关于曲线上某个点的切线的斜率的推理

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法线切线斜率的关系

法线切线斜率的关系法线和切线是解析几何中常见的概念，它们在数学和物理学中有着重要的应用。

而法线切线斜率则描述了这两条线的斜率之间的关系。

本文将围绕这一关系展开讨论，并深入探究其背后的数学原理和物理意义。

一、法线和切线的定义和性质我们先来了解一下法线和切线的定义和性质。

在解析几何中，给定一条曲线上的一点P，以P为切点的切线是曲线与此切线相切于P 点且仅有一个公共点的直线。

而以P为切点的法线是与此切线垂直的直线。

切线和法线的斜率分别称为切线斜率和法线斜率。

二、切线斜率的定义和计算方法切线斜率的定义是切线与x轴正方向之间的夹角的正切值。

设曲线方程为y=f(x)，切线斜率可通过求导得到。

具体而言，我们可以计算曲线函数在切点的导数，即切线的斜率。

若曲线函数为y=f(x)，则切线斜率为f'(x)。

这意味着切线斜率可以通过求导来计算。

三、法线斜率的定义和计算方法法线斜率的定义是法线与x轴正方向之间的夹角的正切值。

由于法线与切线互为垂直关系，故法线斜率与切线斜率之积为-1。

设切线斜率为k，则法线斜率为-1/k。

这意味着我们可以通过切线斜率的倒数来计算法线斜率。

根据切线斜率和法线斜率的定义，我们可以得到法线切线斜率之间的关系。

设切线斜率为k，法线斜率为m，则根据前述推导，有m=-1/k。

也就是说，法线斜率与切线斜率互为倒数关系。

五、物理意义和应用法线和切线的概念不仅在数学中有应用，也在物理学中有重要的意义。

在物理学中，曲线往往表示某一物理量随着另一物理量的变化而变化的规律。

切线斜率描述了曲线的变化速率，而法线斜率则描述了曲线的变化趋势。

举个例子来说，我们考虑一个物理问题：某一物体的速度随时间的变化曲线。

速度-时间曲线上的某一点的切线斜率就是该点的加速度，而法线斜率则描述了加速度的变化趋势。

如果法线斜率为正，表示加速度逐渐增大；如果法线斜率为负，表示加速度逐渐减小。

这样，我们就可以通过法线斜率来分析物体的加速度变化规律。

【教案】变化率问题(第2课时)教学设计高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册

第五章一元函数的导数及其应用《5.1.1变化率问题》教学设计第2课时◆教学目标1．通过求曲线上某点处切线斜率的过程，体会求切线斜率的一般方法.2. 理解函数的平均变化率，瞬时变化率的概念．◆教学重难点◆教学重点：理解曲线上某点处切线斜率的概念及算法教学难点：理解函数的平均变化率，瞬时变化率的概念◆课前准备PPT课件．◆教学过程【新课导入】问题1：阅读课本第62~64页，回答下列问题：（1）本节将要探究哪类问题？（2）本节探究的起点是什么？目标是什么？师生活动：学生带着问题阅读课本，并在本节课中回答相应问题．（1）本节课主要学习变化率问题：曲线上某点处切线斜率的问题．（2）总结归纳出一般函数的平均变化率概念和瞬时变化率的概念，在此基础上，要求学生掌握函数平均变化率和瞬时变化率解法的一般步骤．平均变化率是个核心概念，它在整个高中数学中占有及其重要的地位，是研究瞬时变化率及其导数概念的基础．在这个过程中，注意特殊到一般、数形结合等数学思想方法的渗透．一般曲线的切线的概念与学生熟悉的圆的切线的定义方式不同，学生不易理解，因此曲线的切线概念是本节的教学难点．通过本节的学习，学生的数学抽象和直观想象素养将得以提升．设计意图：通过阅读读本，让学生明晰本阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架．问题2：什么叫直线与圆相切？师生活动：学生回顾并回答．预设的答案：如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么这条直线与这个圆相切．对于一般的曲线C，如何定义它的切线呢？设计意图：通过复习直线与圆相切，引出问题，进入新课．【探究新知】知识点1：曲线在某点处的切线我们以抛物线f （x ）=x 2为例进行研究．问题3：如何定义抛物线2()f x x =在点0(11)P ，处的切线？师生活动：学生思考，尝试回答，教师讲解．与研究瞬时速度类似，为了研究抛物线2()f x x =在点0(11)P ，处的切线，我们通常在点0(11)P ，的附近任取一点2()P x x ，，考察抛物线2()f x x =的割线0P P 的变化情况.如图，当点P 无限趋近于点0P 时，割线0P P 无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线0PT 称为抛物线2()f x x =在点0(11)P ，处的切线. 知识点2：曲线在某点处的切线斜率抛物线2()f x x =在点0(11)P ，处的切线0PT 的斜率与割线0P P 的斜率有内在联系.记1x x ∆=-，则点P 的坐标是2(1Δ(1Δ))x x ++，.于是，割线0P P 的斜率2()(1)(1Δ)1Δ21(1Δ)1f x f x k x x x -+-===+-+-.我们可以用割线0P P 的斜率k 近似地表示切线0PT 的斜率0k ，并且可以通过不断缩短横坐标间隔||x ∆来提高近似表示的精确度，得到如下表格.0x ∆< 0x ∆>x ∆ Δ2k x =+ x ∆ Δ2k x =+ 0.01-1.990.012.010.001-1.9990.0012.0010.0001- 1.9999 0.0001 2.0001 0.00001- 1.99999 0.00001 2.00001 0.000001-1.9999990.0000012.000001…… ……当x ∆1时，割线0P P 的斜率k 都无限趋近于2.事实上，由(1Δ)(1)Δ2Δf x f k x x+-==+可以直接看出，当x ∆无限趋近于0时，Δ2x +无限趋近于2.我们把2叫做“当x ∆无限趋近于0时，(1Δ)(1)Δf x f k x +-=的极限”，记为Δ0(1Δ)(1)lim 2Δx f x f x→+-=.从几何图形上看，当横坐标间隔||x ∆无限变小时，点P 无限趋近于点0P ，于是割线0P P 无限趋近于点0P 处的切线0PT .这时，割线0P P 的斜率k 无限趋近于点0P 处的切线0PT 的斜率0k .因此，切线0PT 的斜率02k =.【巩固练习】例1 已知函数1y x x=-，求该函数在点x ＝1处的切线斜率．师生活动：学生分组讨论，每组派一代表回答，教师完善．预设的答案：∵11(1)(1)11y x x ∆=+∆---+∆111x x =+∆-+∆1xx x ∆=∆++∆111y x x ∆=+∆+∆，∴斜率k ＝001lim lim(1)1121x x y x x∆→∆→∆=+=+=∆+∆．设计意图：通过求曲线上某点处切线斜率的问题，加深学生对曲线在某点处的切线和切线斜率的理解，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养．方法总结：求曲线y =f （x ）在点（x 0，f （x 0））处的切线斜率 (1)计算00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆，（2）计算0limx yx∆→∆∆，该值即为曲线y =f （x ）在点（x 0，f （x 0））处的切线斜率．例2已知函数f (x )＝3x 2＋5，曲线y =f （x ）在点（（x 0，f （x 0））处的切线方程．师生活动：学生分组讨论，每组派一代表回答，教师完善．预设的答案：因为f (x )＝3x 2＋5，所以Δy = f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝3(x 0＋Δx )2＋5－(3x 02＋5) =3 x 02＋6 x 0Δx ＋3(Δx )2＋5－3 x 02－5＝6 x 0Δx ＋3(Δx )2. 所以063yx x x∆=+∆∆，所以0000limlim(6)6x x yx x x x ∆→∆→∆=+∆=∆，所以曲线y =f （x ）在点（x 0，f （x 0））处的切线斜率为6 x 0，所以曲线y =f （x ）在点（x 0，f （x 0））处的切线方程为000()6()y f x x x x -=-，即200635y x x x =-+．方法总结：求曲线y =f （x ）在点（x 0，f （x 0））处的切线方程(1)计算00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆，（2）计算0limx y x ∆→∆∆，即曲线y =f （x ）在点（x 0，f （x 0））处的切线斜率为0lim x yk x∆→∆=∆．（3）写出切线方程00()()y f x k x x -=-．设计意图：通过求曲线上某点处切线的方程问题，进一步加深学生对曲线在某点处的切线的理解，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养．练习：教科书P 64 练习1、2设计意图：通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养．【课堂总结】1．板书设计：5.1.1变化率问题新知探究巩固练习知识点1：曲线在某点处的切线例1 知识点2：曲线在某点处的切线斜率例22．总结概括：（1）什么叫曲线在某点处的切线；（2）如何求曲线在某点处的切线斜率．师生活动：学生总结，老师适当补充．设计意图：通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力． 3．课堂作业：教科书P 70 习题5.1 2、4、7【目标检测设计】1.在曲线2y x =上取一点(1)1，及附近一点()11x y +∆+∆，，则曲线在点(1)1，处的切线的斜率为( ) A.12x x∆++∆ B.2 C .2x ∆+ D.12x x+∆-∆ 设计意图：让学生进一步理解曲线在某点处的切线及切线斜率的求解. 2.已知曲线11y x =-上两点112222A B x y ⎛⎫⎛⎫-+∆-+∆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，当1x ∆=时，割线AB 的斜率为_______. 3．求曲线24y x =在x ＝2处的切线的方程．设计意图：让学生进一步理解曲线在某点处的切线方程的求法.参考答案：1. B 设2()f x x =，则2000(1)(1)(1)1limlim lim(2)2x x x f x f x x x x∆→∆→∆→+∆-+∆-==∆+=∆∆.故选B.2.16-设1()1f x x =-，则1111(2)(2)1122222(2)x f x f x x x -∆⎛⎫⎛⎫+∆-=---=-= ⎪ ⎪+∆+∆+∆⎝⎭⎝⎭，则(2)(2)12(2)2(2)xf x f x xx x ∆-+∆--+∆==∆∆+∆，当1x ∆=时，割线AB 的斜率112(21)6k -==-⨯+.3．解：∵2222()4(2)2(24)4x xy x x -∆-∆∆=-=+∆+∆，24(2)y x x x ∆-∆-=∆+∆ ∴20044limlim 1(2)4x x y x x x ∆→∆→∆-∆--===-∆+∆，∴曲线24y x=在x ＝2处的切线的斜率为-1， ∴曲线24y x=在x ＝2处的切线的方程为y -1=-1（x -2），即y =-x +3．。

高考数学压轴题讲练：专题02 曲线的切线问题探究【解析版】

第一章函数与导数专题02 曲线的切线问题探究【压轴综述】纵观近几年的高考命题，对曲线的切线问题的考查，主要与导数相结合，涉及切线的斜率、倾斜角、切线方程等问题，题目的难度有难有易.利用导数的几何意义解题，主要题目类型有求切线方程、求切点坐标、求参数值（范围）等.与导数几何意义有关问题的常见类型及解题策略有： 1.已知斜率求切点．已知斜率k ，求切点()()11,x f x ，即解方程()f x k '=.2.求切线方程：注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线.即注意两个“说法”：求曲线在点P 处的切线方程和求曲线过点P 的切线方程，在点P 处的切线，一定是以点P 为切点，过点P 的切线，不论点P 在不在曲线上，点P 不一定是切点．（1）已知切点求切线方程：①求出函数()y f x =在点0x x =处的导数，即曲线()y f x =在点()()00,x f x 处切线的斜率；②由点斜式求得切线方程为()()000y y f x x x '-=-．（2）求过点P 的曲线的切线方程的步骤为：第一步，设出切点坐标P ′(x 1，f(x 1))；第二步，写出过P ′(x 1，f(x 1))的切线方程为y-f(x 1)＝f ′(x 1)(x-x 1)；第三步，将点P 的坐标(x 0，y 0)代入切线方程，求出x 1；第四步，将x 1的值代入方程y-f(x 1)＝f ′(x 1)(x-x 1)可得过点P(x 0，y 0)的切线方程．3.求切线倾斜角的取值范围．先求导数的范围，即确定切线斜率的范围，然后利用正切函数的单调性解决．4.根据导数的几何意义求参数的值（范围）时，一般是利用切点P (x 0，y 0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解．5.已知两条曲线有公切线，求参数值（范围）.6.导数几何意义相关的综合问题．【压轴典例】例1.（2019·江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是____. 【答案】(e, 1). 【解析】设点()00,A x y ，则00ln y x =.又1y x'=，当0x x =时，01y x '=，点A 在曲线ln y x =上的切线为0001()y y x x x -=-，即00ln 1xy x x -=-，代入点(),1e --，得001ln 1ex x ---=-，即00ln x x e =，考查函数()ln H x x x =，当()0,1x ∈时，()0H x <，当()1,x ∈+∞时，()0H x >，且()'ln 1H x x =+，当1x >时，()()'0,H x H x >单调递增，注意到()H e e =，故00ln x x e =存在唯一的实数根0x e =，此时01y =，故点A 的坐标为(),1A e .例2.（2019·全国高考真题（理））已知函数()11ln x f x x x -=-+.（1）讨论f (x )的单调性，并证明f (x )有且仅有两个零点；（2）设x 0是f (x )的一个零点，证明曲线y =ln x 在点A (x 0，ln x 0)处的切线也是曲线e xy =的切线. 【答案】（1）函数()f x 在(0,1)和(1,)+∞上是单调增函数，证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】（1）函数()f x 的定义域为(0,1)(1,)⋃+∞，2211()ln ()1(1)x x f x x f x x x x ++'=-⇒=--，因为函数()f x 的定义域为(0,1)(1,)⋃+∞，所以()0f x '>，因此函数()f x 在(0,1)和(1,)+∞上是单调增函数；当(0,1)x ∈，时，0,x y →→-∞，而11112()ln 0111e f e e e e+=-=>--，显然当(0,1)x ∈，函数()f x 有零点，而函数()f x 在(0,1)x ∈上单调递增，故当(0,1)x ∈时，函数()f x 有唯一的零点；当(1,)x ∈+∞时，2222221213()ln 0,()ln 01111e e ef e e f e e e e e e +-+-=-=<=-=>----，因为2()()0f e f e ⋅<，所以函数()f x 在2(,)e e 必有一零点，而函数()f x 在(1,)+∞上是单调递增，故当(1,)x ∈+∞时，函数()f x 有唯一的零点综上所述，函数()f x 的定义域(0,1)(1,)⋃+∞内有2个零点；（2）因为0x 是()f x 的一个零点，所以000000011()ln 0ln 11x x f x x x x x ++=-=⇒=-- 1ln y x y x'=⇒=，所以曲线ln y x =在00A(,ln )x x 处的切线l 的斜率01k x =，故曲线ln y x =在00A(,ln )x x 处的切线l 的方程为：0001ln ()y x x x x -=-而0001ln 1x x x +=-，所以l 的方程为0021x y x x =+-，它在纵轴的截距为021x -.设曲线x y e =的切点为11(,)x B x e ，过切点为11(,)x B x e 切线'l ，x xy e y e '=⇒=，所以在11(,)x B x e 处的切线'l 的斜率为1x e ，因此切线'l 的方程为111(1)x xy e x e x =+-，当切线'l 的斜率11xk e =等于直线l 的斜率01k x =时，即11001(ln )x e x x x =⇒=-，切线'l 在纵轴的截距为01ln 110001(1)(1ln )(1ln )x xb e x ex x x -=-=+=+，而0001ln 1x x x +=-，所以01000112(1)11x b x x x +=+=--，直线',l l 的斜率相等，在纵轴上的截距也相等，因此直线',l l 重合，故曲线ln y x =在00A(,ln )x x 处的切线也是曲线x y e =的切线.例3. （2019·湖北高考模拟（理））已知函数2()1f x x ax =-+，()ln ()g x x a a R =+∈. （1）讨论函数()()()h x f x g x =+的单调性；（2）若存在与函数()f x ，()g x 的图象都相切的直线，求实数a 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）(],1-∞ 【解析】（1）函数()h x 的定义域为()0,∞+,()()()2h x f x g x x ax lnx a 1(x 0)=+=-+++>，所以()212x ax 1x 2x a x xh -+=-+='所以当2Δa 80=-≤即a -≤≤()'x 0h >，()h x 在()0,∞+上单调递增；当2Δa 80=->即a a ><-当a <-()'x 0h >，()h x 在()0,∞+上单调递增；当a >时，令()'x 0h =得x =综上：当a ≤时，()h x 在()0,∞+上单调递增；当a >时()h x 在⎛ ⎝⎭，∞⎫+⎪⎪⎝⎭单调递增，在⎝⎭单调递减.（2）设函数()f x 在点()()11x ,f x 与函数()g x 在点()()22x ,g x 处切线相同，()()111x 2,x f x a g x''=-=，则()()()()121212f x g x x x x x f g -==-''，由1212x a x -=，得121a x 2x 2=+，再由()2112212x ax 1lnx a 1x x x -+-+=- 得2121122x x x ax 1lnx a x -=-+--，把121a x 2x 2=+代入上式得()222221a a lnx a 20*4x 2x 4++++-= 设()221a a F x lnx a 24x 2x 4=++++-（∵x 2＞0，∴x ∈（0，+∞））, 则()23231a 12x ax 1x 2x 2x x 2xF --=--+=' 不妨设20002x ax 10(x 0)--=>. 当00x x <<时，()x 0F '<，当0x x >时，()x 0F '>所以()F x 在区间()00,x 上单调递减，在区间()0x ,∞+上单调递增，把001a=2x x -代入可得：()()20000min1F x F x x 2x lnx 2x ==+-+- 设()21G x x 2x lnx 2x =+-+-，则()211x 2x 20x xG =+++>'对x 0>恒成立，所以()G x 在区间()0,∞+上单调递增，又()G 1=0所以当0x 1<≤时()G x 0≤，即当00x 1<≤时()0F x 0≤,又当2ax e -=时，()22a 42a 2a 1a a F x lne a 24e 2e 4---=-+++- 22a 11a 04e -⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭因此当00x 1<≤时，函数()F x 必有零点；即当00x 1<≤时，必存在2x 使得()*成立；即存在12x ,x 使得函数()f x 在点()()11x ,f x 与函数()g x 在点()()22x ,g x 处切线相同．又由()1y 2x 0,1x=-在单调递增得，因此(]0001a=2x ,x 0,1x -∈所以实数a 的取值范围是(],1-∞．【总结提升】（1）求切线方程的方法：①求曲线在点P 处的切线，则表明P 点是切点，只需求出函数在点P 处的导数，然后利用点斜式写出切线方程；②求曲线过点P 的切线，则P 点不一定是切点，应先设出切点坐标，然后列出切点坐标的方程解出切点坐标，进而写出切线方程；(2)处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上. 例4.（2019·山东高考模拟（文））已知函数ln 1()x f x x+=. (Ⅰ)证明：2()f x e x e ≤-； (Ⅱ)若直线(0)yax b a =+>为函数()f x 的切线，求b a的最小值.【答案】(1)见解析.(2) 1e-.【解析】(Ⅰ)证明：整理2()f x e x e ≤-得22ln 10(0)x e x ex x -++≤>令22()ln 1g x x e x ex =-++，2221(1)(21)()e x ex ex ex g x x x-++-+'==-当10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0g x '>，所以()g x 在1(0,)e上单调递增；当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，()0g x '<，所以()g x 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以1()0g x g e ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，不等式得证.(Ⅱ)221(ln 1)ln ()x xf x x x-+-'==，设切点为()()00,x f x ，则02ln x a x -=，函数()f x 在()()00,x f x 点处的切线方程为()()()000y f x f x x x '-=- ()000200ln 1ln x x y x x x x +-=--，令0x =，解得002ln 1x b x +=，所以()0002ln 1ln x x ba x +=-，令()()00002ln 1ln x x h x x +=-，因为0a >，02ln 0x x ->，所以100<<x ， ()()()()20000000022202ln 3ln 2ln 12ln 1ln 12ln ln 1ln ln ln x x x x x x x h x x x x +---++-'=-=-=-，当010,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()00h x '<，所以()h x 在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；当1,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()00h x '<，所以()h x 在1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，因为100<<x ，()011h x h e e⎛⎫≥=- ⎪⎝⎭. 【思路点拨】（1）由2()f x e x e ≤-即为22ln 10(0)x e x ex x -++≤>，令22()ln 1g x x e x ex =-++，利用导数求得函数()g x 的单调性与最值，即可得到结论；（2）求得函数()f x 的导数，设出切点，可得020ln x a x -=的值和切线方程，令0x =，求得002ln 1x b x +=，令()()00002ln 1ln x x h x x +=-，利用导数求得函数()0h x 的单调性与最小值．对于恒成立问题，往往要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．例5.（2014·北京高考真题（文））已知函数3()23f x x x =-. （1）求()f x 在区间[2,1]-上的最大值；（2）若过点(1,)P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切，求t 的取值范围；（3）问过点(1,2),(2,10),(0,2)A B C -分别存在几条直线与曲线()y f x =相切？（只需写出结论）【答案】【解析】(1)由3()23f x x x =-得2'()63f x x =-，令'()0f x =，得x =或x =，因为(2)10f -=-，(2f -=()2f -=(1)1f =-，所以()f x 在区间[2,1]-上的最大值为(f =（2）设过点P （1，t ）的直线与曲线()y f x =相切于点00(,)x y ，则300023y x x =-，且切线斜率为2063k x =-，所以切线方程为2000(63)()y y x x x -=--，因此2000(63)(1)t y x x -=--，整理得：32004630x x t -++=，设()g x =32463x x t -++，则“过点(1,)P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切”等价于“()g x 有3个不同零点”，()g x '=21212x x -=12(1)x x -，()g x 与()g x '的情况如下：x(,0)-∞0 (0,1)1 (1,)+∞()g x '+0 -+()g xt+3所以，31t -<<-是()g x 的极大值，31t -<<-是()g x 的极小值，当，即1t ≥-时，此时()g x 在区间(,0)-∞和(1,)+∞上分别至多有1个零点，所以()g x 至多有2个零点，当，(1,)P t 时，此时()g x 在区间(,0)-∞和(,0)-∞上分别至多有1个零点，所以()g x 至多有2个零点.当且(3,1)--，即时，因为，，所以()g x 分别为区间和()g x 上恰有1个零点，由于()g x 在区间(,0)-∞和(1,)+∞上单调，所以()g x 分别在区间(,0)-∞和上恰有1个零点.综上可知，当过点(1,)P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切时，t 的取值范围是.（3）过点A （-1，2）存在3条直线与曲线()y f x =相切；过点B （2，10）存在2条直线与曲线()y f x =相切；过点C （0，2）存在1条直线与曲线()y f x =相切.例6. （2018·天津高考真题（理））已知函数()xf x a =， ()log a g x x =，其中a >1.（I ）求函数()()ln h x f x x a =-的单调区间；（II ）若曲线()y f x =在点()()11,x f x 处的切线与曲线()y g x =在点()()22,x g x 处的切线平行，证明()122lnln ln ax g x a+=-；（III ）证明当1ea e ≥时，存在直线l ，使l 是曲线()y f x =的切线，也是曲线()y g x =的切线. 【答案】(Ⅰ)单调递减区间(),0-∞，单调递增区间为()0,+∞；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)证明见解析. 【解析】（I ）由已知， ()xh x a xlna =-，有()xh x a lna lna ='-.令()0h x '=，解得x =0.由a >1，可知当x 变化时， ()h x '， ()h x 的变化情况如下表：所以函数()h x 的单调递减区间为(),0-∞，单调递增区间为()0,+∞.（II ）由()x f x a lna '=，可得曲线()y f x =在点()()11,x f x 处的切线斜率为1xa lna .由()1g x xlna='，可得曲线()y g x =在点()()22,x g x 处的切线斜率为21x lna .因为这两条切线平行，故有121xa lna x lna=，即()1221x x a lna =. 两边取以a 为底的对数，得21220a log x x log lna ++=，所以()122lnlnax g x lna+=-. （III ）曲线()y f x =在点()11,x x a 处的切线l 1： ()111xxy a a lna x x -=⋅-.曲线()y g x =在点()22,a x log x 处的切线l 2： ()2221a y log x x x x lna-=⋅-. 要证明当1ea e ≥时，存在直线l ，使l 是曲线()y f x =的切线，也是曲线()y g x =的切线，只需证明当1ea e ≥时，存在()1,x ∈-∞+∞， ()20,x ∈+∞，使得l 1和l 2重合.即只需证明当1ea e ≥时，方程组1112121{1x x x a a lna x lnaa x a lna log x lna=-=-①②有解，由①得()1221x x a lna =，代入②，得1111120x x lnlna a x a lna x lna lna-+++=. ③ 因此，只需证明当1ea e ≥时，关于x 1的方程③存在实数解. 设函数()12x x lnlnau x a xa lna x lna lna=-+++，即要证明当1ea e ≥时，函数()y u x =存在零点.()()21x u x lna xa '=-，可知(),0x ∈-∞时， ()0u x '>；()0,x ∈+∞时， ()u x '单调递减，又()010u '=>， ()()212110lna u a lna ⎡⎤=-<⎢⎥⎥'⎢⎣⎦，故存在唯一的x 0，且x 0>0，使得()00u x '=，即()02010x lna x a-=.由此可得()u x 在()0,x -∞上单调递增，在()0,x +∞上单调递减.()u x 在0x x =处取得极大值()0u x .因为1ea e ≥，故()1ln lna ≥-，所以()()000000201212220xxlnlna lnlna lnlna u x a x a lna x x lna lna lna lna x lna +=-+++=++≥≥. 下面证明存在实数t ，使得()0u t <.由（I ）可得1xa xlna ≥+，当1x lna>时，有()()()1211lnlnau x xlna xlna x lna lna≤+-+++()22121lnlna lna x x lna lna=-++++，所以存在实数t ，使得()0u t <因此，当1e a e ≥时，存在()1,x ∈-∞+∞，使得()10u x =.所以，当1ea e ≥时，存在直线l ，使l 是曲线()y f x =的切线，也是曲线()y g x =的切线. 例7.（2015·广东高考真题（理））（14分）（2015•广东）设a ＞1，函数f （x ）=（1+x 2）e x﹣a ．（1）求f （x ）的单调区间；（2）证明f （x ）在（﹣∞，+∞）上仅有一个零点；（3）若曲线y=f （x ）在点P 处的切线与x 轴平行，且在点M （m ，n ）处的切线与直线OP 平行，（O 是坐标原点），证明：m≤﹣1．【答案】（1）f （x ）=（1+x 2）e x﹣a 在（﹣∞，+∞）上为增函数．（2）见解析（3）见解析【解析】（1）f'（x ）=e x（x 2+2x+1）=e x（x+1）2∴f′（x ）≥0，∴f（x ）=（1+x 2）e x﹣a 在（﹣∞，+∞）上为增函数．（2）证明：由（1）问可知函数在（﹣∞，+∞）上为增函数．又f （0）=1﹣a ， ∵a＞1．∴1﹣a ＜0∴f（0）＜0．当x→+∞时，f （x ）＞0成立． ∴f（x ）在（﹣∞，+∞）上有且只有一个零点（3）证明：f'（x ）=e x（x+1）2，设点P （x 0，y 0）则）f'（x ）=e x0（x 0+1）2，∵y=f（x ）在点P 处的切线与x 轴平行，∴f'（x 0）=0，即：e x0（x 0+1）2=0， ∴x 0=﹣1将x 0=﹣1代入y=f （x ）得y 0=．∴，∴…10分令；g （m ）=e m﹣（m+1）g （m ）=e m﹣（m+1），则g'（m ）=e m﹣1，由g'（m ）=0得m=0．当m∈（0，+∞）时，g'（m ）＞0 当m∈（﹣∞，0）时，g'（m ）＜0 ∴g（m ）的最小值为g （0）=0…12分 ∴g（m ）=e m ﹣（m+1）≥0 ∴e m≥m+1∴e m（m+1）2≥（m+1）3即： ∴m≤…14分例8.（2019·四川棠湖中学高考模拟（文））已知抛物线2:4C x y = ，M 为直线:1l y =-上任意一点，过点M 作抛物线C 的两条切线MA,MB ，切点分别为A,B.（1）当M 的坐标为(0,-1)时，求过M,A,B 三点的圆的方程；（2）证明：以AB 为直径的圆恒过点M. 【答案】（1）22(1)4x y +-=（2）见证明【解析】（1）解：当M 的坐标为(0,1)-时，设过M 点的切线方程为1y kx =-，由24,1,x y y kx ⎧=⎨=-⎩消y 得2440x kx -+=. (1) 令2(4)440k ∆=-⨯=，解得1k =±. 代入方程(1)，解得A(2,1),B(-2,1).设圆心P 的坐标为(0,)a ，由PM PB =，得12a +=，解得1a =. 故过,,M A B 三点的圆的方程为22(1)4x y +-=．（2）证明：设0(,1)M x -，由已知得24x y =，12y x '=，设切点分别为211(,)4x A x ，222(,)4x B x ，所以12MA x k =，22MB xk =，切线MA 的方程为2111()42x x y x x -=-即2111124y x x x =-，切线MB 的方程为2222()42x x y x x -=-即2221124y x x x =-．又因为切线MA 过点0(,1)M x -，所以得201111124x x x -=-. ① 又因为切线MB 也过点0(,1)M x -，所以得202211124x x x -=-. ②所以1x ，2x 是方程2011124x x x -=-的两实根，由韦达定理得1202,x x x +=124x x =-．因为2110(,1)4x MA x x =-+，2220(,1)4x MB x x =-+，所以22121020()()(1)(1)44x x MA MB x x x x ⋅=--+++22221212012012121()()21164x x x x x x x x x x x x ⎡⎤=-+++++-+⎣⎦．将1202,x x x +=124x x =-代入，得0MA MB ⋅=. 所以以AB 为直径的圆恒过点M ．【压轴训练】1．（2019·湖南高考模拟（理））过抛物线()220x py p =>上两点,A B 分别作抛物线的切线，若两切线垂直且交于点()12P -，，则直线AB 的方程为（） A ．122y x =+ B ．134y x =+ C ．132y x =+ D ．124y x =+ 【答案】D 【解析】由22x py =，得22x y p=，∴'x y p =．设()()1122,,,A x y B x y ，则1212','x x x x x x y y p p====，抛物线在点A 处的切线方程为2112x x y x p p=-，点B 处的切线方程为2222x x y x p p=-，由21122222x x y x p px x y x p p⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得121222x x x x x y p +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，又两切线交于点()1,2P -，∴12121222x x x x p+⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，故得12122,4x x x x p +==- （*）． ∵过,A B 两点的切线垂直，∴121x x p p⋅=-，故212x x p =-，∴4p =，故得抛物线的方程为28x y =．由题意得直线AB 的斜率存在，可设直线方程为y kx b =+，由28y kx bx y=+⎧⎨=⎩消去y 整理得2880x kx b --=， ∴12128,8x x k x x b +==- （**），由（*）和（**）可得14k =且2b =， ∴直线AB 的方程为124y x =+．故选：D ．2.（2019·山东高考模拟（文））设函数的图象上任意一点处的切线为，若函数的图象上总存在一点，使得在该点处的切线满足，则的取值范围是__________．【答案】【解析】，即又，即本题正确结果：3.（2019·山东高考模拟（理））已知函数()2f x x 2ax =+，()2g x 4a lnx b =+，设两曲线()y f x =，()y g x =有公共点P ，且在P 点处的切线相同，当()a 0,∞∈+时，实数b 的最大值是______．【答案】e 【解析】设()00,P x y ，()'22f x x a =+，()24'a g x x=．由题意知，()()00f x g x =，()()00''f x g x =，即2200024x ax a lnx b +=+，①200422a x a x +=，②解②得0x a =或02(x a =-舍)，代入①得：2234b a a lna =-，()0,a ∞∈+，()'684214b a alna a a lna =--=-，当140,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，'0b >，当14,a e ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，'0b <．∴实数b 的最大值是1144342b e e elne e ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭．故答案为：2e ．4.（2013·北京高考真题（理））设l 为曲线C ：在点(1，0)处的切线.(I)求l 的方程；(II)证明：除切点(1，0)之外，曲线C 在直线l 的下方【答案】(I)(II)见解析【解析】 (1)设f(x)＝，则f′(x)＝所以f′(1)＝1，所以L 的方程为y ＝x －1.(2)证明：令g(x)＝x －1－f(x)，则除切点之外，曲线C 在直线L 的下方等价于g(x)>0(∀x>0，x≠1)． g(x)满足g(1)＝0，且g′(x)＝1－f′(x)＝.当0＜x ＜1时，x 2－1＜0，ln x ＜0，所以g′(x)＜0，故g(x)单调递减；当x>1时，x 2－1>0，ln x>0，所以g′(x)>0，故g(x)单调递增．所以，g(x)>g(1)＝0(∀x>0，x≠1)．所以除切点之外，曲线C 在直线L 的下方．5.（2015·天津高考真题（文））已知函数（Ⅰ）求的单调区间;（Ⅱ）设曲线与轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为,求证:对于任意的正实数,都有;（Ⅲ）若方程有两个正实数根且,求证:.【答案】（Ⅰ）的单调递增区间是,单调递减区间是;（Ⅱ）见试题解析;（Ⅲ）见试题解析.【解析】（Ⅰ）由,可得的单调递增区间是,单调递减区间是;（Ⅱ）,,证明在单调递增,在单调递减,所以对任意的实数x,,对于任意的正实数,都有;（Ⅲ）设方程的根为,可得,由在单调递减,得,所以.设曲线在原点处的切线为方程的根为,可得,由在在单调递增,且,可得所以.试题解析:（Ⅰ）由,可得,当,即时,函数单调递增;当,即时,函数单调递减.所以函数的单调递增区间是,单调递减区间是.（Ⅱ）设,则,曲线在点P处的切线方程为,即,令即则.由于在单调递减,故在单调递减,又因为,所以当时,,所以当时,,所以在单调递增,在单调递减,所以对任意的实数x,,对于任意的正实数,都有.（Ⅲ）由（Ⅱ）知,设方程的根为,可得,因为在单调递减,又由（Ⅱ）知,所以.类似的,设曲线在原点处的切线为可得,对任意的,有即.设方程的根为,可得,因为在单调递增,且,因此,所以.6.（2013·福建高考真题（文））已知函数（为自然对数的底数）（Ⅰ）若曲线在点处的切线平行于轴，求的值；（Ⅱ）求函数的极值；（Ⅲ）当时，若直线与曲线没有公共点，求的最大值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）当时，函数无极小值；当，在处取得极小值，无极大值（Ⅲ）的最大值为【解析】（1）由,得．又曲线在点处的切线平行于轴,得,即,解得．（2）,①当时,,为上的增函数,所以函数无极值．②当时,令,得,．,;,．所以在上单调递减,在上单调递增,故在处取得极小值,且极小值为,无极大值．综上,当时,函数无极小值当,在处取得极小值,无极大值．（3）当时,令,则直线:与曲线没有公共点,等价于方程在上没有实数解．假设,此时,,又函数的图象连续不断,由零点存在定理,可知在上至少有一解,与“方程在上没有实数解”矛盾,故．又时,,知方程在上没有实数解．所以的最大值为．解法二:（1）（2）同解法一．（3）当时,．直线:与曲线没有公共点,等价于关于的方程在上没有实数解,即关于的方程:（*）在上没有实数解．①当时,方程（*）可化为,在上没有实数解．②当时,方程（*）化为．令,则有．令,得,当变化时,的变化情况如下表:当时,,同时当趋于时,趋于,从而的取值范围为．所以当时,方程（*）无实数解, 解得的取值范围是．综上,得的最大值为．7.（2013·北京高考真题（文））已知函数f(x)＝x2＋x sin x＋cos x.(1)若曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，求a与b的值；(2)若曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，求b的取值范围．【答案】（Ⅰ）求两个参数，需要建立两个方程.切点在切线上建立一个，利用导数的几何意义建立另一个，联立求解.（Ⅱ）利用导数分析曲线的走势，数形结合求解.【解析】由f(x)＝x2＋xsin x＋cos x，得f′(x)＝2x＋sin x＋x(sin x)′－sin x＝x(2＋cos x)．（1）因为曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，所以f′(a)＝a(2＋cos a)＝0，b＝f(a)．解得a＝0，b＝f(0)＝1. （5分）（2）设g(x)＝f(x)－b＝x2＋xsin x＋cos x－b.令g′(x)＝f′(x)－0＝x(2＋cos x)＝0，得x＝0.当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表：所以函数g(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增，且g(x)的最小值为g(0)＝1－b.①当1－b≥0时，即b≤1时，g(x)＝0至多有一个实根，曲线y＝f(x)与y＝b最多有一个交点，不合题意．②当1－b<0时，即b>1时，有g(0)＝1－b<0，g(2b)＝4b2＋2bsin 2b＋cos 2b－b>4b－2b－1－b>0.∴y＝g(x)在(0,2b)内存在零点，又y ＝g(x)在R 上是偶函数，且g(x)在(0，＋∞)上单调递增， ∴y＝g(x)在(0，＋∞)上有唯一零点，在(－∞，0)也有唯一零点．故当b>1时，y ＝g(x)在R 上有两个零点，则曲线y ＝f(x)与直线y ＝b 有两个不同交点．综上可知，如果曲线y ＝f(x)与直线y ＝b 有两个不同交点，那么b 的取值范围是(1，＋∞)．（12分）8.（2019·北京高考模拟（文））已知函数32()f x x ax =-．（Ⅰ）当3a =时，求函数()f x 在区间]2,0[上的最小值；（Ⅱ）当3a >时，求证：过点(1,(1))P f 恰有2条直线与曲线()y f x =相切．【答案】（I ）4-.（Ⅱ）见解析. 【解析】（Ⅰ）当a ＝3时，f （x ）＝x 3﹣3x 2，f '（x ）＝3x 2﹣6x ＝3x （x ﹣2）．当x ∈[0，2]时，f '（x ）≤0，所以f （x ）在区间[0，2]上单调递减．所以f （x ）在区间[0，2]上的最小值为f （2）＝﹣4．（Ⅱ）设过点P （1，f （1））的曲线y ＝f （x ）的切线切点为（x 0，y 0），f '（x ）＝3x 2﹣2ax ，f （1）＝1﹣a ，所以()()()32000200001321y x ax y a x ax x ⎧=-⎪⎨--=--⎪⎩，．所以()3200023210x a x ax a -+++-=．令g （x ）＝2x 3﹣（a +3）x 2+2ax +1﹣a ，则g '（x ）＝6x 2﹣2（a +3）x +2a ＝（x ﹣1）（6x ﹣2a ），令g '（x ）＝0得x ＝1或3ax =，因为a ＞3，所以1a ＞．∴g （x ）的极大值为g （1）＝0，g （x ）的极小值为()103a g g ⎛⎫=⎪⎝⎭＜，所以g （x ）在3a ，⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上有且只有一个零点x ＝1．因为g （a ）＝2a 3﹣（a +3）a 2+2a 2+1﹣a ＝（a ﹣1）2（a +1）＞0，所以g （x ）在3a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上有且只有一个零点．所以g （x ）在R 上有且只有两个零点．即方程()3200023210x a x ax a -+++-=有且只有两个不相等实根，所以过点P （1，f （1））恰有2条直线与曲线y ＝f （x ）相切． 9.（2019·四川高考模拟（理））已知函数，.（1）若，求函数在区间（其中，是自然对数的底数）上的最小值；（2）若存在与函数，的图象都相切的直线，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）由题意，可得，，令，得. ①当时，在上单调递减，∴.②当时，在上单调递减，在上单调递增，∴.综上，当时，，当时，.（2）设函数在点处与函数在点处有相同的切线，则，∴，∴，代入得.∴问题转化为：关于的方程有解，设，则函数有零点，∵，当时，，∴. ∴问题转化为：的最小值小于或等于0.，设，则当时，，当时，.∴在上单调递减，在上单调递增，∴的最小值为.由知，故.设，则，故在上单调递增，∵，∴当时，，∴的最小值等价于.又∵函数在上单调递增，∴.10.（2019·湖南高考模拟（理））设函数()()()22,42x f x e ax g x x x =+=++.（Ⅰ）讨论()y f x =的极值；（Ⅱ）若曲线()y f x =和曲线()y g x =在点()0,2P 处有相同的切线，且当2x ≥-时，()()mf x g x ≥，求m 的取值范围 .【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）21,e ⎡⎤⎣⎦.【解析】（Ⅰ）∵()()2xf x e ax =+，∴()()2xf x eax a '=++．①当0a =时，()20xf x e '=>恒成立，所以()f x 在R 上单调递增，无极值．②当0a >时，由()0f x '=得2a x a+=-，且当2a x a +<-时，()0,()f x f x '<单调递减；当2a x a+>-时，()0,()f x f x '>单调递增．所以当2a x a+=-时，()f x 有极小值，且()2=a a f x ae +--极小值，无极大值． ③当0a <时，由()0f x '=得2a x a+=-，且当2a x a +<-时，()0,()f x f x '>单调递增；当2a x a+>-时，()0,()f x f x '<单调递减．所以当2a x a+=-时，()f x 有极大值，且()2=a a f x ae +--极大值，无极小值．综上所述，当0a =时，()f x 无极值；当0a >时，()2=a af x ae +--极小值，无极大值；当0a <时， ()2=a af x ae +--极大值，无极小值．（Ⅱ）由题意得()2+4g x x '=，∵()y f x =和()y g x =在点()0,2P 处有相同的切线， ∴(0)(0)f g =''，即24a +=，解得2a =， ∴()()22xf x ex =+．令()()()()222(42)xF x mf x g x me x x x =-=+-++，则()()()124xF x me x '=-+，由题意可得()0220F m =-≥，解得1m ≥．由()0F x '=得12ln ,2x m x =-=-．①当ln 2m ->-，即21m e ≤<时，则120x -<≤，∴当()12,x x ∈-时，()0,()F x F x '<单调递减；当()1,x x ∈+∞时，()0,()F x F x '>单调递增， ∴()()2,F x -+∞在上的最小值为()()2112111224220F x x x x x x =+---=-+≥，∴()()mf x g x ≥恒成立．②当ln 2m -=-，即2m e =时，则()()2()124x F x ex +'=-+，∴当2x ≥-时，()0,()F x F x '≥在()2,-+∞上单调递增，又(2)0F -=，∴当2x ≥-时，()0F x ≥，即()()mf x g x ≥恒成立． ③当ln 2m -<-，即2m e >时，则有()222(2)2220F me em e --=-=--+<-，从而当2x ≥-时，()()g x mf x ≤不可能恒成立．综上所述m 的取值范围为21,e ⎡⎤⎣⎦．11.（2019·天津高考模拟（理））已知函数()()()()21ln f x x x x a a R =---∈.(1)若()f x 在()0,∞+上单调递减，求a 的取值范围；(2)若()f x 在1x =处取得极值，判断当(]0,2x ∈时，存在几条切线与直线2y x =-平行，请说明理由； (3)若()f x 有两个极值点12,x x ，求证：1254x x +>. 【答案】(Ⅰ)(],1-∞；(Ⅱ)答案见解析；(Ⅲ)证明见解析. 【解析】(Ⅰ)由已知,()()11ln 2ln 2120x f x x x a x x a x x-=+--=--++≤'恒成立令()1ln 212g x x x a x=--++,则()()()222221111212(0)x x x x g x x x x x x-+--++='=+-=>, ()210x -+<,令()'0g x >,解得:01x <<,令()'0g x <,解得:1x >,故()g x 在()0,1递增,在()1,+∞递减,()()max 122g x g a ∴==-，由()'0f x ≤恒成立可得1a ≤.即当()f x 在()0,+∞上单调递减时,a 的取值范围是(],1-∞. (Ⅱ)()f x 在1x =处取得极值，则()’10f =，可得1a =. 令()1ln 232f x x x x -'=-+=-，即 1ln 250x x x--+=. 设()1ln 25h x x x x =--+，则()()()222221111212x x x x h x x x x x-+--++='=+-=. 故()h x 在()0,1上单调递增，在()1,2上单调递减，注意到()55520h eee --=--<，()()112,2ln202h h ==+>，则方程1ln 250x x x--+=在(]0,2内只有一个实数根，即当(]0,2x ∈时，只有一条斜率为2-且与函数()f x 图像相切的直线. 但事实上，若1a =，则()1'ln 23f x x x x=--+， ()()()2121''x x f x x--+=，故函数()'f x 在区间()0,1上单调递增，在区间()1,2上单调递减，且()'101230f =--+=，故函数()'0f x ≤在区间(]0,2上恒成立，函数()f x 在区间(]0,2上单调递减，即函数不存在极值点，即不存在满足题意的实数a ，也不存在满足题意的切线. (Ⅲ)若函数有两个极值点12,x x ,不妨设120x x <<，由(Ⅰ)可知1a >,且：()11111ln 212f x x x a x -+'=-+①, ()22221ln 212f x x x a x -+'=-+②, 由①-②得:()()112112122121221211ln20,2ln 0,2x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫-+--=∴--=->∴< ⎪⎝⎭, 即12112x x e>> , 由①+②得:()()12121212ln 2240x x x x x x a x x ++--++=, ()121212ln 24124512242x x a x x x x ++-++∴+=>=++. 12.（2019·辽宁高考模拟（理））已知a R ∈，函数()()2ln ,0,6.f x a x x x =+∈()I 讨论()f x 的单调性；()II 若2x -是()f x 的极值点，且曲线()y f x =在两点()()()()1122,,,P x f x Q x f x 12x x 处的切线相互平行，这两条切线在y 轴上的截距分别为12,b b ，求12b b -的取值范围【答案】()I 当13a ≤时，()f x 在()0,6上单调递减，无单调递增区间；当13a >时，()f x 在20,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，2,6a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；()II 2ln 2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭.【解析】（Ⅰ）()2222a ax f x x x x-'=-+=.()0,6x ∈∴ ①当0a ≤时，()0f x '<在()0,6x ∈上恒成立. ∴ ()f x 在()0,6上单调递减，无单调递增区间；②当0a >，且26a≥，即103≤a <时，()0f x '<在()0,6x ∈上恒成立.∴ ()f x 在()0,6上单调递减，无单调递增区间；③当0a >，且26a <，即13a >时，在20,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上，()0f x '<，在2,6x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上，()0f x '>，∴ ()f x 在20,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，2,6a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增.综上，当13a ≤时，()f x 在()0,6上单调递减，无单调递增区间；当13a >时，()f x 在20,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，2,6a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增. （Ⅱ）2x =是()f x 的极值点，∴由()1可知22,1a a=∴= 设在()()11.P x f x 处的切线方程为()112111221ln y x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在()()22,Q x f x 处的切线方程为()222222221ln y x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴若这两条切线互相平行，则2211222121x x x x -+=-+，121112x x ∴+= 令0x =，则1114ln 1b x x =+-，同理，2224ln 1b x x =+- 【解法一】211112x x =- 121212114ln ln b b x x x x ⎛⎫∴-=-+-= ⎪⎝⎭ 111211114ln ln 22x x x ⎛⎫⎛⎫=--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设()182ln ln 2g x x x x ⎛⎫=--+-⎪⎝⎭，11,43x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()2211168180122x x g x x x x x-+'∴=--=<--，()g x ∴在区间11,43⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，()2ln2,03g x ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭即12b b -的取值范围是2ln2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭【解法二】12122x x x =- 121212114ln ln b b x x x x ⎛⎫∴-=-+-= ⎪⎝⎭1182ln 12x x ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭令()1182ln 12x g x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，其中()3,4x ∈ ()()2228181622x x g x x x x x -+'∴=-+=-- ()()22402x x x -=>-∴函数()g x 在区间()3,4上单调递增，()2ln2,03g x ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭.∴ 12b b -的取值范围是2ln2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭【解法三】()12122x x x x =+121212114ln ln b b x x x x ⎛⎫∴-=-+-= ⎪⎝⎭ ()2111224ln ·x x x x x x -+ ()2112122ln x x x x x x -=++ 12112221ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=++设()()21ln 1x g x x x-=++，则()()()()22214111x g x x x x x --'=+=++ 11211,122x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，()0g x ∴'>，∴函数()g x 在区间1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，()2ln2,03g x ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭ ∴ 12b b -的取值范围是2ln2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭.13.（2019·安徽高考模拟（文））已知函数()ln x f x x =+，直线l ：21y kx =-.（Ⅰ）设(,)P x y 是()y f x =图象上一点，O 为原点，直线OP 的斜率()k g x =，若()g x 在(,1)x m m ∈+(0)m 上存在极值，求m 的取值范围；（Ⅱ）是否存在实数k ，使得直线l 是曲线()y f x =的切线？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由；（Ⅲ）试确定曲线()y f x =与直线l 的交点个数，并说明理由. 【答案】11e m e k -<<=Ⅰ，（Ⅱ），（Ⅲ）见解析【解析】（Ⅰ）∵()ln (0)y x x g x x x x +==>，∴()1ln 0xg x x='-=，解得x e =. 由题意得： 01m e m <<<+，解得1e m e -<<.（Ⅱ）假设存在实数k ，使得直线是曲线()y f x =的切线，令切点()00,P x y ， ∴切线的斜率0121k x =+. ∴切线的方程为()()00001ln 1y x x x x x ⎛⎫-+=+- ⎪⎝⎭，又∵切线过（0，-1）点，∴()()000011ln 10x x x x ⎛⎫--+=+- ⎪⎝⎭.解得01x =，∴22k =， ∴1k =.（Ⅲ）由题意，令ln 21x x kx +=-，得 ln 12x x k x++=.令()ln 1(0)2x x h x x x ++=>， ∴()2ln 2xh x x-='，由()0h x '=，解得1x =. ∴()h x 在（0,1）上单调递增，在()1,+∞上单调递减，∴()()max 11h x h ==,又0x →时，()h x →-∞；x →+∞时，()1ln 11222x h x x +=+→， {}1,12k ⎛⎤∴∈-∞⋃ ⎥⎝⎦时，只有一个交点；1,12k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，有两个交点；()1,k ∈+∞时，没有交点.14. （2019·河北高考模拟（理））已知函数()xf x e =，()g x alnx(a 0)=>． ()1当x 0>时，()g x x ≤，求实数a 的取值范围；()2当a 1=时，曲线()y f x =和曲线()y g x =是否存在公共切线？并说明理由．【答案】（1）(]0,e ；（2）存在公共切线，理由详见解析.【解析】()1令()()ln m x g x x a x x =-=-，则()1a a x m x x x-=-='. 若0x a <<，则()0m x '>，若x a >，则()0m x '<.所以()m x 在()0,a 上是增函数，在(),a +∞上是减函数.所以x a =是()m x 的极大值点，也是()m x 的最大值点，即()max ln m x a a a =-.若()g x x ≤恒成立，则只需()max ln 0m x a a a =-≤，解得0a e <≤.所以实数a 的取值范围是(]0,e . ()2假设存在这样的直线l 且与曲线()y f x =和曲线()y g x =分别相切与点()()1122,,,ln x A x e B x x . 由()x f x e =，得()xf x e '=. 曲线()y f x =在点A 处的切线方程为()111x x y e e x x -=-，即()1111x xy e x x e =+-. 同理可得，曲线()y g x =在点B 处的切线方程为()2121ln y x x x x -=-，即221ln 1y x x x =+-. 所以()11212111x x e x x e lnx ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩则()1111lne 1x x x e --=-，即()111110x x e x -++= 构造函数()()x11,h x x e x =-++ x R ∈ 存在直线l 与曲线()y f x =和曲线()y g x =相切,等价于函数()()x11h x x e x =-++在R 上有零点对于()1xh x xe ='-. 当0x ≤时，()0h x '>，()h x 在上单调递增.当0x >时，因为()()()'10x h x x e +'=-<，所以()h x '在()0,+∞上是减函数.又()()010,110h h e ''=>=-<，，所以存在()00,1x ∈，使得()00010x h x x e'=-=，即001x e x =. 且当()000,x x ∈，()0h x '>时，当()00,x x ∈+∞时，()0h x '<.综上，()h x 在()00,x 上是增函数，在()0,x +∞上是减函数.所以()0h x 是()h x 的极大值，也是最大值，且()()()()0000000max 0011111?10x h x h x x e x x x x x x ==-++=-++=+＞. 又()22310h e --=-<，()2230h e =-+<，所以()h x 在()02,x -内和()0,2x 内各有一个零点. 故假设成立，即曲线()y f x =和曲线()y g x =存在公共切线.15.（2019·广西高考模拟（理））已知函数1()ln f x x mx x =--在区间(0,1)上为增函数，m R ∈.（1）求实数m 的取值范围；（2）当m 取最大值时，若直线l ：y ax b =+是函数()()2F x f x x =+的图像的切线，且,a b ∈R ，求+a b 的最小值.【答案】（1）2m ≤；（2）+a b 的最小值为-1.【解析】（1）∵()1ln f x x mx x =--， ∴()211f x m x x=+-'．又函数()f x 在区间()0,1上为增函数，∴()2110f x m x x =-'+≥在()0,1上恒成立， ∴()221111124m t x x x x ⎛⎫≤+=+-= ⎪⎝⎭在()0,1上恒成立．令()()2211111,0,124t x x x x x ⎛⎫=+=+-∈ ⎪⎝⎭，则当1x =时，()t x 取得最小值，且()2min t x =，∴2m ≤，∴实数m 的取值范围为(],2∞-．（2）由题意的()11ln 22ln F x x x x x x x ⎛⎫=--+=- ⎪⎝⎭，则()211F x x x +'=，设切点坐标为0001,ln x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则切线的斜率()020011a f x x x ==+'，又0001ln x ax b x -=+， ∴002ln 1b x x =--， ∴020011ln 1a b x x x +=+--．令()211ln 1(0)h x x x x x=+-->，则()()()23233211212x x x x h x x x x x x'+-+-=-+==，故当()0,1x ∈时，()()0,h x h x '<单调递减；当()1,x ∈+∞时，()()0,h x h x '>单调递增． ∴当1x =时，()h x 有最小值，且()()11min h x h ==-，∴a b +的最小值为1-．16．（2019·四川高考模拟（理））已知函数()ln x a f x x e +=-．（1）若曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线与x 轴正半轴有公共点，求a 的取值范围；（2）求证：11a e>-时，()1f x e <--．【答案】（1）1a <-；（2）证明见解析.【解析】（1）函数f （x ）＝lnx ﹣e x +a 的导数为f ′（x ）＝1x﹣e x +a ．曲线f （x ）在点（1，f （1））处的切线斜率为1﹣e 1+a ，切点为（1，﹣e 1+a ），可得切线方程为y +e 1+a ＝（1﹣e 1+a ）（x ﹣1），可令y ＝0可得x ＝111a e +-，由题意可得111a e+-＞0，可得e 1+a ＜1，解得a ＜﹣1；（2）证明：f ′（x ）＝1x ﹣e x +a ．设g （x ）＝f ′（x ）＝1x ﹣e x +a ．可得g ′（x ）＝﹣（21x +e x +a ），当x ＞0时，g ′（x ）＜0，g （x ）递减；由a ＞1﹣1e ，e x +a ＞e x ．若e x ＞1x ，g （x ）＜1x﹣e x ＜0，当0＜x ＜1时，e x +a ＜e 1+a ．若e 1+a ＜1x，即x ＜e ﹣1﹣a ，故当0＜x ＜e ﹣1﹣a 时，g （x ）＞0，即g （x ）＝f ′（x ）有零点x 0，当0＜x ＜x 0时，f ′（x ）＞0，f （x ）递增；当x ＞x 0时，f ′（x ）＜0，f （x ）递减，可得f （x ）≤f （x 0），又f （x 0）＝lnx 0﹣e x 0+a ，又e x 0+a ＝01x ，可得f （x 0）＝lnx 0﹣01x ，在x 0＞0递增，又a ＝ln 01x ﹣x 0＝﹣（lnx 0+x 0）， a ＞1﹣1e ⇔﹣（lnx 0+x 0）＞1﹣1e ＝﹣（ln 1e +1e），所以lnx 0+x 0＜ln 1e +1e，由于lnx 0+x 0递增，可得0＜x 0＜1e ，故f （x ）≤f （x 0）＜f （1e ）＝﹣1﹣e ．。

切线的证明方法。-概述说明以及解释

切线的证明方法。

-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分的内容：引言部分旨在介绍本文将要探讨的主题——切线的证明方法。

切线作为数学中重要的概念，在几何、微积分等领域中都起着至关重要的作用。

切线的证明方法是指在给定一个曲线时，如何确定该曲线上某点的切线。

本文将会介绍三种常见的切线的证明方法，并对其进行详细的讲解和演示。

这些证明方法包括第一个证明方法、第二个证明方法和第三个证明方法。

第一个证明方法将从基础的几何知识出发，通过利用曲线上两点之间的斜率来确定切线的方程。

我们将详细介绍这个方法的步骤和计算过程，并通过实例来加深理解。

第二个证明方法将引入导数的概念，利用导数来求解切线的斜率。

我们将介绍导数的定义和性质，以及如何利用导数求解切线的斜率，并通过例子来说明这个方法的应用。

第三个证明方法与微积分中的极限概念相关，通过极限的定义来求解切线的斜率。

我们将探讨极限的概念和性质，以及如何运用极限来确定切线的斜率，并通过实例进行演示。

本文的目的是帮助读者更加深入地理解切线的概念和证明方法。

通过学习这些方法，读者将能够独立地解决切线相关的问题，并将这些方法应用到其他数学领域中。

在结论部分，我们将对这三种证明方法进行总结，并探讨它们在实际问题中的应用。

同时，我们也将展望未来，探讨可能的改进和拓展方向，以进一步提升切线的证明方法的应用价值。

接下来，我们将详细介绍第一个证明方法，以便读者能够更好地理解和掌握这个技巧。

1.2文章结构文章结构部分的内容应该是对整篇文章的组织和章节安排进行介绍。

在本篇文章中，我们将讨论切线的证明方法，并按照如下结构进行阐述：第一部分是引言。

在引言中，我们将对切线的概念进行概述，介绍其在数学中的重要性以及与其他几何概念的关系。

同时，我们还会简要介绍本文的结构和目的。

第二部分是正文。

在正文中，我们将详细介绍三种不同的证明方法。

首先，我们将讨论第一个证明方法，详细描述其步骤和推导过程。

然后，我们将进一步介绍第二个证明方法，指出其与第一个证明方法的异同之处。

切线的斜率

切线的斜率
当切线经过曲线上的某点（即切点）时，切线的方向与曲线上该点的方向是相同的。

平面几何中，将和圆只有一个公共交点的直线叫做圆的切线。

斜率是表示一条直线(或曲线的切线)关于(横)坐标轴倾斜程度的量。

它通常用直线(或曲线的切线)与(横)坐标轴夹角的正切，或两点的纵坐标之差与横坐标之差的比来表示。

如果直线与x轴互相垂直，直角的正切值无穷大，故此直线不存在斜率。

当直线L的斜率存在时，对于一次函数y=kx+b，（斜截式）k即该函数图像的斜率。

扩展资料：
1、对于一次函数y=kx+b，（斜截式）k即该函数图像的斜率，|k|=tana；
2、a为倾斜角当a为90°时直线没有斜率；
3、|k|=tanα=（y2-y1）/（x2-x1）；
4、当直线L的斜率存在时，斜截式y=kx+b当k=0时y=b；
5、当直线L的斜率存在时，点斜式y2—y1=k(X2—X1）；
6、当直线L在两坐标轴上存在非零截距时，有截距式X/a+y/b=1；
7、对于任意函数上任意一点，其斜率等于其切线与x轴正方向的夹角，即tanα；
8、计算：ax+by+c=0中，k=-a/b；
9、直线斜率公式:k=(y2-y1)/(x2-x1)；
10、两条垂直相交直线的斜率相乘积为-1：k1*k2=-1。

切线斜率公式

切线斜率公式切线斜率公式是数学中的一个重要的概念，它是用来衡量坐标上的两点之间的斜率的，即两点斜线的倾斜程度。

它也可以用来描述一条曲线上两点之间的变化或斜率变化。

简言之，切线斜率公式是用来测量函数中心点处的切点斜率变化的一种数学公式。

切线斜率公式由简单的数学符号表示，它的一般形式是：m=(y2-y1)/(x2-x1)。

其中，m表示切线的斜率，y1和y2分别表示曲线上两点的y坐标，x1和x2分别表示曲线上两点的x坐标。

由于切线的斜率是曲线上两点间的城市系数，因此，如果我们在一条曲线上定义了一系列点，就可以使用切线斜率公式来计算每两点之间的斜率变化。

换句话说，当我们绘制一条曲线时，它的斜率分布就可以用切线斜率公式表示出来。

当我们讨论切线斜率公式时，又可分为两大类：一种是一般的切线斜率公式，另一种是以其他变量为参数的切线斜率公式。

以简单的函数为例，一般切线斜率公式可以表示为：f(x) = (f(x+h)-f(x))/h。

在这里，f(x)表示函数f(x)在x点处的一阶导数，h是函数上两点之间的距离。

而以其他变量为参数的切线斜率公式可表示为：f(x) = (f(x+h, y+k)-f(x, y))/[(h^2+k^2)^(1/2)]。

这里，x和y表示函数f(x,y)上的两维坐标，h和k分别表示函数在x和y方向上的距离，f(x)表示函数f(x,y)的一阶偏导数。

切线斜率公式具有很多应用价值，从绘制函数图像到研究复杂系统，这些公式都能有效地帮助我们完成任务。

比如，当我们研究空间系统时，使用切线斜率公式可以很好地模拟系统的变化。

同样，当我们研究社会系统时，切线斜率公式也可以帮助我们探究这些社会系统的变化情况。

总而言之，切线斜率公式是一种重要的数学工具，它可以用来测量函数在坐标上的两点的斜率变化，并且也可以用来研究复杂系统的变化情况。

在科学研究中，它是一种强大的分析工具，它不仅可以帮助我们更深入地理解函数及其变化规律，也可以帮助我们模拟复杂系统的变化情况，从而更好地研究复杂系统的变化特征和行为规律。

切线方程和法线方程的斜率关系

切线方程和法线方程的斜率关系是一个比较经典的数学问题，它可以帮助我们理解曲线的特性，以及如何求解曲线上某一点的切线和法线方程。

首先，我们来看看曲线的切线方程和法线方程的定义。

切线方程是指曲线上某一点的切线方程，它可以用一般式来表示：y=kx+b。

其中k是切线的斜率，b是切点的y坐标。

而法线方程是指曲线上某一点的法线方程，它也可以用一般式来表示：y=m*x+n。

其中m是法线的斜率，n是法点的y坐标。

接下来，我们来看看切线方程和法线方程的斜率之间的关系。

我们知道，曲线上某一点的切线和法线是互相垂直的，因此它们的斜率也是互相垂直的。

这意味着，如果我们知道曲线上某一点的切线斜率，那么它的法线斜率就可以用下面的公式来计算：m=-1/k。

最后，我们来看看如何使用切线方程和法线方程的斜率关系来求解曲线上某一点的切线和法线方程。

首先，我们需要知道曲线上某一点的坐标，然后求出该点的切线斜率。

接着，根据切线斜率和法线斜率之间的关系，可以计算出法线斜率。

最后，根据切线斜率和法线斜率，以及曲线上某一点的坐标，就可以求出该点的切线方程和法线方程了。

总之，切线方程和法线方程的斜率关系是一个比较重要的数学问题，它可以帮助我们更好地理解曲线的特性，以及如何求解曲线上某一点的切线和法线方程。

切线方程和斜率的关系

切线方程和斜率的关系
在微积分中，切线是解析几何中的一个重要概念，而切线方程和斜率是切线的两个关键要素。

切线可以被定义为曲线上某一点处与该点相切的直线。

它切过曲线的重点，且在那一点处与曲线有相同的斜率。

切线方程是描述切线的数学方程。

对于一个函数，切线方程可以通过点斜式来表示，即y = mx + b，其中m是切线的斜率，b是切线与y轴的交点。

利用这个方程，我们可以准确地描述切
线在曲线上的位置和方向。

斜率是切线方程的核心要素，它代表了切线与x轴的夹角。

在数学上，斜率可以通过计算两个
点之间的纵向变化和横向变化之比来得到。

对于一个函数f(x)，在任意一点x=a处的斜率可以
通过求导函数f'(a)来得到。

这个斜率即为切线在该点的斜率。

切线方程和斜率之间存在紧密的关系。

根据导函数的定义，我们可以得知，切线方程的斜率和原函数的导函数是相等的。

也就是说，切线方程的斜率与曲线在该点的斜率是相等的。

这种关系的存在使得计算切线方程的斜率变得更为简单和直接。

在实际应用中，切线方程和斜率的关系发挥着重要的作用。

它们可以帮助我们分析曲线在特定点的变化趋势，并且提供了一个判断函数在某一点上升或下降的方法。

此外，在工程和科学领域，切线方程和斜率的概念也被广泛应用于物理学、经济学等学科中。

总结起来，切线方程和斜率是解析几何中切线的两个重要要素。

它们之间的关系是密不可分的，切线方程的斜率与曲线在相应点的斜率相等。

切线方程和斜率的概念为我们解析和描述曲线提供了简单而有效的工具，并在实际应用中发挥着重要作用。

求曲线在某点的切线方程方法

求曲线在某点的切线方程方法引言在数学和物理学中，研究曲线的切线是很常见的问题。

切线可以帮助我们了解曲线的局部特征和性质，它在微积分、力学和工程学等领域中都有广泛的应用。

本文将介绍一些常见的方法来求解曲线在某点的切线方程。

切线的定义在数学中，曲线上某点的切线可以被定义为通过该点并且与曲线在该点附近重合的直线。

切线的斜率即为曲线在该点的导数。

方法一：求导法一种常见的方法是使用导数来求解曲线在某点的切线方程。

设曲线的方程为y=f(x)，我们要求解曲线在点(x0,y0)处的切线方程。

1.首先求曲线的导数f'(x)。

2.将点(x0,y0)带入导数函数，求出导数的值f'(x0)。

3.使用切线方程的一般形式y-y0=f'(x0)(x-x0)，将(x0,y0)和f'(x0)代入，得到切线方程。

方法二：斜率和点法另一种常用的方法是使用斜率和已知点来求解切线方程。

同样假设曲线的方程为y=f(x)，我们要求解曲线在点(x0,y0)处的切线方程。

1.计算曲线在点(x0,y0)处的斜率，即f'(x0)。

2.使用点斜式切线方程y-y0=f'(x0)(x-x0)，将(x0,y0)和f'(x0)代入，得到切线方程。

方法三：曲线近似法第三种方法是使用曲线的近似来求解切线方程。

此方法适用于那些难以计算导数的曲线。

1.在点(x0,y0)处取曲线的一个非常小的线段，该线段基本上与切线重合。

2.使用线性函数来拟合这个线段，得到近似切线方程。

方法四：参数法对于参数方程表示的曲线，我们可以使用参数法来求解切线方程。

假设曲线的参数方程为x=f(t)，y=g(t)，我们要求解曲线在参数值t0处的切线方程。

1.计算参数值t0对应的点的坐标(x0,y0)。

2.求解参数方程的导数dx/d t和dy/dt。

3.使用点斜式切线方程y-y0=(dy/d t)/(dx/d t)(x-x0)，将(x0,y0)、dx/d t和d y/dt代入，得到切线方程。

斜率切线知识点

斜率切线知识点斜率和切线是数学中的重要概念，特别在微积分中经常被使用。

在本文中，我们将逐步解释斜率和切线的概念以及它们在数学中的应用。

1.斜率的概念斜率是描述函数曲线的变化率的一个重要指标。

通常用字母m表示斜率。

对于一条直线来说，斜率表示该直线上任意两点之间的纵坐标变化量与横坐标变化量之比。

对于一条曲线来说，斜率表示曲线上某一点处的切线斜率。

2.切线的概念切线是曲线上某一点处与该点处曲线相切的直线。

切线与曲线在该点处有相同的斜率。

切线可以帮助我们研究曲线在某一点的性质，比如判断曲线是否上升或下降，以及在该点处的曲率等。

3.斜率和切线的计算对于一条直线来说，我们可以通过两点坐标来计算斜率。

假设直线上两点的坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2)，则斜率可以通过以下公式计算：m = (y2 - y1) / (x2 - x1)。

对于一条曲线来说，我们可以通过求导来计算曲线在某一点处的切线斜率。

假设曲线的方程为y = f(x)，则切线斜率可以通过求f(x)的导数f’(x)来计算。

在某一点处，切线的方程可以表示为y - f(x0) = f’(x0)(x - x0)，其中(x0, f(x0))是曲线上的某一点。

4.斜率和切线的应用斜率和切线在数学中的应用非常广泛。

它们可以帮助我们研究曲线的性质，比如凸性、拐点等。

此外，斜率和切线还可以用于求解最值问题，比如确定曲线上某一点处的最大值或最小值。

在物理学中，斜率和切线可以帮助我们研究物体的运动。

例如，通过计算物体的速度-时间图像的斜率，我们可以确定物体的加速度。

同样，通过计算位移-时间图像的斜率，我们可以确定物体的速度。

在经济学中，斜率和切线可以用于分析供需曲线。

供需曲线的交点处表示市场的均衡价格和数量。

通过计算供需曲线在交点处的斜率，我们可以了解价格和数量的变化关系。

总结起来，斜率和切线是数学中重要的概念，在微积分和其他领域中有着广泛的应用。

通过理解斜率和切线的概念以及计算方法，我们可以更好地理解曲线的性质，并在实际问题中应用这些知识点进行分析和求解。

切线的斜率公式

切线的斜率公式切线是初学者学习数学中非常重要的一项知识，其中斜率公式是切线相关知识中重要的一环。

我们将在下文中介绍切线斜率公式的相关知识，以帮助读者更好地掌握该知识点。

切线斜率公式，也称为导数公式，是计算切线斜率的重要方法。

在数学中，切线是平面上与函数图像相切的直线，切线斜率是切线的斜率。

切线的斜率可以表示为函数y=f(x)在x点处的导数f’(x)，即：k=f’(x)。

也就是说，切线的斜率就是函数在该点处的导数值，这是切线斜率公式的基本公式。

切线斜率公式的应用范围非常广泛，无论是在数学学科中还是在其他领域都有着重要的应用。

在几何学中，切线斜率可以用来计算直线与曲线相切时的夹角，这对解决很多几何问题非常有帮助。

在物理学领域中，切线斜率公式也有着广泛的应用。

例如，在热力学中，切线斜率可以用来计算热力学状态方程（PV=nRT）中的各种参数，这对于热力学研究有着重要的作用。

在经济学中，切线斜率可以用来计算经济学模型中的曲线，例如供求曲线、成本曲线等。

它也可以用来计算经济学的指数和统计数据，这对于经济学家和投资者来说都是非常重要的。

在工程学中，切线斜率可以用来计算曲线的性质，例如曲线的曲率和弯曲度等。

这对于各种工程领域的应用都非常有帮助。

切线斜率公式的计算方法非常简单，只需要用导数公式求出函数在该点处的导数即可。

例如，对于函数y=x^2，在x=2处的切线斜率为：k = f’(2)= 2x= 2(2)= 4因此，函数y=x^2在x=2处的切线斜率为4。

这个计算过程中只需要使用到函数的基本知识和导数公式，非常简单易懂。

总的来说，切线斜率公式是数学学科中非常重要的知识点，它在各种学科领域中都有着广泛的应用。

如果你想要更好地掌握切线的相关知识和技巧，一定要掌握切线斜率公式，这将为你的学习和实践带来很多便利。

求曲线在某点的切线方程公式

求曲线在某点的切线方程公式曲线在某点的切线方程公式，我们可以通过求解曲线在该点的导数来得到。

设曲线的方程为y=f(x)，求曲线在点（a,f(a)）处的切线方程。

首先，我们需要求解曲线在该点的导数。

导数表示曲线在某一点处的斜率，也就是切线的斜率。

通过求取函数f(x)的导函数，我们可以得到导数的表达式。

记导函数为f'(x)，则切线的斜率为f'(a)。

接下来，我们使用点斜式来确定切线方程。

点斜式由一个点和斜率确定，我们已经得到了切线的斜率f'(a)，因此切线方程为：
y - f(a) = f'(a)(x - a)
这就是曲线在点（a,f(a)）处的切线方程公式。

请注意，该公式中的f(x)和f'(x)代表了曲线的具体方程和导函数的形式，具体的求解步骤需要根据具体的曲线方程进行。

判定切线的方法

判定切线的方法在数学中，切线是一条直线，它与曲线相切于一点，并且在该点与曲线有相同的斜率。

切线在几何、微积分、物理等领域都有着重要的应用。

那么，如何准确地判定一条直线是否为曲线的切线呢？接下来，我们将介绍几种常见的判定切线的方法。

一、导数法。

在微积分中，我们知道曲线在某一点的切线斜率等于该点的导数。

因此，判定一条直线是否为曲线的切线，可以通过求解曲线在该点的导数来实现。

具体步骤如下：1. 求解曲线的导数；2. 将直线的斜率与导数进行比较；3. 如果直线的斜率与导数相等，则该直线为曲线的切线。

这种方法适用于已知曲线方程的情况，通过求导数可以得到曲线在任意点的切线斜率，从而实现判定切线的目的。

二、切点法。

切点法是一种几何方法，它通过判断直线与曲线是否在某一点相切来确定直线是否为曲线的切线。

具体步骤如下：1. 求解直线与曲线的交点；2. 判断交点是否与曲线在该点相切；3. 如果交点与曲线在该点相切，则该直线为曲线的切线。

切点法适用于已知曲线和直线的方程的情况，通过求解交点并判断是否相切可以实现判定切线的目的。

三、切线方程法。

在已知曲线方程和切点的情况下，我们可以利用切线方程的性质来判定一条直线是否为曲线的切线。

切线方程的一般形式为：y = f'(x0)(x x0) + f(x0)。

其中，f'(x0)表示曲线在点(x0, f(x0))处的导数。

具体步骤如下：1. 求解曲线在切点处的导数；2. 将切点代入切线方程，得到切线方程；3. 判断直线是否满足切线方程。

通过切线方程法，我们可以准确地判定一条直线是否为曲线的切线，这种方法在数学建模和实际问题中有着重要的应用价值。

总结。

判定切线的方法有很多种，其中导数法、切点法和切线方程法是比较常见的几种方法。

在实际问题中，我们可以根据具体情况选择合适的方法来判定切线，从而解决实际问题。

希望本文介绍的方法能够帮助读者更好地理解切线的概念，并在数学学习和实际问题中得到应用。

圆切线方程的推导

圆切线方程的推导圆是我们生活中常见的一种几何图形，它具有许多重要的性质和特点。

其中，圆的切线是我们常常研究的一个问题。

如何确定圆上某点的切线方程呢？下面我们将通过推导来解决这个问题。

假设有一个圆，圆心坐标为（a，b），半径为r。

现在我们要确定圆上一点P(x0，y0)的切线方程。

我们需要确定点P与圆心的连线斜率。

根据斜率的定义，我们知道斜率k等于两个点的纵坐标之差除以横坐标之差。

所以，点P与圆心的连线的斜率k可以表示为：k = (y0 - b) / (x0 - a)接下来，我们需要确定切线的斜率。

切线与圆的切点处于同一直线上，因此切线与圆心的连线与切线重合。

根据性质可知，切线与圆心的连线与切线的斜率相等。

所以，切线的斜率也等于k。

我们知道，切线的斜率等于切线方程的斜率，而切线方程的一般形式为y = kx + c。

代入切线的斜率k，我们可以得到切线方程的斜率截距形式为：y = kx + c由于切线经过点P(x0，y0)，所以将点P的坐标代入切线方程，我们可以得到：y0 = kx0 + c进一步整理，得到切线方程的截距形式为：c = y0 - kx0至此，我们已经推导出了圆上任意一点的切线方程。

需要注意的是，在推导过程中，我们假设了切线与圆的切点存在。

这是因为我们研究的是圆上的点的切线方程，而圆上的每个点都存在切线。

但是，如果点P在圆心处，即P(a，b)与圆心重合，那么切线与圆只有一个交点，即圆心本身。

此时，切线方程的斜率不存在，所以我们无法使用上述方法来推导切线方程。

对于这种情况，我们需要单独处理。

圆的切线方程的推导过程可以分为以下几个步骤：1. 确定点P与圆心的连线斜率k；2. 确定切线的斜率，即与圆心的连线斜率相等；3. 将切线的斜率代入切线方程的斜率截距形式，得到切线方程的截距c；4. 将点P的坐标代入切线方程，得到切线方程的截距c；5. 整理得到切线方程。

通过以上推导过程，我们可以得到圆上任意一点的切线方程。

过圆外一点做切线的切线方程推理

过圆外一点做切线的切线方程推理1. 引言：1.1 概述在几何学中，切线是一个重要的概念。

在研究圆形时，如何确定一个点到圆外一点的切线方程一直是一个基础性问题。

本文将对过圆外一点做切线的切线方程进行推理，并探讨其几何性质。

通过研究和推导，我们可以得到一般情况下切线方程的表达式，进而应用于解决各种相关问题。

1.2 文章结构本文分为以下几个部分来论述过圆外一点做切线的切线方程推理。

首先，在第二部分“轨迹分析”中，我们将进行圆外一点到圆的距离公式推导，并分析条件以确定该点是否可作为切点。

接着，我们将探讨过圆外一点做切线的几何性质。

在第三部分“切线方程推理”中，我们将根据前面所得到的轨迹分析结果，推导出两种不同情况下的切线方程。

通过详细的计算和论证过程，我们将给出每种情况下对应的具体表达式，并总结整个推理过程。

在第四部分“应用举例”中，我们将通过实例来展示如何应用所得到的切线方程解决具体问题。

两个实例将被提供，分别是求特定问题的切线方程和进一步应用举例。

同时，还将对结果进行验证和讨论。

最后，在第五部分“结论与展望”中，我们将总结研究成果和发现，并对进一步研究方向提出展望。

1.3 目的本文的主要目的是推导过圆外一点做切线的切线方程，并探讨其几何性质。

通过对相关轨迹和条件进行分析，我们希望能够得到切线方程的一般表达式，并能够应用于解决具体问题。

此外，本文也旨在为读者提供一个清晰、详细且易于理解的介绍过圆外一点做切线问题的文章。

2. 轨迹分析2.1 圆外一点到圆的距离公式推导:在开始讨论切线方程之前，我们首先需要了解圆外一点到圆的距离公式推导过程。

假设有一个圆，圆心坐标为(Ox, Oy)，半径为r，以及一个位于P(x, y)的点在圆外。

利用勾股定理，我们可以得出点P到圆心O的欧几里得距离d的公式：```d = √((x - Ox)^2 + (y - Oy)^2)```2.2 圆外一点做切线的条件分析:接下来，我们将讨论一个点如何成为圆的切点。

2024年鲁教五四新版高二数学下册阶段测试试卷347

2024年鲁教五四新版高二数学下册阶段测试试卷347考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______ 姓名：______ 班级：______ 考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共5题，共10分)1、中，则形状是（）A. 正三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形或直角三角形D. 等腰直角三角形2、设曲线y= 在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（）A. 2B. ﹣2C. ﹣D.3、下面使用类比推理正确的是（）A. 直线a∥b，b∥c，则a∥c，类推出：向量则B. 同一平面内，直线a，b，c，若a⊥c，b⊥c，则a∥b．类推出：空间中，直线a，b，c，若a⊥c，b⊥c，则a∥bC. 实数a，b，若方程x2+ax+b=0有实数根，则a2≥4b．类推出：复数a，b，若方程x2+ax+b=0有实数根，则a2≥4bD. 以点（0，0）为圆心，r为半径的圆的方程为x2+y2=r2．类推出：以点（0，0，0）为球心，r为半径的球的方程为x2+y2+z2=r24、已知等差数列{a n}，满足a4+a8=8，则此数列的前11项的和S11=（）A. 11B. 22C. 33D. 445、直线x+3y鈭�2=0与圆x2+y2=4相交于AB两点，则弦AB的长度等于()A. 25B. 23C. 3D. 1评卷人得分二、填空题(共8题，共16分)6、已知双曲线（a＞0，b＞0）与抛物线y2=2px（p＞0）有相同的焦点F，P，Q是双曲线与抛物线的交点，若PQ经过焦点F，则双曲线（a＞0，b＞0）的离心率为____．7、设实数x，y满足则x2+y2的取值范围是____．8、已知椭圆长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于____．9、过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，线段的中点的纵坐标为2，则线段长为．10、已知O为坐标原点，A（1，2），点B的坐标（x，y）满足约束条件则z=•的最大值为______ ．11、观察下面的数阵；则第40行最左边的数是 ______ ．12、已知底面是正方形的直四棱柱ABCD鈭�A1B1C1D1的外接球的表面积为42娄脨且AB=3则AC1与底面ABCD所成角的正切值为 ______ ．13、若幂函数y=f(x)的图象经过点(9,13)则f(25)的值是 ______ ．评卷人得分三、作图题(共5题，共10分)14、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）15、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）16、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？17、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）18、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）评卷人得分四、解答题(共1题，共4分)19、（本小题满分12分）甲、乙两人独立地破译一份密码，甲能破译出密码的概率是1/3，乙能破译出密码的概率是1/4，试求：①甲、乙两人都译不出密码的概率；②甲、乙两人中恰有一人能译出密码的概率；③甲、乙两人中至多有一人能译出密码的概率.评卷人得分五、计算题(共2题，共20分)20、如图，已知正方形ABCD的边长是8，点E在BC边上，且CE=2，点P是对角线BD上的一个动点，求PE+PC的最小值．21、设L为曲线C：y＝在点(1,0)处的切线．求L的方程；评卷人得分六、综合题(共3题，共21分)22、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过A B，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．（1）求抛物线的解析式；（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；（3）以点A为圆心；以AD为半径作⊙A．①证明：当AD+CD最小时；直线BD与⊙A相切；②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：____．23、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过A B，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．（1）求抛物线的解析式；（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；（3）以点A为圆心；以AD为半径作⊙A．①证明：当AD+CD最小时；直线BD与⊙A相切；②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：____．24、（2015·安徽）设椭圆E的方程为+=1(a b0),点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足=2直线OM的斜率为参考答案一、选择题(共5题，共10分)1、B【分析】试题分析：所以是直角三角形.故选B. 考点：1、倍角公式；2、余弦定理；3、勾股定理.【解析】【答案】B2、B【分析】【解答】解：∵y=∴y′= =∴曲线y= 在点（3，2）处的切线的斜率k=﹣∵曲线y= 在点（3；2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直；∴直线ax+y+1=0的斜率k′=﹣a×=﹣1；即a=﹣2．故选：B．【分析】求出函数的导数，切线的斜率，由两直线垂直的条件，即可得到a的值．3、D【分析】【解答】解：对于A，时，不正确；对于B，空间中，直线a，b，c，若a⊥c，b⊥c，则a∥b或a⊥b或相交；故不正确；对于C，方程x02+ix0+（﹣1±i）=0有实根，但a2≥4b不成立；故C不正确；对于D，设点P（x，y，z）是球面上的任一点，由|OP|=r，得x2+y2+z2=r2；故D正确．故选：D．【分析】本题考查的知识点是类比推理，我们根据判断命题真假的办法，对四个答案中类比所得的结论逐一进行判断，即可得到答案．4、D【分析】解：∵等差数列{a n}，满足a4+a8=8；∴此数列的前11项的和：S11= （a1+a11）= （a4+a8）= ×8=44．故选：D．利用等差数列的通项公式和前n项和公式求解．本题考查等差数列的前11项和的求法，是基础题，解题时要注意等差数列的性质的合理运用．【解析】【答案】 D5、B【分析】解：隆脽圆心(0,0)到直线x+3y鈭�2=0的距离d=21+3=1由直线与圆相交的性质可知，d2+(AB2)2=4即1+AB24=4隆脿AB=23故选B由直线与圆相交的性质可知，d2+(AB2)2=4要求AB只要先求圆心(0,0)到直线x+3y鈭�2=0的距离d即可求解。

曲线的切线斜率

曲线的切线斜率
曲线方程的切线斜率公式：y-f（a）=f'（a）（x-a）。

斜率，数学、几何学名词，是表示一条直线（或曲线的切线）关于（横）坐标轴倾斜程度的量。

它通常用直线（或曲线的切线）与（横）坐标轴夹角的正切，或两点的纵坐标之差与横坐标之差的比来表示。

曲线，是微分几何学研究的主要对象之一。

直观上，曲线可看成空间质点运动的轨迹。

微分几何就是利用微积分来研究几何的学科。

为了能够应用微积分的知识，我们不能考虑一切曲线，甚至不能考虑连续曲线，因为连续不一定可微。

这就要我们考虑可微曲线。

但是可微曲线也是不太好的，因为可能存在某些曲线，在某点切线的方向不是确定的，这就使得我们无法从切线开始入手，这就需要我们来研究导数处处不为零的这一类曲线，我们称它们为正则曲线。

关于曲线上某个点的切线的斜率的推理

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由对于二次函数曲线和三次函数曲线的总体的研究，我们可以发现，解关于斜率的方程都是将坐标（x+p,y+q）代入N 次方程中然而，如果将不同指数的每一项分开看的话（这里以三次项为范例） a(x+p)^3+b(x+p)^2+c(x+p)+d = y+q a(x+p)^3 3ax^2p+3axp^2+ap^3+2bxp+bp^2+cp = q ax^3+3ax^2p+3axp^2+ap^3 3ax^2+3axp+ap^2+2bx+bp+c = q/p 3ax^2p+3axp^2+ap^3 3ax^2+2bx+c = 3ax^2+3axp+ap^2 q/p 展开
首先，既然是求某曲线上某点的切线，那么必然得先有一个曲线，从最基本的二次函数曲线开始。右边，就是一个任意构造的二次函数曲线。
然后，再在这条曲线上任取一点，设为点A。
由图可以得知，y=x^2-5x+1 , A(4,-3) .(取整点只为方便计算)
再过A点，作一条切线 L1
设该点的坐标为（x,y）
再按照上面方法求一遍 (x-p)^2-5*(x-p)+1 = y-q (x^2-5x+1)+p^2-2px+5p = y-q p^2-2px+5p = -q p-2x+5 = -q/p p可以忽略不计所以，q/p=2x-5
(展开并整理) (同除以p)
可以得出，y=x^2-5x+1在(x,y)处的切线的斜率为2x-5
3ax^2+3axp+ap^2+2bx+bp+c = q/p (两边同除以p)
因为p可以忽略不计，所以3axp,ap^2,bp可以忽略所以，q/p=3ax^2+2bx+c
即对于所有3次函数曲线（y=ax^3+bx^2+cx+d）的某点（x，y）的斜率为3 ax^2+2bx+c。
（理论上曲线都可以用函数表示）
这处理为：ax^n 变为 anx^(n-1)
ax^n 变为 anx^(n-1)
比如，将四次函数（y=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e）经过处理，变为
点（x，y）的斜率=4ax^3+3bx^2+2cx+d (零次项算在（将原有部分去除）里)
综上所述，对于任意曲线（函数式），将（标准式）每一项以 ax^n 变为 anx^(n-1) 的变化，就可以求出在此函数式上坐标为（x,y）的点的斜率。
设这个函数式的解析式为： y=ax^2+bx+c 同样有点A,A’,切线L1，L1’。设A(x,y),A’(x+p,y+q)
a(x+p)^2+b(x+p)+c = y+q (ax^2+bx+c)+2apx+ap^2+bp = y+q 2apx+bp+ap^2 = q 2ax+b+ap = q/p 所以p/q=2ax+b
(4-p)^2-5*(4-p)+1 = -3-q 16-8p+p^2-20+5p+1 = -3-q p^2-3p = -q -p+3 = q/p 因为p，q 无限接近于0 所以q/p=3
(展开) (两边同除以p)
所以，L1的斜率为3 设L1：y=3x+b 再将A（4，-3）代入可得：L1：y=3x-15 那么，这一条曲线上某点的切线的斜率和函数表达式应该是可以求的了，但若每一点都这样去求的话不是很麻烦？所以，还得找到一个通用的公式。
将原有的部分去除除以p
仍带有p的忽略
所以处理后的结果就是展开来的式子中提出只带有一个p的这一项，再除以p a(x+p)^3 ax^3+3ax^2p+3axp^2&#(x+p)^3 ax^3+3ax^2p+3axp^2+ap^3 3ax^2p
3ax^2 由各次方的展开式的系数的规律（杨辉三角形）我们可以知道，这一项(式子中提出只带有一个p的这一项)的展开后的系数就等于这一项的指数。
(展开并整理) (除以p)
所以对于任意二次函数曲线(y=ax^2+bx+c)上的点（x，y）的切线L1的斜率为2ax+b.
同样的，作出A’. 先画个图。
设此函数式为：y=ax^3+bx^2+cx+d 可以列出方程： a(x+p)^3+b(x+p)^2+c(x+p)+d = y+q 3ax^2p+3axp^2+ap^3+2bxp+bp^2+cp = q (和前几次一样展开、化简) 3ax^2+3axp+ap^2+2bx+bp+c = q/p (两边同除以p)
对于这条切线，我们做一下处理：假设在那条函数曲线上有另一个点A’，直线L1’通过点A和A’。
那么，当点A和A’之间的距离变近时，L1’就越接近 L1。而如果点A和A’靠近到极限——也就是重合的时候，L1’就成为了L1。
因为A(4,-3) 所以设A’的坐标点为（4-p，-3-q）
因为A’在抛物线上由此我们可以列出方程 (4-p)^2-5*(4-p)+1 = -3-q