45三角函数模型的应用

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§4.5 三角函数模型的应用

1.如果某种变化着的现象具有周期性,那么它就可以借助____________来描述.

2.三角函数作为描述现实世界中________现象的一种数学模型,可以用来研究很多问题,在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用.具体的,我们可以利用搜集到的数据,作出相应的“散点图”,通过观察散点图并进行____________而获得具体的函数模型,最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题.

3.y =||sin x 是以______为周期的波浪形曲线.

4.太阳高度角θ、楼高h 0与此时楼房在地面的投影长h 之间有如下关系:________________.

自查自纠:

1.三角函数 2.周期 函数拟合 3.π 4.h 0=h tan θ

已知某人的血压满足函数解析式f (t )=24sin160πt +110.其中f (t )

为血压(mmHg),t 为时间(min),则此人每分钟心跳的次数为( )

A .60

B .70

C .80

D .90

解:由题意可得f =1T =160π

=80.所以此人每分钟心跳的次数为80.故选C.

某班设计了一个八边形的班徽(如图),它由腰长为1,顶角为α

的四个等腰三角形及其底边构成的正方形所组成,该八边形的面积为( )

A .2sin α-2cos α+2

B .sin α-3cos α+3

C .3sin α-3cos α+1

D .2sin α-cos α+1

解:四个等腰三角形的面积之和为4×1

2×1×1×sin α=2sin α.再由余弦定理可得正方形的边长为

12

+12

-2×1×1×cos α=2-2cos α,故正方形的面积为2-2cos α,所以所求八边形的面积为2sin α-2cos α+2.故选A.

在100 m 的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°,

60°,则塔高为( )

A.200

3 m B.20033 m

C.10033

m

D.1003

m 解:如图,

设塔高为h m , 则有100tan30°=(100-h )tan60°,

∴h =2003

(m).故选A.

已知某种交流电电流I (A )随时间t (s )的变化规律可以拟合为函数

I =52sin ⎝⎛⎭

⎫100πt -π

2,t ∈[0,+∞),则这种交流电在0.5 s 内往复运动的次数为________次.

解:∵f =1T =ω2π=100π

=50,

∴0.5 s 内往复运动的次数为0.5×50=25.故填25.

某市的纬度是北纬21°34′,小王想在某住宅小区买房,该小区

的楼高7层,每层3 m ,楼与楼之间相距15 m ,要使所买楼房在一年四季正午的太阳不被前面的楼房遮挡,最低应该选择第______层的房(地球上赤道南北各23°26′处的纬线分别叫南北回归线.冬季我国白天最短的一天冬至日太阳直射在南回归线上).

解:设最低高度为h 0,则由题意知,太阳的高度角为90°-||21°34′-(-23°26′)=45°,∴15=21-h 0

tan45°

,得h 0

=6.

∴最低应选在第3层.故填3.

类型一建立三角模型

如图,某大风车的半径为2 m,每12 s旋转一周,它的最低点O离地面0.5 m.风车圆周上一点A从最低点O开始,运动t(s)后与地面的距离为h(m).

(1)求函数h =f (t )的关系式; (2)画出函数h =f (t )的图象.

解:(1)如图,以O 为原点,过点O 的圆O 1的切线为x 轴,建立直角坐标系,设点A 的坐标为(x ,y ),则h =y +0.5.

设∠OO 1A =θ,则cos θ=2-y

2

y =-2cos θ+2.

又θ=2π12·t =πt 6

所以y =-2cos πt 6+2,h =f (t )=-2cos πt

6

+2.5.

(2)列表:

t 0 3 6 9 12 h 0.5 2.5 4.5 2.5 0.5

描点连线,即得函数h =-2cos π

6

t +2.5的图象如图所示:

点拨:

本题主要考查三角函数的图象和性质,以及由数到形的转化思想和作图技能,建立适当的直角坐标系,将现实问题转化为数学问题,是解题的关键.

为了研究钟表与三角函数的关系,建立如图所示的坐标系,设

秒针尖指向位置P (x ,y ).若初始位置为P 0⎝

⎛⎭⎪⎫

32,12,秒针从P 0(注:此时t =0)开始沿顺时针方向走动,则点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系为( )

A .y =sin ⎝⎛⎭⎫π30t +π6

B .y =sin ⎝⎛⎭

⎫-π60t -π

6

C .y =sin ⎝⎛⎭

⎫-π30t +π

6

D .y =sin ⎝⎛⎭

⎫-π30t -π

6

解:由题意,函数的周期为T =60,∴ω=2π60=π30.设函数解析式为y =sin ⎝⎛⎭⎫-π30t +φ⎝⎛⎭⎫0<φ<π

2(秒针是顺时针走

动).∵初始位置为P 0⎝ ⎛⎭

⎪⎫32,12,∴t =0时,y =12.∴sin φ=12,φ可取π

6.∴函数解析式为y =sin ⎝⎛⎭⎫-π30t +π6.故选C.

类型二 根据解析式建立图象模型

画出函数y =|cos x |的图象并观察其周期.

解:函数图象如图所示.

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