概率论课件第五章

(e)
x[n] = xe[n] + xo[n], Re X (e jΩ) ↔ xe[n] =
↑
x[n] + x[−n] 2 x[n] = {−1 0,1 2,1 0,1 2,1 0,−1 x[−n] = {−1 0,1 2,1 0,1 2,1 0,−1 , , , , , }, , , , , , }
2jπ/T
X p (ω)
24π 28π
…
-20π
jπ/T -8π -4π 0 4π 8π -jπ/T -2jπ/T 20π 12π 16π
…
ω（×10 3）
H(ω)
-ωc
0
ωc
ω
第五章作业参考答案 P211. 5.4试确定下列信号的最小抽样率和最大抽样间隔： 解 : (a) sinc(100t)，(b) [sinc(100t)]2, (c) sinc(100t)+ sinc(50t)，(d) [sinc(100t)+ sinc(50t)]2. 解：（a)
N
+
N
(
)
(
)
(
)
5.13设X(ejΩ)代表P5.13所示信号x[n]的傅里叶变换。不求出X(ejΩ) 而完成下列计算 （a)求X(ej0)的值；（b) 求arg X(ejΩ); (c)
∫π
−
π
X (e jΩ)dΩ ,
(d)求X(ejπ)的值；(e)确定并画出傅里叶变换ReX(ejΩ)的信号
2 1 0
(b)
sin( kπ / 3), 0 ≤ k ≤ 6 ck = 0, k = 7
(d) Ck如图P5.9(b)所示；
ck 1
2 1 1 2
ck
1 4
0 (a)
8
k
0 (b)
8
k
解: (a)取x[n]的一个周期 则
~[n] = x[n], 0 ≤ n ≤ N −1 x 0 其 ， 它
= −e
3πn j 4
同理：
N −2 k =0
∑e
1 1 − jkπ ( − ) 3 4
=e
3πn j 4
7 nπ π − ) sin ( 2 4 3 1 nπ π − ) sin ( 3 2 4
7 nπ π 7 nπ π sin ( − ) sin ( + ) 3πn 1 j 4 2 4 3 2 4 3 x[n] = e − 1 nπ π 1 nπ π 2j sin ( − ) sin ( + ) 3 3 2 4 2 4
(c).如图（a）有：
x[n] = ∑ck e j (k 2π / N)n
k =0 N −1
= c0 + c1e jnπ 4 + c3e j3nπ 4 + c4e jnπ + c5e j5nπ 4 + c7e j 7nπ =1+ (−1 n + e jnπ 4 + e− jnπ )
4
= c0 + c1e jnπ 4 + c3e j3nπ 4 + c4 (−1 n + c5e− j3nπ 4e j 2π + c7e− jnπ 4e j 2π )
1− e = e
1 n jπ ( + )( N −1) / 2 3 4 1 n jπ ( + ) / 2 3 4
e
−e −e
1 n jπ ( + )( N −1) / 2 3 4 1 n jπ ( + ) / 2 3 4
e
e
N −2 k =0
∑e
1 1 jkπ ( + ) 3 4
=e
3πn j (π + ) 4
e jk2π / N + e− jk2π / N e j3k 2π / N − e− j3k 2π / N ~ jkΩ0 X (e ) = Nck = N + 2 2j
由 0 = 2π N = π / 4 Ω
e jkΩ0 + e− jkΩ0 e j3kΩ0 − e− j3kΩ0 ~ jkΩ0 X (e ) = N + 2 2j
2jπ/T
X p (ω)
24π 28π
…
-20π
jπ/T -8π -4π 0 4π 8π -jπ/T -2jπ/T 20π 12π 16π
…
ω（×10 3）
(b).由（a)信号带宽为Bw=8π×103rad/s,对应的奈奎斯 特频率为 ωs=2Bw=16π×103rad/s, 最大奈奎斯特抽样间隔： Ts=2π/ωs= 2π/（16π×103）=1/8 （ms)>T=0.1(ms), 所以能从x[n]恢复x(t). 若采样间隔T=0.2ms时，不满足抽样条件，所以不能由x[n] 恢复x(t). （c)由x[n]恢复x(t)可采用带宽为ωc的低通滤波器，其 中 Bw=8π×103rad/s< ωc<12π×103 rad/s
e jΩ + e− jΩ e j3Ω − e− j3Ω ~ jΩ X (e ) = N + 2 2j 应 到 TFT{ [n]} =1 D 用 D δ , TFT{x[n − m]} = X (e jΩ)e− jΩm.
δ[n +1 +δ[n −1 δ[n + 3] −δ[n − 3] ] ] ~ ~[n] = ID x TFT X (e jΩ ) = N + 2 2j = 4δ[n −1 + 4δ[n +1 + 4 jδ[n − 3] − 4 jδ[n + 3], ] ]
π G (ω),ωc =100 ωc 2ω 2π ∴ωs = 2ωc = 200rad / s,T = = 0.01 s π ωs
F{sin c(100t)} =
c
(b)
F{sin c([100t)]2} = F{sin c([100t)]}∗ F{sin c([100t)]}/ 2π =
π G2ω (ω) ∗G2ω (ω) 2 2ωc
(d). 由(a)、(b)知
ωc1 =100rad / s,ωc2 =100rad / s,
∴ωs = 2ωc1 = 2ωc2 = 200rad / s,T = 2π = 0.01 s π
ωs
5.9 在下列小题中已知周期序列的离散傅里叶系数， 其周期为8，是分别求其周期序列x[n]. (a) ck = cos(kπ / 4) + sin( 3kπ / 4) (c) Ck如图P5.9(a)所示；
N −2
e jkπ / 3 − e− jkπ / 3 j (k 2π / N)n =∑ e 2j k =0 1 = 2j
N −2 k =0
N −2 k =0
∑{e
1 n jkπ ( + ) 3 4
−e
1 n − jkπ ( − ) 3 4
}
∑e
1 1 jkπ ( + ) 3 4
=
1− e
1 n jπ ( + )( N −1) 3 4 1 n jπ ( + ) 3 4 1 n − jπ ( + )( N−1) / 2 3 4 1 n − jπ ( + ) / 2 3 4
P211.
5.2 已知x(t)为一个有限带宽信号，其频带宽度为BHz， 试求x(2t)和x(t/3)的奈奎斯特抽样率和抽样间隔。 解:（1） x(2t)在时域压缩2倍，对应的周期减半，频域 将扩大两倍，带宽成为2BHz，所以 奈奎斯特抽样率fs=4 BHz 奈奎斯特抽样间隔Ts=1/fs=1/(4B）s (2) x(t/3)在时域扩展3倍，对应的周期扩大3倍，频域缩 小3倍，信号带宽成为B/3 Hz，所以 奈奎斯特抽样率fs=2B/3 Hz 奈奎斯特抽样间隔Ts=1/fs=3/(2B）s
{
}
从而：
x[n] = 4δ[n −1 + 4δ[n +1 + 4 jδ[n − 3] − 4 jδ[n + 3], ] ] −3 ≤ n ≤ 4
(b).
x[n] = ∑ck e
k =0 N −2
N− 1
j (k 2π / N )n
= ∑si ( kπ / 3)e j (k 2π / N)n n
k =0
(
4
) + (e
j 3nπ 4
+ e− j3nπ
4
)
=1+ (−1 n + 2cos (nπ 4) + 2cos(3nπ 4) ,0 ≤ n ≤ 7 )
(d).如图（b）有：
x[n] = ∑ck e j (k 2π / N)n
k =0 N− 1
= 2 + e jn2π
1 jn4π N 1 jn6π / N 1 j5n2π N 1 j 6n2π N e + e + e + e + e j 7n2π 2 4 4 2 1 1 1 1 = 2 + e jnπ 4 + e jnπ 2 + e jn3π / 4 + e j5nπ 4 + e j3nπ 2 + e j 7nπ 4 2 4 4 2 1 1 1 1 = 2 + e jnπ 4 + e jnπ 2 + e jn3π / 4 + e− j3nπ 4 + e− jnπ 2 + e− jnπ 4 2 4 4 2 1 1 = 2 + e jnπ 4 + e− jnπ 4 + e jnπ 2 + e− jnπ 2 + e j3nπ 4 + e− j3nπ 4 2 4 1 = 2 + 2cos nπ / 4 + cos nπ / 2 + cos n3 / 4,0 ≤ n ≤ 7 π 2
c c
π ω π (1− ) ω < 2ωc = X∆ (ω) = ωc ,ωc =100 2ωc 2 2ωc 他 0 其 ∴ωs = 2⋅ 2ωc = 400rad / s,T = 2π
ωs
=
π
200
s
(c). 由(a)知
ωc1 =100rad / s,ωc2 = 50rad / s, 2π ∴ωs = 2ωc1 = 200rad / s,T = = 0.01 s π ωs
5.3 已知x(t)=sin(4πt)/πt,当对x(t) 抽样时，求能 恢复原信号的最大抽样间隔 解：F{x(t)}=F{4sinc(ωct)}=(4π/ωc)G2ωc(ω), ωc=4π, 所以 F{x(t)}= G2ωc(ω), 可知信号带宽为 Bw=ωc=4π rad/s 则，最大抽样间隔为 Ts=2π/(2Bw)=0.25(s). 5.5 已知连续时间信号x(t)=2sin(2π×2×103t)+sin(2π×4×103t) 以T=0.1ms的间隔进行抽样。 （a)试画出x(t)抽样前后的频谱图； （b)由x[n]能否重建x(t)？若以T=0.2ms进行抽样怎样？ （c)由x[n]重建x(t)，应该通过何种滤波器，其截止频率如何选择？
) (N −1 nπ π ( sin + ) 2 4 3 1 nπ π sin ( + ) 3 2 4
= −e
3πn j 4
) (N −1 nπ π sin ( + ) 2 4 3 1 nπ π sin ( + ) 3 2 4 7 nπ π sin ( + ) 3 2 4 1 nπ π sin ( + ) 2 4 3
π
所以 argX(ejΩ)=-2Ω;
∫ π X (e
−
π
jΩ
)dΩ = ∫ X (e jΩ )e jΩn |n=0 dΩ = 2πx[0] = 4π
−π
(d)
X (e ) =
jπ
n=−∞
∑ x[n]e
∞
− jnπ
=
n=−∞
(−1 n x[n] ∑ )
∞
=1−1+ 2 −1−1+ 2 −1+1 = 2
↑
−1 1 1 −1 xe[n] ={ L ,0, ,1 0,0,1 2,1 0,0,1 ,0 L , , , , } ↑ 2 2 2 2
5.15 求{1，1，0，0}的DFT和{1,0,1,0}的IDFT 解: (a)由题 N=4,令W=e -j2π/N=e -jπ/2 =-j;
解：（a) 由
F{x(t)} = 2 jπ δ (ω + 4π ⋅103t) −δ (ω − 4π ⋅103t) + jπ δ (ω + 8π ⋅103t) −δ (ω −8π ⋅103t)
[
[
]
Hale Waihona Puke Baidu
]
其频谱图为
jπ
-8π
2jπ
-4π 0
X(ω)
4π 8π ω(×103)
-2jπ
-jπ
抽样后：
1 ∞ 2π xp (t) = x(t) p(t) ↔ X p (ω) = ∑X (ω − kωs ),ωs = = 20π ×103 T k=−∞ T
∞
x[n]
-1
2
4
6
7 8
n
解: (a) X (e j 0 ) = (b)如右图
k =−∞
x[n]e− j 0n = −1+1+ 2 +1+1+ 2 +1−1 = 6 ∑
2 x0[n] 1 -2 0 2 6 7 8 n
-1
. 显然x0[n]为偶函数，其傅里叶变换只有实部，及其幅角为0，又 x[n]=x0[n-2] (c) ReX(ejΩ)e-j2Ω,