数学系常微分方程期末试卷B及答案
常微分方程试题B答案
常微分方程模拟试题(B)参考答案 2012.7一、填空题（每小题3分，本题共30分）1．二 2． )()]()([1211x y x y x y C +- 3． ()0W t ≡或00()=0,W t t I ∈4．)(x NxNy M ϕ=∂∂-∂∂ 5.1y =± 6. n 7. 充分 8. 00(,)xx y y f x y dx =+⎰9.1,Re s a s a>- 10. ()+∞∞-, 二、计算题（每小题5分，本题共20分）11. 解： 齐次方程的通解为 xC y 3e-= (3分)令非齐次方程的特解为 xx C y 3e )(-=代入原方程，确定出 C x C x+=5e 51)( 原方程的通解为 xC y 3e-=+x2e51 （5分）12. 解： 对应的特征方程为：012=++λλ，解得i i 23,23212211--=+-=λλ （3分） 所以方程的通解为：)23sin 23cos(2121t c t c ex t +=- （5分）13.1=∂∂y M ，xN∂∂=1 , x N y M ∂∂=∂∂ 所以此方程是恰当方程. （3分）凑微分，0)(22=++-xdy ydx ydy dx x得C y xy x =-+2331 （5分） 14． 5,1,dy dt x y t dx dx -===-令则 1,(7)77dt tt dt dx dx t -=---原方程化为：变量分离 （3分）21772t x c t-=-+两边积分217(5)7.2(5)x y x c x y --+=-+-+代回变量（5分）三、计算题（每小题10分，本题共30分） 15．特征方程为 01411=--=-λλλE A ,即 0322=--λλ.特征根为 31=λ，12-=λ. （4分）31=λ对应特征向量应满足 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--0031413111b a 可确定出⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2111b a同样可算出12-=λ对应的特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2122b a所以，原方程组的通解为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--t t t t C C y x 2e e 2e e 2331 （10分） . 16．解：(),dyP x y dx= （1） 这是一个变量分离方程，通解为(),P x dxy ce ⎰=这里c 是任意常数。
福师《常微分方程》期末试卷解析
福师《常微分方程》期末试卷解析一、选择题（共10题，每题2分，共20分）1. 答案：A解析：对常微分方程dy/dx = f(x)g(y)的分离变量法，可得：dy/g(y) = f(x)dx，再进行积分即可得到结果。
2. 答案：C解析：对常微分方程dy/dx + p(x)y = q(x)的一阶线性方程，可以使用常数变易法求解。
将y = v(x)exp(-∫p(x)dx)代入方程，再进行积分，最后解出y。
3. 答案：B解析：常微分方程dy/dx = ky是一个一阶线性齐次微分方程，可以使用分离变量法求解。
将dy/y = kdx，再进行积分，最后解出y。
4. 答案：D解析：常微分方程dy/dx = -y/x是一个一阶线性齐次微分方程，可以使用分离变量法求解。
将dy/y = -dx/x，再进行积分，最后解出y。
5. 答案：A解析：常微分方程dy/dx = f(x)g(y)的分离变量法，可得：dy/g(y) = f(x)dx，再进行积分即可得到结果。
6. 答案：C解析：对常微分方程dy/dx + p(x)y = q(x)的一阶线性方程，可以使用常数变易法求解。
将y = v(x)exp(-∫p(x)dx)代入方程，再进行积分，最后解出y。
7. 答案：B解析：常微分方程dy/dx = ky是一个一阶线性齐次微分方程，可以使用分离变量法求解。
将dy/y = kdx，再进行积分，最后解出y。
8. 答案：D解析：常微分方程dy/dx = -y/x是一个一阶线性齐次微分方程，可以使用分离变量法求解。
将dy/y = -dx/x，再进行积分，最后解出y。
9. 答案：A解析：常微分方程dy/dx = f(x)g(y)的分离变量法，可得：dy/g(y) = f(x)dx，再进行积分即可得到结果。
10. 答案：C解析：对常微分方程dy/dx + p(x)y = q(x)的一阶线性方程，可以使用常数变易法求解。
将y = v(x)exp(-∫p(x)dx)代入方程，再进行积分，最后解出y。
常微分方程参考答案B
广东商学院试题参考答案及评分标准2008-2009学 年 第二学 期课程名称 常微分方程 （B 卷）课程代码 108023 课程负责人 黄辉 共 3页 --------------------------------------------------------------------------------------------------------- --- ---------一、填空题（每空3分，共24分）。
1． n ； 2. 2．;12y=μ 3．⎰-x n ds s s f 01;))(,(ϕ 4．;2-=y z 5．;,x x e e - 6. ;3,1,0=x二、选择题 （每题3分 ，共15分）1. A2. C3. B4. A 5．C7．⎪⎩⎪⎨⎧++-==t y x dtdy y dt dx 5三、计算题（每题9分，共54分）。
1． 解：原方程是一阶线性微分方程，此时 22)(,2)(x xe x q x x p =-=-----------------2分则原方程的通解为：⎰⎰+⎰=-xdx xdx x e c dx e xe y 22]2[2--------5分 =2]2[x e c xdx +⎰--------------------------6分=2)(2x e c x +------------------------------9分2． 解：因为,1,122yx N y y M -=∂∂-=∂∂故方程是恰当方程-----2分 故 0)1(1sin 2=-++dx yx dx y dy y xdx ---------3分 即 0||ln cos 2=-++-y xdy ydx y d x d -------------5分 或 0)||ln cos (=++-yx y x d ------------------------6分于是通解为：C yx y x =++-||ln cos ------------------------9分 3． 解：令ty 1'=--------------------------------------------------------2分 则有233,111t t x t tx +=+=解得---------------3分 故 dtt t y t dt dy )23()(23⎰+=+=------------------6分=c t t ++2232-----------------------------7分 故原方程的通解为：⎪⎩⎪⎨⎧++=+=c t t y t t x 223223---------9分 4． 解：先求03222=--x dt dx dtx d 的解------------------------1分 其特征方程3,1,0322,12-==--λλλ-------------2分又1不是特征方程的单根，故特解形如t Ae x =~---4分 代入原方程得到41,4-==-A e Ae t t -----------------------6分 故原方程的通解为t t t e e c e c x 41231-+=-------------------9分 5． 032112)det(2=-=--+=-λλλλA E -------------2分得3,321-==λλ------------------3分 设,311v 对应的特征向量为=λ 由0,123,023112311≠⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+ααv v 得----------------------5分 取⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=321,12321v v 同理取--------------6分 所以为基解矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=--t t tt e e e e t 3333)32()23()(φ。
最新数学系常微分方程期末试卷B及答案
试卷（B）试卷份数考试本科考试科目常微分方程第1 页（共5页）年月日第 3 页（共 5 页）年月日年月日12-13-2学期期末考试《常微分方程》B 参考答案及评分标准（数计学院 ）制卷 审核 一、填空题（每小题3分，本题共15分）1．1±=y 2．x x 2cos ,2sin3．xoy 平面4．充分必要 5．不能二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）6．A 7．C 8．C 9．D 10．D三、简答题（每小题6分，本题共30分）11．解 分离变量得x y xyd e d e = （3分）等式两端积分得通积分C xy+=e e （6分）12．解 令u x y =，则xuxu x y d d d d +=，代入原方程，得 u u x u x u tan d d +=+，u xux tan d d = （2分）当0tan ≠u 时，分离变量，再积分，得C xxu u ln d tan d +=⎰⎰ （4分）C x u ln ln sin ln += （5分） 即通积分为：Cx xy=sin（6分）13．解 方程两端同乘以5-y ，得x y xyy +=--45d d （2分）令 z y=-4，则xzx y y d d d d 45=--，代入上式，得 x z xz=--d d 41 （3分） 通解为41e4+-=-x C z x原方程通解为 41e 44+-=--x C yx （6分）14．解： 因为xNx y M ∂∂==∂∂2，所以原方程是全微分方程 （2分） 取)0,0(),(00=y x ，原方程的通积分为C y y x xy yx=-⎰⎰20d d 2 （4分）即 C y y x =-3231 （6分）15．解： 因为方程组是二阶线性驻定方程组，且满足条件00≠=ac cb a ，故奇点为原点（0，0） 2分又由det(A-λE)=0)(02=++-=--ac c a c b a λλλλ得 c a ==21λλ 4分所以，方程组的奇点（0，0）可分为以下类型：a ，c 为实数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧>><<⎭⎬⎫=≠=⎪⎩⎪⎨⎧<⎩⎨⎧>><<>≠不稳定结点，稳定结点奇点为奇结点奇点为退化结点奇点为鞍点（不稳定）不稳定结点稳定结点奇点为结点,0,00,0,0,00,0,0,0,00c a c a b b c a ac c a c a ac c a 6分四、计算题（每小题10分，本题共20分）16．解：对应齐次方程的特征方程为052=-λλ （1分） 特征根为：特征根为01=λ，52=λ， （2分）齐次方程的通解为 xC C y 521e += （4分） 因为0=α是特征根。
B2及答案微积分期末复习卷
扬州大学试题纸经济、管理 学院 09级 课程 微 积 分 ( B )卷班级 学号 姓名一. 填空题(3618''⨯=)1．已知()132,x f ex -=-则()f x =13ln x +且定义域为 x>0 . 2．设2211f x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭.则1f x x ⎛⎫'+= ⎪⎝⎭12x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.3．()4f x dx x x c =-+⎰,则()f x =341x -.4．()f x 为连续函数,()g x 为连续的偶函数, 则()()()aaf x f xg x dx +---=⎡⎤⎣⎦⎰0 .5．设函数()2ln z x y =+,则10x y dz ===dx .6．由曲线ln ,0,y x y x e ===围成的平面图形的面积是 1 . 二. 单项选择题(3618''⨯=)1．201sinlimsin x x x x→的值为 ( B )(A) 1 (B) 0 (C) ∞ (D)不存在2．设()lim 1hh x f x h →∞⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()ln3f = ( D )(A) 0 (B)1 (C) 2 (D)3 3．函数()()012y f x f x '==有，则当0x ∆→时，该函数在0x x =处的 微分dy x ∆是的 ( B )___________ 系____________ 班级_____________ 学号____________ 姓名_____________---------------------------------------装---------------------------------------订-------------------------------------------线-----------------------------------------------(A) 等价无穷小 (B)同阶但不等价的无穷小 (C) 低阶无穷小 (D)高阶无穷小 4．设()f x 是连续函数，且()()xe xF x f t dt -=⎰，则()F x '= （ A ）(A)()()xx e f e f x ---- (B) ()()x x e f e f x ---+ (C) ()()xx ef e f x --- (D) ()()x x e f e f x --+5．设方程sin 0yxt e dt tdt +=⎰⎰确定y 为x 的函数 ,则dydx= ( C ) (A) 0 (B) cos y x e -(C) sin yxe - (D) 不存在6．设()f x 是连续的奇函数，()g x 是连续的偶函数，区域{}xy x x y x D ≤≤-≤≤=,10),(，则以下结论正确的是 ( A )(A)⎰⎰=Ddxdy x g y f 0)()( (B) ⎰⎰=Ddxdy y g x f 0)()((C)⎰⎰=+Ddxdy x g y f 0)]()([ (D) ⎰⎰=+Ddxdy y g x f 0)]()([三. 计算题(5630''⨯=) 1. 12lim(1)xx x →∞+.解：原式=x x x e)1ln(lim2+∞→=2lim1x x xe→∞+=0e =12. 设2sin ,xzz e y x y∂=∂∂求 .解：sin xz e y x ∂=∂ 2cos x z e y x y∂=∂∂ 3. (),z z x y =是由方程33330x y z xyz ++-=确定的隐函数，求zx∂∂. 解:设F=3333x y z xyz ++-233F x yz x ∂=-∂ 233Fz xy z∂=-∂ 22223333Fz x yz x yz x F x z xy z xy z∂∂--∂∴=-=-=-∂∂--∂4. 计算2cos x xdx ⎰.解:原式=1cos 22x x dx +⎰=cos 222x x x dx dx +⎰⎰=214x +1sin 24xd x ⎰ =211sin 2sin 244x x x xdx ⎡⎤+-⎣⎦⎰=2111sin 2cos 2448x x x x c +++5. 计算()312201x dx -+⎰.解:令tan x t =,221sec x t +=,x 从01 ,t 从04π,2sec dx tdt =原式=40cos tdt π⎰=40sin x π= 6.计算累次积分11420cos xx dx y dy ⎰⎰.解：=122011sin14cos 102y d y ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦⎰=11cos1sin1510-…………………………5分 四.解答题(8324''⨯=,第4题10') 1. 已知函数ln xy x=,试求其单调区间、极值、及其曲线上的拐点和渐近线. 解：).0(∞+=Df2ln 1'x xy -=令0'=y 得驻点e x =。
常微分方程期末试题标准答案
一、填空题（每空2 分，共16分）。
1、方程22d d y x xy +=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面 ． 2. 方程组n x x x R Y R Y F Y ∈∈=,),,(d d 的任何一个解的图象是 n+1 维空间中的一条积分曲线.3．),(y x f y '连续是保证方程),(d d y x f xy =初值唯一的 充分 条件． 4．方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=x ty y t x d d d d 的奇点)0,0(的类型是 中心 5．方程2)(21y y x y '+'=的通解是221C Cx y += 6．变量可分离方程()()()()0=+dy y q x p dx y N x M 的积分因子是()()x P y N 1 7．二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ϕ=,)(2x y ϕ=成为其基本解组的充要条件是 线性无关8．方程440y y y '''++=的基本解组是x x x 22e ,e-- 二、选择题（每小题 3 分，共 15分）。
9．一阶线性微分方程d ()()d y p x y q x x +=的积分因子是（ A ）． （A ）⎰=xx p d )(e μ （B ）⎰=x x q d )(e μ （C ）⎰=-x x p d )(e μ （D ）⎰=-x x q d )(e μ 10．微分方程0d )ln (d ln =-+y y x x y y 是（ B ）（A ）可分离变量方程 （B ）线性方程（C ）全微分方程 （D ）贝努利方程11．方程x (y 2－1)d x+y (x 2－1)d y =0的所有常数解是（ C ）．(A) 1±=x (B)1±=y(C )1±=y , 1±=x (D )1=y , 1=x12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）．（A ）构成一个线性空间 （B ）构成一个1-n 维线性空间（C ）构成一个1+n 维线性空间 （D ）不能构成一个线性空间13．方程222+-='x y y （ D ）奇解．（A ）有一个 （B ）有无数个 （C ）只有两个 （D ）无三、计算题（每小题8分，共48分）。
常微分方程试卷答案
常微分方程试卷答案-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One12数学与应用数学专业《常微分方程》试卷B一、 选择题（3分⨯8=24分） 1、（ A ）是一阶线性微分方程。
A ．y y x ='2B ．2y y =' C ．x y y +='1D ． ye y ='2、（ B ）不是变量可分离微分方程。
A ．xyy ++='11 B ．1--='y x y y C ． 022=+dy x dx y D ．0=+x dy y dx3、下列等式中为微分方程的是 （ D ）A ．()'='+'uv v u v uB ．()dx e y d e dx dy x x+=+ C. ()'''v u v u +=+ D.x e y xsin '+= 4、向量组在区间I 上线性相关是它们对应的朗斯基行列式在I 上为零的（ C ）A ． 充分非必要条件B ． 必要非充分条件C ． 充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5、若方程0=-''y y λ存在满足()()010==y y 的非零解，则λ为（ B ）A ．2πλ=B ．2πλ-=C ．πλ=D ．πλ-=6、方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0有只含x 的积分因子的充要条件是（ B ） A ．)(y N x N y M ϕ-=∂∂-∂∂ B ．)(x N x Ny M ϕ=∂∂-∂∂ C ．)(y M x N y M ϕ-=∂∂-∂∂ D ．)(y M xNy M ϕ=∂∂-∂∂ 7、微分方程082=-'-''y y y 的通解为 （ B ） A ．x x e c e c y 2241--= B ．x x e c e c y 2241+=- C ．()2241c e e c y x x ++=- D ． x x e e y 243-=-8、方程212-='y y 的通过点（0，0）的解的最大存在区间是（ A ）A ．（-∞，+∞）B ．（-2，+∞）C ．（-∞，2）D ．（-2，2） 二、求解方程0)(42=++dx y x y xdy 。
常微分方程期末考试练习题及答案.
0
f ( )dt 2
ln 2 ，则 f （x）是？
解：对给定的积分方程两边关于 x 求导，得：
f ' ( x) 2 f ( x) （变上限求积分求导）
分离变量，解之得： f ( x) Ce2 x
由原方程知： f （0）=ln2 ， 代入上解析式得：
C=ln2
，
B. 可化为分离变量方程的类型。
解决数学题目有一个显而易见的思想： 即把遇到的新问题， 结合已知
sin xe x ，
sin xe xdx
sin xd (e x )
=
sin xe x e xd (sin x)
=
sin xe x e x cos xdx
=
sin xe x cos xd (e x )
=
sin xe x cos xe x e x d(cos x)
e x (sin x cos x) e x sin xdx
dx xy
（2.12 ）
令 z y 1 ， 则 dz y 2 dy ，将之代入（ 2.12 ）
dx
dx
得： dz
dx
6z x .
x
（2.13 ）
dz z
dx 6
x
z
c1 , 记（ 2.13 ）之通解为： z
x6
c1 (x) x6
，
于是： dz dc1( x) x 6 6c1 (x) x 7 ，将以上两式代入（ 2.13 ）
x 转化为齐次方程。
2. 当 a1 b1 时，
a2 b2
dy f ( (a2 x b2 y) c1 ) g( a2x b2 y)
dx
a2 x b2 y c2
a2x b2 y u, 则
常微分方程期末考试练习题及答案.
（ c>0） .
即： t 1
cy ，变量回代得：
x ln
c1 y +1 ( c1
c)
y
类型二： 形式： dy f ( a1x b1y c1 )
dx
a 2 x b2 c2
解法： 1. 当 c1=c2=0 时，
y
dy
f ( a1x b1y )
a1 f(
b1 x )
g( y)
dx
a2 x b2 y
y a2 b2 x
dx
分离变量得： dy dx ，两边同时积分，
y
得： y cex ，因而可设原方程的通解为： y c( x)ex ，则 dy dc( x) ex exc( x) ，
dx dx
将之入原方程，得：
dc( x) ex exc(x) c( x)ex sin x ，即： dc( x)
dx
dx
两边积分得： c(x) sin xe xdx ，而
a2 b2
a1x b1y c1 0
解方程组｛ a2x b2y c2 0 ，求交点 ( , ) , 令 x=X+α ， y Y ，则原方程化为： dX ( Y )
dY X
这是齐次方程。
例 5. 求解方程 dy 2x y 1 .
dx x 2 y 1
x1
解：｛ 2x y 1 0 得交点
x 2y 1 0
｛
y
M N ， (x, y) D .
yx
3. 解的形式： u c.
4. 解法： a. 朴素化简法：由 u M ，得 u( x, y) M ( x, y)dx ( y) ，
x
再由 u N ，得 ( y) y4 N (x, y)
常微分方程期末试题B答案
2005——2006学年第二学期 数学专业 常微分方程课程试卷（B ）一、填空题（每空2 分，共16分）。
1．李普希滋条件是初值问题存在唯一解的 充分条件．2. 一阶微分方程的一个特解的图像是 二维空间上的一条曲线． 3．线性齐次微分方程组Y A Y)(d d x x=的一个基本解组的个数不能多于n 个，其中R ∈x ，n R Y ∈．4．二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ϕ=,)(2x y ϕ=成为其基本解组的充要条件是 线性无关 ．5．方程2sin()y xy y ''=+的通解是6．变量可分离方程()()()()0=+dy y q x p dx y N x M 的积分因子是()()x P y N 17．性齐次微分方程组的解组)(,),(),(21x x x n Y Y Y 为基本解组的充分必要条件是它们的朗斯基行列式0)(≠x W ． 8．方程540y y y '''++=的基本解组是x xe e4,--二、选择题（每小题 3 分，共 15分）。
9．两个不同的线性齐次微分方程组（ D ）的基本解组．(A) 一定有相同 (B) 可能有相同 (C) 一定有相似 (D) 没有相同10．方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=y x ty y x tx43d d 2d d 的奇点)0,0(的类型是（ D ）．（A ）稳定焦点 （B ）不稳定焦点 （C ）鞍点 （D ）不稳定结点 11．方程x (y 2－1)d x+y (x 2－1)d y =0的所有常数解是（ C ）．(A) 1±=x (B)1±=y (C )1±=y , 1±=x (D )1=y , 1=x12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）．（A ）构成一个线性空间 （B ）构成一个1-n 维线性空间 （C ）构成一个1+n 维线性空间 （D ）不能构成一个线性空间 13．方程4d d +-=x y xy （ A ）奇解．(A) 无 (B) 有一个 (C) 有两个 (D) 可能有三、计算题（每小题8分，共48分）。
常微分方程期末试题答案
故齐次方程的通解为
y C1 C2e3x
因为
5 不是特征根。所以，设非齐次方程的特解为
y1 ( x) Ae5 x
代入原方程，得
25 Ae5 x 15 Ae5 x e5 x
即
A
1
，
10
故原方程的通解为
3x 1 5 x
y C1 C2e
e
10
18．求方程 y y 2 y ex (cosx 7sin x) 的通解
12． n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）．
（ A ）构成一个线性空间
（ C）构成一个 n 1 维线性空间
（ B）构成一个 n 1 维线性空间
（ D ）不能构成一个线性空间
13．方程 y
y 2 x 2 2 （ D ）奇解．
（ A ）有一个
（ B ）有无数个
三、计算题（每小题 8 分，共 48 分）。
e
10．微分方程 y ln ydx (x ln y) dy 0 是（ B ）
（ A ）可分离变量方程
（ B）线性方程
（ C）全微分方程
（ D）贝努利方程
11．方程 x(y2－1)dx+y (x2－1)dy=0 的所有常数解是（ C ）．
(A) x 1
(B) y 1
( C) y 1, x 1
(
D) y 1, x 1
件是 线性无关
8．方程 y 4 y 4 y 0 的基本解组是 e 2x , xe 2x
二、选择题（每小题 3 分，共 15 分）。
dy
9．一阶线性微分方程
p(x) y q( x) 的积分因子是（
dx
A ）．
（A）
p ( x)dx
数学系常微分方程期末试卷及答案
数学系常微分方程期末试卷及答案题目一考虑常微分方程：$$\\frac{{dy}}{{dx}} + 2xy = x^2$$1.求该常微分方程的通解。
2.求通过点(0,1)的特解。
3.求满足初值条件y(0)=2的特解。
解答：1.首先对方程进行整理得到：$$\\frac{{dy}}{{dx}} = x^2 - 2xy$$这是一个一阶线性非齐次常微分方程，我们可以使用常数变易法求其通解。
设通解为y=y(y)y(y)，代入原方程中，得到：$$u(x)\\frac{{dv}}{{dx}} + v(x)\\frac{{du}}{{dx}} +2xu(x)v(x) = x^2 - 2xu(x)v(x)$$化简得到：$$v(x)\\frac{{du}}{{dx}} = x^2$$将$v(x)\\frac{{du}}{{dx}}$作为整个等式的导数进行积分，得到：$$\\int v(x)\\frac{{du}}{{dx}}dx = \\int x^2dx$$对等式两边进行积分得到：$$\\int v(x)du = \\int x^2dx$$对右侧积分得到$\\frac{{1}}{{3}}x^3 + C_1$，对左侧进行积分得到：$$v(x)u + C_2 = \\frac{{1}}{{3}}x^3 + C_1$$其中，y1和y2为积分常数。
对方程两边整理得到：$$u(x)v(x) = \\frac{{1}}{{3}}x^3 + C$$其中y=y1−y2为常数。
由于y和y的乘积等于y，因此通解为：$$y = \\frac{{1}}{{3}}x^3u(x) + Cu(x)$$2.要求通过点(0,1)，即y(0)=1的特解。
将y=0和y=1代入通解中，得到：1=0+yy(0)由此得到y=1，特解为：$$y = \\frac{{1}}{{3}}x^3u(x) + u(x)$$3.要求满足初值条件y(0)=2的特解。
将y=0和y=2代入通解中，得到：2=0+yy(0)由此得到y=2，特解为：$$y = \\frac{{1}}{{3}}x^3u(x) + 2u(x)$$题目二已知常微分方程：$$\\frac{{dy}}{{dx}} = x^2y + 2x$$1.求该常微分方程的通解。
临沂大学《常微分方程》期末考试复习题及参考答案
A、 阶 B、 解 C、 通解 D、 特解
正确答案： D
16、如果 f(x,y),f(x,y)/y 都在 xoy 平面上连续，那么方程 dy/dx= f(x,y)的任一解的存在区间 （2.0）
A、 必为(-∞,+∞) B、 必为(0,+∞) C、 必为(-∞, 0) D、 将因解而定
A、 y2-x=C B、 y-√x=C C、 y=x+C D、 y=-x+C
正确答案： BCD
三、 判断题 （共 10 题，20 分）
1、dy/dx=1+x+y2+xy2 是可分离变量的微分方程（2.0）
正确答案： 正确
2、方程 xydx + (2x2 + 3y2-20)dy = 0 的只与 y 有关的积分因子为 y（2.0）
正确答案： ABC
9、下列方程中，全微分方程为（2.0）
A、 (3x2 + 6xy2)dx+ (6x2y +4y2)dy=0 B、 edx+ (x·eY-2y)dy= 0 C、 y(x- -2y)dx-x2dy= 0 D、 (x2-y)dx-xdy= 0
正确答案： ABD
10、微分方程 2ydy-dx = 0 的通解不为（2.0）
6、微分方程 y" -2y + 2y= ex 的通解为 y=ex(c*cosx+c*sinx+1)（2.0）
正确答案： 正确
7、三阶常系数齐线性方程 y" -2y" +y= 0 的特征根是 1（2.0）
正确答案： 错误
8、微分方程 y -2y-3y = 0 的通解为 y=c*e-x+c*e3x（2.0）
(完整版)常微分方程期末试题答案
一、填空题（每空2 分，共16分）。
1、方程22d d y x xy +=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面 ． 2. 方程组n x x x R Y R Y F Y ∈∈=,),,(d d 的任何一个解的图象是 n+1 维空间中的一条积分曲线.3．),(y x f y '连续是保证方程),(d d y x f xy =初值唯一的 充分 条件． 4．方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=x ty y t x d d d d 的奇点)0,0(的类型是 中心 5．方程2)(21y y x y '+'=的通解是221C Cx y += 6．变量可分离方程()()()()0=+dy y q x p dx y N x M 的积分因子是()()x P y N 1 7．二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ϕ=,)(2x y ϕ=成为其基本解组的充要条件是 线性无关8．方程440y y y '''++=的基本解组是x x x 22e ,e-- 二、选择题（每小题 3 分，共 15分）。
9．一阶线性微分方程d ()()d y p x y q x x +=的积分因子是（ A ）． （A ）⎰=xx p d )(e μ （B ）⎰=x x q d )(e μ （C ）⎰=-x x p d )(e μ （D ）⎰=-x x q d )(e μ 10．微分方程0d )ln (d ln =-+y y x x y y 是（ B ）（A ）可分离变量方程 （B ）线性方程（C ）全微分方程 （D ）贝努利方程11．方程x (y 2－1)d x+y (x 2－1)d y =0的所有常数解是（ C ）．(A) 1±=x (B)1±=y(C )1±=y , 1±=x (D )1=y , 1=x12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）．（A ）构成一个线性空间 （B ）构成一个1-n 维线性空间（C ）构成一个1+n 维线性空间 （D ）不能构成一个线性空间13．方程222+-='x y y （ D ）奇解．（A ）有一个 （B ）有无数个 （C ）只有两个 （D ）无三、计算题（每小题8分，共48分）。
常微分期末考试题及答案
常微分期末考试题及答案**常微分期末考试题及答案**一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 微分方程 \( y' = 2x \) 的通解是（）A. \( y = x^2 + C \)B. \( y = 2x + C \)C. \( y = 2x^2 + C \)D. \( y = x^2 + 2C \)2. 微分方程 \( y'' + 4y = 0 \) 的特征方程是（）A. \( r^2 + 4 = 0 \)B. \( r^2 - 4 = 0 \)C. \( r^2 + 4r = 0 \)D. \( r^2 - 4r = 0 \)3. 微分方程 \( y' = \frac{y}{x} \) 的通解是（）A. \( y = Cx \)B. \( y = Cx^2 \)C. \( y = Cx^{-1} \)D. \( y = Cx^{-2} \)4. 微分方程 \( y' + 2y = 0 \) 的通解是（）A. \( y = Ce^{-2x} \)B. \( y = Ce^{2x} \)C. \( y = Cxe^{-2x} \)D. \( y = Cxe^{2x} \)5. 微分方程 \( y' = 3y \) 的通解是（）A. \( y = Ce^{3x} \)B. \( y = Ce^{-3x} \)C. \( y = 3Ce^{3x} \)D. \( y = 3Ce^{-3x} \)6. 微分方程 \( y'' - 5y' + 6y = 0 \) 的特征方程是（）A. \( r^2 - 5r + 6 = 0 \)B. \( r^2 + 5r + 6 = 0 \)C. \( r^2 - 5r - 6 = 0 \)D. \( r^2 + 5r - 6 = 0 \)7. 微分方程 \( y' = 2xy \) 的通解是（）A. \( y = Cxe^{x^2} \)B. \( y = Cxe^{-x^2} \)C. \( y = Cx^2e^{x^2} \)D. \( y = Cx^2e^{-x^2} \)8. 微分方程 \( y'' + y = 0 \) 的通解是（）A. \( y = C_1 \cos x + C_2 \sin x \)B. \( y = C_1 \sin x + C_2 \cos x \)C. \( y = C_1 \cosh x + C_2 \sinh x \)D. \( y = C_1 \sinh x + C_2 \cosh x \)9. 微分方程 \( y' = \frac{1}{y} \) 的通解是（）A. \( y = Cx + 1 \)B. \( y = Cx - 1 \)C. \( y = \frac{1}{Cx + 1} \)D. \( y = \frac{1}{Cx - 1} \)10. 微分方程 \( y'' + 4y' + 4y = 0 \) 的特征方程是（）A. \( r^2 + 4r + 4 = 0 \)B. \( r^2 - 4r + 4 = 0 \)C. \( r^2 + 4r - 4 = 0 \)D. \( r^2 - 4r - 4 = 0 \)**答案：**1. A2. A3. A4. A5. A6. A7. A8. A9. C10. A二、填空题（每题5分，共30分）1. 微分方程 \( y' = 3x^2 \) 的通解是 \( y = \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \)。
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试卷（B）
试卷份数考试本科考试科目常微分方程
年月日
年月日
12-13-2学期期末考试
《常微分方程》B 参考答案及评分标准
（数计学院 ）
制卷 审核 一、填空题（每小题3分，本题共15分）
1．1±=y 2．x x 2cos ,2sin
3．xoy 平面
4．充分必要 5．不能
二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）
6．A 7．C 8．C 9．D 10．D
三、简答题（每小题6分，本题共30分）
11．解 分离变量得
x y x
y
d e d e = （3分）
等式两端积分得通积分
C x
y
+=e e （6分）
12．解 令
u x y =，则x
u
x
u x y d d d d +=，代入原方程，得 u u x u x u tan d d +=+，u x
u
x tan d d = （2分）
当0tan ≠u 时，分离变量，再积分，得
C x
x
u u ln d tan d +=⎰⎰ （4分）
C x u ln ln sin ln += （5分） 即通积分为：
Cx x
y
=sin
（6分）
13．解 方程两端同乘以5
-y ，得
x y x
y
y
+=--45
d d （2分） 令 z y =-4，则x
z x y y d d d d 45=--，代入上式，得 x z z
=--d 1 （3分）
4
1e 4+
-=-x C z x 原方程通解为 41
e 44
+-=--x C y
x （6分）
14．解： 因为
x
N
x y M ∂∂==∂∂2，所以原方程是全微分方程 （2分） 取)0,0(),(00=y x ，原方程的通积分为
C y y x xy y
x
=-⎰⎰
20
d d 2 （4分）
即 C y y x =-
3
2
3
1 （6分）
15．解： 因为方程组是二阶线性驻定方程组，且满足条件
00≠=ac c
b a ，故奇点为原点（0，0） 2分
又由det(A-λE)=
0)(0
2=++-=--ac c a c b a λλλ
λ得 c a ==21λλ 4分
所以，方程组的奇点（0，0）可分为以下类型：
a ，c 为实数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧>><<⎭⎬
⎫=≠=⎪⎩
⎪⎨⎧<⎩⎨⎧>><<>≠不稳定结点，稳定结点奇点为奇结点奇点为退化结点奇点为鞍点（不稳定）不稳定结点稳定结点
奇点为结点,0,00,0,0,00,0,0,0,00c a c a b b c a ac c a c a ac c a 6分
四、计算题（每小题10分，本题共20分）
16．解：对应齐次方程的特征方程为052
=-λλ （1分） 特征根为：
特征根为01=λ，52=λ， （2分）
齐次方程的通解为 x
C C y 521e += （4分） 因为0=α是特征根。
所以，设非齐次方程的特解为
)()(2
1C Bx Ax x x y ++= （6分）
代入原方程，比较系数确定出
31=
A ，51=
B ，25
2=C 原方程的通解为
x x x C C y x 25
2
5131e 23521++++= （10分）
17．解： 其系数矩阵为：
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-=3211A ， （2分）
特征多项式为：
5432
11)det(2+-=---=
-λλλ
λλE A ，
其特征根为：,221i ±=，λ， （4分）
当i +=2λ时，由方程组
01211=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡----b a i i ， 可解得特征向量为：
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+=i T 11 （6分） 由
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++t t t ie t t t e i e
t t t
i sin cos sin sin cos cos 1122)2(， （8分） 可知方程组的基本解组为：
⎥
⎦
⎤
⎢⎣
⎡+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡-t t t e t t t e t t sin cos sin sin cos cos 22，. （10分）
五、综合能力与创新能力测试题（每小题10分，本题共20分）
18．证明 由于)(1x y ϕ=和)(2x y ϕ=是两个线性无关解，则它们的朗斯基行列式 0)()()
()()(21
21≠''=
x x x x x W ϕϕϕϕ （*） （5分）
假如它们有共同零点，那么存在一个点0x ，使得
)(01x ϕ=0)(02=ϕx 于是
0)()(0
0)()()()()(02010201
02010=''=''=
x x x x x x x W ϕϕϕϕϕϕ
19．解:令y x y x M +=2
),(,)(),(x f y x N =,由所给方程有积分因子x =μ知
,)
()(x
xN y xM ∂∂=∂∂ （4分） 即)()(x f x f x x +'=,因此函数)(x f 满足一阶线性方程
,1)
()(+-
='x
x f x f (6分) 求出其通解即得使所给方程有积分因子x =μ的函数)(x f 为
,2
)(x
x C x f +=
其中C 为任意常数. (10分)。