圆锥曲线中的弦长问题知识讲解

圆锥曲线中的弦长问题

知识点：圆锥曲线的弦

1.直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦。 当直线的斜率存在时，直线与圆锥曲线相交于

，

两

点，

把直线方程代入曲线方程中，消元后所得一元二次方程为.则

弦长公式：

其中

当存在且不为零时, 弦长公式还可以写成：

注意：当直线的斜率不存在时，不能用弦长公式解决问题，

2.焦点弦：若弦过圆锥曲线的焦点叫焦点弦；

抛物线的焦点弦公式，其中为过焦点的直线

的倾斜角.

3.通径：若焦点弦垂直于焦点所在的圆锥曲线的对称轴，此时焦点弦也叫通径. 抛物线的通径

二、例题：

1、若椭圆19

362

2=+y x 的弦被点()2,4平分，则此弦所在直线的斜率为 A 、2 B 、 -2 C 、

31 D 、2

1

- 2、已知抛物线32+-=x y 上存在关于直线0=+y x 对称的相异两点A 、B ，则AB 等于

A 、3

B 、4

C 、23

D 、24

3、过抛物线px y 22=()0>p 的焦点F 作倾斜角为︒45的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的长为8，则P=

4、求直线23+

=x y 被曲线2

2

1x y =截得的线段的长

5、过原点且倾斜角为60︒的直线被圆22

40x y y +-=所截得的弦长为

（A ）3 （B ）2 （C ）6（D ）23

6、已知对k ∈R ，直线y －kx －1=0与椭圆52x +m

y 2

=1恒有公共点，则实数m 的取值范围是

A.（0，1）

B.（0，5）

C.［1，5）∪（5，+∞）

D.［1，5）

7、已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，直线1:1x y

l a b

-=被椭圆C 截得的弦长为22且6

3

e =

，过椭圆C 32l 被椭圆C 截的弦长AB ， ⑴求椭圆的方程；⑵弦AB 的长度.

8、过点()4,1P 作抛物线2

8y x =的弦AB ，恰被点P 平分，求AB 的所在直线方程及弦AB 的长度。

9、已知点A （2，8），B （x 1，y 1），C （x 2，y 2）在抛物线px y 22=上，△ABC 的重心与此抛物线的焦点F 重合（1）写出该抛物线的方程和焦点F 的坐标；（2）求线段BC 中点M 的坐标；（3）求BC 所在直线的方程。

答案：

1.D

2.C

3.2

4.24

5.D

6.C

7、解析：⑴由1l 被椭圆C

截得的弦长为2

2

8a b +=，………①

又3e =，即2223

c a =，所以22

3a b =………………………….②

联立①②得2

2

6,2a b ==，所以所求的椭圆的方程为22

162

x y +=. ⑵∴椭圆的右焦点()2,0F ，∴2l

的方程为：)2y x =-， 代入椭圆C 的方程，化简得，2

51860x x -+= 由韦达定理知，1212186

,55

x x x x +== 从而

12x x -=

=

由弦长公式，得

1255

AB x =-==，

即弦AB 的长度为

5

8、解法1：设以P 为中点的弦AB 端点坐标为()()1122,,,A x y B x y ，

则有22

11228,8y x y x ==，两式相减，得()()()1212128y y y y x x -+=-

又12128,2x x y y +=+= 则21

21

4y y k x x -=

=-，所以所求直线AB 的方程为()144y x -=-，即4150x y --=.

解法2：设AB 所在的直线方程为()41y k x =-+

由()2418y k x y x

⎧=-+⎪⎨=⎪⎩，整理得2

83280ky y k --+=.

设()()1122,,,A x y B x y ，由韦达定理得128

y y k

+=， 又∵P 是AB 的中点，∴

1212y y +=，∴8

24k k

=⇒=

所以所求直线AB 的方程为4150x y --=.

由2

4150

8x y y x

--=⎧⎨

=⎩ 整理得，2

2300y y --=，则12122,30y y y y +==-

有弦长公式得，

122

AB y y =-==

9、由点A （2，8）在抛物线

22y px =上，有2822p =⨯，

解得p=16，所以抛物线方程为

232y x =，焦点F 的坐标为（8，0）。

（2）如图，由于F （8，0）是△ABC 的重心，M 是BC 的点，所以F 是线段AM 的定比分点，2AF

FM

=。设点M 的坐标为00(,)x y ，则00

22828,01212

x y ++==++，

解得0

011,4x y ==-，所以点M 的坐标为（11，－4）

（3）由于线段BC 的中点M 不在x 轴上，所以BC 所在的直线不垂直于x 轴.设BC 所

在直线的方程为

4(11)(0).y k x k +=-≠由2

4(11),

32y k x y x +=-⎧⎨=⎩消x 得 23232(114)0ky y k --+=，所以1232

y y k

+=.

由（2）的结论得12

42

y y +=-，解得k=-4

因此BC 所在直线的方程为y+4=-4(x-11) 即4x+y-40=0。