大学物理学专业——力学期末复习

例题2、已知地球质量为M，半径为R，一质量为
m的火箭从地面上升到距地面高度为R处，求在
·· 此解dAA过法程一2RRf中: dG，如r M图地r 2m球Gdfr引Mr2m力GGd对MrMrmr火2m2R箭rRr 作的G 功M22Rm。R
r
mdr f
0 RM
解法二:
2

1m

s 1
m2 2
ax

dv x dt

dv x dx
dx dt

vx
dv x dx

1 2
x
ay

1 2
y
0vx
v x dv x

01
1xdx 2
v
2 x

1 (m 2

s1 )2
同理得:
v
2 y

1 (m 2

s1 )2
v
v
2 x

v
2 y

1(m s1)
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第三部分:刚体力学
一、刚体运动学
平动+转动
刚体： 形状和大小不变。 内部没有相对运动
平动： 固联在刚体上的任意一条直线在各 时刻的位置始终保持平行的运动。
任意一点的运动都可代表整体的平动， 通常用质心来代表。(按质点处理)
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转动：刚体上所有各点都绕一直线（转轴） 作圆周运动的运动。
力: F Fi
动量: p mv
(2)牛顿定律解题的基本思路：察明题意，
隔离物体，受力分析，列出方程（一般用分量
式），求解、讨论。
(3)力学中常见的几种力：
万有引力：F

G0
m1m2 r2
重力:
G
mM G0 R2

mg
弹力： F kx
摩擦力： （1）滑动磨擦力 fk k N
an R 2 1 22 4m s 2
a
a2

a
2 n

(2)2 42 2 5m s 2
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例3.如图一质点沿半径为R的圆周轨道逆时
针方向运动.分别用直角坐标,自然坐标,极坐标,
角量描述其运动方程.
y
解:1.直角坐标:
x

y

R cos R sin


c、惯性离心力 ：fi d、科里奥利力
m 2 R
fc

2mv



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(5)动量定理：物体在运动过程中所受合外力 的冲量，等于该物体动量的增量。
其中, 冲I合＝量t：t12 FIdttpt122Fdpt1,动量： p mv
(6)动量守恒定律：
2.自然坐标: s R
r t (x, y)
t 0
O
x
3.极坐标:
r R
(t)
4.角量描述: (t)
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第二部分:质点动力学：
一.牛(1顿) 运F动 三d定(m律v);动m量常及数其时守, 恒;F能量m及a 其守恒
dt

ri
ai ai ainn
vi Ri ain Ri 2
ai Ri ,
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b.刚体的平面平行运动：所有质点的运动平行 于某一平面(基面)。
基点： 在基面上所选择的点。
基轴： 通过基点垂直于基面的直线。
刚体的平面平行运动可以分解为刚体基
点(质心)的平动和绕过基点(质心)的基轴转动。
(12)机械能守恒定律：
条件: A外＋A非保守内力＝0 结果: Ek E p 常数
(13)碰撞： 弹性碰撞；非弹性碰撞；完全非弹性碰撞。
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a.恢复系数 : e v2 v10
碰前接近的相对速度
碰后分离的相对速度
v1 uuv020
u vv210u0v1v20
运动方程： (t)
速率 : v R,
角速度： d
dt 角加速度： d
dt
切向加速度：at

dv dt

R
法向加速度：an

v2 R

R 2
二.基本运动规律
(1)直线运动：x x(t)
v dx dt
a

dv dt

d2x dt 2
v (2)匀变速直线运动：x
,
e1
完全弹性碰撞(动能守恒)
e 0 完全非弹性碰撞(动能不守恒)
0 e 1 非完全弹性碰撞(动能不守恒)
b.克尼希定理
Ek

1 2
mvc2

1 2

i
mivi2
质心动能 相对动能
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例题1.已知：大f学物xi理—y力j 的学合复习外力作用在一质量
为2千克的物体上，物体开始时静止于原点0，求
求t=1s时质点的位置矢量;速度;加速度.
解:任意时刻t:
r

xi

yj

3ti

(2

t2
)j
v

dr

3i
2tj
a

2
jm

s 2
dt
加速度为常数
t=1s: r1 (3i j )m
v1

(3i

2 j )m s 1


i
Li
M 合外

dL dt
的角动量定理：
t2

M 合外dt L2 L1
t1

质点系的角动守恒定律：M合外＝0 ，则 L 恒矢量

M外z

dLz dt
M外z 0
称为质点系对z轴的角动量定理
则 Lz Liz 常数
i
称为质点系对轴的角动量守恒定律
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ay
ax
dv y dt
i ay j

d2y dt 2
;
azk az
dvz dt

d 2z dt 2
a
a
2 x

a
2 y

az2
(2)在自然坐标系中的描述
运动方程：s s(t)
速率：v ds
dt
速度 : v v
切向加速度： at

dv dt
法向加速度：
a

(r
r
2
)e r

(r
2r)e
横向加速度 a r 2r
径向加速度 ar r r2
4
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※平面直角坐标,自然坐标,极坐标的联系:
直角坐标系
x

y

x(t) y(t )
y
vx

dx ; dt
vy

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第一部分：质点运动学
一、基本概念(四个基本物理量)
位矢： 位移：
速度：
vrr(t)rr(dt()trrt()t) r(t)
加速度：a(t
)

dvdt dt
v(t
)

ddt2r2

r(t
)
(1)在直角坐标系中的描述
位置矢量： r
v2
an
a a ann
a a2 an2
3
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(3)极坐标 横向速度 径向速度
质点运动方程:
r r(t)
(t)
v

d
rrdet e
dr
redrt evr
e
vr er
横向速度 径向速度
v r vr r
（2）静摩擦力 f fs s N
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(4)非惯性系
a、非惯性系：相对惯性参照系作加速运动的参 照系。
b、式 惯平中 性动a力0加为f速i 非参惯考m性a系0系（ 相非对惯于 性系惯）性系中的的加惯速性度力. f fi ma
非惯性系中的牛顿第二定律的数学表达式形式相同。
物体移动到点 a(1,1) 时的速率。(SI)制
[解]
用动能定理求解 0a
f
dr

0a(
f xdx
f ydy)

1 mv 2 2
1 mv 2 2
※法二.
a01xdxf011ydxyi121x
21 0
yj

1 2
y2
1 0

1(J ) ax
故:v 1x

1 2
gt
2
三.相对运动： v v0 v a a0 a0
四.运动学两类问题:
（1） r(t) v(t) a(t) （2） a v(t) r(t)
，求导；
积分。
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例 1.已知质点在oxy 平面内运动,运动方程为: x 3t; y (2 t 2 ) (SI制)
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(9)功：
dA

F

dr
b
Aab

b

F

dr

a
Fxdx Fydy Fzdz
a
b
b
F cosdS F dS
(直角坐标系) (自然坐标系)
(10)能:
a
保守力的功：L
Fadr

0
a.机械能：E=Ek+Ep
动能：Ek 势能： E p
角位移和角速度与转轴无关，刚体上各 点具有共同的角速度。
刚体的定轴转动：有固定轴的转动。
(1).刚体定轴转动的运动学描述：
角位移 , 角速度 , 角加速度 .
d ,
dt 位置矢量ri ,


d
dt

d 2
dt 2
线速度vi , 线加速度ai .
vi



Ri


yc j
zck
mi xi
xc i m ,
xdm
mi yi
yc i m ,
ydm
mi zi
zc
i
m
zdm
xvccmimmmi;vyi cmPm
m ,
; zc m m
b.质心系(零动量系):质点系相对质心系的
总动量为零


c. 质心运动定理 F外 mac

v0 x0

at v0t

1 2
at
2
v2 v02 2a( x x0 )
6
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0 t
(3)匀变速圆周运动：
0
t

1 t2
2
2 02 2 ( 0 )
(4)抛物体运动
x v0 cost
y

v0
sint

xi

yj

zk
大小:r r x2 y2 z2 方向:用方向余弦表示.1
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x x(t)
运动方程： y y(t)
轨道方程:z f ( x, y)
位移：r

z z(t) xi yj

zk
大小: r x2 y2 z2
dy ; dt
速率：v vx2 v y2 自然坐标
o
速率：v ds
dt
速度 : v v
切向加速度： at

dv dt
法向加速度：
an

v2

p
r

x
极坐标
r r(t) x2 y2

ห้องสมุดไป่ตู้

(t )

arctan(
y
)

x
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(4)圆周运动角量描述：
万有引力势能:
E p
A保 (E p2 E p1) [(G
G mM
Mm
)

r
(G
Mm
)]
2R
R
Mm
G
2R
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二力质.矩点质：的点M角和 动质 r量点：系FL的(角对r 动O点p量) mr v (对O点)
质点系的角动量：L 质点系的对O点
瞬心rAp点r是c 瞬rA时c 速度v等A 于v零C 的点 。rACvA



rAp
圆柱;圆盘;球体做纯滚动的条件:
质心速度 : vc R
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二、刚体定轴转动动力学
刚体的转动惯量：I mi Ri2 m R2dm
a

2
jm

s 2
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解: d 2t 4
dt
d 2(rad s 1 )
dt
当t=1s时: v R R(2t 4) 1 (2 4) 2m s1
a R 1 (2) 2m s 2
1 2
mv
2
万有引力势能：
Ep

G0
Mm r
r 为零势能参考位置。 15
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重力势能：Ep mgh , h=0处为势能零点。
弹簧弹性势能：
Ep

1 2
kx2
以弹簧的自然长度为势能零点.即x为相对原长的变形量
保守力的功： A保＝－E p (EP2 E p1 ) (11)功能原理：A外力＋A非保守内力＝Ek E p E
一般: r r
速度：v dr dt
vxi vy j vzk
vx

dx ; dt
vy

dy ; dt
vz

dz dt
速率：v
v
x
2

v
2 y

vz2
2
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加速度：a dv
dt
ax

dv x dt

d2x dt 2
;
d 2r dt 2
条件： Fi 0
结论： miv 常矢量
分量：i Fix 0
mivix 常数
(7)质点的动能定理：合外力对质点做的功等
于质点动能的增量。
Aab

1 2
mv
2 b

1 2
mv
2 a
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(8)质心运动定理
a.质心:
rc

miri
i
m

xci