第六章4正定二次型和正定矩阵---精品资料
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6-4正定二次型及正定矩阵
1 2
=
t + 2 2t + 2 2 3t + 2
= (3t 2 + 4t) > 0.
由 可得
，
2 t 2 > 0 (3t + 4)t < 0
4 <t <0 3
于是当 4 < t < 0 时， f (x1, x2 , x3 ) 为正定 3 二次型．
例5
为可逆矩阵, 设 U 为可逆矩阵 A = UTU, 证明 是正定二次型. f = X AX 是正定二次型
X 1T AX 1 > 0 ，而对另一 3）如果对某向量 X 1 ，有 ）
X 2 ，有 X 2T AX 2 > 0 ，则称该二次型为不定 向量
二次型。矩阵A称为不定矩阵。 二次型。矩阵 称为不定矩阵。 称为不定矩阵
例如
2 2 2 (1) f ( x1 , x 2 , x 3 ) = x1 + 4 x 2 + 6 x 3 为正定二次型
( 1)
r
ar 1
> 0, arr
(r = 1,2, , n ).
例1 判别二次型 2 2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) = 5 x1 + x2 + 5 x3 + 4 x1 x2 8 x1 x3 4 x2 x3 是否正定. 是否正定
2 5 1 解 f ( x1 , x2 , x3 )的矩阵为 2 4 2 它的顺序主子式 5 2 5 2 1 5 > 0, = 1 > 0, 2 2 1 4 2 故上述二次型是正定的. 故上述二次型是正定的
X ，都有 X T AX ≥ 0 2) 如果对于任意非零向量
成立，并且存在某向量X 使得 （或 ≤ 0 ）成立，并且存在某向量 0,使得
正定二次型和正定矩阵
正定二次型和正定矩阵
根据正定矩阵的定义，若要判别一个对称矩阵A是否正定，按照前 面的讨论，可以利用一个非退化的线性替换X=PY，将二次型XTAX化成 标准型（与其具有同样正定性）
YTBY=YT(PTAP)Y=d1y21+d2y22+…+dny2n 从而，利用正定二次型的判别定c 理，判别XTAX的正定性，也就得 到了A的正定性.但是，更希望从矩阵的本身，直接判别其是否正定. 由于标准形式的二次型
正定二次型和正定矩阵
定理7-5
二次型 f(x1,x2,…,xn)=d1x21+d2x22+…+dnx2n 是正定的当且仅当di>0,i=1,2,…,n. 证明充分性： 显然，对于任意的非零实向量α=(a1,a2,…,an)T， 均有 αTAα=d1a21+d2a22+…+dna2n>0 因此，原二次型是正定的.
正定二次型和正定矩阵
（2）如果二次型f(x1,x2,…,xn)不是标准形式，那么可以经 过一次非退化的线性替换X=PY将其化成标准形式
d1y21+d2y22+…+dny2n
（7-22
这个二次型与原二次型f(x1,x2,…,xn)具有相同的正定性，从
而可以判别原二次型是否正定.
由于f(x1,x2,…,xn)的标准型式（7-16）中大于0的di的个数， 即为f(x1,x2,…,xn)的正惯性指数，因此，得到以下的定理.
|A|=|PT||P|=|P|2>0 证法二由定理的等价条件（5），A的特征值λ1,λ2,…,λn全大于0， 于是
|A|=λ1λ2…λn>0 为了给出一个更方便的判别矩阵正定的方法，引入如下定义.
高等代数课件§6.3 正定二次型与正定矩阵
f
x2 1
x2 2
5
x2 3
2t x1x2
2x1x3 4x2 x3
为正定二次型?
解
二次型的矩阵为
A
1 t 1
t 1 2
251 ,
要使二次型为正定二次型 , 则A的各阶顺序 主子式均为正 , 即
高等代数课件--天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组
1＞0
（1） xTAx ＞0 ，则称 f 为正定二次型，
相应地矩阵A称为正定矩阵；
（2） xTAx ＜0 ，则称 f 为负定二次型，相应
地矩阵A称为负定矩阵；
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（3）xTAx≥ 0 ，则称 f 为半正定二次型，相应
地矩阵A称为半正定矩阵；
（4）xTAx ≤0 ，则称 f 为半负定二次型，相应
0 1 2
2
5 2
2 6
2 0
2 0 4
高等代数课件--天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组
解 (1) 2＞0,
2 2
1 2
5＞0,
2 1 0
1 2 1 4＞0, ∴该矩阵为正定矩阵.
0 1 2
解 (2)∵-5＞0, 5 2 26 ＞0, 2 6
, 1t
t 1
1 t 2＞0,
1t t1
1
2 5t 2 4t ＞0,
1 2 5
1 t 2＞0
因此
5t
2
4t ＜0
解之得 4＜t＜0 5
故当 4 ＜t＜0 时,该二次型为正定二次型. 5
二次型的正定性及正定矩阵
线性变换 X = CY ，则
X T AX = CY T ACY = Y T CT AC Y = Y T BY ，
其中 CT AC = B ，由于矩阵 C 可逆，对任意的Y 0 ， 均有 X 0 ，所以 X T AX > 0 ，从而 Y T BY > 0 ，因此 Y T BY 也为正定二次型。
则取Y0 ( 0 ,
, 0, 1 xk
,0,
,
0，)相应0 X0
CY0 0 ，
且
X
T 0
AX 0
d1 02
dk12
dn 02 dk „ 0 ,
这与二次型 X T AX 正定相矛盾。由此：
di 0 , i 1, 2, , n 。
【推论 1】 n 元实二次型正定的充分必要条件是其正
信息系 刘康泽
第 6-5 节 二次型的正定性及正定矩阵
一、基本概念
信息系 刘康泽
【定义】设任意一个 n 元实二次型
f ( x1, x2 , , xn ) X T AX
（1）若对任意的非零向量 X ，有 X T AX > 0 ( 0 )
成立，则称二次型 X T AX 为正定(负定)二次型，称 A 为
f x1, x2, , xn 0 ，
故该二次型是正定的。
d1
由此对角矩阵 D
d2
dn
为正定矩阵充要条件是对角线上的 n 个元素全大于零。
例 2 二次型 f x1, x2 x1 x2 2 是半正定的，
因为 f x1, x2 …0 ，且 f 1, 1 。 0
则 X T AX 正定的充要条件是 di 0 , i 1, 2, , n 。
X T AX = CY T ACY = Y T CT AC Y = Y T BY ，
其中 CT AC = B ，由于矩阵 C 可逆，对任意的Y 0 ， 均有 X 0 ，所以 X T AX > 0 ，从而 Y T BY > 0 ，因此 Y T BY 也为正定二次型。
则取Y0 ( 0 ,
, 0, 1 xk
,0,
,
0，)相应0 X0
CY0 0 ，
且
X
T 0
AX 0
d1 02
dk12
dn 02 dk „ 0 ,
这与二次型 X T AX 正定相矛盾。由此：
di 0 , i 1, 2, , n 。
【推论 1】 n 元实二次型正定的充分必要条件是其正
信息系 刘康泽
第 6-5 节 二次型的正定性及正定矩阵
一、基本概念
信息系 刘康泽
【定义】设任意一个 n 元实二次型
f ( x1, x2 , , xn ) X T AX
（1）若对任意的非零向量 X ，有 X T AX > 0 ( 0 )
成立，则称二次型 X T AX 为正定(负定)二次型，称 A 为
f x1, x2, , xn 0 ，
故该二次型是正定的。
d1
由此对角矩阵 D
d2
dn
为正定矩阵充要条件是对角线上的 n 个元素全大于零。
例 2 二次型 f x1, x2 x1 x2 2 是半正定的，
因为 f x1, x2 …0 ，且 f 1, 1 。 0
则 X T AX 正定的充要条件是 di 0 , i 1, 2, , n 。
第6章 第4讲 正定二次型 课件(共26张PPT)- 《概率论与数理统计(慕课版)》同步教学(人民邮
之差为2r – m为符号差.
3
01
正定二次型的定义
惯性定理
任意二次型 X T AX 都可通过非退化线性变换化为规范形
z12 z22
z 2p z 2p 1
z 2p q，
其中 p 为正惯性指数，q 为负惯性指数，p + q为二次型的秩
且 p 、q 由二次型唯一确定，即规范情势唯一的.
霍尔维茨定理
例5
方程3x 2 5 y 2 5z 2 4 xy 4 xz 10 yz 1表示何种二次曲面.
2
2
2
f
x
,
y
,
z
解 因为
3x 5 y 5z 4 xy 4 xz 10 yz
是一个二次型，
3 2 -2
其矩阵A= 2 5 -5 ，由 A - E 0 得
因为 3 2 3 0，
所以A不是正定矩阵，从而二次型不是正定二次型.
10
01
正定二次型的定义
例3
已知A为n阶正定矩阵，E为n阶单位矩阵，证明 | A E | 1.
解
设A的特征值为 1 , 2 ,
, n， 由A为正定矩阵知
1 0, 2 0,
A + E 的特征值为 1 1, 2 1,
4
01
正定二次型的定义
定义6.3
对应矩阵A 称为正定矩阵.
实二次型 f ( x1 , x2 ,
恒有 f (c1 , c2 ,
, xn ) X T AX，若对任意 (c1 , c2 ,
, cn ) 0，则称 f ( x1 , x2 ,
, cn )T 0，
第六章4正定二次型和正定矩阵
15
定理 n阶实对称矩阵A负定旳充分必要条件是它与 负单位矩阵 En 协议.
16
为了论述下一种正定矩阵充分必要条件，我 们引进
定义 给定实对称矩阵
A (aij )nn , 则其前s行前s列元素构成旳行列式
As | aij |ss , s 1, , n 称为A旳顺序主子式.即
A1
(a11 ),
定理 实对称矩阵A正定旳充分必要条件是它与 单位矩阵协议.
证明 充分性.设实对称矩阵A协议与E,即存在可
逆矩阵C,使得 C T AC E,对于任意向量X≠O,因为
C可逆,可从 CY 解X 出Y ≠O,于是
n
X T AX Y TY yi2 0,
故A是正定旳.
i 1
必要性.设实对称矩阵A是正定旳.因为A是实对
O
d
.
d | A || C1 |2| C2 |2 0,
20
令
C3
En1 O
O d 1/2
,| C3
|
d 1/2
0.
令 C C1C2C3 ,| C || C1 || C2 || C3 | 0,
则
C T AT
C3T
(C
C T T
21
AC1C2
)C3
En1 O
O En1
d
1/
2
RT AR QT P T APQ QT EQ E ,
RTBR 为对角形.
14
例A,B正定,AB正定旳充分必要条件是A,B可互换. 证明必要性设AB正定,则AB对称,
AB ( AB)T BT AT BA.
充分性 设A,B可互换,则AB是实对称矩阵,A正 定,A=CCT,AB=CCTB~CTBC, CTBC是正定矩阵,特 征值为正,AB特征值也为正数,故AB正定.
定理 n阶实对称矩阵A负定旳充分必要条件是它与 负单位矩阵 En 协议.
16
为了论述下一种正定矩阵充分必要条件，我 们引进
定义 给定实对称矩阵
A (aij )nn , 则其前s行前s列元素构成旳行列式
As | aij |ss , s 1, , n 称为A旳顺序主子式.即
A1
(a11 ),
定理 实对称矩阵A正定旳充分必要条件是它与 单位矩阵协议.
证明 充分性.设实对称矩阵A协议与E,即存在可
逆矩阵C,使得 C T AC E,对于任意向量X≠O,因为
C可逆,可从 CY 解X 出Y ≠O,于是
n
X T AX Y TY yi2 0,
故A是正定旳.
i 1
必要性.设实对称矩阵A是正定旳.因为A是实对
O
d
.
d | A || C1 |2| C2 |2 0,
20
令
C3
En1 O
O d 1/2
,| C3
|
d 1/2
0.
令 C C1C2C3 ,| C || C1 || C2 || C3 | 0,
则
C T AT
C3T
(C
C T T
21
AC1C2
)C3
En1 O
O En1
d
1/
2
RT AR QT P T APQ QT EQ E ,
RTBR 为对角形.
14
例A,B正定,AB正定旳充分必要条件是A,B可互换. 证明必要性设AB正定,则AB对称,
AB ( AB)T BT AT BA.
充分性 设A,B可互换,则AB是实对称矩阵,A正 定,A=CCT,AB=CCTB~CTBC, CTBC是正定矩阵,特 征值为正,AB特征值也为正数,故AB正定.
正定二次型和正定矩阵
5 2
2 5
21 0 ，D3
2
5 1 88 0 ，
2 1 5
故 A 是正定矩阵．
此题也可求出
A
的 全部 特征 值 1
4 ， 2
11 2
33
，
3
11 2
33
， 因为 i
0
(i 1，2，3) ，所以 A 是正定矩阵．
1.2 判别方法
定义
例 4 设二次型 f (x1 ，x2 ，x3 ) x12 x22 x32 2ax1x2 2bx2 x3 (a R ，b R) ，判断 f 的正
1.2 判别方法
定义
推论 1 二次型 f xT Ax 正定的充要条件是它的矩阵 A 的特征值都是正数． 推论 2 对称阵 A 正定的充要条件是它的特征值都是正数． 定理 2 实对称矩阵 A (aij )nn 正定的充要条件是 A 的各阶顺序主子式都大于 0，即
a11 0 ，
a11 a21
a12 0 ， a22
1.2 判别方法
定义
例 5 设二次型 f 5x2 6y2 4z2 4xy 4xz ，判断 f 的正定性．
5 2 2
解：二次型
f
的矩阵
A
2
6
0
，各阶顺序主子式为
2 0 45 2 2D Nhomakorabea 5 0 ，D2
5 2
2 6
26 0 ，D3
2 6
0 80 0 ，
2 0 4
由定理 2 知， f 是负定二次型．
解：二次型的矩阵为
A
2
0
4 2
2
，A
的顺序主子式
D1
3
0 ，D2
5
北京航空航天大学线性代数第六章64正定二次型和正定矩阵.ppt
北京航空航天大学 数学与系统科学学院
答疑时间：星期二晚上18:00－20:30 星期四晚上18:00－20:30
答疑地点：J4-102 Email: liyongzhu@
朱立永
线性代数
第六章 二次型
§6.1 二次型及其矩阵表示 §6.2 化二次型为标准形 §6.3 惯性定理 §6.4 正定二次型和正定矩阵
线性代数
§6.4 正定二次型和正定矩阵
定义6.4.1 设 f (x1, x2 ,, xn ) X T AX 为n元
实二次型. 若对于任意非零实向量 X
(x1, x2, , xn )T 0 ,都有
f (x1, x2 , , xn ) X T AX＞0 则称实二次型 f 为正定二次型;相应的实对 称矩阵 A称为正定矩阵.
件是 A的特征值全大于0,从而正定矩阵的
行列式大于0. 证 由定理5.3.5,必有正交矩阵 Q ,使
线性代数
1
QT AQ Q1AQ B
2 ,
n
其中,1, 2, , n 是 A 的全部特征值.因为
，
A正定的充要条件是B 正定.而 B对应的
二次型为
，
Y T BY
1 y12
2
y
2 2
n
y
2 n
由定理6.4.1可知,该二次型正定的充分必
要条件是 i 0(i 1, 2, , n).
线性代数
由于 A B 12 n＞ 0 ,即正定矩阵 的行列式大于0.证毕.
例6.4.1 判断实二次型 f (x1, x2, x3)
3x12 3x22 x32 4x1x2 的正定性.
，
解 二次型 f 的矩阵为
A3 A t
1
答疑时间：星期二晚上18:00－20:30 星期四晚上18:00－20:30
答疑地点：J4-102 Email: liyongzhu@
朱立永
线性代数
第六章 二次型
§6.1 二次型及其矩阵表示 §6.2 化二次型为标准形 §6.3 惯性定理 §6.4 正定二次型和正定矩阵
线性代数
§6.4 正定二次型和正定矩阵
定义6.4.1 设 f (x1, x2 ,, xn ) X T AX 为n元
实二次型. 若对于任意非零实向量 X
(x1, x2, , xn )T 0 ,都有
f (x1, x2 , , xn ) X T AX＞0 则称实二次型 f 为正定二次型;相应的实对 称矩阵 A称为正定矩阵.
件是 A的特征值全大于0,从而正定矩阵的
行列式大于0. 证 由定理5.3.5,必有正交矩阵 Q ,使
线性代数
1
QT AQ Q1AQ B
2 ,
n
其中,1, 2, , n 是 A 的全部特征值.因为
，
A正定的充要条件是B 正定.而 B对应的
二次型为
，
Y T BY
1 y12
2
y
2 2
n
y
2 n
由定理6.4.1可知,该二次型正定的充分必
要条件是 i 0(i 1, 2, , n).
线性代数
由于 A B 12 n＞ 0 ,即正定矩阵 的行列式大于0.证毕.
例6.4.1 判断实二次型 f (x1, x2, x3)
3x12 3x22 x32 4x1x2 的正定性.
，
解 二次型 f 的矩阵为
A3 A t
1
北京航空航天大学线性代数第六章6-4-正定二次型和正定矩阵
所以 B 为对称矩阵. 对于任意的 n 维实向量 X ,有
X BX X
T T
(kE A A ) X kX
T T
T
X X
T
A AX
T
kX
X ( AX ) AX .
T
T T
当X
0 时,有 X X 0 , ( AX ) AX 0
.因此,当
线性代数
k 0
时,有
X
T
BX kX
t 1 1 2 5
1 t
2
0 , 即 1 t 1,
t 1 2
5t
2
4t 0, 即
4 5
t 0.
于是当 5 t 0 时, f 为正定二次型.
线性代数
AX 为n元 定义6.4.3 T 实二次型, X ( c1 , c 2 , , c n ) 为任一非零的实向
1 n
2
2
1
n
必要性 设
A
是 n 阶正定矩阵,则
A
线性代数
为实对称矩阵,从而存在正交矩阵 Q ,使得
1 1 T Q AQ Q AQ n
即
1 A Q T Q n
其中
1
, , n
是 A 的 n 个特征值,且都大于
Y
T
BY
2 1 y1
2 2 y2
2 n yn
由定理6.4.1可知,该二次型正定的充分必 要条件是 0 ( i 1, 2 , , n ).
i
线性代数
由于 A B 1 2 n ＞ 0 ,即正定矩阵 的行列式大于0.证毕. 例6.4.1 判断实二次型 f ( x , x , x )
二次型与正定矩阵
二次型与正定矩阵在线性代数中，二次型是一种重要的数学工具，它与正定矩阵有着密切的联系。
本文将介绍二次型的定义、性质以及与正定矩阵之间的关系。
一、二次型的定义二次型是指一个关于n 个变量的多项式，其中每一项的次数都是2。
一个一般的二次型可以表示为：Q(x) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{ij}x_ix_j其中，x = (x1, x2, ..., xn) 是变量向量，a_ij 是实数系数，对于所有的 i 和 j 都成立。
简单来说，二次型就是一个多项式，其每一项的次数都是 2。
二次型可以用矩阵的形式表示：Q(x) = x^TAx其中，A 是一个 n×n 的实对称矩阵，其元素 a_ij 对应于二次型中的系数。
二、二次型的性质1. 对称性：二次型的系数矩阵 A 是实对称矩阵，即 a_ij = a_ji。
这意味着 Q(x) 中的各项的次序不影响其值。
2. 齐次性：对任意非零实数 k，有 Q(kx) = k^2Q(x)。
这意味着二次型对于变量的放缩具有相应的放缩特性。
3. 加法性：对任意两个 n 维向量 x 和 y，有 Q(x+y) = Q(x) + Q(y) +2x^TAy。
这意味着二次型具有线性特性。
4. 正定性与负定性：一个二次型 Q(x) 是正定的（positive definite），如果对于任意非零的实向量 x，都有 Q(x) > 0。
类似地，如果对于任意非零的实向量 x，有 Q(x) < 0，那么二次型就是负定的（negative definite）。
如果既存在正值又存在负值的向量 x，那么二次型就是不定的（indefinite）。
5. 非负定性与非正定性：如果对于任意非零的实向量 x，都有 Q(x) ≥ 0，则二次型是非负定的（nonnegative definite）。
类似地，如果对于任意非零的实向量 x，有Q(x) ≤ 0，那么二次型是非正定的（nonpositive definite）。
正定二次型
, xn ) aij xi x j X AX 正定
i 1 j 1 n n
A的顺序主子式 Pk 全大于零.
证:必要性.设 f ( x1 , x2 ,
k (1 k n), 令
, xn ) 正定，对每一个k
f k ( x1 , x2 ,
, xk ) aij xi x j
§4 正定二次型
4、顺序主子式、主子式
nn A ( a ) R 设矩阵 ij
、
1) A(1,2,
a11 ,k) a k1
a1k k k R akk
a11 ak 1 a1k akk
称为A为第k阶顺序主子矩阵;
2) Pk det A(1,2,
,k)
f ( x1 , x2 ,
§4 正定二次型
, xn ) xi2 是正定的；
n 1 i 1 i 1
n
, xn ) xi2
2、正定性的判定
1）实二次型 X AX 正定
X Rn , 若X 0,则X AX 0
2）设实二次型
f ( x1 , x2 ,
2 2 , xn ) d1 x1 d 2 x2
, xn ) 经非退化线性替换 X CY
f ( x1 , x2 ,
2 2 , xn ) d1 y1 d 2 y2
2 d n yn
由2), f 正定 di 0, i 1,2,
,n
即，f 的正惯性指数p＝n＝秩 f .
§4 正定二次型
5）正定二次型 f ( x1 , x2 ,
n X R , X 0, 都有 X AX 0, （2）由于A 正定，对
因此有 X ( kA) X kX AX 0. 故， kA 正定.
i 1 j 1 n n
A的顺序主子式 Pk 全大于零.
证:必要性.设 f ( x1 , x2 ,
k (1 k n), 令
, xn ) 正定，对每一个k
f k ( x1 , x2 ,
, xk ) aij xi x j
§4 正定二次型
4、顺序主子式、主子式
nn A ( a ) R 设矩阵 ij
、
1) A(1,2,
a11 ,k) a k1
a1k k k R akk
a11 ak 1 a1k akk
称为A为第k阶顺序主子矩阵;
2) Pk det A(1,2,
,k)
f ( x1 , x2 ,
§4 正定二次型
, xn ) xi2 是正定的；
n 1 i 1 i 1
n
, xn ) xi2
2、正定性的判定
1）实二次型 X AX 正定
X Rn , 若X 0,则X AX 0
2）设实二次型
f ( x1 , x2 ,
2 2 , xn ) d1 x1 d 2 x2
, xn ) 经非退化线性替换 X CY
f ( x1 , x2 ,
2 2 , xn ) d1 y1 d 2 y2
2 d n yn
由2), f 正定 di 0, i 1,2,
,n
即，f 的正惯性指数p＝n＝秩 f .
§4 正定二次型
5）正定二次型 f ( x1 , x2 ,
n X R , X 0, 都有 X AX 0, （2）由于A 正定，对
因此有 X ( kA) X kX AX 0. 故， kA 正定.
线性代数 6-4 第6章4讲-正定二次型
C
因为正负惯性指数为1 、2，所以a 2 0，a 1 0，故 2 a 1.
5
一、正定二次型的定义
例2 已知A 为n 阶正定矩阵，E 为n 阶单位矩阵，证明：| A E | 1.
解 设A 的特征值为1, 2 , , n，由A 为正定矩阵知1 0, 2 0, , n 0. A E 的特征值为1 1, 2 1, , n 1, 故 | A E | (1 1) (2 1) (n 1) 1.
1 0 2
因A 是实对称矩阵，故BT [(kE A)2 ]T [(kE A)T ]2 (kE A)2 B，
即B 也是实对称矩阵.
（k 2）2
0
B
的特征值为
(k
+2)2，(k
+2)
2，k
2，B与
0
（k 2）2
0
0
0
0
相似.
k 2
当k -2且k 0时，B 的特征值都大于零，此时B 为正定矩阵.
霍尔维茨定理
9
二、霍尔维茨定理
例4 判定下列二次型的正定性： (1) f (x1, x2 , x3 ) 5x12 3x22 x32 4x1x2 2x2 x；3 (2) f (x1, x2 , x3 ) 5x12 6x22 4x32 4x1x2 4x1x3.
解
5 2 0 (1) A 2 3 1
线性代数（慕课版）
第六章 二次型
第四讲 正定二次型
主讲教师 |
本讲内容
01 正定二次型的定义 02 霍尔维茨定理
一、正定二次型的定义
nn
定理6.2 设有二次型f =
aij xi x j X T AX ( AT A)，且它的秩为r，若有两个实的可逆
实二次型的正定性与正定矩阵
【解析】要注意首先要说明 AT A 是实对称矩阵.
【法一】由A可逆, 则有 AT A AT EA , 则AT A与单位阵合
同, 所以 AT A正定.
【法二】由A可逆, 则对任意n维实列向量X≠O, 有 AX≠O, X T AT AX ( AX )T AX 0, 所以 AT A 正定.
矩阵之间的关系
A的特征值均大于0 A与单位阵E合同 存在可逆阵P, 使得 A PT P A的各阶顺序主子式 > 0
例3 设A为n阶正定矩阵, E为n阶单位阵, 证明 A E 1
例4 A为n阶实对称矩阵, 且满足 A3 2A2 4A 3E O,
证明A为正定矩阵. 例5 证明
（1）若 An 正定，有实数域上矩阵 Pnm ，r(P) m n ，
2 4 5
例2 若二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) 2 x12 x22 x32 2 x1 x2 tx2 x3 是正定的, 则 t 的取值范围?
【解析】已知二次型正定,反求其中未知参数的取值范围一般用
顺序主子式求解.
2 1 0
二次型矩阵为
A2 1
21 0
——负定
2 2 2
(4)
XT
2
5
4
X
判断是否正定？
2 4 5
二、正定矩阵的充分必要条件
准则1 n阶实对称矩阵A正定 A的特征值全为正数.
2 2 2
例1
判断矩阵
A
2 2
5 4
4 5
是否为正定矩阵？
【解析】可求得A的全部特征值为1(二重)和10, 则该实对称矩阵A
的特征值全大于0, 故A为正定矩阵.
对于负定矩阵有类似的结论
A正定 -A负定 二次型 f 为正定 二次型 -f 为负定
【法一】由A可逆, 则有 AT A AT EA , 则AT A与单位阵合
同, 所以 AT A正定.
【法二】由A可逆, 则对任意n维实列向量X≠O, 有 AX≠O, X T AT AX ( AX )T AX 0, 所以 AT A 正定.
矩阵之间的关系
A的特征值均大于0 A与单位阵E合同 存在可逆阵P, 使得 A PT P A的各阶顺序主子式 > 0
例3 设A为n阶正定矩阵, E为n阶单位阵, 证明 A E 1
例4 A为n阶实对称矩阵, 且满足 A3 2A2 4A 3E O,
证明A为正定矩阵. 例5 证明
（1）若 An 正定，有实数域上矩阵 Pnm ，r(P) m n ，
2 4 5
例2 若二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) 2 x12 x22 x32 2 x1 x2 tx2 x3 是正定的, 则 t 的取值范围?
【解析】已知二次型正定,反求其中未知参数的取值范围一般用
顺序主子式求解.
2 1 0
二次型矩阵为
A2 1
21 0
——负定
2 2 2
(4)
XT
2
5
4
X
判断是否正定？
2 4 5
二、正定矩阵的充分必要条件
准则1 n阶实对称矩阵A正定 A的特征值全为正数.
2 2 2
例1
判断矩阵
A
2 2
5 4
4 5
是否为正定矩阵？
【解析】可求得A的全部特征值为1(二重)和10, 则该实对称矩阵A
的特征值全大于0, 故A为正定矩阵.
对于负定矩阵有类似的结论
A正定 -A负定 二次型 f 为正定 二次型 -f 为负定
线性代数知识点总结(第6章)
线性代数知识点总结（第6章）（一）二次型及其标准形1、二次型：（1）一般形式（2）矩阵形式（常用）2、标准形：如果二次型只含平方项，即f（x1，x2，…，x n）=d1x12+d2x22+…+d n x n2这样的二次型称为标准形（对角线）3、二次型化为标准形的方法：（1）配方法：通过可逆线性变换x=Cy（C可逆），将二次型化为标准形。
其中，可逆线性变换及标准形通过先配方再换元得到。
★（2）正交变换法：通过正交变换x=Qy，将二次型化为标准形λ1y12+λ2y22+…+λn y n2其中，λ1，λ2，…，λn是A的n个特征值，Q为A的正交矩阵注:正交矩阵Q不唯一，γi与λi对应即可。
（二）惯性定理及规范形4、定义：正惯性指数：标准形中正平方项的个数称为正惯性指数，记为p；负惯性指数：标准形中负平方项的个数称为负惯性指数，记为q；规范形：f=z12+…z p2-z p+12-…-z p+q2称为二次型的规范形。
5、惯性定理：二次型无论选取怎样的可逆线性变换为标准形，其正负惯性指数不变。
注：（1）由于正负惯性指数不变，所以规范形唯一。
（2）p=正特征值的个数，q=负特征值的个数，p+q=非零特征值的个数=r（A）（三）合同矩阵6、定义：A、B均为n阶实对称矩阵，若存在可逆矩阵C，使得B=C T AC，称A与B合同△7、总结：n阶实对称矩阵A、B的关系（1）A、B相似（B=P-1AP）←→相同的特征值（2）A、B合同（B=C T AC）←→相同的正负惯性指数←→相同的正负特征值的个数（3）A、B等价（B=PAQ）←→r（A）=r（B）注：实对称矩阵相似必合同，合同必等价（四）正定二次型与正定矩阵8、正定的定义二次型x T Ax，如果任意x≠0，恒有x T Ax＞0，则称二次型正定，并称实对称矩阵A是正定矩阵。
9、n元二次型x T Ax正定充要条件：（1）A的正惯性指数为n（2）A与E合同，即存在可逆矩阵C，使得A=C T C或C T AC=E（3）A的特征值均大于0（4）A的顺序主子式均大于0（k阶顺序主子式为前k行前k列的行列式）10、n元二次型x T Ax正定必要条件：（1）a ii＞0（2）|A|＞011、总结：二次型x T Ax正定判定（大题）（1）A为数字：顺序主子式均大于0（2）A为抽象：①证A为实对称矩阵：A T=A；②再由定义或特征值判定12、重要结论：（1）若A是正定矩阵，则kA（k＞0），A k，A T，A-1，A*正定（2）若A、B均为正定矩阵，则A+B正定。
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2 2
( 6)( 12 27) =( 3)( 6)( 9).
1 3, 2 6, 3 9.
8
>> E:=matrix([[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]);A:=matrix ([[6,-2,2],[-2,5,0],[2,0,7]]);f:=det(lambda*EA);f_factor:=factor(f);
9
例设A为n阶实对称矩阵,且满足 A3 2 A2 4 A 3E O. 证明A为正 4 3为
A3 2 A2 4 A 3E O 的特征值,故 3 2 2 4 3 0,
10
3 2 2 4 3 3 1 2 2 4 2
§4 正定二次型和正定矩阵
一、基本概念 二、正定矩阵的充分必要条件 三、正定矩阵的性质
1
一、基本概念 定义 设A为实n阶对称矩阵，如果对于任意非 零向量X，二次型f=XTAX均为正数，则称二次 型f为正定的，其矩阵A 称为正定矩阵. 定义 如果对于任意向量X，二次型f=XTAX均为 非负(非正)数，则称二次型f为半正(负)定的， 其矩阵A 称为半正(负)定矩阵. 定义 如果实二次型f=XTAX对于某些向量X为 正数,并且对于对于某些向量X为负数,则称二 次型是不定的.
2
例
f ( x1 x2 ) x x 2 x1 x 2 x 正定二次型,
2 2 2 2 1 2 2
1 1 Af 正定矩阵; 1 2 2 2 2 g ( x1 x2 )2 x2 x1 2 x1 x 2 x2 负定二次型, 1 1 Ag 负定矩阵; 1 2 1 0 h x x 不定二次型.Ah 不定矩阵. 0 1
特征值都是负数.
6
6 2 2 例 判断下列矩阵是否为正定矩阵 A 2 5 0 . 2 0 7 解
E A 6
2 2 2 2
6
2
2 0 7
5
0
0 2 7 2
5
0
7
( 6)( 5)( 7) 4( 5) 4( 7) ( 6)( 5)( 7) 8 48 ( 6)( 12 35) 8( 6)
f X T AX (QY )T AQY Y T (Q T AQ )Y Y T Y i yi2 0.
n i 1
这就证明了条件的充分性.
4
设A是正定矩阵,而 是其任意特征值, X是 属于 的特征向量, 则有 AX X , 于是
X AX X X 0, X X 0, 故 0.
T T T
必要性得证.
推论 若A是正定矩阵,则|A|>0.
证明 Q T AQ ,| Q T AQ || Q T || A || Q | | Q 1 || A || Q || Q |1 | A || Q || A || | 1
n 0.
5
定理 实对称矩阵A负定的充分必要条件是其
2 1 2 2
3
二、正定矩阵的充分必要条件 定理 实对称矩阵A正定的充分必要条件是其 特征值都是正数. 证明 设实对称矩阵A的特征值 1 , , n 都是正数. 存在正交矩阵Q,使得 QTAQ= , 为对角矩阵, 其对角线元素为1 , , n , 对于 X O, 令 Y Q 1 X , 即 X QY,显然 Y O, 又 1 0, , n 0, 故
RT AR Q T P T APQ Q T EQ E , RT BR 为对角形.
定理 实对称矩阵A正定的充分必要条件是它与 单位矩阵合同. 证明 充分性.设实对称矩阵A合同与E,即存在可 T C , 逆矩阵C,使得 AC E 对于任意向量 X≠O,由于 C可逆,可从 CY 解出 Y ≠O,于是 X
X T AX Y T Y yi2 0,
n
故A是正定的.
1 E := 0 0 0 1 0 0 0 1
6 A := -2 2 -2 5 0 2 0 7
3 2 f := 18 99 162
f_factor := ( 6 ) ( 3 ) ( 9 )
i 1
必要性.设实对称矩阵A是正定的.由于A是实对 称的,A合同于一个对角矩阵 ,,其对角线元素是 A的特征值 1 , , n , 由于A是正定的,这些特征 值大于零,而这样的对角矩阵与单位矩阵合同, 12 故A合同于单位矩阵.
定理实对称矩阵A 正定的充分必要条件是存在 可逆矩阵P，使得A=PTP. 证明设A=PTP,PX 可逆 . 对于任意 , 由于 P 可 X o o 逆,PX≠o,故
X P PX ( PX ) PX PX
T T T 2
0.
设A正定,则A合同于单位矩阵,即存在可逆矩 阵,使得A=PTEP=PTP.
13
例 A正定,B实对称,则存在可逆矩阵R, 使得 RTAR和RTBR同时为对角形.
证明存在P,使得PTAP=E,PTBP实对称,存在正交 矩阵Q,使得 QTPTBPQ=D为对角形,令R=PQ,则
( 1)( 2 1) 2( 1)2 ( 1)( 2 3) 0,
1. 2 3 0, ( 1)2 12 11 0.
2 3 0 无实根.A的特征值为1,n重故
A是正定矩阵.
11
( 6)( 12 27) =( 3)( 6)( 9).
1 3, 2 6, 3 9.
8
>> E:=matrix([[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]);A:=matrix ([[6,-2,2],[-2,5,0],[2,0,7]]);f:=det(lambda*EA);f_factor:=factor(f);
9
例设A为n阶实对称矩阵,且满足 A3 2 A2 4 A 3E O. 证明A为正 4 3为
A3 2 A2 4 A 3E O 的特征值,故 3 2 2 4 3 0,
10
3 2 2 4 3 3 1 2 2 4 2
§4 正定二次型和正定矩阵
一、基本概念 二、正定矩阵的充分必要条件 三、正定矩阵的性质
1
一、基本概念 定义 设A为实n阶对称矩阵，如果对于任意非 零向量X，二次型f=XTAX均为正数，则称二次 型f为正定的，其矩阵A 称为正定矩阵. 定义 如果对于任意向量X，二次型f=XTAX均为 非负(非正)数，则称二次型f为半正(负)定的， 其矩阵A 称为半正(负)定矩阵. 定义 如果实二次型f=XTAX对于某些向量X为 正数,并且对于对于某些向量X为负数,则称二 次型是不定的.
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例
f ( x1 x2 ) x x 2 x1 x 2 x 正定二次型,
2 2 2 2 1 2 2
1 1 Af 正定矩阵; 1 2 2 2 2 g ( x1 x2 )2 x2 x1 2 x1 x 2 x2 负定二次型, 1 1 Ag 负定矩阵; 1 2 1 0 h x x 不定二次型.Ah 不定矩阵. 0 1
特征值都是负数.
6
6 2 2 例 判断下列矩阵是否为正定矩阵 A 2 5 0 . 2 0 7 解
E A 6
2 2 2 2
6
2
2 0 7
5
0
0 2 7 2
5
0
7
( 6)( 5)( 7) 4( 5) 4( 7) ( 6)( 5)( 7) 8 48 ( 6)( 12 35) 8( 6)
f X T AX (QY )T AQY Y T (Q T AQ )Y Y T Y i yi2 0.
n i 1
这就证明了条件的充分性.
4
设A是正定矩阵,而 是其任意特征值, X是 属于 的特征向量, 则有 AX X , 于是
X AX X X 0, X X 0, 故 0.
T T T
必要性得证.
推论 若A是正定矩阵,则|A|>0.
证明 Q T AQ ,| Q T AQ || Q T || A || Q | | Q 1 || A || Q || Q |1 | A || Q || A || | 1
n 0.
5
定理 实对称矩阵A负定的充分必要条件是其
2 1 2 2
3
二、正定矩阵的充分必要条件 定理 实对称矩阵A正定的充分必要条件是其 特征值都是正数. 证明 设实对称矩阵A的特征值 1 , , n 都是正数. 存在正交矩阵Q,使得 QTAQ= , 为对角矩阵, 其对角线元素为1 , , n , 对于 X O, 令 Y Q 1 X , 即 X QY,显然 Y O, 又 1 0, , n 0, 故
RT AR Q T P T APQ Q T EQ E , RT BR 为对角形.
定理 实对称矩阵A正定的充分必要条件是它与 单位矩阵合同. 证明 充分性.设实对称矩阵A合同与E,即存在可 T C , 逆矩阵C,使得 AC E 对于任意向量 X≠O,由于 C可逆,可从 CY 解出 Y ≠O,于是 X
X T AX Y T Y yi2 0,
n
故A是正定的.
1 E := 0 0 0 1 0 0 0 1
6 A := -2 2 -2 5 0 2 0 7
3 2 f := 18 99 162
f_factor := ( 6 ) ( 3 ) ( 9 )
i 1
必要性.设实对称矩阵A是正定的.由于A是实对 称的,A合同于一个对角矩阵 ,,其对角线元素是 A的特征值 1 , , n , 由于A是正定的,这些特征 值大于零,而这样的对角矩阵与单位矩阵合同, 12 故A合同于单位矩阵.
定理实对称矩阵A 正定的充分必要条件是存在 可逆矩阵P，使得A=PTP. 证明设A=PTP,PX 可逆 . 对于任意 , 由于 P 可 X o o 逆,PX≠o,故
X P PX ( PX ) PX PX
T T T 2
0.
设A正定,则A合同于单位矩阵,即存在可逆矩 阵,使得A=PTEP=PTP.
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例 A正定,B实对称,则存在可逆矩阵R, 使得 RTAR和RTBR同时为对角形.
证明存在P,使得PTAP=E,PTBP实对称,存在正交 矩阵Q,使得 QTPTBPQ=D为对角形,令R=PQ,则
( 1)( 2 1) 2( 1)2 ( 1)( 2 3) 0,
1. 2 3 0, ( 1)2 12 11 0.
2 3 0 无实根.A的特征值为1,n重故
A是正定矩阵.
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