最新26无穷小阶的比较汇总

26无穷小阶的比较
(2)如果 lim
, 则称
是
的低阶无穷小.
(3) 如果 lim c 0 , 则称 与 是同阶无穷小.
特别地, 当c = 1时, 则称 是 的等价无穷小, 记做 ~
(4)
如果
limk
c0,
k0则称
是
的k阶无穷小.
例1
因 为 lx i m 0x x 2 0 ,lx i m 0x x 2 ,lx i m 0sin x x 1
lim
x0
x3
sin lim
x0
x( cos x3
x
1)
sinx (1cosx)
lim x0 x
x2cosx
x2
lim
x0
2
x2
cos
x
1
lim x0 2 cos x
1 2
注lx i m 0tanxx 3sinxlx i m 0xx 3x.
1
例8 求 lim(1sinx2)1cosx. x0
因此 o(), 即 o()
充分性 设o(), 则
lim lim o ()lim (1 o ( )) 1 即 ~
定理2.6.2 (等价替换原理) 设, , , 为同一极限过
程中无穷小量, 且 ~ ~ , 若 l i m
则
lim lim
存在,
证明 根据极限运算法则
lim lim
所以
liቤተ መጻሕፍቲ ባይዱsin5x l i m 5 x 5 x0tan3x x 0 3 x 3
例5
求
cos x 1
lim
x0
ex 1
.
解 因 为 当 x0时 ,
所以
x2 1cosx~ ,
ex1x
2
cos x 1
lim
x0
ex 1
lim
x 0
x2
2 x
x lim( ) 0
x0 2
cosx(esinx 1)2
又
ex 1 lim x 0 x
令t ex 1lim t t0 ln(1t)
lim t0
1 1 1
ln(1 t ) t
所以当 x→0时, ex 1~ x.
二. 等价无穷小替换原理
定理2.6.1 α与β 是等价无穷小的充分必要条件为
o()
证明 必要性 设 ~ , 则
limlim ( 1 )lim 10
例6 求 lim x0
tan2 x
.
解 因为，当 x 0 ，有sinx→0, 且
esinx1~sinx,tan2x~x2
运用等价无穷小的代换, 有
lim co sx(esinx 1 )2lim co sxsin2x 1
x 0 tan2x
x 0
x2
例7
求
tanxsinx
lim
x0
x3
.
1
解
tan x sin x
所以当 x→0时, x 2 是x的高阶无穷小； x是 x 2 的低阶无
穷小；sin x 与 x 是等阶无穷小.
例2 因为lxi m 01xco2sx12
所以, 当x→0时, 1cosx与 x 2 是同阶无穷小.
例3 因为 limln(1x)
x0
x
1
limln(1x)x lne1 x 0
所以当 x→0时, ln(1+x) ~ x.
4. arcsin x ~ x ;
5. arctan x ~ x ; x2
7. 1cos x ~ ; 2
6. ax1~xlna, ex 1~ x ;
8.
1
(1ax)n
a 1~ x.
n
例4 求 lim sin 5 x . x 0 tan 3 x
解 因 为 当 x0时 ,
s in 5 x ~ 5 x , t a n 3 x 3 x
limlim lim lim
注 由此定理可知,求两个无穷小量商的极限时, 如果分子 分母, 的等价无穷小量存在, 则就可用它们各自的等价无穷小量 来代换原来的分子和 分母, 使得计算简化.
请记住以下几个常用的等价无穷小量: 当x0时,
1. sin x ~ x ;
2. tan x ~ x ;
3. ln(1+x) ~ x ;
解 因 为limsinx2
1
x2 lim 2
x 0
1cosx x x 0 2
则
1
2
lim (1sinx2)1cosxe2
x 0
注 使用无穷小量的等价替换, 是求解函数的极限的常用
方法. 在求乘除运算的极限时, 可以大胆使用; 而在求和差
运算的极限时, 则须慎用.
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