数学系常微分方程期末试卷B及答案

试卷（B）

试卷份数考试本科考试科目常微分方程

年月日

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12-13-2学期期末考试

《常微分方程》B 参考答案及评分标准

（数计学院 ）

制卷 审核 一、填空题（每小题3分，本题共15分）

1．1±=y 2．x x 2cos ,2sin

3．xoy 平面

4．充分必要 5．不能

二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）

6．A 7．C 8．C 9．D 10．D

三、简答题（每小题6分，本题共30分）

11．解 分离变量得

x y x

y

d e d e = （3分）

等式两端积分得通积分

C x

y

+=e e （6分）

12．解 令

u x y =，则x

u

x

u x y d d d d +=，代入原方程，得 u u x u x u tan d d +=+，u x

u

x tan d d = （2分）

当0tan ≠u 时，分离变量，再积分，得

C x

x

u u ln d tan d +=⎰⎰ （4分）

C x u ln ln sin ln += （5分） 即通积分为：

Cx x

y

=sin

（6分）

13．解 方程两端同乘以5

-y ，得

x y x

y

y

+=--45

d d （2分） 令 z y =-4，则x

z x y y d d d d 45=--，代入上式，得 x z z

=--d 1 （3分）

4

1e 4+

-=-x C z x 原方程通解为 41

e 44

+-=--x C y

x （6分）

14．解： 因为

x

N

x y M ∂∂==∂∂2，所以原方程是全微分方程 （2分） 取)0,0(),(00=y x ，原方程的通积分为

C y y x xy y

x

=-⎰⎰

20

d d 2 （4分）

即 C y y x =-

3

2

3

1 （6分）

15．解： 因为方程组是二阶线性驻定方程组，且满足条件

00≠=ac c

b a ，故奇点为原点（0，0） 2分

又由det(A-λE)=

0)(0

2=++-=--ac c a c b a λλλ

λ得 c a ==21λλ 4分

所以，方程组的奇点（0，0）可分为以下类型：

a ，c 为实数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧>><<⎭⎬

⎫=≠=⎪⎩

⎪⎨⎧<⎩⎨⎧>><<>≠不稳定结点，稳定结点奇点为奇结点奇点为退化结点奇点为鞍点（不稳定）不稳定结点稳定结点

奇点为结点,0,00,0,0,00,0,0,0,00c a c a b b c a ac c a c a ac c a 6分

四、计算题（每小题10分，本题共20分）

16．解：对应齐次方程的特征方程为052

=-λλ （1分） 特征根为：

特征根为01=λ，52=λ， （2分）

齐次方程的通解为 x

C C y 521e += （4分） 因为0=α是特征根。所以，设非齐次方程的特解为

)()(2

1C Bx Ax x x y ++= （6分）

代入原方程，比较系数确定出

31=

A ，51=

B ，25

2=C 原方程的通解为

x x x C C y x 25

2

5131e 23521++++= （10分）

17．解： 其系数矩阵为：

⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡-=3211A ， （2分）

特征多项式为：

5432

11)det(2+-=---=

-λλλ

λλE A ，

其特征根为：,221i ±=，λ， （4分）

当i +=2λ时，由方程组

01211=⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡----b a i i ， 可解得特征向量为：

⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡+=i T 11 （6分） 由

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++t t t ie t t t e i e

t t t

i sin cos sin sin cos cos 1122)2(， （8分） 可知方程组的基本解组为：

⎥

⎦

⎤

⎢⎣

⎡+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡-t t t e t t t e t t sin cos sin sin cos cos 22，. （10分）

五、综合能力与创新能力测试题（每小题10分，本题共20分）

18．证明 由于)(1x y ϕ=和)(2x y ϕ=是两个线性无关解，则它们的朗斯基行列式 0)()()

()()(21

21≠''=

x x x x x W ϕϕϕϕ （*） （5分）

假如它们有共同零点，那么存在一个点0x ，使得

)(01x ϕ=0)(02=ϕx 于是

0)()(0

0)()()()()(02010201

02010=''=''=

x x x x x x x W ϕϕϕϕϕϕ