第十一章李雅普诺夫稳定性

在不失一般性的情况下 ,可以通过 坐标轴的转换将平衡点 移至坐标原点的 位置 ,然后在坐标原点附近利 用泰勒定理 将原有函数展开为级数 ,就可以近似地估 计出系统在平衡点附近 的稳定性如何。
例如 ,由(2)(,3式 ) 所描述的,可 系以 统 在平衡点附近作应出轨其迹 ,便 相能形象 地表示出该类奇的点稳周定围性情况
系统的平衡状态 X e 是李雅普诺夫意义下的
稳定。
S( ) S( )
Xe
2.渐近稳定性
2.渐 近 稳 定 性 如 果 平 衡 状X态e在 李 雅 普 诺 夫 意 义 下 稳是 定
的,又从球域 S( )内出发的任意一个,当解t 时 不仅不能超出球S域 ( )之外，而且最后收敛 Xe于 则称此类平衡状态是 近渐 稳定的li。 mx(t) 即
X X
1 2
a 1
a
2
b1 X 1
b
2
X
2
或写成 : X AX
考察奇点特性时 , 可将 (4), (5) 式中的变
量消去一个后 ,再对剩下的变量进行分 析。
对此 , 对 (4)和(5)式取拉氏变换 :
sx 1 (s) x 1 (0) a 1 x 1 (s) b 1 x 2 (s) sx 2 (s) x 2 (0) a 2 x 1 (s) b 2 x 2 (s) 上式中 , 初始状态已知 ,因此 , 变量 x 1 ( s )的解主 要决定于其特征方程式 的根的分布情况 :
前面提到的其他一些稳 定判据已是能解决问题 . 但正如前面所说的，由 于系统的结构日益复杂 用其他已知的一些稳定 判据对系统稳定性分析 遇到很大困难 ,所以近期对李氏理论的 研究分析 和应用又重为人们所重 视 ,而且已经有了许多卓 有成效的结果 .在如何寻求李氏函数方 面 , 也颇有 进展。
由于李氏理论用到了平 衡点，渐近稳定性 等概念 ,所以就这一类问题作介 绍 ,然后再谈稳定 理论。
李氏第二法（亦称直接 法）的特点是不必 求解系统的微分方程就 可以对系统的稳定性进 行分析和判断。它是从 能量的观点出发得来的 他指出：若系统有一个 平衡点，则当 t 时， 系统运动到平衡点时， 则系统积蓄的能量必达 到一个极小值。由此， 李雅普诺夫创造了一个 辅助函数，可以用它来 衡量系统积蓄的能量， 但它并非是一个真正的 能量函数。只要这一 函数符合李雅普诺夫提 出的稳定性理论准则 就能用来判断系统的稳 定性。因此应用李氏
的
解
.
即
(t, X 0 , t 0 ) X (t 0 ) X 0 平衡状态 : 所有时间 t皆能满足下列关系
f( X e , t ) 0
(2)
时,则称 Xe为系统的平衡状态。 平衡:点 凡满(足 2)式的一X值 切都系统的平
由 上 式 可,以 平看 衡出 点 只(2)能 式从 得,不 来能(1从 )式 的 一 般 解 中 求性 出定 。常 对系 线统
或 如果有X f (x,t)的每一个解 ,当t 时,都收敛
于Xe ,那么系统的平衡状X态 e就叫做在大范围内
的 渐 近 稳 定 .
S( )
S( )
Xe
说明：
说明 : 1.线 性系 统只 有 一个 平 衡 点, 只 要是 渐进 稳 定的 , 就一定是大范围渐近稳 定性的 . 2.确 定稳 定的 范 围是 很 重 要 的,因 为渐 近稳 定 是一 个局部概念,知道渐近稳定性的范围 ,才能明了这一 系统的抗干扰稳度 ,从而可以设法抑制干扰 的大小, 使它能满足系统稳定性 的要求。过去调节系统 中 所讲的稳定性的概念 ,只牵涉到小的扰动 ,没有涉及 到扰动的大小范围问题 ,因而是有局限性的。
二、高阶系统
二 .高阶 系统
对于高于二阶系统不可 能或很难用相轨迹法
来描 述系统 的稳 定性 .若一 个系统 可以 描述为 :
X f ( X , t )
(1)
其 中 X 为 n维 状 态 向 量 , t是 观 测 的 时 间 . (t, X 0 , t 0 )
表示初始条件为
t
t0,X
X
时
0
方
程
自动调速系统中保持电 机转速为一定的能
力,以及火箭飞行中保持航 行为一定的能力 等都是。具有稳定性的 系统被称为稳定的
系统 ;反之不具有稳定性的系 统被称为不稳 定系统。
由上面所讲的含义可见 ,所谓系统的稳 定性就是系统受到小的 外界干扰后 ,系统的 偏差量的过渡过程的收 敛性 , 假如系统在受 到外界干扰后 ,其偏差量越来越大 ,显然它不 可能是一个稳定的系统 。可见稳定性乃是
定理的关键在于能否找 到一个合适的辅 助函数 , 此函数通常称为李雅普 诺夫函 数。
可惜直到目前为止还没 有一个简便 的寻求李氏函数的一般 方法，这也是在 过去的一段相当长的时 期内李氏稳定理 论未能得到广泛应用李 氏稳定理论未能 得到广泛应用的原因之 一，何况过去的 控制系统在结构上相对 来说较简单 , 采用
设在零平衡状态
X e 0的邻域 内
对所有的状态 X 有以下几种特征
:
(1)正定 .
如果 V ( x ) 0 , x 0 ,
V (x) 0, x 0,
则标量函数 V ( x )为正定。
( 2 )负定
若有 V ( x )正定 , 则称 V ( x )负定
4.不稳定性
4.不稳定性.
如果对于某个实数 0和任意一个实
数 0, 不管这两个实数有多么小, 在平衡
状态X e周围的球域内总存在着一个初始状
态
X
，
0
使
得
从
这
一
状
态
出
发的
轨
迹
最终
会
超出球域S ( )之外，这时称平衡状态X e是
不稳定的。
Xe
二、标量函数的下定性定义：
二 .标量函数的正定性定义
:
dx 1 dt
p ( x1 , x2 )
(2)
dx 2 dt
Q ( x1 , x2 )
(3)
由微分方程理论 ,凡可能知使 (2),(3)式等 于零的点就是,或 奇说 点在奇点上X变 1, X量2 的变化率等,于 即零 变量在奇点处无 .因变 此, 化 系统的微分方程的 所奇 代点 表的就是系统
在运动过程中的平衡点 .所以 , 在分析系 统的稳定性时必须明了 奇点的分布状 况 , 才能对系统的稳定性有 全面的了解。
则根1,2在复平面上的位置就决 定了奇点的特性 .
众所周知,二阶系统的奇点共有六 种情况 :
(1)
1
,
为
2
共轭复数
,
位于左半平
面
上
,
稳定焦点
.
(2)
1
,
为
2
共轭复数
,
位于右半平
面
上
,
不
稳定焦点
(3)1,2为实,数 位于左半平,稳 面定 上节. 点 (4)1,2为实,数 位于右半平,不 面稳 上定节 . 点 (5)1,2为共轭复 ,位数于 jw轴上 ,中心节. 点 (6)1,2为实,数 位于 jw轴的左,鞍 边点 .
X f(Xt,)AX 当A为 非 奇,异 只时 有 X0一 个 解(满 2式 )足的 关 系 。
因此, 系统只有一个平衡状态;当A为奇异时( 2)式有 无穷多解,系统有无穷多个平衡状态. 但对于非线 性系统, 可能有一个或者多个平衡状态.
前面已经谈到任何彼此孤立的平衡点可以通
过坐标的转换将其移至坐标原点,因此, (2)式可以 写成 :
系统的一个动态属性。
lim x(t)
t
式中
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x(t) 系统的被调量偏高其平 衡位置的大小
任意小的规定量
若所论的系统是一个线 性定常系统 , 可用 Routh
- Hurwitz 判据或 Nyquist 稳定性判据对系统的稳 定性进行判
断 , 但对于非线性或时变系 统 ,虽说通过一些对系统的 转化
将(2)(,3式 ) 在坐标原点为 附级 近,即 数 展: 开
dx1 dt
a1x1
b1x2
a11x12
a12x1x2
a22x22
dx2 dt
a2x1
b2x2
b11x12
b21x1x2
b22x22
忽略高次项 , 有 :
dx 1 dt
a1x1
b1x 2
(4)
dx 2 dt
a1x1
b1x 2
(5)
即
:
f(0, t) 0
(3)
(3)式即为常用的连续系统的平衡状态表达式.
$3 李雅普诺夫意义下的稳定
当李雅普诺夫谈到其定 稳理论时，对于稳
定性的含义有其自己解 的释，不象limx(t) t
所示的那么简单，而就 且其概念来说，与调节
原理中所讲的也有所同 不。
一，李雅普诺夫意义的 下稳定性的含义
当
f(Xe ,t) 0 时
则Xe被称为系统的平衡状。 态
应用范数表示以平衡状 态Xe为圆心,半径 为R的球域时 ,可写成 X Xe R 其中 X Xe 被称为欧几里德范数。 它等于：
X X e ( x1 X e1 ) 2 ( X 2 X e2 ) 2 ( X n X en ) 2 它代表矢量的长度
1892年，李雅普诺夫就如何 判断系统稳定性的问题 ， 归纳成两种方法 (简称第一法和第二法 )。第一法是通过求 解系统的微分方程，然 后根据解的性质来判断 系统的稳 定性，同时，他还指出 非线性系统在工作点附 近的一定 范围内可以用线性化了 的微分方程来近似地加 以描述。 如果线性化的特征方程 式的根全部是负实数根 ，或者是 具有负实数部分的复根 ，则该系统在工作点附 近周围是 稳定的，否则便是不稳 定的。
当 X e 0, n 2时
X Xe
x
2 1
x
2 2
c表示一个圆 ,状态平面
当 Xe 0n,3时
X x1 2x2 2x3 2c表示一 ,状个 态球 空间
设对应于系统的初始条 件可以画出一个球域
S ( )它的范数为 :
X -Xe S ( )是含有方程 X f ( x , t )的解 (t, x 0 , t 0 )
的所有各点的球域 ,其范数为：
(t, x 0 , t 0 ) - X e 其中 ,为给定的常数 .
(t t 0 )
1.李雅普诺夫稳定： 若系统X f (x,t)对
于 任 意 选 定 的
使得当
0, 存在一个实数点 ( ,t0 )
0
时, 恒有
X Xe
(t,x0 , t 0 ) - Xe (t0 t ),
方法 ,上述稳定判据尚能在某 些特定的系统上应用 , 但一般
来说 ,是很难胜任的 .现代控制系统的结构比 较复杂 , 而且大
都是一些非线性或时变 系统 . 即使是系统结构的本身 ，往
往需要根据性能指标的 要求而加以改变，才能 适应新的情
况，保证系统的正常和 最佳运行状态。在解决 这类系统的
稳定性方面，最通用的 方法还是基于李雅普诺 夫第二法 而得到的一些稳定性的 理论。
$2 系统微分方程的奇异解 和稳定性的关系
一、二阶系统
一.二 阶 系 统
为 明 了 起,见 先 从 二 阶 系 统 谈 . 起
d2 x
dx dx
dx
dt2
A1(x,
) dt
dt
A2(x,
)x dt
0
(1)
式中
A1
A2为变
化
率dx及 dt
变
量 x 的
函
数
若(1) 式用两个变量X 1和X 2来描述,则 上式可写成:
t
指的就是这种情况。
S( )
S( )
Xe
3.大范围内的渐近稳定
3.大 范 围 内 的 渐 近 稳 定 性 对 于 所 有 的 (状 状 态 态 空 间 中 的 所 ),如 有
果 由 这 些 状 态 出 发 的迹轨都 保 持 渐 近 稳 定, 则性
这 时 的 平 衡 状 态 称 做大是范 围 内 的 渐 近 稳 定 。
则 稳
称 定
系 的
统 。
的
平
衡
状
态X e是
李
雅
普
诺
夫
意
义
下
则 称一这般种决平定衡球状域态大为小一致的稳与定有的关平也衡与状t 0有态关。,
李雅普诺夫意 定义 性下 可的 以稳 ,对 解释为
于每一个 S(球 )若域 存在一S个 (),球 使域 得当
t无限增加时从 S ( )出发的轨迹不离开 S ( ), 则称
x1(s)
s2
(s b2 )x1 (0) b1 x 2 (0) (a1 b2 )s (a1b2 a 2b1 )
令 则 设
a-(1ab2) ba1b2-a2b1 x 1 ( s)的 特征 多项 式为 :
2 a b 0
a, b皆为常数 , 且 b 0
1,2 a
a 2 4b 2
第三章 李雅普诺夫稳定性分析
$1
概述
一个自动控制系统要正 能常的工作，它必须首 先是一个稳定的系统也 。就是说，当系统受外 到界 干扰后, 虽然它的原有平衡状(态相对稳定状态)被破 坏, 但 在 外 部 干 扰 去 掉 后 , 仍 有 能 力 自 动 地 在 另新 一 的平衡状态(相对稳定状态)下继续工作下去,系统的 这一种本能通常叫做统 系的稳定性。例如 ,常见的电 压自动调节系统中保电 持机电压为恒定的能,力 电机