45三角函数模型的应用

§4.5 三角函数模型的应用

1．如果某种变化着的现象具有周期性，那么它就可以借助____________来描述．

2．三角函数作为描述现实世界中________现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用．具体的，我们可以利用搜集到的数据，作出相应的“散点图”，通过观察散点图并进行____________而获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题．

3．y ＝||sin x 是以______为周期的波浪形曲线．

4．太阳高度角θ、楼高h 0与此时楼房在地面的投影长h 之间有如下关系：________________.

自查自纠：

1．三角函数 2.周期 函数拟合 3．π 4.h 0＝h tan θ

已知某人的血压满足函数解析式f (t )＝24sin160πt ＋110.其中f (t )

为血压(mmHg)，t 为时间(min)，则此人每分钟心跳的次数为( )

A ．60

B ．70

C ．80

D ．90

解：由题意可得f ＝1T ＝160π

2π

＝80.所以此人每分钟心跳的次数为80.故选C.

某班设计了一个八边形的班徽(如图)，它由腰长为1，顶角为α

的四个等腰三角形及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为( )

A ．2sin α－2cos α＋2

B ．sin α－3cos α＋3

C ．3sin α－3cos α＋1

D ．2sin α－cos α＋1

解：四个等腰三角形的面积之和为4×1

2×1×1×sin α＝2sin α.再由余弦定理可得正方形的边长为

12

＋12

－2×1×1×cos α＝2－2cos α，故正方形的面积为2－2cos α，所以所求八边形的面积为2sin α－2cos α＋2.故选A.

在100 m 的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°，

60°，则塔高为( )

A.200

3 m B.20033 m

C.10033

m

D.1003

m 解：如图，

设塔高为h m ， 则有100tan30°＝(100－h )tan60°，

∴h ＝2003

(m)．故选A.

已知某种交流电电流I (A )随时间t (s )的变化规律可以拟合为函数

I ＝52sin ⎝⎛⎭

⎫100πt －π

2，t ∈[0，＋∞)，则这种交流电在0.5 s 内往复运动的次数为________次．

解：∵f ＝1T ＝ω2π＝100π

2π

＝50，

∴0.5 s 内往复运动的次数为0.5×50＝25.故填25.

某市的纬度是北纬21°34′，小王想在某住宅小区买房，该小区

的楼高7层，每层3 m ，楼与楼之间相距15 m ，要使所买楼房在一年四季正午的太阳不被前面的楼房遮挡，最低应该选择第______层的房(地球上赤道南北各23°26′处的纬线分别叫南北回归线．冬季我国白天最短的一天冬至日太阳直射在南回归线上)．

解：设最低高度为h 0，则由题意知，太阳的高度角为90°－||21°34′－（－23°26′）＝45°，∴15＝21－h 0

tan45°

，得h 0

＝6.

∴最低应选在第3层．故填3.

类型一建立三角模型

如图，某大风车的半径为2 m，每12 s旋转一周，它的最低点O离地面0.5 m．风车圆周上一点A从最低点O开始，运动t(s)后与地面的距离为h(m)．

(1)求函数h ＝f (t )的关系式； (2)画出函数h ＝f (t )的图象．

解：(1)如图，以O 为原点，过点O 的圆O 1的切线为x 轴，建立直角坐标系，设点A 的坐标为(x ，y )，则h ＝y ＋0.5.

设∠OO 1A ＝θ，则cos θ＝2－y

2

，

y ＝－2cos θ＋2.

又θ＝2π12·t ＝πt 6

，

所以y ＝－2cos πt 6＋2，h ＝f (t )＝－2cos πt

6

＋2.5.

(2)列表：

t 0 3 6 9 12 h 0.5 2.5 4.5 2.5 0.5

描点连线，即得函数h ＝－2cos π

6

t ＋2.5的图象如图所示：

点拨：

本题主要考查三角函数的图象和性质，以及由数到形的转化思想和作图技能，建立适当的直角坐标系，将现实问题转化为数学问题，是解题的关键．

为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设

秒针尖指向位置P (x ，y )．若初始位置为P 0⎝

⎛⎭⎪⎫

32，12，秒针从P 0(注：此时t ＝0)开始沿顺时针方向走动，则点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系为( )

A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π30t ＋π6

B ．y ＝sin ⎝⎛⎭

⎫－π60t －π

6

C ．y ＝sin ⎝⎛⎭

⎫－π30t ＋π

6

D ．y ＝sin ⎝⎛⎭

⎫－π30t －π

6

解：由题意，函数的周期为T ＝60，∴ω＝2π60＝π30.设函数解析式为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π30t ＋φ⎝⎛⎭⎫0＜φ＜π

2(秒针是顺时针走

动)．∵初始位置为P 0⎝ ⎛⎭

⎪⎫32，12，∴t ＝0时，y ＝12.∴sin φ＝12，φ可取π

6.∴函数解析式为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π30t ＋π6.故选C.

类型二 根据解析式建立图象模型

画出函数y ＝|cos x |的图象并观察其周期．

解：函数图象如图所示．