工程力学_ 平面任意力系_本周课件、知识点小结_

O
x
FR
MO
第二节 平面任意力系的平衡方程
一、平面任意力系的平衡方程 1. 基本形式·两投影一矩式
Fix 0 Fiy 0
MO Fi 0
说明： 1）可解 3 个未知量 2）投影轴与矩心位置均可任意选择
2. 一投影两矩式
Fix 0 M A Fi 0
M B Fi 0
式中，A、B 两点连线不垂直于 x 轴
3. 三矩式
M A Fi 0 M B Fi 0
MC Fi 0
式中，A、B、C 三点不共线
二、平面平行力系的平衡方程
1. 基本形式·一投影一矩式
Fiy 0
MO Fi 0
2. 两矩式
y F2
F1
Fi
Fn
O
x
M A Fi 0
l 2
M
Fl
0
解得固定端 A 处的约束力
FAx 0
FAy ql F
MA
ql 2 2
Fl
M
[例3] 外伸梁 AB 如图所示，沿全长有均布载荷 q = 8 kN/m 作用，两
支座中间有一集中力 F = 8 kN 作用。已知 a = 1 m ，若不计梁自重，
试求铰支座 C、B 处的约束力。
qF
解： 1）选取外伸梁 AB 为研究对象
F3
75.0 N cm
FR 20.46 N MO 75.0 N cm 由于主矢 FR 0 且 MO ≠ 0，故此力系可合成为一个合力 合力矢 FR FR ，其作用线离坐标原点 O 的距离
d MO 75.02 3.667 cm FR 20.46
合力作用线的位置如图所示
y
y
d
O
x
FR
不计构架自重，试求支座 A 处的约束力以及杆 BC 所受的力。
C
A
D
r
B
P
2m 1m
3m
FT
FAx A
D
FAy
FB
B
P
解： 1）选取滑轮、杆 AB 与物块组成的系统为研究对象 2）受力分析
B M
A M Fd M B F
结论：同一平面内的一个力和一个力偶可以合成为一个力
二、平面任意力系向一点的简化
F1
F2
F1
F2 F2
M 2 M O F2
M 2 F2
FR MO
O
Fn
M1 M O F1
F1 F1
M1 O M n
Fn
M n M O Fn
Fn Fn
O
平面任意力系向其作用面内任一点 O 简化，结果一般为一个力和
qM
F
FAx
A a
l
B
MA
A
FAy
qM
F
B
解： 1）选取梁 AB 为研究对象 2）受力分析
qM
F
q ql M
F
FAx
A a
l
B
MA
A
y
FAy
O
B
x
3）选取坐标轴，列平衡方程
Fi x 0, Fi y 0,
M A (Fi ) 0, 4）求解未知量
FAx 0
FAy ql F 0
M
A
ql
FRx
O
x
MO
FR
y
力系对原点 O 的主矩
M O M O (Fi ) F2 cos 30 3 F2 sin 30 2 F3 cos 60 3 F3 sin 60 3 F4 cos 45 2 F4 sin 45 5
F2 30 (2,3)
F1
O
x
(3, 3)
60
45 (5, 2) F4
1）FR 0 且 MO = 0： 原力系平衡 2）FR 0 但 MO ≠ 0： 原力系合成为一个合力偶 3）FR 0 但 MO = 0： 原力系合成为一个作用线通过简化中心 O
的合力
4）FR 0 且 MO ≠ 0： 原力系合成为一个作用线不通过简化中心 O 的合力
四、两个重要结论
1. 平面固定端的约束力
2）受力分析
B
A
C
3）选取坐标轴，列平衡方程
a
a
a
MC (Fi ) 0 ,
FB
2a
F
a
3qa
a 2
0
Fiy 0 , FC FB 3qa F 0
4）求解未知量
y
3qa
q
F
B
A
C
FC
FB
解得铰支座 C、B 处的约束力分别为 FB 10 kN FC 22 kN
[例4] 一重 P = 1.8 kN 的物块悬挂在图示构架上。已知 = 45°，若
Fi
MA
FA
A
A
Fi
MA
FA y FA x
Fi
A
平面固定端的约束力可表达为一对正交约束力和一个约束力偶
2. 分布载荷的合成结果 均布载荷
q Fq ql
A
B
l/2
l
线性分布载荷
Fq ql /2 q
A
B
2l /3
l
[例1] 如图，已知 F1 = 10 N、F2 = 20 N、F3 = 25 N、F4 = 12 N，各力 作用点的坐标如图，单位为 cm 。试向坐标原点 O 简化此力系并求
其合成结果。
y
y
F2
30 (2,3)
O
MO
x
FR
F1
O
x
(3, 3)
60
45 (5, 2) F4
F3
解：力系向坐标原点 O 简化，结果为 1 个主矢和 1 个主矩
其中，力系主矢 FR 在 x 、y 轴上的投影分别为
FRx Fix F1 F2 cos 30 F3 cos 60 F4 cos 45 3.304 N
第四章 平面任意力系
平面任意力系： 各力的作用线在同一平面内任意分布的力系 本章讨论平面任意力系的简化（合成）与平衡问题
第一节 平面任意力系向一点的简化
一、力的wk.baidu.com移定理
作用于刚体上的力可等效地平移至任一指定点，但必须附加一力 偶，附加力偶的矩就等于原力对指定点的矩。
F
F
F
B d
A
F
B d
F A F F
M B Fi 0
式中，A、B 两点连线不平行于 y 轴
说明： 1）可解 2 个未知量 2） y 轴平行于力系 3）矩心位置可任意选择
[例2] 如图，悬臂梁 AB 上作用有矩为 M 的力偶和集度为 q 的均 布载荷，在梁的自由端还受一集中力 F 的作用，梁长为 l ，试求 固定端 A 处的约束力。
FRy Fiy F2 sin 30 F3 sin 60 F4 sin 45 20.20 N
FRx 3.304 N
FRy 20.20 N
y
主矢 FR 的大小 FR FRx2 FRy2 20.46 N 主矢指向第三象限，与 x 轴所夹的锐角
arctan FRy arctan 6.113 80.8
一个力偶。该力矢等于原力系中各力的矢量和，称为原力系的主
矢； 该力偶的矩等于原力系中各力对简化中心 O 的矩的代数和，
称为原力系的主矩。
主矢：
FR Fi
主矩：
M O M O Fi
说明： 1）主矢与简化中心无关；
2）主矩与简化中心有关。
F1
F2
Fn
FR MO
O
三、平面任意力系简化结果的讨论