频域分析及典型环节bode图第10讲

c(t ) ae
jt
A j ( ) jt A a e A( )e e A( )e e 2j 2j A( ) A sin(t ( ))
jt j ( ) jt
说明 线性系统的稳态输出是和输入具有相同频率的正弦信号，
其输出与输入的幅值比为 输出与输入的相位差
特点
当输入信号的频率 0 ~ 变化时，向量 G ( j ) 的幅值和相位也随之作相应的变化，其端点在复平面上移 动的轨迹称为极坐标图，奈奎斯特曲线，简称奈氏图 。
奈奎斯特(N.Nyquist)在1932年基于极坐标图阐述了反馈系统的 稳定性 ◆对数幅相图：将构成 G( j) 和 G( j ) 绘制于一图中， 横坐标为 G( j ) 纵坐标为 G( j) ，均为均匀分度。
φ(ω)
ω
0°
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返回
20log(K) 20
10
0
(dB) Ö±´ ·
-10
-20
-30
-40 -2 10
10
-1
10 Êý Öµ
0
10
1
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图5-7 数值与分贝转换直线
30
5.2.2 积分与微分因子
L( ) 20log
1 G( j ) j
j 1
1 20log (dB) j
5.1
频率特性的概念
输出与输入的相位之差
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(b)相频特性
20
U o ( s) U o ( j ) 1 1 1 G( s) G( j ) 比较 U i ( s) 1 RCs U i ( j ) 1 RCj 1 Tj
频率特性与传递函数具有十分相的形式，关系为 G ( j ) G ( s ) s j
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5.2典型环节频率特性及曲线的绘制
5.2.1 比例环节 G(s)=K
G ( j )
=K
L( ) 20log K
( ) 0
幅频特性和相频特性曲线 请看下页
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5.2典型环节频率特性及曲线的绘制
比例环节的Bode图
L(ω)/dB
0dB
20lgK
ω
频率特性的概念
G ( j ) 称为电路的频率特性。
它由该电路的结构和参数决定，与输入信号的幅值与相位无关。
G( j) 是 G ( j ) 的幅值
它表示在稳态时，电路的输出与输入的幅值之比。 ( ) 是 G ( j ) 的相角
它表示在稳态时，输出信号与输入信号的相位差。
由于 G( j) 和 ( ) 都是输入信号频率
11
5.1
频率特性的概念
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12
红 —输 入 ， 蓝 —全 响 应 ， 黑 —稳 态 响 应 6 yss(t)
4
2
u(t ) 2 cos(5t 30)
Sinresponse2order.m
u(t)
幅值
0
-2
-4
-6 y(t) -8 0 1 2 3 t/s 4 5
红 —输 入 ， 蓝 —全 响 应 ， 黑 —稳 态 响 应 2 1.5 6 1 0.5 幅值 yss(t)
(5-5)
A A A a G( s) 2 ( s j ) s j G( j ) ( s j ) s j G( j ) 2 s ( s j )(s j ) 2j
由于 G ( j ) 是一个复数向量，因而可表示为
a( ) jb( ) G( j ) G( j ) e c( ) jd ( )
p1 , p2 , pn
对稳定系统
n
G(s) 的极点
(5-1)
bi a a C ( s) s j s j i 1 s pi
(5-2)
14
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5.1
频率特性的概念
a, a 和bi (i 1,2,n)
bi a a (5-2) C ( s) s j s j i 1 s pi
第10讲
杨湖
线性系统的频域分析法 典型环节的伯特图、极坐标图
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第5章 线性系统的频域分析法 Frequency-response analysis
应用频率特性研究线性系统的经典方法称为频域分析法。
频域分析法
频率特性及其表示法 典型环节的频率特性
稳定裕度和判据
频率特性指标
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6.数学基础是傅立叶变换。
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5.1频率特性的概念及其表示法 5.1.1 频率特性的基本概念
频率特性又称频率响应，指在正弦信号作用下输出的稳态响应； 它是系统（或元件）对不同频率正弦输入信号的响应特性。
2 1.5 1
2 5 4 3
0.5 0 -0.5 -1
线性系统
1 0 -1 -2 -3
( )
特点
纵坐标按线性分度 横坐标是角速率 按 lg 分度即对数分度单位为10倍 频程，用dec表示
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5.1.2 频率特性的表示方法
对数坐标系
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24
返回
5.1.2 频率特性的表示方法
对数坐标系
十倍频程
2 0 l g | G ( j ω ) | ( d B )
2013-12
A() G( j)
G ( j )
( )
百度文库
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5.1
频率特性的概念
R C uo
下面以R-C电路为例，说明频率特性 u i 的物理意义。图5-3所示电路的传递 函数为
U o ( s) 1 G( s) U i ( s) 1 RCs
图5-3 R-C电路
设输入电压 ui (t ) A sin(t ) 由复阻抗的概念求得
-1.5 -2
-4 -5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
特点：输出的振幅和相位一般均不同于输入量， 且随着输入信号频率的变化而变化，但在 t 时，输出仍为同频率的正弦函数。 2013-12
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5.1 频率特性的概念
不
设系统结构如图， 由劳斯判据知系统稳定。
40 40
给系统输入一个幅值不变频率不断增大的正弦， 曲线如下:
十倍频程 十倍频程 十倍频程
10 20 30 100
十倍频程
1
0.1
0.2 0.3
2
3
ω(rad/s)
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返回
5.1.2 频率特性的表示方法
倒置的坐标系
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26
返回
5.1.2 频率特性的表示方法
◆极坐标图(Polar plot)，也叫幅相频率特性曲线，其曲线 G ( j ) 可用幅值 G( j) 和相角 ( ) 的向量表示。
u(t ) 2 cos(20t 30)
Sinresponse2orderb.m
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0 -0.5 -1 -1.5 -2
y(t) u(t) 0 1 2 3 t/s 4 5
13
6
5.1
设系统的传递函数为
频率特性的概念
C ( s) U ( s) G( s) R( s ) V ( s)
U o ( j ) 1 1 (5-15) G( j ) U i ( j ) 1 RCj 1 Tj
G( j ) 1 1 T 2 2
G( j ) G( j ) e j ( )
( ) arctgT
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式中
T RC
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5.1
结论
Ar=1 ω=0.5
2013-12
给稳定的系统输入一个正弦，其稳态输出是与输入 同频率的正弦，幅值随ω而变，相角也是ω的函数。
ω=1
ω=2
ω=2.5
ω=4
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相角问题
AA ① 稳态输出 迟后于输入的 角度为： B φ= 360o A ②该角度与ω有 关系 , ∴为φ(ω) ③该角度与初始 角度无关 , ∴ …
p
j p
p
传递 函数

s
微分 方程
d dt
系统
频率 特性
s j
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三种模型间的关系，请同学们理解记忆
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5.1.2 频率特性的表示方法 (1)对数坐标图 (Bode diagram or logarithmic plot) (Polar plot) (Log-magnitude versus phase plot)
数学模型 领域 时域 t 复频域 S 复频域 S 频域 f
常微分方程
线性定常系统
传递函数 方框图 频率特性函数
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第5章 线性系统的频域分析法 Frequency-response analysis 特点
1.频率特性具有明确的物理意义，它可以用实验的 方法来确定，这对于难以列写微分方程式的元部件或 系统来说，具有重要的实际意义。 2.由于频域分析法主要通过开环频率特性的图形对 闭环系统进行分析，因而具有形象直观和计算量少的 特点，即图解分析法。
待定系数
n
c(t ) ae
a G( s)
jt
ae
jt
bi e pit
i 1
n
t 趋向于零 (5-4)
A A A ( s j ) G ( j ) ( s j ) G ( j ) s j s j ( s j )(s j ) 2j s2 2
10
B B
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5.1
设系统结构如图，
频率特性的概念
不 40
由劳斯判据知系统稳定。
给系统输入一个幅值不变频率不断增大的正弦， 曲线如下:
结论：
Ar=1 ω=0.5
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给稳定的系统输入一个正弦，其稳态输出是与输入
同频率的正弦，幅值随ω而变，相角也是ω的函数。
ω=1
ω=2
ω=2.5
ω=4

的函数
故它们分别被称为电路的幅频特性和相频特性。 所示频率特性的物理意义是：当一频率为 的正弦信号 加到电路的输入端后，在稳态时，电路的输出与输入之比； 或者说输出与输入的幅值之比和相位之差。
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5.1
频率特性的概念
电路的输出与输入的幅值之比
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(a) 幅频特性
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j G ( j )
(5-6)
j ( )
A()e
(5-7)
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5.1
频率特性的概念
e j e j sin 2j
j a( ) jb( ) G ( j ) j ( ) G( j ) G( j ) e A ( ) e c( ) jd ( ) (5-11) A( ) G( j ) 幅频特性 相频特性 ( ) G( j )
(2)极坐标图 (3)对数幅相图
(1)Bode图或伯德图或对数频率特性图 (2)Nyquist图或奈奎斯特图 (3)Nichols图或尼柯尔斯图
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5.1.2 频率特性的表示方法
◆对数频 对数幅频特性 20log G( j) dB G( j ) () 率特性图 相频特性
L( )
第5章 线性系统的频域分析法 Frequency-response analysis
本章重点
1.开环频率特性的绘制(包括极坐标图和对数坐标图)；
2. 乃奎斯特稳定性判据及其在Bode图中的应用；
3. 对数频率特性和闭环系统性能的关系；
4. 开环频率特性指标；
5. 闭环频率特性指标。
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第5章 线性系统的频域分析法 Frequency-response analysis
本章难点
• 开环频率特性的绘制；
• 乃奎斯特判据的原理及其应用；
• 剪切频率及相角、幅值裕度的求取；
• 二阶系统频率特性指标和时域指标的换算；
• 典型二型系统频、时域指标的定性关系。
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第5章 线性系统的频域分析法 Frequency-response analysis
已知输入 r (t ) A sin(t )
其拉氏变换 R( s )
A s2 2
A为常量，则系统输出为
U ( s) A U ( s) A C ( s ) G ( s ) R( s ) ( s p1 )(s p2 ) ( s pn ) s 2 2 V ( s) s 2 2
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第5章 线性系统的频域分析法 Frequency-response analysis
特点
3.频域分析法不仅适用于线性定常系统，而且还适用 于传递函数不是有理数的纯滞后系统和部分非线性系统 的分析。 4.工程实践性强，应用广泛。 5.抑制噪声好。
时域分析法的缺点： 1.高阶系统的分析难以 进行； 2.当系统某些元件的传 递函数难以列写时，整 个系统的分析工作将无 法进行。 7 3.物理意义欠缺。