自动控制原理 李玉惠 第八章

yK c b
0a
x
y d c
0 ab x
(a)
(b)
题 8.4 图
解：
（a）图：可分解为图 8.2 和图 8.3 的并联。
总描述函数为
N (X ) = N1( X ) + N2 ( X )
= K + 4(c − b) πX
1−
⎛ ⎜⎝
a X
⎞2 ⎟⎠
X ≥a
y K
0 x
y
c−b −a 0
ax
图 8.2
题 8.6 将题 8.6 图所示非线性系统简化成环节串联的典型结构图形式。
⊗ ⊗ r(t)
N
−
−
c(t ) G(S)
H (S )
⊗ r(t) −
(a)
⊗
G(S )
−
H1 (S )
N
c(t ) H2 (S )
⊗ r(t) = 0 −
(b)
K1
K2
Δ1
Δ2
c(t) G(S)
(c)
⊗ r(t) = 0
K h
答： （1）主要区别有 1）线性系统满足叠加原理，而非线性系统不满足叠加原理。 2）线性系统的稳定性只与系统本身的结构及参数有关，而非线性系统的稳 定性除了与系统的结构及参数有关外，还与系统的初始条件及输入有关。 3）线性系统在没有外作用时，只有在阻尼比等于零时会发生周期运动，且 这种周期运动在物理上是不能实现的，而非线性系统在没有外作用时，系统完全 可能出现具有一定频率和幅值的周期运动，且这种运动在物理上是可以实现的。 4）线性系统在正弦函数输入下，输出的稳态分量也是同频率的正弦信号， 只是在幅值和相角上与输入不同。而非线性系统的输出一定会发生畸变，在输出 信号中，除了含有与输入同频率的基波成分外，还含有其它频率的各种谐波分量。 （2）对于非线性程度不严重的系统可以利用“小偏差线性化”的方法将非线性 系统近似为线性系统来分析，而对非线性程度严重的系统不能近似为线性系统， 只能利用非线性理论和方法来解决。 （3）对于饱和特性，当输入信号超过线性区而进入非线性区后，输出信号保持 不变。对于死区特性，当输入信号小于死区时，输出信号为零，此时的放大系数 为零。因此，饱和特性与死区特性等效降低了系统的开环放大系数。 （4）1）可利用的如：
（6）描述函数法有何特点与适用性？ 描述函数法是分析非线性系统的近似频率特性法的图解方法。应用描述函数 法可以分析某些非线性系统的工作状态，确定自振的频率和振幅。但不能用于分 析非线性系统的运动过程。 应用描述函数法分析非线性系统时，要求系统满足以下条件： ①非线性系统可以简化为只有一个非线性环节 N 和线性部分W (S) 相串联的 典型结构，如图 8.1 所示。 ②非线性系统中的线性部分具有较好的低通滤波特性。 ③非线性环节的特性曲线是奇对称的。 ④非线性环节具有时不变特性。
题 8.2 已知非线性环节的输入输出特性由下式描述：
y = 1 x + 1 x3 24
求该环节的描述函数。
解：
由于特性曲线为单值奇对称，故 A0 = 0 、 A1 = 0 、ϕ1 = 0 ，而
∫ ∫ B1
=
1 π
2π y(t) sin ωtdωt = 1
0
π
2π 0
⎛ ⎜⎝
1 2
x
+
1 4
x3
⎞ ⎟⎠
⊗ r(t) = 0 x(t)
y(t)
c(t)
N
G(S)
−
图 8.1 非线性系统的典型结构
（7）相平面法有何特点与适用性？ 如果想进一步分析非线性系统的运动过程，那么，我们就要求助于相平面法
了。 相平面法是一种适用于求解一、二阶线性和非线性常微分方程的图解方法，
其实质是将系统的运动过程形象地转化为相平面上一个点的移动，通过研究这个 点移动的轨迹，来获得运动过程的全部信息。它不仅可以判定稳定性、自持振荡， 还可以计算动态响应，如：分析一、二阶线性和非线性系统的稳定性、平衡位置、 时间响应、稳定精度以及初始条件和参数对系统运动的影响。
图 8.3
（b）图：可分解为图 8.4 和图 8.5 的并联。
总描述函数为
N (X ) = N1( X ) + N2 ( X )
= 4c πX
1−
⎛ ⎜⎝
a X
⎞2 ⎟⎠
+
4(d π
− c) X
1−
⎛ ⎜⎝
b X
⎞2 ⎟⎠
=
4
⎡ ⎢c
π X ⎢⎣
1−
⎛ ⎜⎝
a X
⎞2 ⎟⎠
+
(d
−
c)
1−
⎛ ⎜⎝
b X
−
M Δ
c(t) G(S)
解： （a）图：等效为图 8.6 。
(d) 题 8.6 图
⊗N
G(S)
−
图 8.6 图中 G(s) = W (s)[1+ H (s)] ，由 H (s) 与1并联后，再与W (s) 串连得到。
（b）图：等效为图 8.7。
⊗N
G(S)
−
图 8.7
图中 G(s)
=
H1(s)H2W (s) 1+W (s)
，由W (s) 单位反馈后，再与
H1 ( s)
和
H2 (s) 串连得到。
（c）图：等效为图 8.8。
K
⊗
W (S)
Δ
−
图中 V=V1+
V2 K1
，
K
=
K1K2
。
（d）图：等效为图 8.9。
图 8.8
⊗
−
M Δ'
W (S)
图中 V= h + V 。 K
图 8.9
⎞2 ⎟⎠
⎤ ⎥ ⎥⎦
X ≥b
y
c
0
ax
y
d −c 0
bx
图 8.4
图 8.5
题 8.5 判断题 8.5 图所示各系统是否稳定？ − 1 与W ( jω) 的交点是否是自振 N(X)
点。
Im
−1 N(X)
G( jω)
0 Re
(a)
Im
G( jω)
0 Re
−1 N(X)
(b)
−1 N(X)
Im
G( jω)
∫ ∫ B1
=
1 π
2π y(t) sin ωtdωt = 1
0
π
2π x3 sin ωtdωt
0
将 x = X sinωt 代入得：
∫ ∫ B1
=
1 π
2π X 3 sin4 ωtdωt = 4
0
π
π 2
X
3
sin 4
ωtdωt
=
3
X
3
0
4
描述函数为：
N(X)
=
YX&&1 =
B1 X
=
3 4
X
2
题 8.4 非线性环节特性如图所示，试把各环节分解成几个典型非线性环节的 并联，并求出总描述函数。
第 8 章 非线性系统
1.1 学习要点 1 非线性系统特点与典型非线性特性； 2 描述函数法概念、适用条件、方法与应用； 3 自激振荡概念与自振分析方法与计算； 4 相平面法概念、适用条件、方法与简单应用。
1.2 思考与习题祥解 题 8.1 思考并归纳下述问题
（1）非线性系统与线性系统有何区别？ （2）非线性系统在何种情况下可进行线性化近似处理，何种情况下不可近似为 线性系统？ （3）为什么饱和特性与死区特性能等效降低系统的开环放大系数？ （4）典型非线性特性中哪些是可利用的？哪些是不利于系统的？ （5）非线性系统的自振现象与线性系统的等幅振荡有何本质不同？ （6）描述函数法有何特点与适用性？ （7）相平面法有何特点与适用性？
a）死区特性：死区的存在，减小了系统的开环增益，可提高系统的平稳 性，减弱动态响应的振荡倾向。
b) 饱和特性：使系统开环增益下降，对动态响应的平稳性有利。 2）不利的如： a）间隙特性：一是降低了定位精度，增大了系统的静差；二是使系统动
态响应的振荡加剧，稳定性变坏。 b）摩擦特性：产生爬行现象，低速平稳性很差；对随动系统而言，会增
sin
ωtdωt
将 x = X sinωt 代入得：
∫ B1
=
1 π
2π 0
⎛ ⎜⎝
1 2
X
sin
ωt
+
1 4
X
3
sin3
ωt
⎞ ⎟⎠
sin ωtdωt
∫ ∫ ∫ = 1
π
2π 0
⎛ ⎜ ⎝
X 2
sin 2
ωt
+
X3 4
sin 4
ωt
⎞ ⎟
dωt
⎠
=
2 π
⎡ ⎢ ⎣
X 2
π sin2 ωtdωt + X 3
0
4
π 0
sin
4
ωtdωt
⎤ ⎥ ⎦
= 1 X + 3 X3 2 16
描述函数为：
N(X)
=
YX&&1 =
B1 X
=
1 2
+3 16
X
2
题 8.3 求题 8.3 图中所示非线性特性的描述函数。
y y = x3
0
x
题 8.3 图
解：
由于特性曲线为单值奇对称，故 A0 = 0 、 A1 = 0 、ϕ1 = 0 ，而
加静差，降低精度。 （5）线性系统的等幅周期运动状态由系统本身结构和参数决定，与系统的输入
和初始条件无关。这种状态只是理论上存在，在实际系统中是实现不了的，因为 当系统处于周期运动时，只要受到微小的扰动，原来的周期运动就被破坏，是不 稳定的周期运动。
而非线性系统中的自激振荡状态由系统本身结构和参数决定外，还与初始条 件有关。自激振荡是一种稳定的周期运动，是常见的可实现的。只要初始条件满 足要求，非线性系统就会自振，其自振频率和振幅由系统本身结构和参数决定。
0 Re
(c)
−1 N(X)
Im
0 Re
G( jω)
(d)
Im
Im
Im
−1 N(X)
0 Re
0
b
Re
G( jω)
(e)
−1 a N(X ) G( jω)
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0 Re
G( jω)
−1 N(X)
(g) 题 8.5 图
解： (a) 、是自振点。 (b) 、系统不稳定。 (c) 、系统稳定。 (d) 、 a 点不是自振点，b 点是自振点。 (e) 、是自振点。 ( f ) 、 a 点不是自振点， b 点是自振点。 (g) 、系 统不稳定。