导数及其应用ppt课件演示文稿
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3.2导数的计算(27张PPT)
;
(7) y 3 x; 2
例3 :日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水纯
净度的提高，所需净化费用不断增加。已知1吨水净化
到纯净度为x%时所需费用（单位:元）为：
c(x)= 5284 (80 x 100). 100 x
求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率;
(1)90%;
(2)98%.
x
x
f (x) (x2) ' lim y lim 2x x x2 lim (2x x) 2x.
x x0
x0
x
x0
公式三：（x2）' 2x
二、几种常见函数的导数
4) 函数y=f(x)=1/x的导数.
解: y f (x) 1 , x
y f (x x) f (x) 1 1 x x x x (x x)x
y
'
1 x2
探究：
表示y=C图象上每一点处的切线 斜率都为0
表示y=x图象上每一点处的切线 斜率都为1
这又说明什么?
这又说明什么?
画出函数y=1/x的图像。根据图像， 描述它的变化情况。并求出曲线在 点（1,1）处的切线方程。
x+y-2=0
3.2.2基本初等函数 的导数公式及导数 的运算法则
高二数学 选修1-1
y f (x x) f (x) C C 0,
y 0, x
f (x) C lim y 0. x0 x
公式一：C 0 (C为常数)
二、几种常见函数的导数
2) 函数y=f(x)=x的导数. 解: y f (x) x,
y f (x x) f (x) (x x) x x,
(1) c '(90) 5284 52.84 (100 90)2
导数及其应用PPT课件
解：(1)
4.已知a>0,n为正整数。 (1)设y=(x-a)n, 证明y’=n(x-a)n-1; (2)设fn(x)=xn-(x-a)n , 对任意n≥a,证明：
小
求函数单调区间的步骤：
求函数极值的步骤：
结
(1)求导函数f ’(xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ; (2)求方程f ’(x)=0的根；(3)检查f ’(x)在 方程根左右的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处 取得最大值，如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得最 小值。 求闭区间上函数的最值的方法：
y
极大值
极大值
x0
极小值
0
x
极小值
显然在极值处函数的导数为０．
【知识在线】:
１．函数ｙ＝２ｘ３＋４ｘ２＋１的导数是_____________. ２.函数y=f(x)的导数y/>0是函数f(x)单调递增的 （B ）
A.充要条件
C.必要不充分条件
B.充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件
(0,2) 单调递增区 ３.函数y=x2 (x-3),则f(x)的单调递减区间是_____, (-∞,0) , (2,+∞) 。 间为______________
x
f(x)
极大值 极小值
由此可得，函数在ｘ＝－ ，处取得极大值２＋ ２
在ｘ＝ ，处取得极小值２- ２ ．草图如图
y
∵ａ＞０，显然极大值必为正，
故只要看极小值的正负即可。
－
０
x
y
方程x3-3ax+2=0有惟一的实根；
－
０ y
x
方程x3-3ax+2=0有二个不同的实根 （其中有一个为二重根）；
导数在经济学中的应用教学课件ppt
导数在生产函数研究中的应用
生产函数
描述生产过程中投入要素与产 出之间的关系。
弹性分析
研究产出对于各投入要素的弹 性变化。
总结词
生产函数、边际分析、弹性分 析、最优生产要素组合
边际分析
分析投入要素的边际产量与最 优要素组合。
最优生产要素组合
确定使生产成本最低或利润最 大的要素组合。
导数在时间序列分析中的应用
导数在经济学中的意义
导数可以描述函数的变化率和极限状态，可以帮助经济 学研究者更好地了解经济变量的变化规律和趋势，为政 策制定提供重要的参考依据。
导数在经济学中的未来研究方向
研究主题1
如何将导数与其他经济学理论相结合，进一步完善经济学理论框 架，更好地解释现实经济现象。
研究主题2
如何运用导数研究具有复杂特征的经济问题，例如金融市场波动 、能源供需变化等。
导数在弹性分析中的应用
01
02
03
弹性分析是经济学中用于研究函数因 变量对自变量敏感度的概念。
导数可以用于计算弹性和弹性系数， 研究经济变量的变化对经济整体的影 响。
例如，在国际贸易中，出口商品的弹 性系数可以帮助国家制定贸易政策。
导数在优化问题中的应用
优化问题是经济学中需要找到函数极值点的问 题。
导数在政策分析中的应用
01
政策分析是经济学中用于评估 政策效果和制定政策建议的工 具。
02
导数可以用于建立政策分析模 型，分析政策变动对经济的影 响。
03
例如，可以利用导数分析税收 政策变动对经济增长的影响。
03
导数的数学基础
导数的定义与运算规则
导数的定义
导数是由函数在某一点的斜率来定义的。对于给定的 函数f(x)，f'(x)表示函数在x点的斜率。
导数的概念及运算ppt课件演示文稿(1)
原函数
f(x)=
x
导函数
f′(x)=________ f′(x)=________ f′(x)=________ f′(x)=________ f′(x)=________ f′(x)=________ f′(x)=________ f′(x)=________
f(x)=xa(a为常数) f(x)=ax(a＞0且a¹1) f(x)=logax(a＞0且a¹1) f(x)=ex f(x)=ln x f(x)=sin x f(x)=cos x
为7和-7.所以切线方程为y-2=7(x-2)和y-2=-7(x+5)，
化简可得切线方程为7x-y-12=0和7x+y+33=0.
经典例题
题型一 导数的定义
【例1】 设函数f(x)存在导数，当t无限趋近于0时，化 简 f a 4t f a 5t =________.
t
f a 4t f a 5t 解： t f a 4t f a f a f a 5t t f a 4t f a f a 5t f a 4 5, 4t 5t
[ g x ]2
f x2 f x1 x2 x1
基础达标
1. 函数f(x)=2x+b在区间[m，n]上的平均变化率为________．
f x 2. 若f′(x0)=2，则当k无限趋近于0时，
0
k f x0 2k
=________.
3. 函数y=x3+cos x的导数为________．
6. 复合函数的导数 一般地，若y=f(u)，u=ax+b，则y′x=y′u〓u′x, 即
导数及其应用PPT教学课件
• 若设Δx=x2-x1, Δf=f(x2)-f(x1)
这里Δx看作是对于x1的一
个“增量”可用x1+Δx代
替x2
则平均变化率为
Vf 同样Δf=Δfy(=x=2f()x2)-ff(x(1x)1)
Vx
x2 x1
思考?
• 观察函数f(x)的图象
平均变化率 表示什么?
f(x2 ) f (x1)
x x y
r(V ) 3 3V
4
• 当V从0增加到1时,气球半径增加了 r(1) r(0) 0.62(dm)
气球的平均膨胀率为 r(1) r(0) 0.62(dm / L)
1 0
• 当V从1增加到2时,气球半径增加了 r(2) r(1) 0.16(dm
气球的平均膨胀率为
r(2) 2
r(1) 1
=6Δx+(Δx)2
再求 Vf 6 Vx Vx
再求 lim Vy 6 Vx0 Vx
小结：
时，原由的温度（单位：0C）为 f(x)=x2-
7x+15(0≤x≤8).计算第2（h) 和第6（h）时，原由键是求出：Vf Vx 3 Vx
lim 再求出 Vf Vx0 Vx
它说明在第2（h)附近，原油 温度大约以3 0C/H的速度下降； 在第6（h)附近，原油温度大
又如何求 瞬时速度呢?
如何求（比如， t=2时的）瞬时速度？
： 当Δt趋近于0时,平均
通过列表看出平均速度的变化速度趋有势什么变化趋势?
瞬时速度?
• 我们用 lim h(2 t) h(2) 13.1
t0
t
表示 “当t=2, Δt趋近于0时,平均速度趋于确定值 -13.1”.
• 那么,运动员在某一时刻t0的瞬时速度?
导数在实际生活中的应用PPT教学课件
为定值V，怎样设计桶的底面半径才能使材料最省？此时高
与底面半径比为多少？
解:设桶底面半径为R,
则 桶 高 为h
V
R2
桶的用料为
S(R)
2
R2
2
R
V
R2
2 R2 2V ,
R
S'(R)
4
R
2V R2
,
令S'(R)
4
R
2V R2
0,
解得R
V
2
h R
此时，h
V
R2
V
3
V
2
2
4V 2 V
2
即h 2R
因为S(R)只有一个极值,所以它是最小值。
答：当罐高与底的直径想等时，所用材料最省。
例3.已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q,
价格p与产量q的函数关系式为 p 25 1 q. 求产量q为何值 8
时,利润L最大。
分析:利润L等于收入R减去成本C,而收入R等于产量乘价格.由此可得出 利润L与产量q的函数关系式,再用导数求最大利润.
3、辨别真伪
我是历史 小专家
（1）汉武帝时大力推行儒学教育，在长安兴
办太学。（
）
X （2）董仲舒建议汉高祖，允许诸侯王把自己 的封地分给子弟，建立较小的侯国。（ ）
（3）汉文帝时，西汉在政治、经济、军事和
X 思想上实现了大一统，进入鼎盛时期（ ）
通过本课的学习你知道 了哪些历史人物?你最欣赏或 最钦佩谁?说说你喜欢或钦佩 他的理由。
在实际问题中，如果函数 f ( x )在某区间内 只有一个x0 使f ´(x0)=0,而且从实际问题本身又可 以知道函数在 这点有极大(小)值，那么不与端点 比较， f ( x0 )就是所求的最大值或最小值. (所说区间的也适用于开区间或无穷区间)
导数的应用教学课件ppt
乘法法则
对于两个函数f(x)和g(x)，其导数分别为f'(x)和g'(x)，则两函数积的导数为(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)。
幂法则
对于一个函数f(x)，其导数为f'(x)，则(x^n)'=nx^(n-1)。
导数计算的常见问题与解决方案
常见问题
在导数计算中，容易出现一些错误，如符号错误、运算错误 、化简错误等。
导数可以用来求函数的极值、单调区间、凹凸区间等
导数在其他领域中的应用
导数可以用来解决物理、经济、工程等领域中的一些问题，如物体运动时的加速 度、经济学中的边际效应、工程中的曲率等等
02
导数的计算
极限与导数
极限的定义
极限是函数在某一变化过程中， 某个变量的变化趋势，通常用符 号lim表示。
导数的定义
与其他学生或老师交流讨论，及时解决学习中遇 到的问题。
THANKS
导数的深入研究
1
深入理解导数的定义和计算方法，包括高阶导 数和复合函数的导数。
2
研究导数在函数性质、曲线形状、极值等方面 的应用，以及在实际问题中的应用。
3
探讨导数在数学中的地位和作用，以及与其他 数学分支的联系。
导数在未来的应用前景
分析导数在金融、经济、工程等领域 的应用前景，例如最优化问题、供应 链管理、计算机图形学等。
导数的应用教学课件ppt
xx年xx月xx日Biblioteka contents目录
• 导数的概念及背景 • 导数的计算 • 导数在函数性质研究中的应用 • 导数在几何中的应用 • 导数在实际问题中的应用 • 导数的进一步探讨与展望
01
对于两个函数f(x)和g(x)，其导数分别为f'(x)和g'(x)，则两函数积的导数为(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)。
幂法则
对于一个函数f(x)，其导数为f'(x)，则(x^n)'=nx^(n-1)。
导数计算的常见问题与解决方案
常见问题
在导数计算中，容易出现一些错误，如符号错误、运算错误 、化简错误等。
导数可以用来求函数的极值、单调区间、凹凸区间等
导数在其他领域中的应用
导数可以用来解决物理、经济、工程等领域中的一些问题，如物体运动时的加速 度、经济学中的边际效应、工程中的曲率等等
02
导数的计算
极限与导数
极限的定义
极限是函数在某一变化过程中， 某个变量的变化趋势，通常用符 号lim表示。
导数的定义
与其他学生或老师交流讨论，及时解决学习中遇 到的问题。
THANKS
导数的深入研究
1
深入理解导数的定义和计算方法，包括高阶导 数和复合函数的导数。
2
研究导数在函数性质、曲线形状、极值等方面 的应用，以及在实际问题中的应用。
3
探讨导数在数学中的地位和作用，以及与其他 数学分支的联系。
导数在未来的应用前景
分析导数在金融、经济、工程等领域 的应用前景，例如最优化问题、供应 链管理、计算机图形学等。
导数的应用教学课件ppt
xx年xx月xx日Biblioteka contents目录
• 导数的概念及背景 • 导数的计算 • 导数在函数性质研究中的应用 • 导数在几何中的应用 • 导数在实际问题中的应用 • 导数的进一步探讨与展望
01
《导数的概念及应用》课件
以判断函数的单调性。
极值与导数的关系
总结词
导数的零点通常是函数的极值点，但需 满足一定的条件。在极值点处，导数的 符号发生变化。
VS
详细描述
如果一个函数在某一点的导数为零，且在 这一点的一阶导数存在，那么这个点可能 是函数的极值点。为了确定这一点是否为 极值点，需要检查该点两侧的导数符号是 否发生变化。如果导数的符号在这一点从 正变为负或从负变为正，则该点为极值点 。
曲线的凹凸性与导数的关系
总结词
二阶导数可以判断曲线的凹凸性。二阶导数 大于零的区间内，曲线是凹的；二阶导数小 于零的区间内，曲线是凸的。
详细描述
二阶导数描述了函数值随自变量变化的加速 度。当二阶导数大于零时，表示函数在该区 间内单调递增；当二阶导数小于零时，表示 函数在该区间内单调递减。因此，通过分析 二阶导数的正负，可以判断曲线的凹凸性。
详细描述
在流体动力学中，导数可以用来描述流体速度和压强的变化规律，以及流体流动的稳定性分析。在结构分析中， 导数可以用来计算结构的应力和应变，评估结构的强度和稳定性。在控制理论中，导数可以用来分析系统的动态 响应和稳定性，优化系统的性能和稳定性。
THANKS
感谢观看
极值的概念
函数在某点的极值表示该点附近函数值的大小变化情 况，极值可以是极大值或极小值。
导数与极值的关系
函数在极值点的导数等于零，通过求导可以找到极值 点。
极值问题的求解方法
利用导数等于零的条件，结合函数单调性判断，确定 极值点并计算出极值。
曲线的长度计算
曲线长度的概念
01
曲线长度表示曲线本身的长度，是几何学中的一个基本概念。
导数的几何意义
总结词
导数在几何上表示函数图像在某一点的切线斜率。
极值与导数的关系
总结词
导数的零点通常是函数的极值点，但需 满足一定的条件。在极值点处，导数的 符号发生变化。
VS
详细描述
如果一个函数在某一点的导数为零，且在 这一点的一阶导数存在，那么这个点可能 是函数的极值点。为了确定这一点是否为 极值点，需要检查该点两侧的导数符号是 否发生变化。如果导数的符号在这一点从 正变为负或从负变为正，则该点为极值点 。
曲线的凹凸性与导数的关系
总结词
二阶导数可以判断曲线的凹凸性。二阶导数 大于零的区间内，曲线是凹的；二阶导数小 于零的区间内，曲线是凸的。
详细描述
二阶导数描述了函数值随自变量变化的加速 度。当二阶导数大于零时，表示函数在该区 间内单调递增；当二阶导数小于零时，表示 函数在该区间内单调递减。因此，通过分析 二阶导数的正负，可以判断曲线的凹凸性。
详细描述
在流体动力学中，导数可以用来描述流体速度和压强的变化规律，以及流体流动的稳定性分析。在结构分析中， 导数可以用来计算结构的应力和应变，评估结构的强度和稳定性。在控制理论中，导数可以用来分析系统的动态 响应和稳定性，优化系统的性能和稳定性。
THANKS
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极值的概念
函数在某点的极值表示该点附近函数值的大小变化情 况，极值可以是极大值或极小值。
导数与极值的关系
函数在极值点的导数等于零，通过求导可以找到极值 点。
极值问题的求解方法
利用导数等于零的条件，结合函数单调性判断，确定 极值点并计算出极值。
曲线的长度计算
曲线长度的概念
01
曲线长度表示曲线本身的长度，是几何学中的一个基本概念。
导数的几何意义
总结词
导数在几何上表示函数图像在某一点的切线斜率。
《导数的几何意义》课件
热量与温度
在热传导问题中，导数的几何意义可以帮助 理解热量在物体中的传递和分布。温度是热 量的度量，而物体中的温度梯度（即温度随
位置的变化率）可以用导数来表示。
经济问题
要点一
供需关系
在经济学中，导数可以用来分析供需关系的变化。需求函 数或供给函数的导数可以描述价格与需求量或供给量之间 的变化率，帮助理解市场的均衡状态和价格调整机制。
隐函数求导
方法
通过对方程两边求导来求解隐函数的导数。
注意事项
在求导过程中，需要保持方程两边的等价关 系，并注意复合函数的求导法则。
04
导数在实际问题中的应用
物理问题
速度与加速度
在物理学中，导数被广泛应用于描述物体的 运动状态。速度是位置函数的导数，表示物 体在单位时间内通过的距离；而加速度是速 度函数的导数，表示物体速度变化的快慢。
02 导数可以用来求解微分方程，通过对方程进行求 导和积分，可以得到微分方程的解。
03 微分方程是描述物理现象的重要工具，通过求解 微分方程，可以了解物理现象的变化规律。
THANKS
感谢观看
信号处理
在信号处理和图像处理中，导数起着关键作用。信号的强度随时间的变化率可以用导数 来描述，而图像的边缘和轮廓可以通过求导来检测。此外，导数还可以用于图像的锐化
和模糊处理等操作。
05
导数的扩展知识
高阶导数
01
定义
高阶导数是函数导数的连续函数 ，表示函数在某一点的n阶导数 。
02
03
应用
计算方法
导数的性质
总结词
导数具有一些基本的性质，如可加性、可乘性、链式法则等。
详细描述
导数具有可加性、可乘性和链式法则等基本性质。这些性质是导数运算的基础，有助于理解和计算复杂的导数表 达式。
3.1 导数的概念 课件 (共21张PPT)《高等数学》(高教版).ppt
(2)若极限 点 处的右导数，记作
,即：
存在，则称其为函数 在
定理1 函数
在点 处可导的充分必要条件是
在点 处的左导数和右导数都存在且相等，即
．
例1 讨论函数
在 处的连续性和可导性．
解:因为
又
，所以函数
在 处的连续.
由于
，所以函数
在 处不可导．
例2 讨论函数
解:因为 连续.
又因为 处不可导．
在 处的连续性和可导性．
在点
分析:设函数
在点 处可导，则
故函数
在点 处一定连续．
随堂练习
1、设 解:
，判断 在点 函数
处的连续性与可导性. 在 处连续.
函数 在 处不可导.
2、若函数
处处可导，求 的值.
解: 函数 在 处可导，则在
处处可导.由于函数
可导必连续.得
再根据函数在 处可导，
则左右导数存在且相等.
故
时，
函数 在点
或 ，即
函数
在点 处的导数就是导函数 在点 处的函数值
，即
注：若函数
在区间
在区间 上不可导.
内有一点处不可导，则称函数
由导数的定义可知，求函数
个步骤：
(1)求增量
；
(2)算比值
；
(3)取极限
例1 求函数
的导数．
解：
常量函数的导数为
的导数可分为以下三 ．
例6 求函数 解：
的导数．
例7 求函数 解：
,所以函数
在 处的
，所以函数
在
从图形上看，曲线 线．这也说明函数 原点外，处处可导.因 连续.
在原点O处具有垂直于 轴的切
《导数的应用》课件
2
导数在求解函数极值中的应用
通过导数的应用，学习如何求解函数的最大值和最小值，解决实际生活和工作中
的问题。
四、导数在函数图像的研究中的应用
1
函数的凸凹性及拐点的概念
探讨函数的凸凹性和拐点的概念，了解
导数在研究函数图像中的应用
通过导数的分析研究，揭示函数图像的
特点和变化规律，为实际问题提供解决
《导数的应用》PPT课件
通过本次PPT课件，我们将一起探讨导数的应用。从介绍导数的概念和定义开
始，到深入研究导数在不同领域中的实际应用，让我们一同领略导数的魅力
与重性。
一、介绍导数
导数的概念及定义
探索导数的基本概念和数学定义，为后续的应用打下坚实的基础。
导数的几何意义和物理意义
深入理解导数在几何和物理领域中的意义，揭示导数的实际应用背后的奥秘。
导数在经济学中的应用案例
理解边际利润的概念和计算方法，揭示导数在
通过实际案例，探索导数在经济学领域中的广
经济学中的重要作用。
泛应用，展示数学与经济学的紧密联系。
七、导数在自然科学中的应用
1
自然科学中导数的应用案例
通过具体案例，展示导数在自然科学领域中的实际应用和价值。
2
数学与其他学科的交叉应用 ✨
思路。
2
导数在研究函数图像中的重要应用。
五、导数在曲线运动中的应用
曲线运动的基本概念及公式 ♀️⏱️
导数在曲线运动中的应用
介绍曲线运动的基本概念和运动方程，为导数在曲
探索导数在曲线运动中的实际应用，解析曲线运动
线运动中的应用打下基础。
的速度、加速度等关键概念。
六、导数在经济学中的应用
函数导数及其应用PPT课件
记 法 y＝f(x)，x∈A
对应f：A→B是一个映 射
[思考探究1] 映射与函数有什么区别？
提示：函数是特殊的映射，二者区别在于映射定义中的两个 集合是非空集合，可以不是数集，而函数中的两个集合必须 是非空数集.
2.函数的相关概念 (1)函数的三要素是 定义域 、值域 和 对应关系 . (2)相等函数
[思路点拨] A中不存在元素与k对应⇔方程－x2＋2x＝k无解， 利用判别式可以求k的范围.
[课堂笔记] 由题意，方程－x2＋2x＝k无实数根，也就是x2 －2x＋k＝0无实数根. ∴Δ＝(－2)2－4k＝4(1－k)＜0，∴k＞1. ∴当k＞1时，集合A中不存在元素与实数k∈B对应. [答案] A
分段函数是高考的热点内容，以考查求分段函数的 函数值为主，属容易题，但09年山东高考将函数的周 期性应用到求分段函数函数值的过程中，使试题难度 陡然增加，这也代表了一种新的考查方向.
[考题印证] (2009·山东高考)定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝
则f(2 009)的值为 ( ) A.－
设函数f(x)＝
若f(－4)＝f(0)，f(－2)
＝－2，则关于x的方程f(x)＝x的解的个数为
()
[思路点拨] 求b，c 求f(x)的解析式
解方程f(x)＝x
[课堂笔记] 法一：若x≤0，f(x)＝x2＋bx＋c. ∵f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，
∴
解得
∴f(x)＝
当x≤0时，由f(x)＝x，得x2＋4x＋2＝x，
的对应关系f，使对
对应关系
于集合A中的 任意
应关系f，使对于集合A 中的任意 一个元素x，
f：A→B
一个数x，在集合B 中都有唯一确定的
《导数的应用举例》课件
导数的未来发展前景
导数在数学、物理、工程等领域的应用将更加广泛 导数在机器学习、人工智能等领域的应用将逐渐增多 导数在金融、经济等领域的应用将逐渐深入 导数在教育、科普等领域的应用将逐渐普及
感谢您的观看
汇报人：
导数与极值
导数在几何中的应用：求曲线的斜 率、切线、拐点等
极值的判断：利用导数判断函数在 某点处的极值
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
极值的定义：函数在某点处的导数 为0，且该点两侧的导数符号相反
极值的应用：求函数的最大值和最 小值，解决实际问题
导数在物理中的 应用
导数与速度、加速度
导数与速度：导 数是描述函数在 某一点处变化率 的概念，可以用 于描述物体在某 一点的速度。
添加标题
导数是函数在某一点的瞬时变化率
导数是函数在某一点的微分值
导数的性质
导数是函数在某一点的切线斜率
导数是函数在某一点的局部线性近 似
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
导数是函数在某一点的瞬时变化率
导数是函数在某一点的局部线性逼 近
导数与函数关系
导数描述了函数在某一点的 变化率
导数是函数的局部线性逼近
导数与最优化问题
导数在经济学中的应用：求解最优化问题 导数在经济学中的应用：求解边际效益 导数在经济学中的应用：求解边际成本 导数在经济学中的应用：求解边际利润
导数在其他领域 的应用举例
导数与计算机科学中的算法优化
导数在计算机科学中的作用：优化算法，提高计算效率 导数在算法优化中的应用：梯度下降法、牛顿法等 导数在机器学习中的应用：神经网络、深度学习等 导数在图像处理中的应用：图像平滑、边缘检测等
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增函数，所以a 0符合题意． 2 ②当a 0时，f x 3ax( x )． a 2 令f x 0，得x1 0，x2 . a 当a 0时，对任意x 1,0 ，f x 0， 所以a 0符合题意； 当a 0时，当x (，时， 0) f x 0， 所以 1，所以 2 a 0符合题意． 综上所述，a 2.
3sin 3 cos 2 解析： 由f x x x 4x 1， 3 2 得f x 3sin x 2 cos x 4， 所以f 1 3sin cos 4 2sin( ) 4. 6 5 2 由 [0， ]，得 [ ， ]， 6 6 6 3 1 所以sin ( ) [ ，， 1] 6 2 所以f 1 3, 6，故选A.
【思维启迪】由于条件中的点和一条曲线是 已知的，因此上面采取了先利用已知点和曲 线求出切线方程，解答与另一条曲线的相切 问题也就转化为“已知切线方程求曲线方程 中的参数问题”．
3sin 3 cos 2 变式题：设函数f x x x 4x 1， 3 2 5 其中 [0， ]，则函数f x 在x 1处的切线的斜 6 率的取值范围是( ) A． 3,6 C． [4 3， 6] B． [3,4 3] D． [4 3， 4 3]
3 而点1,0 在切线上，则x0 0或x0 . 2 15 2 当x0 0时，由y 0与y ax x 9 4 25 相切可得a ； 64 3 27 27 15 2 当x0 时，由y x 与y ax x 9 2 4 4 4 相切可得a 1，故选A.
5．利用导数判断函数的单调性：若f x 在某区 间上可导，则由f x ＞0( f x ＜0)可推出f x 为 增(减)函数，但反之则不一定，如：函数 f x x 3在R上递增，则f x 0. f x 在区间 内单调递增(减)的充要条件是f x 0( 0)有 且只存在有限个x0 使f x0 0. 6．可导函数的极值：极值点的导数一定为0， 但导数为0的点不一定是极值点，同时不可导 的点可能是极值点．因此函数的极值点只能 在导数为0的点或不可导的点产生．
7．利用导数求函数的最值：函数在闭区间上 的最值是比较所有极值点与端点的函数值所得 结果，因此函数在闭区间[a，b]上的端点函数 值不一定是极值，但它可能是函数的最值； 同时，函数的极值不一定是函数的最值，最 值也不一定是极值．
考点1 导数的几何意义的应用
例1:若存在过点1,0 的直线与曲线y x 3和 15 y ax x 9都相切，则a等于( ) 4 25 21 A． 1或 B． 1或 64 4 7 25 7 C． 或 D． 或7 4 64 4
3．多项式函数的导数：主要掌握函数 y x n (n N* )的导数公式，公式特点：右端由两 部分构成，一部分常数，其值为原函数的指数n， 第二部分为x的幂，其指数为原函数中的指数少1. 4．导数的运算法则：主要掌握两个函数的和差 f x g x 的导数及常数与函数的积c f x 的导 数运算法则，应用时常常将复杂的函数表达式分 解为几个基本函数的导数的和、差的形式．
解析 : 1 x ax 3x ，
3 2
f x 3ax 6x 3x ax 2 ，
2
因为x 1是f x 的一个极值点， 所以f 1 0，所以a 2.
2 ①当a 0时，f x 3x 2在区间 1,0 上是
考点2 利用导数处理函数的单调性、极值、最值等
例2:已知定义在R上的函数f x x 2 ax 3， 其中a为常数．
1 若x 1是函数f x 的一个极值点，求a的值； 2 若函数f x 在区间 1,0 上是增函数，
求a的取值范围；
3 若函数g x f x f x ，x 0, 2，在
2
分析 : 首先求过已知点且与曲线y x3相切 的直线方程，然后根据此切线方程求曲线 15 y ax x 9中的参数a的值． 4
2
3 解析 : 设过 1,0 的直线与y x3相切于点( x0，x0 )， 3 2 所以切线方程为y x0 3x0 x x0 ， 2 3 即y 3x0 x 2 x0 .
x 0处取得最大先求出导函数f x ，然后利用极值点x 1 是方程f x 0可解决第1 小题；第 2 小题根据 导函数表达式的特点须对a的取值进行分类讨论， 再结合f x 的符号进行解答；第 3 小题可利用 导数研究函数的极值与单调性来解决．
专题五
函 数 与 导 数
1．导数概念：在导数定义中 f x0 x f x0 f x0 limx0 中， x x是分子f ( x0 x)与f x0 中的两个自变量的差， 即( x0 x) x0 .函数在某一点x0处的导数f x0 其 实质是一个平均变化率的极限值，是常数， 而导函数f x 是一个函数． 2．导数的几何意义：函数在x x0处的导数就是 以该点为切点的切线的斜率，反映了曲线变化的 急缓程度．过曲线上一点P作曲线的切线可能存在 两种情形：一是点P就是切点；二是点P不是切点．
3sin 3 cos 2 解析： 由f x x x 4x 1， 3 2 得f x 3sin x 2 cos x 4， 所以f 1 3sin cos 4 2sin( ) 4. 6 5 2 由 [0， ]，得 [ ， ]， 6 6 6 3 1 所以sin ( ) [ ，， 1] 6 2 所以f 1 3, 6，故选A.
【思维启迪】由于条件中的点和一条曲线是 已知的，因此上面采取了先利用已知点和曲 线求出切线方程，解答与另一条曲线的相切 问题也就转化为“已知切线方程求曲线方程 中的参数问题”．
3sin 3 cos 2 变式题：设函数f x x x 4x 1， 3 2 5 其中 [0， ]，则函数f x 在x 1处的切线的斜 6 率的取值范围是( ) A． 3,6 C． [4 3， 6] B． [3,4 3] D． [4 3， 4 3]
3 而点1,0 在切线上，则x0 0或x0 . 2 15 2 当x0 0时，由y 0与y ax x 9 4 25 相切可得a ； 64 3 27 27 15 2 当x0 时，由y x 与y ax x 9 2 4 4 4 相切可得a 1，故选A.
5．利用导数判断函数的单调性：若f x 在某区 间上可导，则由f x ＞0( f x ＜0)可推出f x 为 增(减)函数，但反之则不一定，如：函数 f x x 3在R上递增，则f x 0. f x 在区间 内单调递增(减)的充要条件是f x 0( 0)有 且只存在有限个x0 使f x0 0. 6．可导函数的极值：极值点的导数一定为0， 但导数为0的点不一定是极值点，同时不可导 的点可能是极值点．因此函数的极值点只能 在导数为0的点或不可导的点产生．
7．利用导数求函数的最值：函数在闭区间上 的最值是比较所有极值点与端点的函数值所得 结果，因此函数在闭区间[a，b]上的端点函数 值不一定是极值，但它可能是函数的最值； 同时，函数的极值不一定是函数的最值，最 值也不一定是极值．
考点1 导数的几何意义的应用
例1:若存在过点1,0 的直线与曲线y x 3和 15 y ax x 9都相切，则a等于( ) 4 25 21 A． 1或 B． 1或 64 4 7 25 7 C． 或 D． 或7 4 64 4
3．多项式函数的导数：主要掌握函数 y x n (n N* )的导数公式，公式特点：右端由两 部分构成，一部分常数，其值为原函数的指数n， 第二部分为x的幂，其指数为原函数中的指数少1. 4．导数的运算法则：主要掌握两个函数的和差 f x g x 的导数及常数与函数的积c f x 的导 数运算法则，应用时常常将复杂的函数表达式分 解为几个基本函数的导数的和、差的形式．
解析 : 1 x ax 3x ，
3 2
f x 3ax 6x 3x ax 2 ，
2
因为x 1是f x 的一个极值点， 所以f 1 0，所以a 2.
2 ①当a 0时，f x 3x 2在区间 1,0 上是
考点2 利用导数处理函数的单调性、极值、最值等
例2:已知定义在R上的函数f x x 2 ax 3， 其中a为常数．
1 若x 1是函数f x 的一个极值点，求a的值； 2 若函数f x 在区间 1,0 上是增函数，
求a的取值范围；
3 若函数g x f x f x ，x 0, 2，在
2
分析 : 首先求过已知点且与曲线y x3相切 的直线方程，然后根据此切线方程求曲线 15 y ax x 9中的参数a的值． 4
2
3 解析 : 设过 1,0 的直线与y x3相切于点( x0，x0 )， 3 2 所以切线方程为y x0 3x0 x x0 ， 2 3 即y 3x0 x 2 x0 .
x 0处取得最大先求出导函数f x ，然后利用极值点x 1 是方程f x 0可解决第1 小题；第 2 小题根据 导函数表达式的特点须对a的取值进行分类讨论， 再结合f x 的符号进行解答；第 3 小题可利用 导数研究函数的极值与单调性来解决．
专题五
函 数 与 导 数
1．导数概念：在导数定义中 f x0 x f x0 f x0 limx0 中， x x是分子f ( x0 x)与f x0 中的两个自变量的差， 即( x0 x) x0 .函数在某一点x0处的导数f x0 其 实质是一个平均变化率的极限值，是常数， 而导函数f x 是一个函数． 2．导数的几何意义：函数在x x0处的导数就是 以该点为切点的切线的斜率，反映了曲线变化的 急缓程度．过曲线上一点P作曲线的切线可能存在 两种情形：一是点P就是切点；二是点P不是切点．