最新26无穷小阶的比较汇总
二、无穷小量阶的比较解读
(2) 可以类似地证明. 定理 3.12 告诉我们，在求极限时，乘积中的因子 可用等价无穷小量代替，这是一种很有用的方法.
arctan x . 例1 计算 lim x 0 sin 2 x
解 因为 arctan x ~ x , sin 2 x ~ 2 x ( x 0), 所以
( x x0 ) 表示 g( x ) 的所有高阶无穷小量的集合．
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“” . 也就是说，这里的 “=” 类似于 f ( x) 4. 若 lim 1, 则称 f ( x ) 与 g( x ) 为 x x0 时的 x x0 g ( x )
等价无穷小量，记作
f ( x ) ~ g( x ) ( x x0 ).
f x 1. 若 lim 0， 则称 x x0 时 f x 是关于 g x x x0 g x
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设当 x x0 时，f x , g x 均是无穷小量 .
的高阶无穷小量，记作
f ( x ) o( g( x )) ( x x0 ) .
2 x x 1 2 lim . 3 x 0 2 x
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三、无穷大量
定义2
U ( x0 ) 有定义, 若对于任给 设函数 f 在
x U ( x ; ) U ( x0 ) G > 0, 存在 > 0，使得当 0
时, 有
| f ( x) | G, 则称函数 f (x) 当 x x0 时为无穷大量, 记作
时，这两个无穷小量一定是同阶的. 例如: 当 x 0 时, 1 cos x 与 x 2是同阶无穷小量;
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1 当 x 0 时，x 与 x 2 sin x 是同阶无穷小量. f ( x) L, 3. 若两个无穷小量在 U ( x0 ) 内满足: g( x )
无穷小的比较精选全文
可编辑修改精选全文完整版无穷小的比较1. 当x →0时, 2x -x 2 与x 2-x 3相比, 哪一个是高阶无穷小？解 因为02lim 2lim 202320=--=--→→xx x x x xx x x , 所以当x →0时, x 2-x 3是高阶无穷小, 即x 2-x 3=o (2x -x 2). 2. 当x →1时, 无穷小1-x 和(1)1-x 3, (2))1(212x -是否同阶？是否等价？ 解 (1)因为3)1(lim 1)1)(1(lim 11lim 212131=++=-++-=--→→→x x xx x x x x x x x , 所以当x →1时, 1-x 和1-x 3是同阶的无穷小, 但不是等价无穷小.(2)因为1)1(lim 211)1(21lim 121=+=--→→x x x x x , 所以当x →1时, 1-x 和)1(212x -是同阶的无穷小, 而且是等价无穷小. 3. 证明: 当x →0时, 有:(1) arctan x ~x ;(2)2~1sec 2x x -. 证明 (1)因为1tan lim arctan lim 00==→→y y xx y x (提示: 令y =arctan x , 则当x →0时, y →0), 所以当x →0时, arctan x ~x .(2)因为1)22sin 2(lim 22sin 2lim cos cos 1lim 2211sec lim 202202020===-=-→→→→x x x x x x x x x x x x x , 所以当x →0时, 2~1sec 2x x -. 4. 利用等价无穷小的性质, 求下列极限:(1)xx x 23tan lim 0→; (2)mn x x x )(sin )sin(lim 0→(n , m 为正整数); (3)xx x x 30sin sin tan lim -→;(4))1sin 1)(11(tan sin lim 320-+-+-→x x x x x . 解 (1)2323lim 23tan lim 00==→→x x x x x x . (2)⎪⎩⎪⎨⎧<∞>===→→mn m n m n x x x x m n x m n x 0 1lim )(sin )sin(lim 00. (3)21cos 21lim sin cos cos 1lim sin )1cos 1(sin lim sin sin tan lim 220203030==-=-=-→→→→x x x x x x xx x x x x x x x x . (4)因为32221)2(2~2sin tan 2)1(cos tan tan sin x x x x x x x x x -=⋅--=-=-(x →0), 23232223231~11)1(11x x x x x ++++=-+(x →0), x x x x x ~sin ~1sin 1sin 1sin 1++=-+(x →0), 所以 33121lim )1sin 1)(11(tan sin lim 230320-=⋅-=-+-+-→→x x x x x x x x x .。
无穷小的比较
原式 lim x x
x0 (பைடு நூலகம் x)3
0.
不符合和差代替规则
解 当x 0时, sin 2x ~ 2x,
tan x sin x tan x(1 cos x) ~ 1 x3 ,
原式 lim
1 x3 2
1
.
x0 (2 x)3 16
2
符合因式代替规则
10
例7 求 lim tan 5x cos x 1 .
2
原式
lim x0
(2 1
x)2 x2
8.
2
tan 2x ~ 2x.
注意 不能滥用等价无穷小代换.对于代数和中
各无穷小不能随意替换.
6
说明: 设对同一变化过程 , , 为无穷小 ,由等价
无穷小的性质,可得下述简化某些极限运算的规则.
(1)和差取大规则: 若 = o() , 则 ~
例4
1 x
不存在.
不可比.
极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不 同.
1
定义:设,是同一过程中的两个无穷小,且 0.
(1)
如果
lim
0, 就说是高阶的无穷小;
记作
o( );
如果
lim
, 是 低阶的无穷小 ;
(2) 如果 lim C(C 0), 就说与是同阶的无穷小;
特殊地 如果lim 1,则称与是等价的无穷小;
arcsin x ~ x,
n
1
x
1 ~
x ,
n
arctan x ~ x, a x 1 ~ x ln a,
ln(1 x) ~ x, e x 1 ~ x, 1 cos x ~ 1 x2 . 2
定理1 与 是等价无穷小
无穷小的比较
sin x ~ x arcsin x ~ x
ln(1 + x ) ~ x ex −1 ~ x
1 x2 1 − cos x ~ 2 α (1 + x ) − 1 ~ αx (α ∈ R )
tan x ~ x arctan x ~ x
x
a − 1 ~ x ln a (a > 0)
注: 当 x → 0 时, x 为无穷小, 在常用等价无穷小 为无穷小, 中, 用任意一个无穷小 β ( x ) 代替 x , 等价关系依 然成立. 然成立.
常用等价无穷小 根据等价无穷小的定义, 可以证明, 根据等价无穷小的定义, 可以证明, 当 x → 0 时, 有下列常用等价无穷小关系: 有下列常用等价无穷小关系
sin x ~ x arcsin x ~ x
ln(1 + x ) ~ x ex −1 ~ x
1 x2 1 − cos x ~ 2 α (1 + x ) − 1 ~ αx (α ∈ R )
x −1
解 (1) 因为 lim( x 3 − 3 x + 2) = 0, 所以 x → 1 时， 是无穷小量， x − 3 x + 2 是无穷小量，又因为
3
x − 3 x + 2 = lim ( x − 1) ( x + 2) = 0 lim x →1 x →1 ( x − 1) x −1
3
2
较高阶的无穷小量. 所以 x 3 − 3 x + 2 是比 x − 1 较高阶的无穷小量
3. 常用等价无穷小
1 − cos x ～ 1 x 2 2 α 且为常数) (1 + x ) − 1～ αx (α ≠ 0且为常数
e x − 1～ x
26无穷小阶的比较【可编辑全文】
一.无穷小阶的比较 二.等价无穷小替换原理
一.无穷小阶的比较
虽然无穷小量都是趋于零的变量，但是不同的无穷小量 趋于零的速度却不一定相同. 为了反映不同的无穷小趋于零 的快慢程度，我们引入无穷小的阶的比较.
定义2.6.1 设 α，β是在自变量同一变化过程中的两个无
穷小，且 α ≠ 0，则 (1) 如果 lim 0 ,则称 是 的高阶无穷小, 记做 o( )
x x2
,
lim sin x 1 x0 x
所以当 x→0时, x2 是x的高阶无穷小； x是 x2的低阶无
穷小；sin x 与 x 是等阶无穷小.
例2
因为
lim
x0
1
cos x2
x
1 2
所以, 当x→0时, 1 cos x 与 x2 是同阶无穷小.
例3
因为
ln(1 x) lim
x0
x
1
lim ln(1 x) x ln e 1 x0
lim
x0
tan2 x
lim cos x x0
x2
1
例7
求
tan x sin x
lim
x0
x3
.
1
解
tan x sin x
lim
x0
x3
sin lim
x0
x( cos x x3
1)
sin x (1 cos x) lim
x0 x x2 cos x
lim
x0
2
x2 x2 cos
x
1 lim
lim lim( 1) lim 1 0
因此 o(), 即 o()
充分性 设 o(), 则
高数2.7节-无穷小阶的比较
故当x 0时, x 2 tan3 x为x的5阶无穷小 .
例2 当x 0时, 求 tan x sin x关于x的阶数.
tan x sin x tan x 1 cos x 1 解 lim lim( ) , 3 2 x 0 x 0 x x 2 x
tan x sin x为x的三阶无穷小 .
2014-4-16 8
例5 解
tan 5 x cos x 1 求 lim . x0 sin 3 x
tan x 5 x o( x ), sin 3 x 3 x o( x ),
1 2 1 cos x x o( x 2 ). 2 1 2 5 x o( x ) x o( x 2 ) 2 原式 lim x 0 3 x o( x )
2014-4-16
7
tan x sin x 例4 求 lim . 3 x 0 sin 2 x
错 解 当x 0时, tan x ~ x, sin x ~ x.
x x 原式 lim 3 0. x 0 (2 x )
解
当x 0时, sin 2 x ~ 2 x ,
1 3 tan x sin x tan x(1 cos x ) ~ x , 2 1 3 x 1 2 . 原式 lim 3 x 0 ( 2 x ) 16
o( x ) 1 o( x 2 ) 5 x 5 x 2 x . lim x 0 o( x ) 3 3 x
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小
1
结
无穷小阶的比较：无穷小的阶反映了同一过 程中, 两无穷小趋于零的速度快慢, 但并不
是所有的无穷小都可进行比较.
2 等价无穷小的替换 求极限的又一种方法，注意适用条件. 设 ~ , ~ 且 lim 存在, 则 lim lim .
高数 无穷小的比较
练 习 题
一、 填空题： tan 3 x 1. lim =__________. x 0 sin 2 x arcsin x n 2. lim =________. m x 0 (sin x ) ln(1 2 x ) 3. lim =_________. x 0 x 1 x sin x 1 4. lim =________. 2 x 0 x arctan x x n 5. lim 2 sin n =________. n 2
x 1
x 1
lim f ( x ) f ( 1) .
练习题答案
3 一、1. ； 2
0, m n 2. 1, m n ； 3. 2； , m n
a 6. ； n
2. e ； 7. 3；
4. ；
5. x ；
1 8. , 2. 2
1 二、1. ； 2
1 2 1 cos x x o( x 2 ). 2
2
y 1 cos x
常用等价无穷小:当x 0时,
x ~ sin x ~ tan x ~ arcsin x ~ arctan x ~ ln(1 x ) 1 2 x ~ e 1, 1 cos x ~ x , (1 x ) a 1 ~ ax (a 0) 2
例如二等价无穷小代换定理2等价无穷小代换定理limlimlimlimlimtanlim若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换而不会改变原式的极限
第六节
无穷小的比较
一、无穷小的比较
2 例如, 当x 0时, x , x , sin x 都是无穷小.
无穷小的比较
【例42】
二、 等价无穷小
【例43】
二、 等价无穷小
二、 等价无穷小
【例44】
试证明：如果α~β，则α－β是比α(或β)高阶的无穷小.反之， 如果α－β是比α(或β)高阶的无穷小，则α~β .
谢谢聆听
x~x,1 cos x~12x2,ln(1+x)~x,ex－1~x,ax －1~xln a,n1+x－1~1nx.
二、 等价无穷小
注
当x→0时，x为无穷小.在常用等价无穷小中，用任 意一个无穷小f(x)代替x后，上述等价关系依然成立.
例如，x→0时，有sinx3~x3, e－x2－1~－x2,ln (1+4x)~4x，等等.
一、 无穷小阶的定义
定义14
设α，β是自变量在同一变化过程中的两个无穷小，且α≠0. (1) limβα=0，则称β是比α高阶的无穷小，记为β=o(α). (2) limβα=∞，则称β是比α低阶的无穷小. (3) limβα=c(c≠0)，则称β与α是同阶无穷小 limβα=1，则称β与α是等价无穷小，记为α~β. (4) limβαk=c(c≠0,k>0)，则称β是α的k阶无穷小.
二、 等价无穷小
定理22
设α，α′，β，β′是自变量在同一变化过程中的无穷小，且 α~α′，β~β′，limβ′α′存在，则
定理22表明，在求两个无穷小之比的极限时，分子及分母都 可以用等价无穷小代换.因此，若无穷小的代换运用得当，则可简 化极限的计算.
二、 等价无穷小
定理23
α与β β=α+o(α).
一、 无穷小阶的定义
例如，就前述三个无穷小x，x2， sin x(x→0)而言，x2是比x高阶的无穷 小，x是比x2低阶的无穷小，而sinx与x 是等价无穷小.
无穷小的比较全篇
−1
~
1
x2,
1 − cos x ~ x2
3
2
∴
lim
x→0
1
(1 + x2 )3 − 1
cos x − 1
=
lim
x→0
1
(1 + x2 )3 − 1
− (1 − cos x)
=
lim
x→0
1 3
−
x2 x2
=−2 3
2
三、小结
1.无穷小的比较:
反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较. 高(低)阶无穷小; 等价无穷小; 无穷小的阶.
lim
β α
′ ′
.
证
β
lim
α
= lim( β ⋅ β ′ ⋅ α ′) β′ α′ α
= lim β ⋅ lim β ′ ⋅ lim α ′ β′ α′ α
=
lim
β α
′ ′
注：定理2表明: 求两个无穷小之比的极限时，
分子分母都可用等价无穷小来代换。
这种求极限的方法叫做等价无穷小代换法。
常用的等价无穷小:
∴当x → 0时, tan x是与x等价的无穷小，即
tan x ~ x,( x → 0)
∵lim sin x = 1 x→0 x
∴当x → 0时,sin x是与x等价的无穷小，即
sin x ~ x,( x → 0)
∵ lim x→0
1 − cos x x2
= 1 ∴1 − cos x是关于x的二阶无穷小 2
αk
无穷小 .
例 ∵lim 3x2 = lim 3x = 0
x→0 x
考研数学-专题4 无穷小量阶的比较
(k
f −
(x) 1) x k
−2
=
2
lim
x→0
(k
f ′(x) −1)(k − 2)xk
−3
= 2 f ′(0) ≠ 0 (k −1)(k − 2)
(k = 3)
故选（C）. 【解 2】排除法
【例 5】(2013 年 2,3) 当 x → 0 时,1 − cos x ⋅ cos 2x ⋅ cos3x 与 axn 为等价无穷小,求 n 与 a
（D） k = 3,c = −4.
5
【解 4】（代入法）
【例 4】(1996 年 1,2)设 f (x) 有连续导数, f (0) = 0 , f ′(0) ≠ 0 ,
∫ F(x) =
x
(
x2
−
t
2
)
f
(t)dt
,且当
x
→
0
时,
F
′(x)
与
x
k
为同阶无穷小,则
k
等于（
）
0
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
7
⎧
⎪⎪⎪⎨b1 ⎪ ⎪ ⎪⎩
+ −
a 3
a=0 a =0 2
=k
故 a = −1,b = − 1 , k = − 1 .
2
3
【解 2】
【例 7】(2020 年 3)
已知 a,b 为常数，若 (1+
1 )n n
−
e
与
b na
在 n → ∞ 时是等价无穷小，求
a, b.
(1+ 1 )n 【解 1】1 = lim n
2.2.6无穷小的比较
一般地, 一般地 若x→x0时, α~A(x−x0)k(A≠0 , k>0), → − ≠ 则有: α=A(x−x0)k+o((x−x0)k), 及 α≈A(x−x0)k. 则有 − − α≈ −
求常数A和 例. 求常数 和k, 使x→0时, → 时
1 2 x 2 e
− cos 3 x ~ Ax k .
故, e − 1 ~ x.
x
无穷小的等价关系具有传递性, 在自变量x的某趋限过 无穷小的等价关系具有传递性 即: 在自变量 的某趋限过 程中，无穷小α 满足: 程中，无穷小α、β、γ, 满足 α~β, β~γ, 则必有 α ~ γ。 β γ 则必有:
由此可以证明: 由此可以证明
当 µ ≠ 0时 , (1 + x ) µ − 1 ~ µx , ( x → 0 ).
解：因为
1 2 x 2 e
1 2 = 1 + x + o( x 2 ), 2
1 cos 3 x = 1 − ( 3 x )2 + o( x 2 ), 2
1 2 x 2 所以， 所以，e
− cos 3 x = 5 x 2 + o( x 2 ) ~ 5 x 2 .
A 故， = 5，k = 2.
1 + sin x − cos x 例 : lim x →0 1 + sin( px ) − cos( px )
于是有: 于是有
sin x ~ x , sin x = x + o( x ), sin x ≈ x ,
tan x ~ x , tan x = x + o( x ), tan x ≈ x , x2 x2 x2 cos x − 1 ~ − , cos x = 1 − , + o ( x 2 ), cos x ≈ 1 − 2 2 2
无穷小量的比较
则当 x 0 时, 有 u 0,
ex 1 u lim lim lim u 0 x 0 u 0 ln(1 u ) x
u 0
1 ln(1 u)
1 u
1 lim ln(1 u)
1 u
1 1. ln e
当x 0时， e x 1 ~ x.
解
令 (1 x) 1 y,于是 ln(1 x) ln(1 y),
第五节 无穷小量的比较
A.
ห้องสมุดไป่ตู้
无穷小量的阶：
高阶、低阶、同阶(等价)、k阶无穷小
B.
利用等价无穷小量计算极限
A.无穷小量的阶
引例：当 x 0时， 3 x , x 2 , sin x 都是无穷小, 但 它们趋于零的速度不同：
x 0, lim x 0 3 x
2
sin x 1 lim , x 0 3 x 3
tan 2 x . 例3 求 lim x 0 1 cos x
1 2 解 当x 0时, 1 cos x ~ x , tan 2 x ~ 2 x . 2 2 (2 x ) 原式 lim 8. x 0 1 x2 2
2
例4 解
e 1 求 lim . x 0 x
x
令 e x 1 u, 即 x ln(1 u),
例. 当
时, 比较无穷小
与
的阶.
ln x 解: 因 lim x 1 ( x 1) 2 ln[1 ( x 1)] lim 2 x 1 ( x 1) x 1 lim x 1 ( x 1) 2 1 lim x 1 x 1
故 是比
x 0 时, ln(1 x) ～ x ,
2.6 无穷小的比较
2.6 无穷小的比较
考研数学二(填空 分 考研数学二 填空4分) 填空
1 arctan x − sin x lim = − 3 x →0 6 x
, 当x →0时 时
1 3 x − sin x ~ x 6 1 3 x − arctan x ~ x 3
arctan x − sin x 解 lim x →0 x3
2.6
无穷小的比较
无穷小的比较
★
利用等价无穷小替换求极限
第2 章
极限与连续
1
2.6 无穷小的比较
一、无穷小的比较
1 时 如,当x → 0时, x , x , sin x , x sin x 2 x x2 → 0 3x → 0 lim = 0, 观 x →0 3 x 察
2
2
. ; ;
各 极 限
sin x lim x→0 x
2
= 1, sin x → 0与x → 0
. .
1 x sin x = lim sin 1 lim x →0 x →0 x2 x
,
.
2
2.6 无穷小的比较
定义2.10 是同一过程中的两个无穷小 两个无穷小, 定义2.10 设α , β 是同一过程中的两个无穷小
β (1) 如果 lim = 0, 就说 β 是比 α 高阶的无穷小; 高阶的无穷小; α 记作 β = o(α ); β ( 2) 如果 lim = ∞ , 就说β 是比α 低阶的无穷小; 低阶的无穷小; α β ( 3) 如果 lim = C (C ≠ 0), 就说 β 与α是同阶无穷小; 同阶无穷小; α 等价无穷小, , 特别当C = 1 , 则称β 与α是 等价无穷小, 时
β α′ β′ = lim ⋅ lim ⋅ lim β′ α α′ 1 1 β′ = lim = A (或∞ ). α′
无穷小的比较__无穷小的阶共28页
26、机遇对于有准备的头脑有特别的 亲和力 。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力 量泉源 之一， 也是成 功的利 器之一 。没有 它，天 才也会 在矛盾 无定的 迷径中 ，徒劳 无功。- -查士 德斐尔 爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉 尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯 潘。
1、最灵繁的人也看不见自己的背脊。——非洲 2、最困难的事情就是认识自己。——希腊 3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。——黑塞 4、与肝胆人共事，无字句处读书。——周恩来 5、阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根
2-6无穷小的比较 无穷小的阶
cos(a 2
b)
,
x
1
1
cos(a 2
b) ,
x
1
四、1、 cos(a bx), x 1 ；
2、a 2k ( k 0, 1, ) ,b 0.
x0
x2
2
1
lim(cos x)ln(1x2 )
e . 1 2
x0
练习 求 lim ex ex ,( ,且不同时为零) x0 sinx sin x
解
原式
lim
x0
2
sin
ex 1
x
1 cos
ex
x
2
2
ex 1
1 ex
x0
x
三、 证明：若 , 是无穷小，则
~ 0( ).
x2n1 sin x cos(a bx)
四、设 f(x)=lim n
2 x2n 1
求：1、 f (x) 的表达式 .
2、确定 a,b 的值,使得
lim f ( x) f (1)， lim f ( x) f (1) .
x f ( x) x
不存在且不为无穷大
故当 x 函数 f ( x)和g( x)不能
比较.
练习题
一、填空题：
1、lim tan 3x ________; x0 sin 2 x
2、
arcsin xm
lim
x0
(sin x)n
_______;
3、 lim ln(1 2x) ________;
lim(
无穷小阶的比较
的无穷小来代替，这样可以简化很多函数极限的计算．下面给出一些常用的等价无
穷小公式（当 x 0 时）：
（1） sin x ~ x ；
（2） arcsin x ~ x ；
（3） tan x ~ x ；
（4） arctan x ~ x ；
（5）1 cos x ~ 1 x2 ； 2
（6） n 1 x 1 ~ 1 x ． n
高等数学
无穷小阶的比较
例如，因为
lim
x0
2x x2
，所以当
x
0
时，
2x
是比
x2
低阶的无穷小，反过来
x2
是比 2x 高阶的无穷小，即 x2 o(2x) ；因为 lim sin x 1 ，lim tan x 1 ，所以当 x 0
x0 x
x0 x
时， sin x ， tan x 与 x 是等价无穷小，即 sin x ~ x ， tan x x ．
无穷小阶的比较
例 4 求 lim tan 2x ． x0 sin 3x
解 因为当 x 0时， tan 2x ~ 2x ， sin3x ~ 3x ，所以 lim tan 2x lim 2x 2 ． x0 sin 3x x0 3x 3
无穷小阶的比较
例 5 求 lim 1 x2 1 ． x0 1 cos x
无穷小阶的比较
例 1 证明：当 x 0 时，1 cos x ~ 1 x2 ． 2
证明
因为
lim
x0
1
cos x2
x
lim
x0
2 sin 2 x2
x 2
lim
x0
sin x
x 2
2
1，
2
§2.6 无穷小的比较-精选文档
x
2 x 2 例 如 ： 因 为 l i m 0 ， 所 以 x o 2 x x 0 x 0 2 x
x 1 1 1 2 因 为 l i m l i m ， 所 以 x 1 O x 1 x 1 2 x 1 x 1 x 1 x 1 2
x 1
.
无 穷 小 3 2 x 3 x 2 ( x 1 ) ( x 2 ) 又 因 为 l i m l i m 0 x 1 1 x 1 x ( x 1 ) 3 故 x 1 时 ， x 3 x 2 是 比 x 1 高 价 的 无 穷 小
( 2 ) 因 l i m l g0 x , 故 x 1 时 ， l g x 是 无 穷 小
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ta nxsinx 求 lim . 3 x 0 x
3 例4 求 limx ln ( 1 2 ). x x 3 3 解 当 x 时 ， l n ( 1 2 ) 2 ， 则 x x 3 2 2 3 l i ml xn ( 1 2 ) l i m ( x 2 ) 3 x x x x ( 1 x2)1/3 1 lim . 例5 求 x 0 cosx 1 1 1 2 1 3 2 2 解 当 x 0( 时 ， 1 x ) 1 ~ x , c o s x 1 ~x , 3 2 1 2 x 2 13 ( 1x ) 1 2 3 故 lim lim x 0 x 0 1 2 c o sx 1 3 x 2
1 所 以 ( x 1 ) s i n 与 x 1 不 能 比 较 x 1
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定理 设 , ， 若 l i m 存 在 ， 则 l i ml i m
无穷小阶的比较
无穷小阶的比较————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：242 / 51.6 无穷小阶的比较1 无穷小的比较设α,β是自变量的同一变化过程中的两个无穷小.。
(1) 如果0lim0x x βα→=，则称β是比α高阶的无穷小，记为()o βα=；也说α是比β低阶的无穷小。
(2) 如果0lim x x c βα→=(c 是不为0的常数)，则称β是与α同阶的无穷小。
(3) 如果0lim 1x x βα→=，则称β与α是等价无穷小，记作βα:或αβ:。
(4) 如果0lim k x x c βα→=(0k >，c 是不为0的常数)，则称β是关于α的k 阶无穷小。
例如 0x →时，23()x o x =，sin x x :，1cos x -与2x 是同阶无穷小，同时1cos x - 也是关于x 的二阶无穷小。
注意并不是所有的无穷小都能进行比较，x →∞时，1()f x x =，sin ()x g x x=都是无穷小。
由于()1lim lim ()sin x x f x g x x →∞→∞=和()lim lim sin ()x x g x x f x →∞→∞=都不存在，因此，1()f x x =与sin ()x g x x=不能进行阶的比较。
例1 0x →时，比较1cos x -与2x 的阶。
解 2222000022sin 2sin sin 1cos 111222lim lim lim lim 12224()22x x x x x x x x x x x x →→→→⎛⎫ ⎪-====⋅= ⎪ ⎪⎝⎭ 。
0x →时，1cos x -与212x 是等价无穷小。
定理 1.5.1 设α,β是自变量的同一变化过程中的两个无穷小，则βα:()o βαα⇔=+。
例如 0x →时，211cos 2x x -:，故 2211cos ()2x x o x -=+，即221cos 1()2x x o x =-+，于是在0x =的小邻域内可以用2112x -近似代替cos x 。
2.6无穷小比较
复习一. 夹逼准则与 单调有界收敛准则准则I准则Ⅱ单调有界数列必有极限1sin lim 0=→xx x 1.二、 两个重要极限e xx x =+∞→)11(lim 2.1sin lim 0=→xx x 1tan lim 0=→xx arc x 11lim 0=-→x e x x 1)1ln(lim 0=+→xx x 例第二章 都是无穷小,第六节引例.但 可见无穷小趋于 0 的速度是多样的 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束无穷小的比较定义.若则称 β 是比 α 高阶的无穷小,若若若若或设是自变量同一变化过程中的无穷小,记作则称 β 是比 α 低阶的无穷小;则称 β 是 α 的同阶无穷小;则称 β 是关于 α 的 k 阶无穷小;则称 β 是 α 的等价无穷小,记作例如 , 当～时～～又如，故时是关于 x 的二阶无穷小,～且例1.证明: 当时,～证:～～～定理1.证:即即例如,～～故几个常用的等价无穷小量)0(→x x x x x a x a xe x x xx x x xx xx 21~11~)1ln(ln ~1~1~arctan ~arcsin ~tan ~sin -++--～定理2 .设且存在 , 则证:例如,设对同一变化过程 ,α , β 为无穷小 ,说明:无穷小的性质, (1) 和差取大规则: 由等价可得简化某些极限运算的下述规则. 若 β = o(α) ,(2) 和差代替规则:例如,例如,(3) 因式代替规则:界, 则例如,例1. 求解: 原式例2. 求解:内容小结1. 无穷小的比较设α ,β对同一自变量的变化过程为无穷小, 且β是α的高阶无穷小β是α的低阶无穷小β是α的同阶无穷小β是α的等价无穷小β是α的k 阶无穷小2. 等价无穷小替换定理～～～～～Th 2作业P65 2 (3) , (4) ; 3 (1) ～(6) ,常用等价无穷小 :xe x~1-xx ~)1ln(+机动。
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lim
x0
x3
sin lim
x0
x( cos x3
x
1)
sinx (1cosx)
lim x0 x
x2cosx
x2
lim
x0
2
x2
cos
x
1
lim x0 2 cos x
1 2
注lx i m 0tanxx 3sinxlx i m 0xx 3x.
1
例8 求 lim(1sinx2)1cosx. x0
因此 o(), 即 o()
充分性 设o(), 则
lim lim o ()lim (1 o ( )) 1 即 ~
定理2.6.2 (等价替换原理) 设, , , 为同一极限过
程中无穷小量, 且 ~ ~ , 若 l i m
则
lim lim
存在,
证明 根据极限运算法则
lim lim又Βιβλιοθήκη ex 1 lim x 0 x
令t ex 1lim t t0 ln(1t)
lim t0
1 1 1
ln(1 t ) t
所以当 x→0时, ex 1~ x.
二. 等价无穷小替换原理
定理2.6.1 α与β 是等价无穷小的充分必要条件为
o()
证明 必要性 设 ~ , 则
limlim ( 1 )lim 10
所以
limsin5x l i m 5 x 5 x0tan3x x 0 3 x 3
例5
求
cos x 1
lim
x0
ex 1
.
解 因 为 当 x0时 ,
所以
x2 1cosx~ ,
ex1x
2
cos x 1
lim
x0
ex 1
lim
x 0
x2
2 x
x lim( ) 0
x0 2
cosx(esinx 1)2
26无穷小阶的比较
(2)如果 lim
, 则称
是
的低阶无穷小.
(3) 如果 lim c 0 , 则称 与 是同阶无穷小.
特别地, 当c = 1时, 则称 是 的等价无穷小, 记做 ~
(4)
如果
limk
c0,
k0则称
是
的k阶无穷小.
例1
因 为 lx i m 0x x 2 0 ,lx i m 0x x 2 ,lx i m 0sin x x 1
解 因 为limsinx2
1
x2 lim 2
x 0
1cosx x x 0 2
则
1
2
lim (1sinx2)1cosxe2
x 0
注 使用无穷小量的等价替换, 是求解函数的极限的常用
方法. 在求乘除运算的极限时, 可以大胆使用; 而在求和差
运算的极限时, 则须慎用.
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例6 求 lim x0
tan2 x
.
解 因为，当 x 0 ，有sinx→0, 且
esinx1~sinx,tan2x~x2
运用等价无穷小的代换, 有
lim co sx(esinx 1 )2lim co sxsin2x 1
x 0 tan2x
x 0
x2
例7
求
tanxsinx
lim
x0
x3
.
1
解
tan x sin x
所以当 x→0时, x 2 是x的高阶无穷小； x是 x 2 的低阶无
穷小；sin x 与 x 是等阶无穷小.
例2 因为lxi m 01xco2sx12
所以, 当x→0时, 1cosx与 x 2 是同阶无穷小.
例3 因为 limln(1x)
x0
x
1
limln(1x)x lne1 x 0
所以当 x→0时, ln(1+x) ~ x.
4. arcsin x ~ x ;
5. arctan x ~ x ; x2
7. 1cos x ~ ; 2
6. ax1~xlna, ex 1~ x ;
8.
1
(1ax)n
a 1~ x.
n
例4 求 lim sin 5 x . x 0 tan 3 x
解 因 为 当 x0时 ,
s in 5 x ~ 5 x , t a n 3 x 3 x
limlim lim lim
注 由此定理可知,求两个无穷小量商的极限时, 如果分子 分母, 的等价无穷小量存在, 则就可用它们各自的等价无穷小量 来代换原来的分子和 分母, 使得计算简化.
请记住以下几个常用的等价无穷小量: 当x0时,
1. sin x ~ x ;
2. tan x ~ x ;
3. ln(1+x) ~ x ;