工程力学_ 平面任意力系_本周课件、知识点小结_
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第3章平面任意力系-PPT文档资料
A
1m 1m
60o
1m
B
30o 18kN
解:求力系的主矢
Rx= 20cos60o + 18cos30o = 25.59 kN Ry= 25+ 20sin60o- 18sin30o = 33.32 kN
2 2 2 2 R R R 25 . 59 32 . 3 42 . 01 kN x y
由 m ( F ) 0 A i 2 P P 2 a N 3 a 0 , N B B 3
X 0
Y0
X 0 A
Y N P 0 , B B
P Y A 3
例题3.2图示力系有合力.试求合力的大小,方向及作
用线到A点的距离.
25kN
20kN
第3章平面任意力系
• 3.1力向一点平移 • 3.2平面任意力系向作用面内一点简化 • 3.3平面任意力系的平衡方程及其应用
3.1力向一点平移
一、力的平移定理： 可以把作用在刚体上点A的力 平行移到任一点 B，但必须同时附加一个力偶。这个力偶的矩等于 原来的力对新作用点B的矩。 一个力平移的结果可得到同平面的
R 25 . 59 0 x arccos arccos 52 . 48 R 42 . 01
一个力和一个力偶.反之同平面的一个 力F1和一个力偶矩为m的力偶也一定 能合成为一个大小和方向与力F1相同 的力F其作用点到力作用线的距离为:
F m o
d
A
d
m F1
3.2 平面任意力系向一点的简化
向一点简化 一般力系（任意力系） 汇交力系+力偶系 （未知力系） （已知力系） 汇交力系 力 ， R'(主矢) ， (作用在简化中心) 力偶系 力偶 ，MO (主矩) ， (作用在该平面上)
第三章平面任意力系(授课)PPT资料126页
M A1 2q2l0.70F7 lM
2、平面平行力系的平衡方程
Fx 0 Fx 0 Fy 0
0 0 0 0
F 1 c o F 2 c s o F 3 c s o 0 s
F s i F n s i F n s i n 0
1
2
3
题例3-5
一种车载式起重机，车重P1= 26 kN，起重机伸臂重P2 = 4.5 kN，起重机的旋转与固定部分共重P3 = 31 kN。尺寸如 图所示。试求车子不致翻倒的最大起吊重量Pmax 。
1. 静定和超静定的概念
如果所考察的物体的未知约束力数目恰好等于独立平 衡方程的数目，那些未知数就可全部由平衡方程求出，这 类问题称为静定问题。
若未知约束力的数目多于独立平衡方程的数目，仅仅 用刚体静力学平衡方程不能全部求出那些未知数，这类问 题称为超静定（或静不定）问题。
F
P
图（a）
P
图（c）
P 1 2 P ( 2 .5 3 ) P 2 2 .5 0
求解得
Pmax7.5kN
§3-3 物体系的平衡·静定和超静定问题
前面讨论了平面问题中几种力系的平衡问题。对应于 每一种力系，其独立的平衡方程数目都是一定的，平面任 意力系有三个，平面汇交力系和平面平行力系各有两个， 平面力偶系只有一个。因此，对于每一种力系，能求解的 未知数的数目也是一定的。
0.76k8N
2m
所以，主矢的大小
FR FR x2FR y20.79k4N
主矢的方向：
coF sR ,iF FR R x 0.614
F R ,i5.1 2
2. 求主矩MO M O M OF
2m
y
F2
A 60
°
工程力学课件 04平面力系共53页文档
8
零力系：力系的主矢量和对任一点的主矩均等于零。
力系等效定理： 两个力系相互等效的充分与必要条件是主矢量相等，对任
一点的主矩相等。 适用范围：刚体。 应用：力系的简化。
9
§4-2 平面任意力系向一点简化
M2
M1
FR
M3
向任一点O简化
平面任意力系 （未知力系）
平面汇交力系：力（主矢量）：FR=F
（已知力系） (作用在简化中心)
P1，P2，……，Pn，选定矩心O点，各力作用点对于矩心的矢 径分别为： r1，r2，……，rn 。则该力系对O点的主矩为：
M O r i F i M O F i M Oi
M O x r i F ix M O x i M xi
MOyMyi MOzMzi
M O M 2 o x M 2 o y M 2 o z M x 2 i M y2 i M z2 i
A
MA
l
（3）列平衡方程，求未知量。
q
B
F
M A(Fi)0
雨搭
车刀
12
固定端（插入端）约束的约束反力：
①认为Fi这群力在同一平面内;
② 将Fi向A点简化得一力和一力偶;
FRA
③FRA方向不定可用正交 分力FAx, FAy表示;
④ FAx, FAy, MA为固定端约束反力;
FAy
⑤ FAx, FAy 限制物体平动, MA为限制转动。
FAx
13
❖ 简化结果分析 • 合力矩定理
Fn
FR
FR' FR'2xFR'2yFR'2z( F x)i2( F y)i2( F z)i2
co s F x,ico s F y,ico s F zi
零力系：力系的主矢量和对任一点的主矩均等于零。
力系等效定理： 两个力系相互等效的充分与必要条件是主矢量相等，对任
一点的主矩相等。 适用范围：刚体。 应用：力系的简化。
9
§4-2 平面任意力系向一点简化
M2
M1
FR
M3
向任一点O简化
平面任意力系 （未知力系）
平面汇交力系：力（主矢量）：FR=F
（已知力系） (作用在简化中心)
P1，P2，……，Pn，选定矩心O点，各力作用点对于矩心的矢 径分别为： r1，r2，……，rn 。则该力系对O点的主矩为：
M O r i F i M O F i M Oi
M O x r i F ix M O x i M xi
MOyMyi MOzMzi
M O M 2 o x M 2 o y M 2 o z M x 2 i M y2 i M z2 i
A
MA
l
（3）列平衡方程，求未知量。
q
B
F
M A(Fi)0
雨搭
车刀
12
固定端（插入端）约束的约束反力：
①认为Fi这群力在同一平面内;
② 将Fi向A点简化得一力和一力偶;
FRA
③FRA方向不定可用正交 分力FAx, FAy表示;
④ FAx, FAy, MA为固定端约束反力;
FAy
⑤ FAx, FAy 限制物体平动, MA为限制转动。
FAx
13
❖ 简化结果分析 • 合力矩定理
Fn
FR
FR' FR'2xFR'2yFR'2z( F x)i2( F y)i2( F z)i2
co s F x,ico s F y,ico s F zi
理论力学平面任意力系课件
则都是基于矢量运算的基本原理。
05
平面任意力系的应用
平面任意力系在工程中的应用
桥梁和建筑结构
在桥梁和建筑结构的设计和施工中， 需要分析平面任意力系对结构的影响 ，以确保结构的稳定性和安全性。
机械系统
航空航天
在航空航天领域，平面任意力系分析 对于飞行器的设计和性能优化至关重 要，它涉及到飞行器的稳定性、操控 性和安全性等方面。
平衡方程的应用举例
总结词
理解平衡方程的应用场景
详细描述
通过具体的应用举例，能够更好地理解平衡方程的应用场景和实际意义。例如，在工程 实际中，可以运用平衡方程解决各种平面力系的平衡问题，如吊车梁、桥梁、支架等结 构的稳定性分析。此外，平衡方程在机械、航空航天、土木工程等领域也有广泛的应用
。
04
平面力系的合成与分解
力矩和力矩的平衡方程
要点一
总结词
力矩是描述力的转动效果的物理量，其平衡方程是解决转 动问题的关键。
要点二
详细描述
力矩是描述力的转动效果的物理量，其大小等于力和力臂 的乘积。在平面问题中，通常需要分析力和力矩的作用效 果，以确定物体的运动状态。通过建立力矩的平衡方程， 可以求解出未知量，从而解决转动问题。
应用场景
在分析刚体平衡时，可以将力平移到 刚体的任意一点，简化分析过程。
平面任意力系的简化结果
主矢
所有力矢量按平行移动到同一点 后的等效力矢量。
主矩
所有力矩矢量按平行移动到同一 点后的等效力矩矢量。
固定点和刚体的选择对简化结果的影响
固定点选择
选择不同的固定点进行力的平移，会得到不同的主矢和主矩 。固定点的选择会影响到平面任意力系的简化结果。
刚体选择
05
平面任意力系的应用
平面任意力系在工程中的应用
桥梁和建筑结构
在桥梁和建筑结构的设计和施工中， 需要分析平面任意力系对结构的影响 ，以确保结构的稳定性和安全性。
机械系统
航空航天
在航空航天领域，平面任意力系分析 对于飞行器的设计和性能优化至关重 要，它涉及到飞行器的稳定性、操控 性和安全性等方面。
平衡方程的应用举例
总结词
理解平衡方程的应用场景
详细描述
通过具体的应用举例，能够更好地理解平衡方程的应用场景和实际意义。例如，在工程 实际中，可以运用平衡方程解决各种平面力系的平衡问题，如吊车梁、桥梁、支架等结 构的稳定性分析。此外，平衡方程在机械、航空航天、土木工程等领域也有广泛的应用
。
04
平面力系的合成与分解
力矩和力矩的平衡方程
要点一
总结词
力矩是描述力的转动效果的物理量，其平衡方程是解决转 动问题的关键。
要点二
详细描述
力矩是描述力的转动效果的物理量，其大小等于力和力臂 的乘积。在平面问题中，通常需要分析力和力矩的作用效 果，以确定物体的运动状态。通过建立力矩的平衡方程， 可以求解出未知量，从而解决转动问题。
应用场景
在分析刚体平衡时，可以将力平移到 刚体的任意一点，简化分析过程。
平面任意力系的简化结果
主矢
所有力矢量按平行移动到同一点 后的等效力矢量。
主矩
所有力矩矢量按平行移动到同一 点后的等效力矩矢量。
固定点和刚体的选择对简化结果的影响
固定点选择
选择不同的固定点进行力的平移，会得到不同的主矢和主矩 。固定点的选择会影响到平面任意力系的简化结果。
刚体选择
工程力学—平面任意力系.ppt
坐标，则∑Fx＝0自然满足。于是平面 平行力系的平衡方程为：
O
F2
x
Fy 0; M O (F ) 0
平面平行力系的平衡方程也可表示为二矩式：
M A (F ) 0; M B (F ) 0
其中AB连线不能与各力的作用线平行。
[例4] 已知：塔式起重机 P=700kN, W=200kN (最大起重 量)，尺寸如图。求：①保证满载 和空载时不致翻倒，平衡块Q=？ ②当Q=180kN时，求满载时轨道 A、B给起重机轮子的反力？
平面汇交力系力， FR (主矢，作用在简化中心) 平面力 偶 系力偶，MO (主矩，作用在该平面上)
4.2 平面任意力系向一点简化·主矢与主矩
平面任意力系中各力的矢量和称为平面任意力系 的主矢。主矢与简化中心的位置无关。
FR FRx + FRy Fxi Fy j
FR ( Fx )2 ( Fy )2
例5 例5 求图示三铰刚架的支座反力。
解：先以整体为研究对象，受力如图。
Fx 0 : FAx FBx F 0
Fy 0 : FAy FBy qa 0
MA(F) 0:
FBy
2a
Fa
qa
3 2
a
0
可解得：
FAy
1 4
qa
1 2
F
FBy
1 2
F
3 4
qa
q F
C
A
B
a
a
q F
C
A
平衡方程
由于 FR ( Fx )2 ( Fy )2 , MO MO (Fi )
所以
Fxi 0
Fyi 0
MO (Fi ) 0
即：平面任意力系平衡的解析条件是：力系中所有各 力在其作用面内任意两个不平行的坐标轴上投影的代 数和等于零，所有各力对任一点之矩的代数和等于零。 上式称为平面任意力系的平衡方程。
理论力学平面任意力系资料课件
稳定性判定准则
根据受力情况，可以判定一个平衡 状态是否稳定，准则包括牛顿第二 定律、虚位移原理和最小势能原理 等。
04 平面任意力系的实例分析
固定端约束的受力分析
01
固定端约束的定义
固定端约束是指物体在某个固定点受到限制，不能沿约束方向移动或转
动。
02 03
固定端约束的受力特点
固定端约束限制了物体在约束方向上的移动和转动，因此会产生约束反 力。约束反力的大小和方向取决于物体的质量、物体的运动状态以及约 束的形式。
光滑接触面的受力分析方法
对于光滑接触面，我们需要分析接触点处物体的受力情况。根据牛顿第三定律，接触点处 物体受到的法向力大小相等、方向相反。因此，只需要分析其中一个物体的受力情况即可 。
弹性力学问题的受力分析
要点一
弹性力学问题的定义
弹性力学问题是指物体在受到外力作 用时，其内部会产生应力和应变，当 外力消失时，物体能够恢复到原来的 状态。
力的合成
两个或多个分力可以合成一个合力。合力的大小和方向等于 各分力大小和方向的矢量和。
力的矩与转动
力的矩
力对某点产生的力矩等于该点到该力的距离乘以该力的大小。力矩的方向垂直于由力作用点到该点的 向量和该点到转动轴的向量所组成的平面。
转动平衡
当物体所受的合力矩为零时，物体处于转动平衡状态。此时，物体的角速度为零，或者角加速度也为 零。
05 平面任意力系的计算方法
解析法求解平衡问题
01
02
03
解析法
通过已知的约束反力和未 知的约束反力，建立平衡 方程，求解未知的约束反 力。
平衡方程
根据力的平衡条件，建立 的关于约束反力的代数方 程。
求解步骤
根据受力情况，可以判定一个平衡 状态是否稳定，准则包括牛顿第二 定律、虚位移原理和最小势能原理 等。
04 平面任意力系的实例分析
固定端约束的受力分析
01
固定端约束的定义
固定端约束是指物体在某个固定点受到限制，不能沿约束方向移动或转
动。
02 03
固定端约束的受力特点
固定端约束限制了物体在约束方向上的移动和转动，因此会产生约束反 力。约束反力的大小和方向取决于物体的质量、物体的运动状态以及约 束的形式。
光滑接触面的受力分析方法
对于光滑接触面，我们需要分析接触点处物体的受力情况。根据牛顿第三定律，接触点处 物体受到的法向力大小相等、方向相反。因此，只需要分析其中一个物体的受力情况即可 。
弹性力学问题的受力分析
要点一
弹性力学问题的定义
弹性力学问题是指物体在受到外力作 用时，其内部会产生应力和应变，当 外力消失时，物体能够恢复到原来的 状态。
力的合成
两个或多个分力可以合成一个合力。合力的大小和方向等于 各分力大小和方向的矢量和。
力的矩与转动
力的矩
力对某点产生的力矩等于该点到该力的距离乘以该力的大小。力矩的方向垂直于由力作用点到该点的 向量和该点到转动轴的向量所组成的平面。
转动平衡
当物体所受的合力矩为零时，物体处于转动平衡状态。此时，物体的角速度为零，或者角加速度也为 零。
05 平面任意力系的计算方法
解析法求解平衡问题
01
02
03
解析法
通过已知的约束反力和未 知的约束反力，建立平衡 方程，求解未知的约束反 力。
平衡方程
根据力的平衡条件，建立 的关于约束反力的代数方 程。
求解步骤
工程力学第3章 平面任意力系
y
l
l
F
60
l
l D
M
B
D
F
60
M
B
3l
G
A
F1
l
G MA
FAy
x A
q
FAx
2. 按图示坐标，列写平衡方程。
F F
x
0, 0,
l
60
y l D
FAx F1 F sin 60 0
y
FAy P F cos 60 0
F
M
M F 0,
A
B
M A M F1 l F cos 60 l F sin 60 3l 0
G3 A
1.8 m
G2
G
G1
2.0 m
B
2.5 m 3.0 m
FA
FB
解：
1.取汽车及起重机为研究 对象，受力分析如图。 2.列平衡方程。
G3 G2 G
3.0 m
A1.8 mຫໍສະໝຸດ G12.0 mB
2.5 m
F 0,
M F 0,
B
FA
FB
FA FB G G1 G2 G3 0
C
B
F
cos 45 FAx FC cos 45 2 F 20 kN FAy F FC sin 45 F 10 kN
FC 2 F
28.28 kN
若将力FAx和FAy合成，得
2 2 FRA FAx FAy 22.36 kN
例 题 3
(条件：A、B、C 不在同一直线上)
上式有三个独立方程，只能求出三个未知数。
l
l
F
60
l
l D
M
B
D
F
60
M
B
3l
G
A
F1
l
G MA
FAy
x A
q
FAx
2. 按图示坐标，列写平衡方程。
F F
x
0, 0,
l
60
y l D
FAx F1 F sin 60 0
y
FAy P F cos 60 0
F
M
M F 0,
A
B
M A M F1 l F cos 60 l F sin 60 3l 0
G3 A
1.8 m
G2
G
G1
2.0 m
B
2.5 m 3.0 m
FA
FB
解：
1.取汽车及起重机为研究 对象，受力分析如图。 2.列平衡方程。
G3 G2 G
3.0 m
A1.8 mຫໍສະໝຸດ G12.0 mB
2.5 m
F 0,
M F 0,
B
FA
FB
FA FB G G1 G2 G3 0
C
B
F
cos 45 FAx FC cos 45 2 F 20 kN FAy F FC sin 45 F 10 kN
FC 2 F
28.28 kN
若将力FAx和FAy合成，得
2 2 FRA FAx FAy 22.36 kN
例 题 3
(条件：A、B、C 不在同一直线上)
上式有三个独立方程，只能求出三个未知数。
平面任意力系(工程力学课件)
解：① 选AB梁为研究对象
qF
② 画受力图
FAy
qF
A
B
M
2a
a
FAx A
M
B FB
列平衡方程
M A(F)
0
F
2a q 2a a M
FB
3a
0
FB
5qa 3
Fx 0
Fy 0
FAx 0
FB FAy F 2qa 0,
FAy
4 qa 3
均布载荷
课堂练习 图示为悬臂梁的平面力学简图。已知梁长为2l，作用均布载荷q，
(2)建立直角坐标系，矩心选在A点，列平衡方程得：
MA (F ) 0
l FT sin 30l G1 2 G2 x 0
FT
G1
2G2 x l
34kN
Fx 0 FAx FT cos 30 0
FAx FT cos 30 29.4kN
平面任意力系的
平衡方程及其应用
Fy 0 FAy G1 G2 FT sin 30 0
FAy F ql 2ql
物体系统的平衡
物体系统的平衡
一、静定与静不定(超静定)问题的概念
平面汇交力系
Fx Fy
0 0
两个独立方程，只能求解两个未知数。
平面力偶系 M 0 一个独立方程，只能求解一个未知数。
平面平行力系
Fy 0
M o F
0
两个独立方程，只能求解两个未知数。
平面任意力系
ab
Gb cos
ab
平面任意力系的 平衡方程及其应用
三、平面平行力系的平衡方程
平面平行力系：各力的作用线共面且相互平行的力系。
平面平行力系是平面任意力系的特例，
工程力学理论平面任意力系形式与应用第二章平面力系
第 二 章
程
平
面
力
系
理论力学教学课件
3.2 平面任意力系的平衡方程及其应用
二
、 平
▪ 3.三矩式
面
F C
任 意 力 系 的
m m
A B
(F (F
) )
0 0
mC
(F
)
0
平
B A
非平衡力系
衡
方 程
附加条件：A、B、C三点不在同一直线上。
第 二 章
平 面 力 系
3.2 平面任意力系的平衡方程及其应用
平面任意力系的简化
1、 FR' 0,MO0
原力系简化结果是一合力偶，此时主矩与简化
二 中心的选择无关。
、 简 化
2、 FR' 0,MO0 主矢就是原力系的合力，其作用线通过简化中
结 心。
果
3、 FR' 0,MO0
讨 可以把主矢和主矩合成为一个合力F，合力的
论 大小等于主矢，作用线与主矢平行且相距为d。
取 :R R R
h
M R
2a 2
3.2 平面任意力系的平衡方程及其应用
一、力系平衡条件：合力为零。即R =0
F
' R
0
M O 0
FR ' ( F x)2( F y)2 M O M O(F)
FX 0 Fy 0
M O F 0
第
二
章
平衡方程
平
面
力
系
3.2 平面任意力系的平衡方程及其应用
平面力系
空间力系
平 平平
空空空
面 面面
间间间
汇 平任
汇平任
工程力学 第三章 平面任意力系
M O FR d
合力矩定理：
M o ( FR ) M O M O ( Fi )
3.1.5 平面任意力系的简化结果分析 ⑶平衡的情形
FR 0 M O 0
平衡
与简化中心的位置无关
例3-1 已知作用在梁AB上的 两力a=3m，求合力大小及作 用线位置。 解：
⑴大小： FR=30KN ⑵方向： 铅垂向下 ⑶作用线位置： A
Fy 0 F1 sin F2 sin F3 sin 0
平面平行力系的方程为两个，有两种形式：
Fy 0 M A 0
各力不得与投影轴垂直
M A 0 M B 0
两点连线不得与各力平行
例3-10已知： P 700kN, P2 200kN, AB=4m； 1
3.2.1 平面任意力系的平衡条件 平面任意力系平衡的充要条件是：
力系的主矢和对任意点的主矩都等于零
FR 0 M O 0
3.2.2 平面任意力系的平衡方程
FR ( Fx ) ( Fy )
2
2
M O M O ( Fi )
Fx 0 Fy 0 M O 0
d.方程要标准
例3-4 已知： AC=CB= l，P=10kN;求：铰链A和DC杆 受力。
解：取AB梁，画受力图.
Fx 0 FAx FC cos 45 0 Fy 0 FAy FC sin 45 P 0 M A 0 FC cos 45 l P 2l 0 解得： FC 28.28kN, FAx 20kN, FAy 10kN
例 3-5 已知： 1 4kN, P2 10kN, 尺寸如图； P 求：BC杆受力及铰链A受力。
平面任意力系-PPT
FAx 0
FB 5kN
FAy 7kN
38
平面任意力系平衡方程的其他形式
X 0
M A (Fi ) 0 M B (Fi ) 0
二矩式 条件：x 轴不 AB 连线
R
A
B
x
39
M A (Fi ) 0 M B (Fi ) 0
M C (Fi ) 0
三矩式
条件：A,B,C不在 同一直线上
大小： R Rx2 Ry2 ( X )2 (Y )2
与简化中心位置无关 [因主矢等于各力的矢量和]
方向：
cos(R , i
)
Rx R
15
平
合
移
M1 M
成
M 简化 中心
大小：
M O M O (Fi )
主矩MO 方向： 方向规定 +
—
与简化中心有关
[因主矩等于各力对简化中心取矩的代数和]
16
解得：
FBD 2 2P , FAy P , FAx 2P
45
[例9] 求A处 支座反力。 P=qa m=qa2
a
a
解：[整体]
3a
q
A
46
P=qa
m=qa2
解：[整体]
a
a
X 0,
FAx
1 2
q
(3a)
0
3 qa
3a
2
Y 0 , FA y P 0
1
M A 0 , M A 2 q (3a) a Pa m 0
求：力系向O点的简化结果 合力与OA的交点到点O的距离x， 合力作用线方程
30
解： （1）主矢：
Fx F1 F2 cos 232.9kN Fy P1 P2 F2 sin 670.1kN
平面任意力系
用，已知载荷集度q = 100N/m，力偶矩大小M =
500 N•m。长度AB = 3m，DB=1m。求活动铰支D 和固
定铰支A 旳反力。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
q
M
A
D
B
2m
1m
y
M
NAy
Q
A
NAx
CD
B
x
解：
ND
1、取梁AB为研究对象。
2、受力分析如图，其中Q=q.AB=100×3=300N；作
用在AB旳中点C 。
§3–5 平面任意力系旳平衡条件和平衡方程
第三章 平面任意力系
平面任意力系
各个力旳作用线在同一平面内， 但不汇交于一点，也不都平行旳力 系称为平面任意力系
§3–1 力对点之矩
第 §3–2 力旳平移定理 三 章 §3–3 平面任意力系旳简化•主矢与主矩
平 §3–4 平面任意力系简化成果旳讨论.合力矩定理
面 任
§3–5 平面任意力系旳平衡条件和平衡方程
22
B
F3
2m
R Rx2 Ry2 0.794
cosR、x Rx 0.614
R
R , x 526'
cosR、y
R y
0.789
R
R , y 3754'
F1
O
3m
y A
R
O
F4 C 30° x
B
C
x
§3–4 平面任意力系简化成果旳讨论.合力矩定理
② 求主矩：
LO mo F
y
F2
阐明如下：
R
LO
O
=
R R
Lo
OR A
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式中，A、B 两点连线不垂直于 x 轴
3. 三矩式
M A Fi 0 M B Fi 0
MC Fi 0
式中，A、B、C 三点不共线
二、平面平行力系的平衡方程
1. 基本形式·一投影一矩式
Fiy 0
MO Fi 0
2. 两矩式
y F2
F1
Fi
Fn
O
x
M A Fi 0
O
x
FR
MO
第二节 平面任意力系的平衡方程
一、平面任意力系的平衡方程 1. 基本形式·两投影一矩式
Fix 0 Fiy 0
MO Fi 0
说明： 1）可解 3 个未知量 2）投影轴与矩心位置均可任意选择
2. 一投影两矩式
Fix 0 M A Fi 0
M B Fi 0
不计构架自重，试求支座 A 处的约束力以及杆 BC 所受的力。
C
A
D
r
B
P
2m 1m
3m
FT
FAx A
D
FAy
FB
B
P
解： 1）选取滑轮、杆 AB 与物块组成的系统为研究对象 2）受力分析
一个力偶。该力矢等于原力系中各力的矢量和，称为原力系的主
矢； 该力偶的矩等于原力系中各力对简化中心 O 的矩的代数和，
称为原力系的主矩。
主矢：
FR Fi
主矩：
M O M O Fi
说明： 1）主矢与简化中心无关；
2）主矩与简化中心有关。
F1
F2
Fn
FR MO
O
三、平面任意力系简化结果的讨论
FRy Fiy F2 sin 30 F3 sin 60 F4 sin 45 20.20 N
FRx 3.304 N
FRy 20.20 N
y
主矢 FR 的大小 FR FRx2 FRy2 20.46 N 主矢指向第三象限，与 x 轴所夹的锐角
arctan FRy arctan 6.113 80.8
FRx
O
x
MO
FR
y
力系对原点 O 的主矩
M O M O (Fi ) F2 cos 30 3 F2 sin 30 2 F3 cos 60 3 F3 sin 60 3 F4 cos 45 2 F4 sin 45 5
F2 30 (2,3)
F1
O
x
(3, 3)
60
45 (5, 2) F4
2）受力分析
B
A
C
3）选取坐标轴，列平衡方程
a
a
a
MC (Fi ) 0 ,
FB
2a
F
a
3qa
a 2
0
Fiy 0 , FC FB 3qa F 0
4）求解未知量
y
3qa
q
F
B
A
C
FC
FB
解得铰支座 C、B 处的约束力分别为 FB 10 kN FC 22 kN
[例4] 一重 P = 1.8 kN 的物块悬挂在图示构架上。已知 = 45°，若
第四章 平面任意力系
平面任意力系： 各力的作用线在同一平面内任意分布的力系 本章讨论平面任意力系的简化（合成）与平衡问题
第一节 平面任意力系向一点的简化
一、力的平移定理
作用于刚体上的力可等效地平移至任一指定点，但必须附加一力 偶，附加力偶的矩就等于原力对指定点的矩。
F
F
F
B d
A
F
B d
F A F F
1）FR 0 且 MO = 0： 原力系平衡 2）FR 0 但 MO ≠ 0： 原力系合成为一个合力偶 3）FR 0 但 MO = 0： 原力系合成为一个作用线通过简化中心 O
的合力
4）FR 0 且 MO ≠ 0： 原力系合成为一个作用线不通过简化中心 O 的合力
四、两个重要结论
1. 平面固定端的约束力
l 2
M
Fl
0
解得固定端 A 处的约束力
FAx 0
FAy ql F
MA
ql 2 2
Fl
M
[例3] 外伸梁 AB 如图所示，沿全长有均布载荷 q = 8 kN/m 作用，两
支座中间有一集中力 F = 8 kN 作用。已知 a = 1 m ，若不计梁自重，
试求铰支座 C、B 处的约束力。
qF
解： 1）选取外伸梁 AB 为研究对象
Fi
MA
FA
A
A
Fi
MA
FA y FA x
Fi
A
平面固定端的约束力可表达为一对正交约束力和一个约束力偶
2. 分布载荷的合成结果 均布载荷
q Fq ql
A
B
l/2
l
线性分布载荷
Fq ql /2 q
A
B
2l /3
l
[例1] 如图，已知 F1 = 10 N、F2 = 20 N、F3 = 25 N、F4 = 12 N，各力 作用点的坐标如图，单位为 cm 。试向坐标原点 O 简化此力系并求
M B Fi 0
式中，A、B 两点连线不平行于 y 轴
说明： 1）可解 2 个未知量 2） y 轴平行于力系 3）矩心位置可任意选择
[例2] 如图，悬臂梁 AB 上作用有矩为 M 的力偶和集度为 q 的均 布载荷，在梁的自由端还受一集中力 F 的作用，梁长为 l ，试求 固定端 A 处的约束力。
qM
F
FAx
A a
l
B
MA
A
FAy
qM
F
B
解： 1）选取梁 AB 为研究对象 2）受力分析
qM
F
q ql M
F
FAx
A a
l
B
MA
A
y
FAy
O
B
x
3）选取坐标轴，列平衡方程
Fi x 0, Fi y 0,
M A (Fi ) 0, 4）求解未知量
FAx 0
FAy ql F 0
M
A
ql
B M
A M Fd M B F
结论：同一平面内的一个力和一个力偶可以合成为一个力
二、平面任意力系向一点的简化
F1
F2
F1
F2 F2
M 2 M O F2
M 2 F2
FR MO
O
Fn
M1 M O F1
F1 F1
M1 O M n
Fn
M n M O Fn
Fn Fn
O
平面任意力系向其作用面内任一点 O 简化，结果一般为一个力和
F3
75.0 N cm
FR 20.46 N MO 75.0 N cm 由于主矢 FR 0 且 MO ≠ 0，故此力系可合成为一个合力 合力矢 FR FR ，其作用线离坐标原点 O 的距离
d MO 75.02 3.667 cm FR 20.46
合力作用线的位置如图所示
y
y
d
O
x
FR
其合成结果。
y
y
F2
30 (2,3)
O
MO
x
FR
F1
O
x
(3, 3)
60
45 (5, 2) F4
F3
解：力系向坐标原点 O 简化，结果为 1 个主矢和 1 个主矩
其中，力系主矢 FR 在 x 、y 轴上的投影分别为
FRx Fix F1 F2 cos 30 F3 cos 60 F4 cos 45 3.304 N