直线与双曲线位置关系典例精析

直线和双曲线的位置关系

一、要点精讲

1．直线和双曲线的位置关系有三种：相交、相切、相离.

2．弦长公式：设直线b kx y +=交双曲线于()111,y x P ，()222,y x P ，

则

()2122122

2121411x x x x k k

x x P P -+⋅+=+-=，

或()()041

111212212

22121≠-+⋅+=+-=k y y y y k k y y P P ．

二、基础自测 1．经过点⎪⎭

⎫

⎝⎛2,21P 且与双曲线1422=-y x 仅有一个公共点的直线有（ ） (A) 4条 (B) 3条 (C) 2条 (D) 1条 2．直线y= kx 与双曲线1642

2

=-y x 不可能（ ）

（A ）相交 （B ）只有一个交点 （C ）相离 （D ）有两个公共点

3．过双曲线的一个焦点且与双曲线的实轴垂直的弦叫做双曲线的通径，则双曲线

19

162

2=-x y 的通径长是 (A)

49 (B) 2

9

(C) 9 (D) 10 4．若一直线l 平行于双曲线的一条渐近线，则l 与双曲线的公共点个数为 ． 解：与双曲线渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个公共点，应注意直线与双曲线不是相切 5．经过双曲线82

2

=-y x 的右焦点且斜率为2的直线被双曲线截得的线段的长是 ．

6．直线l 在双曲线12

32

2=-y x 上截得的弦长为4，且l 的斜率为2，求直线l 的方程． 三、典例精析

题型一：直线与双曲线的位置关系

1. 如果直线1-=kx y 与双曲线42

2

=-y x 没有公共点，求k 的取值范围．有两个公共点呢？

解，所以△=2

()40b a -=， 所以2b a =，2221()5c a b b e a a a

+===+=，故选D.

2．(2010·安徽)若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是 ( ) A.

151533⎛- ⎝⎭ B.150,3⎛

⎝⎭ C.153⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ D.15

13⎛⎫-

- ⎪ ⎪⎝

⎭

解：由⎩⎪⎨

⎪⎧

y ＝kx ＋2，

x 2－y 2＝6

得(1－k 2)x 2－4kx －10＝0，∴

()()222

1212

10

1641100

00k k k x x x x ⎧-≠⎪∆=--⨯->⎪⎨+>⎪⎪>⎩，解得－153

1725

x y -=有且只有一个公共点的直线有几条，

分别求出它们的方程。

题型二：直线与双曲线的相交弦问题

4. 过双曲线1322

=-y x 的左焦点1F ，作倾斜角为6

π

的弦AB ，求⑴AB ；⑵AB F 2∆的周长（2F 为双曲线的右焦点）。

5. 已知双曲线方程为332

2

=-y x ，求以定点A(2,1)为中点的弦所在的直线方程．

解圆锥曲线与直线相交所得的中点弦问题，一般不求直线与圆锥曲线的交点坐标，而是利用根与系数的关系或“平方差法”求解．此时，若已知点在双曲线的内部，则中点弦一定存在，所求出的直线可不检验，若已知点在双曲线的外部，中点弦可能存在，也可能不存在，因而对所求直线必须进行检验，以免增解，若用待定系数法时，只需求出k 值对判别式△>0进行验证即可． 6. 双曲线方程为3322

=-y x .

问：以定点B(1,1)为中点的弦存在吗？若存在，求出其所在直线的方程；若不存在，请说明理由．

7、已知中心在原点，顶点12,A A 在x 轴上，离心率为

21

3

的双曲线经过点

(6,6)P

（Ⅰ）求双曲线的方程；

（Ⅱ）动直线l 经过12A PA ∆的重心G ，与双曲线交于不同的两点,M N ，问是否存在直线l 使G 平分线段MN 。试证明你的结论。 题型三： 求双曲线方程

8. 已知焦点在x 轴上的双曲线上一点P ，到双曲线两个焦点的距离分别为4和8，直线2-=x y 被双曲线截得的弦长为220，求此双曲线的标准方程．

9、设双曲线()01:2

22>=-a y a

x C 与直线1:=+y x l 相交于不同的点A 、B.

⑴求双曲线C 的离心率e 的取值范围； ⑵设直线l 与y 轴的交点为P ，且PB PA 12

5

=

，求a 的值。 解：(1)将y ＝－x ＋1代入双曲线x 2

a 2－y 2＝1中得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0

① 由题设条件知，

⎩⎨⎧

1－a 2≠04a 4＋8a 21－a 2>0

，解得0

a

＝1

a 2

＋1， ∵0

6

2

且e≠ 2. (2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，P(0,1)． ∵PA →＝512PB →

， ∴(x 1，y 1－1)

＝512(x 2，y 2－1)．∴x 1＝5

12

x 2， ∵x 1、x 2是方程①的两根，且1－a 2

≠0， ∴1712x 2＝－2a 21－a 2，512x 2

2

＝

－2a 2

1－a 2

， 消去x 2得，－2a 21－a 2＝28960

， ∵a>0，∴a ＝17

13.