45三角函数模型的应用

§4.5 三角函数模型的应用1．如果某种变化着的现象具有周期性，那么它就可以借助____________来描述．2．三角函数作为描述现实世界中________现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用．具体的，我们可以利用搜集到的数据，作出相应的“散点图”，通过观察散点图并进行____________而获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题．3．y ＝||sin x 是以______为周期的波浪形曲线．4．太阳高度角θ、楼高h 0与此时楼房在地面的投影长h 之间有如下关系：________________.自查自纠：1．三角函数 2.周期 函数拟合 3．π 4.h 0＝h tan θ已知某人的血压满足函数解析式f (t )＝24sin160πt ＋110.其中f (t )为血压(mmHg)，t 为时间(min)，则此人每分钟心跳的次数为( )A ．60B ．70C ．80D ．90解：由题意可得f ＝1T ＝160π2π＝80.所以此人每分钟心跳的次数为80.故选C.某班设计了一个八边形的班徽(如图)，它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为( )A ．2sin α－2cos α＋2B ．sin α－3cos α＋3C ．3sin α－3cos α＋1D ．2sin α－cos α＋1解：四个等腰三角形的面积之和为4×12×1×1×sin α＝2sin α.再由余弦定理可得正方形的边长为12＋12－2×1×1×cos α＝2－2cos α，故正方形的面积为2－2cos α，所以所求八边形的面积为2sin α－2cos α＋2.故选A.在100 m 的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高为( )A.2003 m B.20033 mC.10033mD.1003m 解：如图，设塔高为h m ， 则有100tan30°＝(100－h )tan60°，∴h ＝2003(m)．故选A.已知某种交流电电流I (A )随时间t (s )的变化规律可以拟合为函数I ＝52sin ⎝⎛⎭⎫100πt －π2，t ∈[0，＋∞)，则这种交流电在0.5 s 内往复运动的次数为________次．解：∵f ＝1T ＝ω2π＝100π2π＝50，∴0.5 s 内往复运动的次数为0.5×50＝25.故填25.某市的纬度是北纬21°34′，小王想在某住宅小区买房，该小区的楼高7层，每层3 m ，楼与楼之间相距15 m ，要使所买楼房在一年四季正午的太阳不被前面的楼房遮挡，最低应该选择第______层的房(地球上赤道南北各23°26′处的纬线分别叫南北回归线．冬季我国白天最短的一天冬至日太阳直射在南回归线上)．解：设最低高度为h 0，则由题意知，太阳的高度角为90°－||21°34′－（－23°26′）＝45°，∴15＝21－h 0tan45°，得h 0＝6.∴最低应选在第3层．故填3.类型一建立三角模型如图，某大风车的半径为2 m，每12 s旋转一周，它的最低点O离地面0.5 m．风车圆周上一点A从最低点O开始，运动t(s)后与地面的距离为h(m)．(1)求函数h ＝f (t )的关系式； (2)画出函数h ＝f (t )的图象．解：(1)如图，以O 为原点，过点O 的圆O 1的切线为x 轴，建立直角坐标系，设点A 的坐标为(x ，y )，则h ＝y ＋0.5.设∠OO 1A ＝θ，则cos θ＝2－y2，y ＝－2cos θ＋2.又θ＝2π12·t ＝πt 6，所以y ＝－2cos πt 6＋2，h ＝f (t )＝－2cos πt6＋2.5.(2)列表：t 0 3 6 9 12 h 0.5 2.5 4.5 2.5 0.5描点连线，即得函数h ＝－2cos π6t ＋2.5的图象如图所示：点拨：本题主要考查三角函数的图象和性质，以及由数到形的转化思想和作图技能，建立适当的直角坐标系，将现实问题转化为数学问题，是解题的关键．为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖指向位置P (x ，y )．若初始位置为P 0⎝⎛⎭⎪⎫32，12，秒针从P 0(注：此时t ＝0)开始沿顺时针方向走动，则点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系为( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π30t ＋π6B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π60t －π6C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π30t ＋π6D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π30t －π6解：由题意，函数的周期为T ＝60，∴ω＝2π60＝π30.设函数解析式为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π30t ＋φ⎝⎛⎭⎫0＜φ＜π2(秒针是顺时针走动)．∵初始位置为P 0⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，∴t ＝0时，y ＝12.∴sin φ＝12，φ可取π6.∴函数解析式为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π30t ＋π6.故选C.类型二 根据解析式建立图象模型画出函数y ＝|cos x |的图象并观察其周期．解：函数图象如图所示．从图中可以看出，函数y＝|cos x|是以π为周期的波浪形曲线．我们也可以这样进行验证：|cos(x＋π)|＝|－cos x|＝|cos x|，所以，函数y＝|cos x|是以π为周期的函数．点拨：利用函数图象的直观性，通过观察图象而获得对函数性质的认识，这是研究数学问题的常用方法．(经典题)弹簧挂着的小球作上下振动，时间t(s)与小球相对平衡位置(即静止时的位置)的高度h(cm)之间的函数关系式是h＝2sin(2t－π4)，t∈[0，＋∞)．(1)以t 为横坐标，h 为纵坐标，画出函数在长度为一个周期的闭区间上的简图； (2)小球开始振动的位置在哪里？(3)小球最高点、最低点的位置及各自距平衡位置的距离分别是多少？ (4)小球经过多长时间往复振动一次？ (5)小球1s 能振动多少次？解：(1)画出h ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2t －π4的简图(长度为一个周期)．按五个关键点列表：t π8 3π8 5π8 7π8 9π82t －π4 0 π2 π 3π22π 2sin ⎝⎛⎭⎫2t －π40 2 0 －2 0描点并将它们用光滑的曲线连接起来，即得h ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2t －π4(t ≥0)在一个周期的简图，如图所示．(2)t ＝0时，h ＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π4＝－2，即小球开始振动时的位置为(0，－2)(平衡位置的下方2cm 处)．(3)t ＝3π8＋k π(k ∈N )时，h ＝2；t ＝7π8＋k π(k ∈N )时，h ＝－2.即最高点位置⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8＋k π，2，最低点位置⎝ ⎛⎭⎪⎫7π8＋k π，－2，k ∈N ，最高点、最低点到平衡位置的距离均为2cm .(4)小球往复振动一次所需时间即周期，T ＝2π2＝π≈3.14(s )．(5)小球1s 振动的次数为频率， f ＝1T ＝1π≈13.14≈0.318(次/s )． 类型三 三角函数拟合受日月引力影响，海水会发生涨落，在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后，在不至搁浅时返回海洋，某港口水的深度y (米)是时间t (0≤t ≤24，单位：时)的函数，记作y ＝f (t )．下面是该港口在某季节每天水深的数据：t (时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y (米) 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0(1)根据以上数据，求出函数y ＝f (t )的近似表达式；(2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上认为是安全的(船舶停靠时，船底只需不碰海底即可)，某船吃水深度(船底离水面距离)为6.5米，如果该船在同一天内安全进出港，问它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需的时间)?解：(1)根据数据画出散点图，根据图象，可考虑用函数y ＝A sin(ωt ＋φ)＋h 刻画水深与时间之间的对应关系，则周期T ＝12，振幅A ＝3，h ＝10，∴y ＝3sin π6t ＋10(0≤t ≤24)．(2)由题意，该船进出港时，水深应不小于5＋6.5＝11.5(米)，即3sin π6t ＋10≥11.5，sin π6t ≥12，2k π＋π6≤π6t ≤2k π＋56π(k ∈Z )，0≤t ≤24，∴12k ＋1≤t ≤12k ＋5(k ∈Z )．在同一天内取k ＝0或1，则1≤t ≤5或13≤t ≤17. 所以该船最早能在凌晨1时进港，最晚下午17时出港，在港口最多停留16小时．点拨：(1)这是一道根据生活中的实例编拟的题目，由表中数据抽象出数学问题(求解析式、解不等式)，从而得出船在港内最多停留的时间，这一过程体现了数学建模的思想；(2)许多实际问题可以根据以前的记录数据寻找模拟函数，再结合几个关键数据求出解析式．某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y (米)随着时间t (0≤t ≤24，单位：时)而周期性变化，每天各时刻t 的浪高数据的平均值如下表：t /时 0 3 6 9 12 15 18 21 24y /米 1.0 1.4 1.0 0.6 1.0 1.4 0.9 0.5 1.0(1)试画出散点图；(2)观察散点图，从y ＝at ＋b ，y ＝A sin(ωt ＋φ)＋b ，y ＝A cos(ωt ＋φ)中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式；(3)如果确定在白天7 时～19时当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排恰当的训练时间． 解：(1)(2)由(1)知选择y ＝A sin(ωt ＋φ)＋b 较合适． 由图知，A ＝0.4，b ＝1，T ＝12，所以ω＝2πT ＝π6，把t ＝0，y ＝1代入y ＝0.4sin(π6t ＋φ)＋1，得φ＝0，所以所求的解析式为：y ＝0.4sin π6t ＋1(0≤t ≤24)．(3)由y ＝0.4sin π6t ＋1≥0.8，得sin π6t ≥－12，则－π6＋2k π≤πt 6≤7π6＋2k π(k ∈Z )，即12k －1≤t ≤12k ＋7，所以0≤t ≤7或11≤t ≤19或23≤t ≤24. 即应安排在11时到19时训练较恰当．1．三角函数模型的三种模式在现实生活中，许多变化的现象都具有周期性，因此，可以用三角函数模型来描述．如：气象方面有温度的变化，天文学方面有白昼时间的变化，物理学方面有各种各样的振动波，生理方面有人的情绪、智力、体力变化等．研究这些应用问题，主要有以下三种模式：①给定呈周期变化规律的三角函数模型，根据所给模型，结合三角函数的性质，解决一些实际问题；②给定呈周期变化的图象，利用待定系数法求出函数，再解决其他问题；③搜集一个实际问题的调查数据，根据数据作出散点图，通过拟合函数图象，求出可以近似表示变化规律的函数式，进一步用函数性质来解决相应的实际问题．2．三角函数应用问题解题流程三角函数应用题通常涉及生产、生活、军事、天文、地理和物理等实际问题，利用三角函数的周期性、有界性等，可以解决很多问题，其解题流程大致是：审读题目，理解题意→设角，建立三角函数模型→分析三角函数的性质→解决实际问题．其中根据实际问题的背景材料，建立三角函数关系，是解决问题的关键．3．将图象和性质赋予实际意义在解决实际问题时，要具体问题具体分析，充分运用数形结合的思想，灵活运用三角函数的图象和性质．1．如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O 的距离s (cm)和时间t (s )的函数关系式为s ＝6sin ⎝⎛⎭⎫2πt ＋π6，那么单摆来回摆动一次所需的时间为( )A ．2π sB ．π sC ．0.5 sD ．1 s解：T ＝2π2π＝1，来回摆动一次所需时间即为一个周期．故选D.2．电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin ()ωt ＋φ(A >0，ω>0，0<φ<π2)的图象如图所示，则t ＝1100秒时，电流强度I ＝( )A ．－5安B ．5安C ．53安D ．10安解：由图知A ＝10，T ＝2(4300－1300)＝150，ω＝2πT ＝2π150＝100π，∴I ＝10sin ()100πt ＋φ.由于图象过点⎝⎛⎭⎪⎫1300，10，代入解析式得10＝10sin(100π·1300＋φ)，即sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝1，从而π3＋φ＝2k π＋π2，φ＝2k π＋π6，k ∈Z .∵0<φ<π2，∴φ＝π6.∴I ＝10sin ⎝⎛⎭⎫100πt ＋π6.当t ＝1100时，I ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100π·1100＋π6＝－5.故选A. 3．动点A (x ，y )在圆x 2＋y 2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间t ＝0时，点A 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，则动点A 的纵坐标y 关于t (单位：秒)的函数表达式为( )A ．y ＝sin π6t B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π6t ＋π3C ．y ＝sin π3t D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3t ＋π6解：该函数的最小正周期T ＝12，ω＝2πT ＝π6，可设此函数为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π6t ＋φ，又当t ＝0时，点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，∴所求函数表达式为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π6t ＋π3.故选B .4．如图为一半径是3 m 的水轮，水轮圆心O 距离水面2 m ，已知水轮自点A 开始1 min 旋转4圈，水轮上的点P 到水面距离y (m)与时间x (s )满足函数关系y ＝A sin(ωx ＋φ)＋2，则有( )A ．ω＝2π15，A ＝3B ．ω＝152π，A ＝3C ．ω＝2π15，A ＝5D ．ω＝152π，A ＝5解：∵水轮上最高点距离水面r ＋2＝5 m ，即A ＋2＝5，∴A ＝3.又∵水轮每秒钟旋转8π60＝2π15rad ，∴角速度ω＝2π15.故选A . 5．如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0(2，－2)，角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图象大致为( )解：据点P 0的坐标可得∠xOP 0＝－π4，故∠xOP ＝t －π4.设点P (x ，y )，则由三角函数的定义，可得sin ∠xOP ＝y r，即sin ⎝⎛⎭⎫t －π4＝y 2，故y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫t －π4，因此点P 到x 轴的距离d ＝||y ＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫t －π4，据解析式可得C 选项图象符合条件．故选C.(另用排除法易选C )6．已知函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝f ⎝⎛⎭⎫π2－x sin x 在[0，π]上的大致图象是( )解：当0＜x ＜π2时，0＜π2－x ＜π2，显然y ＝f ⎝⎛⎭⎫π2－x sin x ＞0，排除C ，D ；当π2＜x ＜π时，－π2＜π2－x ＜0，显然y＝f ⎝⎛⎭⎫π2－x sin x ＜0，排除B .所以只有A 符合题意．故选A. 7．某时钟的秒针端点A 到中心O 的距离为5 cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间t ＝0时，点A 与钟面上标12的点B 重合，将A ，B 两点间的距离d ()cm 表示成t ()s 的函数，则d ＝_____________，其中t ∈[]0，60.解：如图所示，OA ＝OB ＝5()cm ，秒针由B 均匀地旋转到A 的时间为t ()s ，则∠AOB ＝π30t ，取AB 中点为C ，则OC ⊥AB ，从而∠AOC ＝12∠AOB ＝π60t .在Rt △AOC 中，AC ＝OA sin ∠AOC ＝5sin π60t ，∴d ＝AB ＝10sin π60t ，t ∈[]0，60.故填10sin π60t .8．如图，塔AB 和楼CD 的水平距离为80 m ，从楼顶C 处及楼底D 处测得塔顶A 的仰角分别为45°和60°，则塔高AB ＝________m ，楼高CD ＝________m ．(精确到0.01 m)(参考数据：2＝1.41421…，3＝1.73205…) 解：在Rt △ABD 中，BD ＝80 m ，∠BDA ＝60°， ∴AB ＝BD ·tan60°＝803≈138.56(m)．在Rt △AEC 中，EC ＝BD ＝80 m ，∠ACE ＝45°， ∴AE ＝CE ＝80(m)．∴CD ＝BE ＝AB －AE ＝803－80≈58.56(m)．∴塔AB 的高约为138.56 m ，楼CD 的高约为58.56 m. 故填138.56；58.56.9．如图所示，在直径为1的圆O 中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中y ＞x ＞0.将十字形的面积表示为θ的函数．解：设S 为十字形的面积，则S ＝2xy －x 2＝2sin θcos θ－cos 2θ⎝⎛⎭⎫π4＜θ＜π2.10．已知，如图表示电流强度I 与时间t 的关系I ＝A sin(ωt ＋φ)(t ≥0，－π2＜φ＜π2)的图象．(1)试根据图象写出I ＝A sin(ωt ＋φ)的解析式；(2)为了使I ＝A sin(ωt ＋φ)中t 在任意一段1100秒的时间内电流强度I 能同时取得最大值||A 与最小值－||A ，那么正整数ω的最小值是多少？解：(1)由图知，A ＝300，T ＝160－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1300＝150，∴ω＝2πT ＝2π150＝100π.∵－ω300＋φ＝2k π，k ∈Z ，∴φ＝ω300＋2k π＝π3＋2k π.∵φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，∴φ＝π3.∴I ＝300sin ⎝⎛⎭⎫100πt ＋π3(t ≥0)．(2)问题等价于T ≤1100，即2πω≤1100，∴ω≥200π.∴最小的正整数ω为629.11．(2014·湖北)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h )的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24)．(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？解：(1)f (t )＝10－2⎝⎛⎭⎪⎫32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3，∵0≤t ＜24，∴π3≤π12t ＋π3＜7π3，－1≤sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3≤1. 当t ＝2时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝－1. 于是f (t )在[0，24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃.(2)依题意，当f (t )＞11时实验室需要降温．由(1)得f (t )＝10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3， 故有10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＞11， 即sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＜－12. 又0≤t ＜24，因此7π6＜π12t ＋π3＜11π6，即10＜t ＜18. 在10时至18时实验室需要降温．设关于x 的方程sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝k ＋12在⎣⎡⎦⎤0，π2内有两个不同根α，β，求α＋β的值及k 的取值范围．解：设C ：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，l ：y ＝k ＋12，在同一坐标系中作出它们的图象如图． 当12≤k ＋12＜1时，即0≤k ＜1时，直线l 与曲线C 有两个交点，且两交点的横坐标为α，β，从图象中还可看出α，β关于x ＝π6对称，故α＋β＝π3. 综上可知，0≤k ＜1，且α＋β＝π3.。