高考数学中的绝对值问题

高考数学中的绝对值问题

绝对值是高中数学中的一个基本概念，“绝对值问题”历来是高考中经常涉及的问题，可谓常考常新，与函数、导数、数列、不等式证明等知识交汇相结，成为高考的“新宠”。特别是“绝对值”问题为背景与初等函数结合所构成的综合题。由于它们在知识上具有综合性，题型上具有新颖性，解题方法上具有灵法多变，还需要利用数形结合、分类讨论、绝对值不等式的放缩等数学思想，对考生的综合知识能力要就求较高，成为考生之间拉分的重要题型之一。今天只对与函数、不等式结合的绝对值问题的几道例题略作分析，供同学们思考。

一、知识储备：

（1）绝对值概念、绝对值的非负性、几何意义、绝对值的函数图象等。 （2）各类绝对值不等式的解法。

（1）(0)x a a x a a ≤⇔-≤≤≥； （2）(0)x a x a x a a ≥⇔≥≤-≥或； （3）)()()()(|)(|x g x f x g x g x f ≤≤-⇔≤；

(4) )()()()()(|)(|x g x f x g x f x g x f ≥-≤⇔≥或． （3）绝对值三角不等式：

||||||||||||b a b a b a +≤±≤-，及其左右两个等号各自成立的条件。 二、例题：

例1、已知R c ,b ,a ∈函数c bx ax x f ++=2

)(，b ax x g +=)(，

当]1,1[-∈x 时，有1)x (f ≤。

(1)证明：1c ≤ (2)证明：当11≤≤-x 时，2)(≤x g ，42≤+b ax

例2、如果对于函数)(x f 的定义域内的任意21,x x ，都有|||)()(|2121x x x f x f -≤-成立，那么就称函数)(x f 是定义域上的“平缓函数”．

（II ）若函数)(x f 是闭区间]1,0[上的“平缓函数”，且)1()0(f f =．证明：对任意的]1,0[,21∈x x 都有2

1|)()(|21≤

-x f x f 。

例3、（2012浙江理22）已知R b a ∈>,0，函数b a bx ax x f +--=24)(3

. (Ⅰ)证明:当10≤≤x 时, (ⅰ)函数()f x 的最大值为a b a +-|2|;

(ⅱ) 0|2|)(≥+-+a b a x f 。

例4、（2012陕西理22）设函数()(,,)n

n f x x bx c

n N b c R +=++∈∈

(II)设2n =,若对任意12,x x [1,1]∈-,有2122|()()|4f x f x -≤,求b 的取值范围;

变题：（连云港市2012－2013）已知函数3211

()33

f x x mx x m =--+，其中m ∈R ．

(1)求函数y =f (x )的单调区间；

(2)若对任意的x 1，x 2∈[-1，1]，都有12|()()|4f x f x ''-≤，求实数m 的取值范围； (3)求函数()f x 的零点个数．

A

B

C

D

三、考题精选：

1.求|23||3||12||1|++-+++-=x x x x y 的最小值为___________

2.若存在实数x 使3|1|||≤-+-x a x 成立,则实数a 的取值范围是___________.

3.若不等式2|4|≤-kx 的解集为}31|{≤≤x x ,则实数=k __________.

4.在实数范围内，不等式6|12||12|≤++-x x 的解集为___________。

5.不等式1|||2|≤-+x x 的解集为__________________.

6.在区间]1,[+t t 上满足不等式1|13|3

≥+-x x 的解有且只有一个，则实数t 的取值 范围为 7.已知t 为常数，函数t x x y --=22在区间[0，3]上的最大值为2，则=t __ _。 8．若函数R a x a x x f ∈-+=|,1|)(2

3

,则对于不同的实数a ,则函数)(x f 的单调区间个数不可能是 ( )

A.1个

B. 2个

C.3个

D.5个 9．设函数)(),(R x x f ∈满足)()(x f x f =-，)2()(x f x f -=,且当]1,0[∈x ,3

)(x x f =.又函数|)cos(|)(x x x g π=,则函数)()()(x f x g x h -=在]2

3

,21[-上的零点个数为 （ ）

A ．5

B ．6

C ．7

D ．8

10. 函数tan sin tan sin y x x x x =+--在区间3(,)22

ππ

内的图象是 （ ） 11．y k x a b =--+的图象与y k x c d =-+的图象（0k >且1

3

k ≠

）交于两点（2,5），（8,3），则c a +的值是( )

A ．7

B ．8

C ．10

D ．13

12.设函数|||1|)(a x x x f -++=的图象关于直线1=x 对称，则a 的值为（ ）

(A) 3 (B)2 (C)1 (D)-1

13.设()⎩

⎨⎧<≥=1,1,2x x x x x f ，()

x g 是二次函数，若()[]x g f 的值域是[)+∞,0，则()x g 的值域是

（ ）

A.(][)+∞-∞-,11,

B.(][)+∞-∞-,01,

C.[)+∞,0

D. [)+∞,1 14．已知函数2|3|)(3

--+=a x x x f 在)2,0(上恰有两个零点，则实数a 的取值范围为（ ）

A ．)2,0(

B ．)4,0(

C ．)6,0(

D ．（2，4）

15．若函数⎪⎩⎪

⎨⎧+∞∈--∞∈--=),2[),2(2

1)

2,(|,1|1)(x x f x x x f ，则函数1)()(-=x xf x F 的零点个数为（ ）

A ．4个

B ．5个

C ．6个

D ．7个

16．设函数)(x f y =满足对任意的R x ∈，0)(≥x f 且9)()1(2

2

=++x f x f 。已知当]1,0[∈x 时，有242)(--=x x f ，则⎪⎭

⎫

⎝⎛62013f 的值为 。