得 110n n n n x qx q x q --++++= (4)对(4)同乘以x q得, 10n n x q q+-=, 即11n n xq ++=,解得:x =n k n k i n k q x k ,,2,1,012sin 12cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=ππ. 去掉增根.q x =得到原方程的解.,,2,112sin 12cos n k n k i n k q x k =⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=ππ特别的,当1=q 时.,,2,112sin 12cosn k n k i n k x k =+++=ππ 例4 解方程 032168422345=+++++x x x x x .解方程的系数成等比数列,且公比2=q ,直接利用以上公式求解,由.,,2,112sin 12cos n k n k i n k q x k =⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=ππ得()ii x ii x i x ii x ii x 3135sin 35cos 23134sin 34cos 22sin cos 23132sin 32cos 2313sin 3cos 254321-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-=+=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ππππππππππ定义7对于一般的方程0012211=+++++--a x a x a x a x a n n n n ()0≠n a假定,,,2,1,1n k q a a k k==-则此方程也可解. 2.5 求解方程0012211=+++++--a x a x a x a x a n n n n ()0≠n a求解过程: 对于0012211=+++++--a x a x a x a x a n n n n ,由于n n q a a 0=,代入以下方程0012211=+++++--a x a x a x a x a n n n n得 0002201100=+++++--a qx a x q a x q a x q a n n n n 两边同除以0a ,得到012211=+++++--qx x q x q x q n n n n (5)再给(3)两边同乘以qx ,得到0223311=+++++++qx x q x q x q x q n n n n (6)()()56-得,0111=-++n n x q即()11=+n qx则 .,,2,1,0,12sin 12cos11n k n k i n k qx n =+++==+ππ.,2,1,0,12sin 12cos 1n k n k i n k q x k =⎪⎭⎫⎝⎛+++=ππ去掉增根qx 1=,则原方程的解为 .,2,1,12sin 12cos 1n k n k i n k q x k =⎪⎭⎫⎝⎛+++=ππ例 5 0124816322345=+++++x x x x x解方程的系数成等比数列,且公比2=q ,直接利用以上公式求解,由.,2,1,12sin 12cos 1n k n k i n k q x k =⎪⎭⎫⎝⎛+++=ππ可得,()()()()()ii x ii x i x ii x ii x 314135sin 35cos 21314134sin 34cos 2121sin cos 21314132sin 32cos 2131413sin 3cos 2154321-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-=+=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ππππππππππ定理2]3[设()n n n n a x a x a x x f ++++=--111 是数域P 上的任意多项式,那么方程()0=x f 的根与矩阵A 的特征根相同,其中A 的形式如下:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=-0000100000100001121n n aa a a A 证设矩阵A 对应的特征矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---+=--λλλλλ00010000100010121n n aa a a A E 则按第一列展开λλλλλ000100010001121 nn a a a a A E ---+=-- ()()()()()()()()nn n n n n n n n n n n n nn n na a a a a a a a a a a a +++++=--+--++++=----+---++-----+----+----+-λλλλλλλλλλλλλλλλ122111121221111211111100010000011000010*******0010000010100001令x =λ,以上定理得证.因此,把求方程()0=x f 的根转化为求矩阵A 的特征值的问题,关于求矩阵的特征值问题,可以用a Mathematic 软件求得.3 利用a Mathematic 软件解方程 3.1 求解步骤:第一步:写出方程所对应的矩阵A ;第二步:打开a Mathematic 软件,输入命令Eigenvalues[A]; 第三步:求得矩阵A 得特征值; 第四步:得到原方程的解.3.2 例题展示例 6 0223223=++-x x x解取⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=0011010123A求矩阵A 的特征值,打开a Mathematic 软件,输入()A s Eigenvalue 命令,运行得出结果.运行过程:原方程的解为: i x i x x -=+=-=1,1,21321例 7 求解方程0251313522345=++--+x x x x x .解取⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=0000110002501002130010213000125A求矩阵A 的特征值,打开a Mathematic 软件,输入()A s Eigenvalue 命令,运行得出结果.运行过程:即原方程的解: 32,21,1,2,3254321+-==-==--=x x x x x .例8 解方程 032168422345=+++++x x x x x .解取⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=000032100016010080010400012A求矩阵A 的特征值,打开a Mathematic 软件,输入()A s Eigenvalue 命令,运行得出结果. 运行过程:原方程的解:.31,31,31,31,254321i x i x i x i x x -=+=--=+-=-=例 9 解方程0124816322345=+++++x x x x x .解取⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=00003211000161010081001041000121A求矩阵A 的特征值,打开a Mathematic 软件,输入()A s Eigenvalue 命令,运行得出结果. 运行过程:原方程的解:()()()()ix ix i x i x x 31413141314131412154321-=+=--=+-=-=4 小结通过以上方程的求解过程可以看出,求解一个高次方程的根非常困难,利用Mathematic软件,可以简化计算过程,提高计算的准确度和效率,同时,也可以利a用aMathematic软件检验所求得方程根的正确性,因此,利用这种求解高次方程的方法给求解高次方程带来了极大地方便.参考文献:[1]王萼芳,石生明.高等代数[M].第三版.高等教育出版社:2003.7:27[2]安敏,彭亚绵,杨爱民.数学中特殊高次方程的解法研究[J].高校讲台.2007.12:134-135[3]罗芳.求解高次实系数代数方程的Excel算法[J].雁北师范学院学报.2004.20(5):60-61[4]张景晓.四类高次代数方程的升幂解法[J].聊城大学学报.2003.16(3):20-22[5]张景晓,董立华,连秀国.系数成等比数列的一元高次方程的求解[J].河北理工教学研究.2003.2:5-7[6]张景晓,连秀国,王俊青.一类实系数高次方程的求解[J].数学通报.2003.8:42-43[7]张栋恩,许晓革.高等数学实验[M].高等教育出版社.2004.7致谢:在天水师范学院的四年学习过程中,我得到了数学系各位领导,老师及班主任的悉心帮助和支持,使得我不仅学到了许多知识,也使我在大学这个社会群体中得到了很好的锻炼和发展.同时也为我顺利的走向工作岗位打下了坚实的基础.在此,谨向他们表示我衷心的感谢.本论文在选题及写作过程中得到了老师的悉心指导,老师多次询问写作进程,并为我指点迷津,帮我开拓思路,热枕鼓励.老师一丝不苟的作风,严谨治学的态度,踏踏实实的指导精神,不仅授我以论文,而且教会了我做学问的可贵的精神,使我受益终生.为此,我表示我最真心的感谢!在整个论文的写作过程中,得到了许多老师和同学的帮助,才使我的毕业论文得以顺利完成.在此对他们表示最诚挚的感谢.最后,我要特别感谢我的指导老师老师,感谢您对我毕业论文的悉心指导.我想真心地说声:老师,您辛苦了!。

一元三次方程万能求根公式

一元三次方程万能求根公式一元三次方程，听上去是不是有点吓人？其实它就像一道数学小题，咱们今天就来聊聊这个“万能求根公式”。

别担心，数学不一定得是严肃的，它也可以轻松有趣，咱们就像聊聊天一样。

想象一下你在海边捡贝壳，偶尔捡到一个特别的，嘿，就是一元三次方程！你心里想：“这玩意儿能干嘛？”其实它的世界大有可为。

这方程的形状就像个有点叛逆的孩子，写成了ax³ + bx² + cx + d = 0。

你一看就觉得，这一堆字母可不是简单的加减乘除呀。

可别急，其实它的背后藏着很多有趣的故事和小秘密。

咱们找找这个“万能求根公式”，听起来像是超能力一样，能让这复杂的方程轻松变得简单。

想象一下，拿出一把万能钥匙，哐当一下，门就开了，问题迎刃而解。

先来个大概念，咱们说的这个公式啊，通常写得有点复杂，但别被吓到。

其实就是为了找出那几个神秘的根，方程的解。

你可以把它看作是方程的好朋友，帮助它找到自己的归属。

想象一下，方程就像一个失落的小孩，根就是它的家，终于找到了可以回去的路。

说到这里，很多小伙伴可能会皱眉头：“这根到底是什么啊？”简单来说，根就是让方程等于零的那些数字。

比如说，咱们用这个公式来求解，可能会得到几个不一样的数字，嘿，这就是它的根。

就像你去找丢失的钥匙，结果翻遍了沙发底下，最后竟然在冰箱里找到了，哈哈，没想到吧？好，咱们再深入一点。

这个公式的确是有点长，像个古老的诗句，但其实它的用法不复杂。

你只需要代入你的系数 a、b、c 和 d，然后一通运算，哗啦啦，结果就出来了。

就像你跟朋友去做一顿丰盛的晚餐，准备食材、调料，然后一气呵成，最后享受美味的过程。

哎呀，光是想象都觉得美好。

很多人可能会觉得，这数学公式太高深，跟自己无缘。

其实啊，生活中到处都有数学的影子。

比如说，你在超市买菜，算算价格，或者打折的时候，看看划不划算，这不就是在做数学吗？一元三次方程也是其中之一，只不过它可能会让你感到一丝神秘感。

一元三次方程求根公式

一元三次方程求根公式一元三次方程求根公式一元三次方程是指方程的最高次数为三次的方程，一般表示为ax³+bx²+cx+d=0，其中a、b、c、d为实数且a≠0。

求解一元三次方程的根是数学中的重要问题之一，我们可以通过求根公式来解决这个问题。

一元三次方程的求解过程较为复杂，需要借助求根公式来进行计算。

根据数学原理，一元三次方程的根可以通过以下公式来求解：我们要计算一元三次方程的判别式Δ，Δ的计算公式为Δ=b²c²-4ac³-4b³d-27a²d²+18abcd。

判别式Δ的值可以帮助我们判断方程的根的情况。

当Δ>0时，方程有一个实根和两个共轭复根。

实根可以通过以下公式计算得出：x₁=(-b+((b²-3ac)^(1/2)))/(3a)。

而共轭复根可以通过以下公式计算得出：x₂=x₃=(-b-(b²-3ac)^(1/2))/(6a)+i((3(b²-3ac))^(1/2))/(6a)和x₂=x₃=(-b-(b²-3ac)^(1/2))/(6a)-i((3(b²-3ac))^(1/2))/(6a)。

当Δ=0时，方程有一个实根和一个重根。

实根可以通过以下公式计算得出：x=(-b+((b²-3ac)^(1/2)))/(3a)。

重根可以通过以下公式计算得出：x=(-b-(b²-3ac)^(1/2))/(3a)。

当Δ<0时，方程有三个不相等的实根。

实根可以通过以下公式计算得出：x₁=2√(-p/3)cos((1/3)arccos(√(-3q/2p^3))) - b/(3a)，x₂=2√(-p/3)cos((1/3)arccos(√(-3q/2p^3))-2π/3) - b/(3a)，x₃=2√(-p/3)cos((1/3)arccos(√(-3q/2p^3))+2π/3) - b/(3a)。

数学的魅力

素数在加法方面的规律：哥德巴赫猜想素数在乘法方面的规律：整数的唯一分解定理造密码
9
6．哥尼斯堡七桥问题
(“抽象”的典型，图论的起源)
10
11
12
7．庞加莱：
地球上任何时候总有一处风速为0
13
8．把5个重要常数和谐地统一在一个等式中
i
e
1 0
14
二、数学的“用处”
35
为了下面表述得清楚，我们把前面的一个结论用“反面说法”，总结为 “把两堆相等的状况留给对方，自己可以
取胜。”
然后再讨论 a、b、c 的不同情况。以其中
最小的a为“主要线索”分情况讨论。
36
（1）a ＝ 1 时，即状况为（1 , b , c）。
下面再对 b 分情况。
由于a < b < c ,即 a、b、c “前小后大”，因此
这个命题不好。
5
三角形三内角之和 = 180 度 n 边形 n 内角之和 = ？
n 边形 n 内角之和 = 180 度 × ( n – 2 )
6
n 边形 n 外角之和 = 360 度
不变量（向量组的秩；矩阵的秩）
曲边形
7
4．圆的魅力
车轮，是历史上最伟大的发明之一
圆，是平面图形中对称性最强的图形
第三节数学的魅力
1
你可能喜欢音乐，因为它有优美和谐的旋律；你可能喜欢图画，因为它从视觉上反映人和自然的美；那么，你应该更喜欢数学，因为它像音乐一样和谐，像图画一样美丽，而且它在更深的层次上，揭示自然界和人类社会内在的规律，用简洁的、漂亮的定理和公式描述世界的本质。
数学，有无穷的魅力！
2
16

一元三次方程的一般解法求根公式

一元三次方程的一般解法求根公式求解一元三次方程是数学中常见的问题，可以通过一般解法来求得方程的根公式。

一元三次方程的一般形式是ax^3 + bx^2 + cx + d = 0，其中a、b、c和d为已知系数。

下面将介绍一元三次方程的解法。

我们可以利用一元三次方程的根公式来求解。

根公式的推导过程较为复杂，这里不做详细展开，只介绍其一般形式。

一元三次方程的根公式可以表示为：x = (-b + √(b^2 - 3ac))/(3a) 或x = (-b - √(b^2 - 3ac))/(3a)其中，√表示开方，b^2 - 3ac为判别式，当判别式大于0时，方程有三个不同的实根；当判别式等于0时，方程有一个实根和一个重根；当判别式小于0时，方程有三个不同的虚根。

接下来，我们可以通过代入系数的值来计算根的具体数值。

需要注意的是，由于一元三次方程的计算较为复杂，一般需要使用计算器或计算软件进行求解。

在实际计算中，可以先计算判别式的值，然后根据判别式的值来确定方程的根的性质，最后再通过根公式来求解根的具体数值。

需要强调的是，求解一元三次方程的过程中，应该注意将方程化简为标准形式，确保系数的准确性。

此外，对于复数解，可以使用复数形式表示，其中虚部为√(-1)。

在实际应用中，可以根据具体问题的需要，选择合适的解法来求解一元三次方程。

总结起来，求解一元三次方程可以通过一般解法来求得根公式。

通过代入系数的值，计算判别式的值，来确定方程的根的性质，最后通过根公式求解根的具体数值。

求解过程中需要注意方程的标准形式和系数的准确性，以及对于复数解的处理。

通过掌握一元三次方程的解法，可以更好地应对实际问题的求解。

一元n次多项式根的展开公式及其求根算法_郑一

收稿日期:2002-08-27。

郑一,副教授,主研领域:数学应用。

一元n 次多项式根的展开公式及其求根算法郑　一(青岛建筑工程学院　青岛266520)摘　要本文获得了一元n 次复系数多项式根的展开公式,给出了求出方程的任意精确根的一个新的算法。

利用该算法,可以用求根公式得到任意精度的初始值,用一个公式可以计算出全部的根。

关键词多项式　根　展开式　算法AN EX PANS ION OF ROOTS AND AN ALGORITHMOF FINDING ROOTS OF A POLYN OMIAL OF DEGREE nZheng Yi(Qingdao Ins titute of Arc hitecture and Engi nee ring ,Qingdao 266520)A bstract In this paper ,the expansion of all roots of a polynomial of n degree with complex coefficients is obtained .One new algorithm of calcu -lating accurately any root of a algebraic equation is proved .We can use this algorithm to compute the initial value as accurately as we like .We can compute all roots of a polynomial eq uation by one formula of finding roots .Keywords Polynomial Root E xpansion Algorith m1　引　言由于矩阵特征值、微分方程等许多实际问题的求解往往归结为特征方程———一元n 次复系数多项式的求根问题。

数学的魅力_8. 一元n次方程求根公式

数学家, 最年轻的Fields 奖获得者, 第一位Abel奖获得者.
Abel:
一元五次以上的代数方程一般来说是不存在求根公式的. 什么时候存在求根公式呢?
超级天才的出现:
Évariste Galois
Évariste Galois(10.25. 1811-5. 31. 1832)
法国的天才数学家: 莫扎特的天赋, 贝多芬的激情, 拜伦的浪漫. 出生于巴黎南郊小镇, 父亲: 中学校长, 镇长. 母亲: 熟读拉丁文并精通古典文学.
1815年: 进入教会学校读中学.
1817年: 阿贝尔一生的转折点.
数学老师: 好酒如命, 脾气粗暴, 体罚致死学生被解职, 由比Abel大七岁的年青教师Holmboe代替.
Holmboe : 最大的贡献, 发掘了Abel的数学才能,
成为Abel的朋友并给予帮助.
Holmboe私下给Abel讲授高等数学, 介绍阅读 Poisson、Gauss以及Lagrange的著作, Abel很快
1789年, 攻占巴士底狱 1794年, 巴黎高师成立 1795年,
巴黎综合理工学院建校
革命狂潮曾指向科学家：
“共和国不需要科学家” “近代化学之父” 拉瓦锡
数学家, 哲学家, 孔多塞
“于断头台就义欧拉停止了计算和生命”
结果: 院士们变得畏缩, 老态龙钟
Napoléon Bonaparte(1769-1821)
628年:
印度数学家Brahmagupta给出求根公式
一元三次方程求根
中国唐朝数学家王孝通在626年前后所著的《缉古算经》中建立了25个三次多项式方程和提出三次方程实根的数值解法. 波斯数学家欧玛尔·海亚姆(1048-1123)利用圆锥截面与圆相交的方法构建了三次方程的解法. 他说明了怎样几何方法利用三角法表得到答案.

一元n次多项式根的展开公式及其求根算法_郑一

收稿日期:2002-08-27。

郑一,副教授,主研领域:数学应用。

利用该算法,可以用求根公式得到任意精度的初始值,用一个公式可以计算出全部的根。

一元二次求根公式

一元二次求根公式
一元二次方程的求根公式是一种非常重要的数学技能，它可以帮助我们解决许多有关函数、方程和不等式的问题。

它通过一组指定的数字来解决二次方程，而这些数字可以由我们给定的参数来说明。

一元二次方程的求根公式为：$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$其中，a、b、c分别为二次方程的系数，x为二次方程的根。

一元二次方程的求根公式是一种非常有用的数学技巧，可以帮助我们更好地解决一些关于数学的问题。

例如，我们可以用这种公式来求解一元二次方程的根，这样就可以快速解决问题。

同时，一元二次方程的求根公式也可以帮助我们解决函数和不等式的问题。

例如，我们可以用这种方法来解决函数的极值问题。

我们可以用它来计算函数的极值点，从而更加清楚地描述函数的行为。

此外，一元二次方程的求根公式还可以帮助我们解决复杂的数学问题。

例如，我们可以用它来解决复杂的方程，比如多项式方程，超越函数方程，双曲函数方程等。

总之，一元二次方程的求根公式是一种非常有用的数学技巧，可以帮助我们解决许多有关函数、方程和不等式的问题。

它可以使我们更快地解决这些问题，这样就可以更好地应对复杂的数学问题。

一元方程

1、基本概念所谓一元方程，就是只含一个未知数x，且x的次数为自然数的方程，形式如下：其最高次项次数为n，故称为n次方程。

等号左边的部分叫做n次多项式，记作Pn(x) 另外再定义如下表：2、因式分解定理在实数范围内，n次"实多项式"可以彻底分解成m个"一次实多项式"和k个"二次实多项式"的乘积：在复数范围内，可继续彻底分解为n个“一次复多项式”：(2)中的k个二次实多项式x^2+px+q 还能继续分解吗？回忆一元二次方程的相关知识：对于方程x^2+px+q=0 ，当Δ<0 时，方程无实根，若没有复数的概念，就不能继续分解了。

(2)中的二次实多项式x^2+px+q 都是因为Δ<0 没能继续分解的。

但是，引入复数的概念后，x^2+px+q=0 有两个共轭复根，(2)还能继续分解为(3)。

观察(3)：取x=r1 ，得Pn(x)=0 ，即x=r1 是方程的一个根。

同理，r1、r2、……、rn 都是原方程的根，根的数量刚好等于方程次数。

其中有m个实根，对应(2)中的m个一次实多项式；k对共轭复根，对应(2)中的k个二次实多项式。

即有以下结论：一、n次方程有n个根二、复根都以共轭的形式成对出现当(3)中有两个一次多项式完全一样，即(x-ri)=(x-rj) 时，ri、rj 被称为二重根，以此类推还有三重根，四重根……我们姑且认为重根是一群好基友，当然就有2p、3p、4p……相比之下共轭复根则是情侣，只能是一对两个，重根和共轭复根的概念千万不能混淆。

需要注意的是：二重根应该算两个根，三重根应该算三个根，这样才能保证结论一始终成立。

比如二次方程Δ=0 时只有一个解，其实那是一个二重根，应该算两个根。

想必大家都记得初中老师苦心纠正我们的样子，“两个相等的实根”，现在终于明白了吧？初中老师为了保证二次方程有两个根也是蛮拼的！3、根与系数的关系将(3) 乘开与(1) 比较得到：这个就是大名鼎鼎的韦达定理的真面目了，什么？你说你看不懂？右边有解释。

n次方程求根公式

9de9ee1526c3b44eed985ab433ce1044410cef6e7e5f465599ed25594af0266950c18e14e3070c7806d 47ad3830caf7e2c8e8e179b8f9c82925cf06765f64013是作者真实身份的一份SHA-512验证。

n次方程根求根公式（1≤n≤7）（Ver 6.0）符号注释，和摘要:Solve(F(x),x) 表示以x为未知数求解该方程。

此为Maple定义虚数单位定义摘要：（?表示有新发现，整理中，或未整理完全（中间公式））公式次数目前发现数记录数1 1 12 3+? 13 12+?+1 9+14 8+1 45 3+?+1 36 1+? 17 1(?) 1(?)8 ? 01次方程求根公式2 次方程求根公式3 次方程求根公式（9+1种/已知12+1种）卡丹法[1] 李煌法待定系数法群置换法强配方法盛金公式法复变函数法单开立方法（构造者sc303165）以下提供一个由一根求其他二根的公式：4 次方程求根公式（3种/已知8+1种）费拉里法[2] Descartes法：（以上方程任取一根）Euler法：三角法（构造者sc303165）5 次方程求根公式（3种/已知3+1种）标准式超几何函数法（构造者 God→Osiris）（标准式转化）S3=-3 c3S4=-4 c4S5=-5 c5S6=3 c32S7=7 c3 c4S8=4 c42+8 c3 c5S9=-3 c33+9 c4 c5S10=-10 c32 c4+5 c52S11=-11 c3 c4-11 c32 c5S12=3 c34-4 c43-24 c3 c4 c5S13=13 c33 c4-13 c42 c5-13 c3 c52S14=21 c32 c42+14 c33 c5-14 c4 c52S15=-3 c5+15 c3 c43+45 c32 c4 c5-5 c53S16=-16 c34 c7+4 c44+48 c3 c42 c5+24 c32 c52 S17=-c1 S16-c2 S15-c3 S14-c4 S13-c5 S12S18=-c1 S17-c2 S16-c3 S15-c4 S14-c5 S13S19=-c1 S18-c2 S17-c3 S16-c4 S15-c5 S14S20=-c1 S19-c2 S18-c3 S17-c4 S16-c5 S15(此处接5次方程最简型求根公式)(原方程的根，求解结束)用程序化简的源代码详见附录15次方程最简型求根公式椭圆函数法[3] [4] [7] 公式详解见附录25次方程最简型求根公式白杨法（只限于已确定有根式解的5次方程）u1~u4需两两不同（j=1~5，求解结束）6 次方程求根公式[8],O,P任取一值（以上方程任取一根）7 次方程求根公式（超几何公式法构造者God→Osiris）如要解完全式的7次方程，需用[10]化简。

求根公式

2a
22
=25
b b24ac 5 25
x
2a
25
2 2 4
55 10
x1 x2
2 2
55 x1 10
5 -5 x2 10
小结
由配方法解一般的一元
二次方程 ax2+bx+c=0
(a≠0) 若 b2-4ac≥0 得
求根公式 : X=
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
二次方程求根公式二次函数求根公式三次方程求根公式求根公式是什么四次方程求根公式万能求根公式一元二次求根公式数学求根公式求根公式分解因式2次方程求根公式
回顾
用配方法解一元二次方程的步骤： 1.将原方程化成 ax2+bx+c=0的一般形式,
2.把二次项系数化为1, 3.配方:在方程的左边同加上一次项系数的一半的平方,再减去这个数, 4. 用直接开平方法或因式分解法求解方程
2、求出b2-4ac的值。
3、代入求根公式 :
∴x= b b2 4ac 2 2 2 2
X=
2a
2
x1 2 x2 2
(a≠0, b2-4ac≥0) 4、写出方程的解：
x1=?, x2=?
2x2 2 2x 1
解：移项得
2x2 2 2x 1 0
新授
例1. 用公式法解方程x2_x-2=0
解: ∵ a=1 b=-1 c= -2
∴ b2 4ac2 4
∴x=
= －(-1) (1)2 4

= 1 9 13
2
2
即 x1= - 1 x2=2
1、把方程化成一般形式。
并写出a，b，c的值。

考点07 一元二次方程(精讲)(原卷版)

考点07.一元二次方程（精讲）【命题趋势】一元二次方程以考查一元二次方程的相关概念、解一元二次方程、根的判别式、韦达定理（根与系数的关系）、一元二次方程的应用题为主，既有单独考查，也有和二次函数结合考察最值问题，年年考查，分值为15分左右。

预计2024年各地中考还将继续考查，复习过程中要多注意各基础考点的巩固，特别是解法中公式法的公式，不要和后续二次函数顶点坐标的纵坐标公式记混了。

【知识清单】1：一元二次方程的相关概念（☆☆）1）一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。

2）一般形式：2(0)0ax bx c a ++=≠，其中：a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项。

3）一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是该一元二次方程的解。

2：一元二次方程的解法（☆☆☆）1）直接开平方法：适合于2()()0x a b b ±=≥或22()()ax b cx d ±=±形式的方程。

2）配方法：（1）化二次项系数为1；（2）移项，使方程左边只含有二次项和一次项，右边为常数项；（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）把方程整理成2()()0x a b b ±=≥的形式；（5）运用直接开平方法解方程。

3）因式分解法：基本思想是把方程化成()()0ax b cx d ++=的形式，可得0ax b +=或0cx d +=。

4）公式法：（1）把方程化为一般形式，即20ax bx c ++=；（2）确定,,a b c 的值；（3）求出24b ac -的值；（4）将,,a b c 的值代入2b x a -±=即可。

5）根的判别式：一元二次方程2(0)0ax bx c a ++=≠是否有实数根，由24b ac -的符号来确定，我们把24b ac -叫做一元二次方程根的判别式。

6）一元二次方程根的情况与判别式的关系（1）当240b ac ->时，方程2(0)0ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根；（2）当240b ac -=时，方程2(0)0ax bx c a ++=≠有1个（两个相等的）实数根；（3）当240b ac -<时，方程2(0)0ax bx c a ++=≠没有实数根。

提取公因式法

提取公因式法公因式法，又称“求根公式”，是一种用来解求方程根的数学技术，是比较重要的代数计算方法。

它能够解求出一元n次方程（其中n为正整数）的根。

一般来说，它对解决一元n次多项式方程有很好的效果。

1. 公因式法的基本概念a) 公式的原理：其原理是，当满足特定条件时，一元n次方程的根可以满足公式的求解条件，从而求得出它们的根。

b) 公式的性质：公式的性质决定了其求解范围。

举例来说，一元二次方程的根只能用平方根式表示出来，而一元三次方程却能用公式表示出来。

c) 公式的开发：公式最初是由古希腊数学家克劳德发现的，他发现一元三次方程的根能够用公式的形式求出。

其后，巴洛克数学家谢拉著名的公式，也将一元四次方程的根用公式表示出来，并且获得一元n次方程的求根公式。

2. 公因式的求解方法a) 寻找公因式的原理：要求解一元n次方程的根，首先要构建一个系数表（或贝叶斯表），可以从中求得多项式系数，再用特定的求根公式求出方程根。

b) 公式的推导：根据不同的公式性质，可以将元素系数表按照要求，推导出适用于求解指定一元n次方程的公式。

c) 求解过程与步骤：根据推导出的公式，用其中的参数将指定的一元n 次多项式方程式带入公式，根据公式的运算步骤，计算出各个根的值，进而求出方程的根。

3. 公因式法的应用a) 用于求解方程：求根公式作为一种计算方法，通常可以用来求解一元n次多项式方程的根。

其优点是比较精确、方便，缺点是计算量相对较大，但计算过程简单。

b) 用于计算几何角度：其次，公式也在几何学中有着广泛的应用。

例如，用来计算椭圆的长短轴，表面积，周长等。

c) 用于解求曲线方程：公式也用于解求曲线方程，例如圆的方程，椭圆的方程，双曲线的方程以及螺线的方程等等。

从上述可以看出，公因式法是一种比较重要的求根方法，它既能够用于求解方程，又能够用于解求几何角度，以及曲线方程等等，在数学计算上十分重要。

虚根求根公式一元二次方程

虚根求根公式一元二次方程一元二次方程，这可是中学数学里的“常客”。

对于它，大家最熟悉的可能就是求根公式啦。

但今天咱要聊的是一元二次方程的虚根求根公式，这可有点神秘又有趣哦！先来说说一元二次方程的一般形式：ax² + bx + c = 0 （a ≠ 0）。

通常我们用求根公式 x = [-b ± √(b² - 4ac)] / （2a）来求解方程的根。

当 b² - 4ac < 0 时，方程就有了虚根。

这时候，求根公式就变成了 x= [-b ± i√(4ac - b²)] / （2a），其中 i 是虚数单位，i² = -1 。

记得我当年上中学的时候，刚接触到虚根这个概念，那真是一头雾水。

老师在讲台上讲得眉飞色舞，我在下面听得云里雾里。

特别是看到那些根号下带着负数的式子，感觉整个世界都变得虚幻起来。

后来，为了搞清楚这虚根到底是怎么回事，我可是下了一番苦功夫。

每天放学后，我就把自己关在房间里，对着那些方程反复琢磨。

有一次，我为了弄明白一个含有虚根的一元二次方程，整整花了两个小时，草稿纸用了好几张。

终于，在我不懈的努力下，我好像突然开窍了。

我发现，虽然虚根看起来很神秘，但其实也是有规律可循的。

比如说方程 x² + 2x + 5 = 0 ，这里 a = 1 ，b = 2 ，c = 5 ，b² - 4ac = 2² - 4×1×5 = -16 < 0 ，所以它有虚根。

用虚根求根公式算一下，x = [-2 ± i√(4×1×5 - 2²)] / （2×1）= [-2 ± 4i] / 2 = -1 ± 2i 。

掌握了虚根求根公式，再去看那些看似复杂的一元二次方程，就好像有了一把神奇的钥匙，能够打开神秘的数学之门。

其实，数学里的很多知识都是这样，一开始觉得很难很抽象，但只要我们肯下功夫，多思考多练习，总能找到其中的乐趣和规律。

引言二

二次项消去。所以我们只要考虑形如x3=px+q的三次方程。 • 假设方程的解x可以写成x=a-b的形式，这里a和b是待定的
参数。代入方程，我们就有：a3-3a2b+3ab2-b3=p(a-b)+q，整理得到：a3-b3 =(a-b)(p+3ab)+q。 • 由二次方程理论可知，一定可以适当选取a和b，使得在 x=a-b的同时，3ab+p=0。这样上式就成为a3-b3=q。 • 两边各乘以27a3，就得到：27a6-27a3b3=27qa3 • 由p=-3ab可知：27a6 + p = 27qa3 ，这是一个关于a3的二次方程，所以可以解得a。进而可解出b和根x。
一元二次方程 ax2 bx c 0, a 0 的求根公式
• 用配方法解方程： x2 b x c 0
aa

x

b 2a
2

b2 4ac 4a2
一元三次方程求根公式
• 塔塔利亚发现的一元三次方程的解。一元三次方程的一般形式是：x3+sx2+tx+u=0 如果作一个横坐标平移y=x+s/3，那么我们就可以把方程的
当
lim
k
xk

x 时，则 x*就是 f 的根。
例：写出求 a (a的N0e) wton迭代格式。
解：等价于求方程 f ( x) x2 a 0 (a 0) 的正根 f ( x ) 2 x
xk1
xk

f ( xk ) f ( xk )

xk

xk2 a 2 xk
x3 2 ( x2 x2 ) 10.0499
这件事总能成功吗？

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引言二

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