一元线性回归方程案例数据

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一元线性回归案例

Hale Waihona Puke 0.5%和56.3%. OLS回归线为
S=963.191+18.501R
例9. CEO薪水与股本回报率
OLS回归线为 S=963.191+18.501R N=209, R^2=0.0132
企业股本回报率只能解释薪水变异中的 1.3%.
例2. 一个简单的工资方程
美国研究者以1976年的526名美国工人为样本，OLS回归方程为：
W=-0.90 +0.54 E 这里W单位为美元/小时，E单位为年. E平均工资计算为5.90美元/小时. 根据消费者价格指数，这一数值相当于2003
年的19.06美元.
例2. 一个简单的工资方程
对同样的数据，但是把log(w)作为因变量，得到的回归方程为：
Log(invpc)=-0.550+1.24log(price) (0.043) (0.382)
N=42 R^2=0.208 显著性检验不明显,事实上这一关系也是错误的,未
来我们将加上时间序列分析中特有的趋势分析说名这个问题.
例8. 集装箱吞吐量与外贸额
2001-2006年中国集装箱吞吐量增长与外贸额增长的弹性分析.以Y表示集装箱吞吐量( 百万标准箱),X表示外贸额(百亿美元).
出勤率无关，但这几乎不可能.
例5. 学校的数学成绩与学校午餐项目
以math10表示高中十年级学生在一次标准化数学考试中通过的百分比.lnchprg表示有资格接受午餐计划的学生的百分比.
若其他条件不变,若学生太贫穷不能保证正常饮食,可以有资格接受学校午餐项目的资助, 他的成绩应有所提高.
例5. 学校的数学成绩与学校午餐项目
1992-1993学年美国密歇根州408所高中的数据的OLS回归方程:

一元线性回归分析案例

i＝1
(2)当 r＞0 时，称两个变量_正__相___关__；
当 r＜0 时，称两个变量_负__相__关__；
当 r＝0 时，称两个变量线性不相关．
【教材拓展】 1．相关关系与函数关系的异同共同点：二者都是指两个变量间的关系；不同点：函数关系是一种确定性关系，体现的是因果关系，而相关关系是一种非确定性关系，体现的不一定是因果关系，也可能是伴随关系． 2．从散点图看相关性正相关：样本点分布在从左下角到右上角的区域内；负相关：样本点分布在从左上角到右下角的区域内． 3．回归直线 y＝bx＋a 必过样本点的中心．
答案：68
1．四名同学根据各自的样本数据研究变量 x，y 之间的相关关系，并求得回归直线方
程，分别得到以下四个结论：
①y 与 x 负相关且 y＝2.347x－6.423；②y 与 x 负相关且 y＝－3.476x＋5.648；③y 与
x 正相关且 y＝5.437x＋8.493；④y 与 x 正相关且 y＝－4.326x－4.578.
(1)根据数据绘制的散点图能够看出可用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系，请用相关
系数 r 加以说明；(系数精确到 0.001)
(2)建立 y 关于 x 的回归方程 y＝bx＋a(系数精确到 0.01)；如果该公司计划在 9 月份
实现产品销量超 6 万件，预测至少需投入促销费用多少万元(结果精确到 0.01)．
4．线性回归方程
假设样本点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，如果用x－表示x1＋x2＋n …＋xn，用－y表
示y1＋y2＋n …＋yn，则可以求得 b＝
（x1－x－）（y1－－y）＋（x2－x－）（y2－－y）＋…＋（xn－x－）（yn－－y）（x1－x－）2＋（x2－x－）2＋…＋（xn－x－）2

一元线性回归

由此可推测：当火灾发生地离最近的消防站为 10km 时，火灾损失大致在
ˆ y 10.279 49.19 59.369（千元）当火；
灾发生地离最近的消防站为 2km 时，火灾损失大致在 20.117（千元）
三、0，1的性质

1, 线性
1
(x x ) y
为 y 关于 x 的一元线性经验回归方程（简称为回归直
ˆ 线方程） 0 为截距， 1 为经验回归直线的斜率。， ˆ
引进矩阵的形式：
y1 1 x1 1 0 y2 1 x2 2 设 y ， X ，， 1 y 1 x n n n
变量之间具有密切关联而又不能由一个或某一些变量唯一确定另外一个变量的关系称为变量之间的相关关系.
y
y f ( x)
y
Y f (X )
0
(a) 函数关系
x
0
(b) 统计关系
x
种类
正相关负相关
一元相关多元相关
线性相关曲线相关
y
y
y
y
正相关
x
负相关
x
曲线相关
x
不相关
x
例 2 城镇居民的收入与消费支出之间有很大的关联，居民的收入提高了，消费也随之潇洒，但居民的收入不能完全确定消费，人们的消费支出受到不同年龄段的消费习惯的影响，也受到不同消费理念的影响。因此居民的收入 x 与消费支出 y 就呈现出某种不确定性。我们将上海市城镇居民可支配收入与支出的数据（1985 年~2002 年）用散点图表示，可以发现居民的收入 x 与消费支出 y 基本上呈现线性关系，但并不完全在一条直线上。附数据与图形。

一元线性回归方程求解

一元线性回归方程求解1、典型的一元线性回归方程为y=a+bx ，已知一组数据： y 1,，y 2，…y n ； x 1，x 2，…x n ，基本上呈线性关系。

求他们之间的函数公式。

2 、nx x i∑=ny y ∑i=S xx =∑x i 2-n1（∑x i ）2 S yy =∑y i 2-n1（∑y i ）2 S xy =∑x i y i -n1(∑x i )(∑y i ) b= S xy / S xx a=y －b x 3 、相关性检验采用相关系数r ，r 是介于0~1之间的小数，越接近于1，线性方程的准确性越高，一般工程上要大于0.95.S R =bS xy S e =S yy - S R r=(1-Se/S r )4、回归方程求解比较繁琐，有条件的可编制电脑程序，也可采用execl 表格计算。

例题;某计量单位标定千斤顶，压力表读数P （Mpa ）和千斤顶顶力N （KN ）基本呈线性关系，N=a+Bp数据及计算见下表nx x i∑==385/11=35 ny y ∑i==9544.225/11=867.66S xx =∑x i 2-n 1（∑x i ）2=16225-3852/11=2750S yy =∑y i 2-n 1（∑y i ）2=10114588-9544.2252/11=1833476.1S xy =∑x i y i -n1(∑x i )(∑y i )=404988.88-385×9544.225/11=70941.005b= S xy / S xx =70941.005/2750=25.797 a=y －b x =867.66－25.797×35=－35.235 回归方程为N=－35.235+25.797PS R =bS xy =25.797×70941.005=1830065.11 S e =S yy - S R =1833476.1-1830065.11=3410.99 r=(1-Se/S r )=（1-3410.99/1830065.11）=0.999此回归方程的可信度非常高。

一元线性回归模型典型例题分析

第二章一元线性回归模型典型例题分析例1、令kids 表示一名妇女生育孩子的数目,educ 表示该妇女接受过教育的年数.生育率对教育年数的简单回归模型为μββ++=educ kids 10（1）随机扰动项μ包含什么样的因素?它们可能与教育水平相关吗？（2)上述简单回归分析能够揭示教育对生育率在其他条件不变下的影响吗？请解释.例2．已知回归模型μβα++=N E ，式中E 为某类公司一名新员工的起始薪金（元），N 为所受教育水平（年).随机扰动项μ的分布未知，其他所有假设都满足。

如果被解释变量新员工起始薪金的计量单位由元改为100元，估计的截距项与斜率项有无变化?如果解释变量所受教育水平的度量单位由年改为月,估计的截距项与斜率项有无变化？例3．对于人均存款与人均收入之间的关系式t t t Y S μβα++=使用美国36年的年度数据得如下估计模型，括号内为标准差：)011.0()105.151(067.0105.384ˆtt Y S +=2R ＝0.538 023.199ˆ=σ(1）β的经济解释是什么？(2）α和β的符号是什么？为什么？实际的符号与你的直觉一致吗?如果有冲突的话,你可以给出可能的原因吗？（3)对于拟合优度你有什么看法吗? （4）检验统计值？例4．下列方程哪些是正确的？哪些是错误的？为什么？⑴ y x t n t t =+=αβ12,,, ⑵ y x t n t t t =++=αβμ12,,,⑶ y x t n t t t=++= ,,,αβμ12⑷ ,,,y x t n t t t =++=αβμ12 ⑸ y x t n t t =+= ,,,αβ12 ⑹ ,,,y x t n t t =+=αβ12⑺ y x t n t t t =++= ,,,αβμ12 ⑻ ,,,y x t n t tt =++=αβμ12其中带“＾”者表示“估计值”.例5．对于过原点回归模型i i i u X Y +=1β ,试证明∑=∧221)(iu XVar σβ例6、对没有截距项的一元回归模型i i i X Y μβ+=1称之为过原点回归（regression through the origin ）。

一元线性回归案例

例8. 集装箱吞吐量与外贸额
2001-2006年中国集装箱吞吐量增长与外贸额增长的弹性分析.以Y表示集装箱吞吐量 (百万标准箱),X表示外贸额(百亿美元). OLS回归方程为 Y=3.7667+0.509X (2.06) (31.78) t (5)=2.776 n=6 R^2=0.996
0.1
例8. 集装箱吞吐量与外贸额
例8. 集装箱吞吐量与外贸额
2001-2007年中国集装箱吞吐量增长与外贸额增长的弹性分析.以Y表示集装箱吞吐量增长率(%),X表示外贸额增长率(%). OLS回归方程为 Y=18.449+0.3155X (2.3982) (1.078) t (5)=2.015 n=7 R^2=0.1887
0.1
例4. 考试分数与出勤率
假如期末考试的分数(score)取决于出勤率 (attend)和影响考试成绩的其他无法观测因素（如学生能力等）： score= β1+β2 attend+u 许多不加分析的回归发现：这一回归中β2 〈0，即分数与出勤率负相关. 这一模型在什么情况下满足均值独立条件？除非学生学习能力、学习攻击、年龄及其他因素与出勤率无关，但这几乎不可能.
例3. 静态菲利普斯曲线
时间序列数据令inf(t)表示年通货膨胀率,unem(t)表示事业率, 下列菲利普斯曲线假定了一个不变的自然失业率和固定的通货膨胀率预期. Inf(t)=β1+β2 unem(t)+u 依据1948-1996年美国经济数据, OLS回归方程为 Inf(t)=1.42+0.468 unem(t) (1.72) (0.289) n=49 R^2=0.053
例5. 学校的数学成绩与学校午餐项目

一元线性回归分析案例

求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为 172cm的女大学生的体重。
解：1、选取身高为自变量x，体重为因变量y，作散点图：
2、由散点图知道身高和体重有比较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系。
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课题：选修2-3 8.5 回归分析案例
分析：由于问题中要求根据身高预报体重，因此选取身高为自变量，体重为因变量．
再冷的石头，坐上三年也会暖 !
1. 散点图；
2.回归方程： yˆ 0.849x 85.172 身高172cm女大学生体重 yˆ = 0.849×172 - 85.712 = 60.316(kg)
本例中, r=0.798>0.75．这表明体重与身高有很强的线性相关关系，从而也表明我们建立的回归模型是有意义的。
xi2
2
nx
,......(2)
i 1
i 1
其中x
1 n
n i 1
xi ,
y
1 n
n i 1
yi .
(x, y) 称为样本点的中心。
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课题：选修2-3 8.5 回归分析案例
再冷的石头，坐上三年也会暖 !
1、回归直线方程
1、所求直线方程叫做回归直线方程；
相应的直线叫做回归直线。
2、对两个变量进行的线性分析叫做线性回归分析。
然后，我们可以通过残差 e1, e2 , , en 来判断模型拟合的效果，
判断原始数据中是否存在可疑数据，这方面的分析工作称为残差分析。
表3-2列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据。
编号 1
2
3
4
5

一元线性回归模型案例分析

一元线性回归模型案例分析一、研究的目的要求居民消费在社会经济的持续发展中有着重要的作用。

居民合理的消费模式和居民适度的消费规模有利于经济持续健康的增长，而且这也是人民生活水平的具体体现。

改革开放以来随着中国经济的快速发展，人民生活水平不断提高，居民的消费水平也不断增长。

但是在看到这个整体趋势的同时，还应看到全国各地区经济发展速度不同，居民消费水平也有明显差异。

例如，2002年全国城市居民家庭平均每人每年消费支出为6029.88元, 最低的黑龙江省仅为人均4462.08元，最高的上海市达人均10464元，上海是黑龙江的2.35倍。

为了研究全国居民消费水平及其变动的原因，需要作具体的分析。

影响各地区居民消费支出有明显差异的因素可能很多，例如，居民的收入水平、就业状况、零售物价指数、利率、居民财产、购物环境等等都可能对居民消费有影响。

为了分析什么是影响各地区居民消费支出有明显差异的最主要因素，并分析影响因素与消费水平的数量关系，可以建立相应的计量经济模型去研究。

二、模型设定我们研究的对象是各地区居民消费的差异。

居民消费可分为城市居民消费和农村居民消费，由于各地区的城市与农村人口比例及经济结构有较大差异，最具有直接对比可比性的是城市居民消费。

而且，由于各地区人口和经济总量不同，只能用“城市居民每人每年的平均消费支出”来比较，而这正是可从统计年鉴中获得数据的变量。

所以模型的被解释变量Y 选定为“城市居民每人每年的平均消费支出”。

因为研究的目的是各地区城市居民消费的差异，并不是城市居民消费在不同时间的变动，所以应选择同一时期各地区城市居民的消费支出来建立模型。

因此建立的是2002年截面数据模型。

影响各地区城市居民人均消费支出有明显差异的因素有多种，但从理论和经验分析，最主要的影响因素应是居民收入，其他因素虽然对居民消费也有影响，但有的不易取得数据，如“居民财产”和“购物环境”；有的与居民收入可能高度相关，如“就业状况”、“居民财产”；还有的因素在运用截面数据时在地区间的差异并不大，如“零售物价指数”、“利率”。

经典单方程计量经济学模型：一元线性回归模型

Yi 0 1Xi i
设由获得的样本观测值 (yi , xi ) ( i 1,2,, n) 去估计计量经济模型中的未知参数，
结果为
Yˆi ˆ0 ˆ1Xi 其能够很好的拟合样本数据。 Yˆi 为别解释变量的估计值，它是由参数估计量和解释变量的观测之计算得到的。那么，被解释变量的估计值与观测值应该在总体上最为接近。
ˆ i
~
N
(
i
,
c2
ii
)
(ˆ ) /
i
i
c2 ii
~
N (0,1)
而
ˆ 2 (n k 1) / 2 ee / 2 ~ 2 (n k 1)
则
(ˆ ) / c ee /(n k 1) ~ t(n k 1)
i
i
ii
可以用上述统计量检验解释变量系数是否为0，
原假设 H : 0 ，计算统计量
2
exp{
1
2 2
( yi
ˆ0
ˆ1xi )2}
i
1,2,n
联合密度（似然函数）
L(ˆ0, ˆ1, )
f ( y1,,
yn )
1
n
(2
)n
/
2
exp{
1
2
2
( yi
ˆ0
ˆ1xi )2}
或对数似然函数
L* ln(L) n ln(
2
)
1
2
2
( yi
ˆ0
ˆ1xi )2
极大化上式
ˆ0
ˆ1
1430 1650 1870 2112
1485 1716 1947 2200
2002
共计
2420 4950 11495 16445 19305 23870 25025 21450 21285 15510

一元线性回归模型案例

一元线性回归模型案例一元线性回归模型是统计学中最基本、应用最广泛的一种回归分析方法，可以用来探究自变量与因变量之间的线性关系。

一元线性回归模型的数学公式为：y = β0 + β1x，其中y表示因变量，x表示自变量，β0和β1分别为截距和斜率。

下面以一个实际案例来说明一元线性回归模型的应用。

假设我们有一组数据，其中x表示一个房屋的面积，y表示该房屋的售价，我们想利用一元线性回归模型来预测房屋的售价。

首先，我们需要收集一组已知数据，包括房屋的面积和售价。

假设我们收集了10个不同房屋的面积和售价数据，如下所示：房屋面积（x）（平方米）售价（y）（万元）80 12090 130100 140110 150120 160130 170140 180150 190160 200170 210我们可以根据这组数据绘制散点图，横坐标表示房屋面积x，纵坐标表示售价y，如下所示：（插入散点图）接下来，我们可以利用最小二乘法来拟合一条直线，使其能够最好地拟合这些散点。

最小二乘法是一种最小化误差平方和的方法，可以得到最优的拟合直线。

根据一元线性回归模型的公式，可以通过计算拟合直线的斜率β1和截距β0来实现最小二乘法。

其中，斜率β1可以通过下式计算得到：β1 = n∑(xiyi) - (∑xi)(∑yi)n∑(xi^2) - (∑xi)^2截距β0可以通过下式计算得到：β0 = (1/n)∑yi - β1(1/n)∑xi通过带入已知数据，我们可以计算得到斜率β1和截距β0的具体值。

在本例中，计算结果如下：β1 ≈ 1.0667β0 ≈ 108.6667最后，利用得到的斜率β1和截距β0，我们可以得到一元线性回归模型的具体公式为：y ≈ 108.6667 + 1.0667x我们可以利用这个回归模型进行预测。

例如，如果有一个房屋的面积为130平方米，那么根据回归模型，可以预测该房屋的售价为170 + 108.6667 ≈ 278.6667万元。

9.7一元线性回归分析实例应用

SSR SST

(Yˆi
i 1 n
(Yi
Y )2 Y )2
10.33 0.7673 13.46
i 1
判定系数的实际意义是：在牙膏销售量的波动中，有76.73%可以由牙膏销售量与广告费用之间的线性关系来解释，或者说，在牙膏销售量的波动中，有 76.73%是由广告费用所决定的。
一元线性回归分析应用
销售量/百万支
7.38 8.51 9.52 7.50 9.33
… 9.21 8.27 7.67 7.93 9.26
X
广告费用/百万元
5.50 6.75 7.25 5.50 7.00
… 6.80 6.50 5.75 5.80 6.80
一元线性回归分析应用
解
X 表示广告费用，Y 表示牙膏销售量。利用观察数据计算得到：
为研究一地区住宅建筑面积与建造单位成本间的变化关系，一房地产商收集了相关数据。
（1）构建建造单位成本与住宅建筑面积的线性回归方程；（2）解释回归系数的经济意义；（3）当住宅建筑面积为5.0万平方米时，建造单位成本可能为多少？在置信水平95%下，计算建造单位成本平均数的置信区间。
思考练习
表一地区住宅建筑面积与建造单位成本的数据
住宅建筑地 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
住宅建筑面积/万平方米 0.60 0.95 1.35 2.10 2.56 3.89 5.16 5.66 6.11 6.23
建造单位成本/（元/平方米） 1860 1750 1710 1690 1688 1620 1598 1536 1518 1500
一元线性回归分析应用
解
广告费用对牙膏销售量的样本回归方程为：
Yˆi 1.649 1.043Xi

一元线性回归模型案例

⼀元线性回归模型案例第⼆章⼀元线性回归模型案例⼀、中国居民⼈均消费模型从总体上考察中国居民收⼊与消费⽀出的关系。

表2.1给出了1990年不变价格测算的中国⼈均国内⽣产总值（GDPP）与以居民消费价格指数（1990年为100）所见的⼈均居民消费⽀出（CONSP）两组数据。

1) 建⽴模型，并分析结果。

输出结果为：对应的模型表达式为：201.1070.3862CONSP GDPP =+(13.51) (53.47) 20.9927,2859.23,0.55R F DW ===从回归估计的结果可以看出，拟合度较好，截距项和斜率项系数均通过了t 检验。

中国⼈均消费增加10000元，GDP 增加3862元。

⼆、线性回归模型估计表2.2给出⿊龙江省伊春林区1999年16个林业局的年⽊材采伐量和相应伐⽊剩余物数据。

利⽤该数据（1）画散点图；（2）进⾏OLS 回归；（3）预测。

表2.2 年剩余物y 和年⽊材采伐量x 数据（1）画散点图先输⼊横轴变量名，再输⼊纵轴变量名得散点图（2）OLS估计弹出⽅程设定对话框得到输出结果如图：由输出结果可以看出，对应的回归表达式为：0.76290.4043t t yx =-+ (-0.625) (12.11)20.9129,146.7166, 1.48R F DW === （3）x=20条件下模型的样本外预测⽅法⾸先修改⼯作⽂件范围将⼯作⽂件范围从1—16改为1—17确定后将⼯作⽂件的范围改为包括17个观测值，然后修改样本范围将样本范围从1—16改为1—17打开x的数据⽂件，利⽤Edit+/-给x的第17个观测值赋值为20将Forecast sample选择区把预测范围从1—17改为17—17，即只预测x=20时的y的值。

由上图可以知道，当x=20时，y的预测值是7.32，yf的分布标准差是2.145。

三、表2.3列出了中国1978—2000年的参政收⼊Y和国内⽣产总值GDP的统计资料。

一元线性回归模型案例

运用一元线性回归模型所做的预测0911554 经济系 XXX一．提出问题：对某市城镇居民年人均可支配收入X ，研究它与年人均消费性支出Y 之间的关系。

二．建立模型：消费性支出除受可支配收入的影响之外，还受到其它变量及随机因素的影响，将其它变量及随机因素的影响均归并到随机变量u 中；根据X 与Y 的样本数据，可做二者的散点图：4005006007008009001,0001,1001,2001,300XY可知，二者变化趋势是线性的，由此建立两者之间的一元线性回归模型Y i =0β+1βX i +u i模型的假设条件：（1）随机误差项u i 是随机变量，服从正态分布，且E(u i )=0，Var(u i )=2u σ；（2） (,)0i j Cov u u =，i≠j,即随机误差项u 无序列相关；（3）解释变量X 与随机项u 不相关，即Cov(u i ,X i )=0。

三．估计结果：由样本观测数据（见附录1），样本回归模型为Y t =0ˆβ+1ˆβX t +e t 通过Eviews 软件估计一元线性回归模型，可得样本回归方程为ˆt Y=135.31+0.69X t （5.47）（28.04）， r 2=0.98括号内数字为回归系数对应的t 统计量的值。

（见附录2）四．评价模型：（1）结构分析1ˆβ=0.69是样本回归方程的斜率，它表示该市城镇居民的消费倾向，说明年人均可支配收入每增加1元，将0.69元用于消费性支出；0ˆβ=135.31是样本回归方程的截距，表示不受可支配收入影响的自发消费行为。

1ˆβ和0ˆβ的符号和大小，均符合经济理论及目前该市的实际情况。

（2）拟合优度：r 2=0.98，说明总离差平方和的98%被样本回归直线解释，仅2%未被解释。

因此样本回归直线对样本点拟合优度很高。

五．预测：分别给出1999年、2000年该市人均可支配收入为X 1999=1763元，X 2000=1863元。

一元线性回归例子

城镇居民家庭人均可支配收入与城市人均住宅面积一元线性回归分析(MATLAB)-------- 袁来SCAU回归分析是研究变量之间相关关系的一种统计推断法。

例如，人的血压y 与年龄x 有关，这里x 是一个普通变量，y 是随机变量。

Y 与x 之间的相依关系f(x)受随机误差ε的干扰使之不能完全确定，故可设有：ε+=)(x f y （1）式中f(x)称作回归函数，ε为随机误差或随机干扰，它是一个分布与x无关的随机变量，我们常假定它是均值为0的正态变量。

为估计未知的回归函数f(x)，我们通过n次独立观测，得x与y的n对实测数据(x i ,y i )i=1,……,n，对f(x)作估计。

一、一元线性回归的数学模型在一元线性回归中，有两个变量，其中x 是可观测、可控制的普通变量，常称它为自变量或控制变量，y 为随机变量，常称其为因变量或响应变量。

通过散点图或计算相关系数判定y 与x 之间存在着显著的线性相关关系，即y 与x 之间存在如下关系：y=a+bx+ε (2) 通常认为 ε～N (0,σ2)且假设σ2与x无关。

将观测数据(x i ,y i )(i=1，……，n)代入(2)再注意样本为简单随机样本得：),0(,),,1(21σεεεN n i bx a y n i i i 独立同分布""=++= (3)称(2)或(3)(又称为数据结构式)所确定的模型为一元(正态)线性回归模型。

对其进行统计分析称为一元线性回归分析。

模型(3)中EY=a+bx，若记y=E(Y),则y=a+bx,就是所谓的一元线性回归方程，其图象就是回归直线，b 为回归系数，a 称为回归常数，有时也通称a、b 为回归系数。

二、a、b 的最小二乘估计、经验公式现讨论如何根据观测值(x i ,y i )，i=1,2,……,n估计模型（9.2）中回归函数f(x)=a+bx中的回归系数。

采用最小二乘法，记平方和∑=−−=nt t t bx a y b a 12)(),(Q (9.5)找使Q(a.b)达到最小的a、b 作为其估计，即),(min )ˆ,ˆ(b a b aQ Q = 为此，令112[]02()0nt t t n t t t t Qy a bx a Qy a bx x b ==⎧∂=−−=⎪∂⎪⎪⎨⎪∂⎪=−−⎪∂⎩∑∑"=化简得方程组(称为模型的正规方程)解得ˆˆˆxy xx L b L ay bx ⎧=⎪⎨⎪=−⎩ (9.6) (9.6)所示的分别称为a、b 的最小二乘估计，式中 b aˆ,ˆ()∑∑∑===−=−=ni ni ni i ii xx x n x x x L 112122)(1∑∑∑==−=−−=n i n i ni ni i i i i xy y x n y x y y x x L 111))((1))((∑1称为经验回归(直线方程)，或经验公式。

8.5一元线性回归案例2

x
i 1
2
i
nx
2
（2）相应的直线叫做回归直线。（3）对两个变量进行的线性分析叫做线性回归分析。
（注意回归直线一定经过样本点的中心）
若点（ xi ， yi ）的分布趋于一条直线，则 xi 与 yi 满足以下关系式：
yi bxi a ei , i 1,2, , n
x 159.8, y 172,
x
i 1
2 i
265448,
10
i 1 10
y
2 i
312350,
i 1
i
10
xy
i
2
i
287640
于是，r
x y 10 x y
i 1 i 2 10 i 1 2 i
( x 10 x )( y 10 y )
现在问：（1）随着机动船的数量的增加，被撞死的海牛数是否会增加？（2）当机动船增加到 750 只，被撞死的海牛会是多少？
解：（1）首先画出案例一相应的散点图：
60 50 40 30 20 10 0
400
450
500
550
600
650
700
750
i
xi
yi
xi yi
xi
2
yi
2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
447 460 481 498 513 512 526 559 585 614 645 675 711 719
13 21 24 16 24 20 15 34 33 33 39 43 50 47
5811 9660 11544 7968 12312 10240 7890 19006 19305 20262 25155 29025 35550 33793

一元线性回归方程案例数据

一元线性回归方程案例数据一元线性回归方程案例数据8. 一个工厂在某年里每月产品的总成本（单位：万元）与月产量（单位：万件）之间有如下一组数据：则月总成本与月产量之间的线性回归方程为________.收藏加入试题篮题目有误查看详解9. 某中学高一期中考试后，对成绩进行分析，从13班中选出5名学生的总成绩和外语成绩如下表:则外语成绩对总成绩的回归直线方程是_______________________. 收藏加入试题篮题目有误查看详解三. 解答题（本大题共5小题，共0分）10. 在国民经济中，社会生产与货运之间有着密切关系，下面列出1991—2000年中某地区货运量与工业总产值的统计资料：利用上述资料：(1)画出散点图；(2)计算这两组变量的相关系数； (3)在显著水平0.05的条件下，对变量与进行相关性检验；(4)如果变量与之间具有线性相关关系，求出回归直线方程. 收藏加入试题篮题目有误查看详解 11. 随机选取15家销售公司，由营业报告中查出其上年度的广告费(占总费用的百分比)及盈利额(占销售总额的百分比)列表如下：试根据上述资料：(1)画出散点图；(2)计算出这两组变量的相关系数；(3)在显著水平O.01的条件下，对变量x与y进行相关性检验；(4)如果变量x与y之间具有线性相关关系，求出回归直线方程；(5)已知某销售公司的广告费占其总费用的1.7％，试估计其盈利净额占销售总额的百分比.收藏加入试题篮题目有误查看详解12. 商品零售商要了解每周的广告费及消费额(单位：万元)之间的关系，记录如下：利用上述资料：(1)画出散点图;(2)求销售额对广告费的一元线性回归方程；(3)求出两个变量的相关系数.收藏加入试题篮题目有误查看详解13. 某城区为研究城镇居民月家庭人均生活费支出和月收入的相关关系，随机抽取10户进行调查,其结果如下:利用上述资料：(1)画出散点图；(2)计算这两组变量的相关系数；(3)在显著水平0.05的条件下，对变量与进行相关性检验；(4)如果变量与之间具有线性相关关系，求出回归直线方程；(5)测算人均收入为280元时，人均生活费支出应为多少元?收藏加入试题篮题目有误查看详解14. 要分析学生初中升学的数学成绩对高一年级数学学习有什么影响，在高一年级学生中随机抽选10名学生，分析他们入学的数学成绩和高一年级期末数学考试成绩(如下表)：(1)画出散点图；(2)计算入学成绩与高一期末考试成绩的相关关系；(3)对变量与进行相关性检验，如果与之间具有线性相关关系，求出一元线性回归方程；(4)若某学生入学数学成绩为80分，试估计他高一期末数学考试成绩．。

一元线性回归模型案例

一元线性回归模型案例一元线性回归是统计学中常用的一种回归分析方法，用于研究一个自变量和一个因变量之间的线性关系。

在本文中，我们将通过一个实际案例来介绍一元线性回归模型的应用和分析过程。

案例背景：假设我们是某家电商平台的数据分析师，我们希望通过用户的年龄来预测其在平台上的消费金额。

我们收集了100位用户的年龄和其在平台上的消费金额的数据，现在我们希望利用一元线性回归模型来分析这些数据，以便更好地了解用户消费行为。

数据分析：首先，我们需要对收集到的数据进行初步的分析。

我们可以使用散点图来观察年龄和消费金额之间的关系。

通过观察散点图，我们可以初步判断年龄和消费金额之间是否存在线性关系，以及线性关系的方向和强度。

模型建立：在确认了年龄和消费金额之间存在线性关系后，我们可以建立一元线性回归模型。

模型的基本形式为，Y = β0 + β1X + ε，其中Y表示因变量（消费金额），X表示自变量（年龄），β0和β1分别表示截距和斜率，ε表示误差项。

我们需要通过最小二乘法来估计β0和β1的值，从而建立回归方程。

模型评价：建立回归模型后，我们需要对模型进行评价。

我们可以通过计算回归方程的拟合优度R^2来评价模型的拟合程度，R^2的取值范围为0到1，值越接近1表示模型拟合得越好。

此外，我们还可以利用残差分析来检验模型的假设是否成立，以及检验模型的稳健性和可靠性。

预测分析：最后，我们可以利用建立的回归模型进行预测分析。

通过输入不同年龄的值，我们可以利用回归方程来预测用户在平台上的消费金额。

预测分析可以帮助电商平台更好地了解不同年龄段用户的消费特点，从而制定针对性的营销策略和服务方案。

结论：通过以上一元线性回归模型的应用分析，我们可以得出结论，用户的年龄和在平台上的消费金额之间存在一定的线性关系，通过建立回归模型，我们可以对用户的消费金额进行预测和分析。

这对于电商平台来说具有重要的参考价值，可以帮助平台更好地了解用户消费行为，从而提升用户体验和增加销售额。