第十一章李雅普诺夫稳定性

X X
1 2
a 1
a
2
b1 X 1
b
2
X
2
或写成 : X AX
考察奇点特性时 , 可将 (4), (5) 式中的变
量消去一个后 ,再对剩下的变量进行分 析。
对此 , 对 (4)和(5)式取拉氏变换 :
sx 1 (s) x 1 (0) a 1 x 1 (s) b 1 x 2 (s) sx 2 (s) x 2 (0) a 2 x 1 (s) b 2 x 2 (s) 上式中 , 初始状态已知 ,因此 , 变量 x 1 ( s )的解主 要决定于其特征方程式 的根的分布情况 :
系统的平衡状态 X e 是李雅普诺夫意义下的
稳定。
S( ) S( )
Xe
2.渐近稳定性
2.渐 近 稳 定 性 如 果 平 衡 状X态e在 李 雅 普 诺 夫 意 义 下 稳是 定
的,又从球域 S( )内出发的任意一个,当解t 时 不仅不能超出球S域 ( )之外，而且最后收敛 Xe于 则称此类平衡状态是 近渐 稳定的li。 mx(t) 即
X f(Xt,)AX 当A为 非 奇,异 只时 有 X0一 个 解(满 2式 )足的 关 系 。
因此, 系统只有一个平衡状态;当A为奇异时( 2)式有 无穷多解,系统有无穷多个平衡状态. 但对于非线 性系统, 可能有一个或者多个平衡状态.
前面已经谈到任何彼此孤立的平衡点可以通
过坐标的转换将其移至坐标原点,因此, (2)式可以 写成 :
的
解
.
即
(t, X 0 , t 0 ) X (t 0 ) X 0 平衡状态 : 所有时间 t皆能满足下列关系
f( X e , t ) 0
(2)
时,则称 Xe为系统的平衡状态。 平衡:点 凡满(足 2)式的一X值 切都系统的平
由 上 式 可,以 平看 衡出 点 只(2)能 式从 得,不 来能(1从 )式 的 一 般 解 中 求性 出定 。常 对系 线统
4.不稳定性
4.不稳定性.
如果对于某个实数 0和任意一个实
数 0, 不管这两个实数有多么小, 在平衡
状态X e周围的球域内总存在着一个初始状
态
X
，
0
使
得
从
这
一
状
态
出
发的
轨
迹
最终
会
超出球域S ( )之外，这时称平衡状态X e是
不稳定的。
Xe
二、标量函数的下定性定义：
二 .标量函数的正定性定义
:
或 如果有X f (x,t)的每一个解 ,当t 时,都收敛
于Xe ,那么系统的平衡状X态 e就叫做在大范围内
的 渐 近 稳 定 .
S( )
S( )
Xe
说明：
说明 : 1.线 性系 统只 有 一个 平 衡 点, 只 要是 渐进 稳 定的 , 就一定是大范围渐近稳 定性的 . 2.确 定稳 定的 范 围是 很 重 要 的,因 为渐 近稳 定 是一 个局部概念,知道渐近稳定性的范围 ,才能明了这一 系统的抗干扰稳度 ,从而可以设法抑制干扰 的大小, 使它能满足系统稳定性 的要求。过去调节系统 中 所讲的稳定性的概念 ,只牵涉到小的扰动 ,没有涉及 到扰动的大小范围问题 ,因而是有局限性的。
$2 系统微分方程的奇异解 和稳定性的关系
一、二阶系统
一.二 阶 系 统
为 明 了 起,见 先 从 二 阶 系 统 谈 . 起
d2 x
dx dx
dx
dt2
A1(x,
) dt
dt
A2(x,
)x dt
0
(1)
式中
A1
A2为变
化
率dx及 dt
变
量 x 的
函
数
若(1) 式用两个变量X 1和X 2来描述,则 上式可写成:
f(Xe ,t) 0 时
则Xe被称为系统的平衡状。 态
应用范数表示以平衡状 态Xe为圆心,半径 为R的球域时 ,可写成 X Xe R 其中 X Xe 被称为欧几里德范数。 它等于：
X X e ( x1 X e1 ) 2 ( X 2 X e2 ) 2 ( X n X en ) 2 它代表矢量的长度
将(2)(,3式 ) 在坐标原点为 附级 近,即 数 展: 开
dx1 dt
a1x1
b1x2
a11x12
a12x1x2
a22x22
dx2 dt
a2x1
b2x2
b11x12
b21x1x2
b22x22
忽略高次项 , 有 :
dx 1 dt
a1x1
b1x 2
(4)
dx 2 dt
a1x1
b1x 2
(5)
即
:
在不失一般性的情况下 ,可以通过 坐标轴的转换将平衡点 移至坐标原点的 位置 ,然后在坐标原点附近利 用泰勒定理 将原有函数展开为级数 ,就可以近似地估 计出系统在平衡点附近 的稳定性如何。
例如 ,由(2)(,3式 ) 所描述的,可 系以 统 在平衡点附近作应出轨其迹 ,便 相能形象 地表示出该类奇的点稳周定围性情况
dx 1 dt
p ( x1 , x2 )
(2)
dx 2 dt
Q ( x1 , x2 )
(3)
由微分方程理论 ,凡可能知使 (2),(3)式等 于零的点就是,或 奇说 点在奇点上X变 1, X量2 的变化率等,于 即零 变量在奇点处无 .因变 此, 化 系统的微分方程的 所奇 代点 表的就是系统
在运动过程中的平衡点 .所以 , 在分析系 统的稳定性时必须明了 奇点的分布状 况 , 才能对系统的稳定性有 全面的了解。
自动调速系统中保持电 机转速为一定的能
力,以及火箭飞行中保持航 行为一定的能力 等都是。具有稳定性的 系统被称为稳定的
系统 ;反之不具有稳定性的系 统被称为不稳 定系统。
由上面所讲的含义可见 ,所谓系统的稳 定性就是系统受到小的 外界干扰后 ,系统的 偏差量的过渡过程的收 敛性 , 假如系统在受 到外界干扰后 ,其偏差量越来越大 ,显然它不 可能是一个稳定的系统 。可见稳定性乃是
1892年，李雅普诺夫就如何 判断系统稳定性的问题 ， 归纳成两种方法 (简称第一法和第二法 )。第一法是通过求 解系统的微分方程，然 后根据解的性质来判断 系统的稳 定性，同时，他还指出 非线性系统在工作点附 近的一定 范围内可以用线性化了 的微分方程来近似地加 以描述。 如果线性化的特征方程 式的根全部是负实数根 ，或者是 具有负实数部分的复根 ，则该系统在工作点附 近周围是 稳定的，否则便是不稳 定的。
x1(s)
s2
(s b2 )x1 (0) b1 x 2 (0) (a1 b2 )s (a1b2 a 2b1 )
令 则 设
a-(1ab2) ba1b2-a2b1 x 1 ( s)的 特征 多项 式为 :
2 a b 0
a, b皆为常数 , 且 b 0
1,2 a
a 2 4b 2
第三章 李雅普诺夫稳定性分析
$1
概述
一个自动控制系统要正 能常的工作，它必须首 先是一个稳定的系统也 。就是说，当系统受外 到界 干扰后, 虽然它的原有平衡状(态相对稳定状态)被破 坏, 但 在 外 部 干 扰 去 掉 后 , 仍 有 能 力 自 动 地 在 另新 一 的平衡状态(相对稳定状态)下继续工作下去,系统的 这一种本能通常叫做统 系的稳定性。例如 ,常见的电 压自动调节系统中保电 持机电压为恒定的能,力 电机
系统的一个动态属性。
lim x(t)
t
式中
x(t) 系统的被调量偏高其平 衡位置的大小
任意小的规定量
若所论的系统是一个线 性定常系统 , 可用 Routh
- Hurwitz 判据或 Nyquist 稳定性判据对系统的稳 定性进行判
断 , 但对于非线性或时变系 统 ,虽说通过一些对系统的 转化
f(0, t) 0
(3)
(3)式即为常用的连续系统的平衡状态表达式.
$3 李雅普诺夫意义下的稳定
当李雅普诺夫谈到其定 稳理论时，对于稳
定性的含义有其自己解 的释，不象limx(t) t
所示的那么简单，而就 且其概念来说，与调节
原理中所讲的也有所同 不。
一，李雅普诺夫意义的 下稳定性的含义
当
前面提到的其他一些稳 定判据已是能解决问题 . 但正如前面所说的，由 于系统的结构日益复杂 用其他已知的一些稳定 判据对系统稳定性分析 遇到很大困难 ,所以近期对李氏理论的 研究分析 和应用又重为人们所重 视 ,而且已经有了许多卓 有成效的结果 .在如何寻求李氏函数方 面 , 也颇有 进展。
由于李氏理论用到了平 衡点，渐近稳定性 等概念 ,所以就这一类问题作介 绍 ,然后再谈稳定 理论。
当 X e 0, n 2时
X Xe
x
2 1
x
2 2
c表示一个圆 ,状态平面
当 Xe 0n,3时
X x1 2x2 2x3 2c表示一 ,状个 态球 空间
设对应于系统的初始条 件可以画出一个球域
S ( )它的范数为 :
X -Xe S ( )是含有方程 X f ( x , t )的解 (t, x 0 , t 0 )
的所有各点的球域 ,其范数为：
(t, x 0 , t 0 ) - X e 其中 ,为给定的常数 .
(t t 0 )
1.李雅普诺夫稳定： 若系统X f (x,t)对
于 任 意 选 定 的
使得当
0, 存在一个实数点 ( ,t0 )
0
时, 恒有
X Xe
(t,x0 , t 0 ) - Xe (t0 t ),
定理的关键在于能否找 到一个合适的辅 助函数 , 此函数通常称为李雅普 诺夫函 数。