【名师一号】14-15高中数学(人教)选修4-1课件：第一讲《相似三角形判定及性质》小结
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人教版高中数学选修4-1《第一讲：相似三角形的判定》
对于任意两个三角形， 判定定理1： 两角对应相等，两三角形相似 判定定理2： 两边对应成比例且夹角相等， 两三角形相似 判定定理3： 三边对应成比例，两三角形 相似
A
图形
A 1
B
C B 1 C 1
A
D
E
对于直角三角形呢？
相似三角形的性质定理：
B
C
预习交流，探究总结 内容四：直角三角形的射影定理
1、直角三角形斜边上的高是 ______________________的比例中项； 两直角边在斜边上的射影 2、两直角边分别是它们在斜边上____ 射影与 ____ 斜边的比例中项。（射影，斜边）
AD:BD=2:1,BC=8.4cm。求(1)DE的长；(2) AG
AF
；(3)
你认为求解的关键是什么？ 求解的关键是利用平行DE//BC.
S ABC . S ADE
说题解题 巩固知识
【例３】已知：如图，△ABC 的高AD、BE交于点F．求证： （1）AD•BC=BE•AC；（2）AF•FD=BF•FE.
讨论作业：P9,2；P10,4 要求：小组讨论，理清思路，代表“说题” 作业：P19,7；P20,10 弹性作业： 复习指导P154 17.1几何证明选讲（一）
3、（2007湛江一模理）如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是BD的
中点，AE交BC于F，则 BF _____. 1:2
FC
D C F
E A
B
知识总结 1、三住平行这一关键，构造相似（全等）三角形 （或比例关系）； 2 ）（乘积→）比例关系→相似（全等）三角形 （或平行）。 3）线段长→三角形→相似（全等）三角形（相似 三角形→比例关系→线段长）。
【例5】如图，在△ABC 内任取一点 D ，连接AD 和 BD. 点 E 在△ABC外， ∠EBC=∠ABD，∠ECB=∠DAB．求证： △DBE∽△ABC.
A
图形
A 1
B
C B 1 C 1
A
D
E
对于直角三角形呢？
相似三角形的性质定理：
B
C
预习交流，探究总结 内容四：直角三角形的射影定理
1、直角三角形斜边上的高是 ______________________的比例中项； 两直角边在斜边上的射影 2、两直角边分别是它们在斜边上____ 射影与 ____ 斜边的比例中项。（射影，斜边）
AD:BD=2:1,BC=8.4cm。求(1)DE的长；(2) AG
AF
；(3)
你认为求解的关键是什么？ 求解的关键是利用平行DE//BC.
S ABC . S ADE
说题解题 巩固知识
【例３】已知：如图，△ABC 的高AD、BE交于点F．求证： （1）AD•BC=BE•AC；（2）AF•FD=BF•FE.
讨论作业：P9,2；P10,4 要求：小组讨论，理清思路，代表“说题” 作业：P19,7；P20,10 弹性作业： 复习指导P154 17.1几何证明选讲（一）
3、（2007湛江一模理）如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是BD的
中点，AE交BC于F，则 BF _____. 1:2
FC
D C F
E A
B
知识总结 1、三住平行这一关键，构造相似（全等）三角形 （或比例关系）； 2 ）（乘积→）比例关系→相似（全等）三角形 （或平行）。 3）线段长→三角形→相似（全等）三角形（相似 三角形→比例关系→线段长）。
【例5】如图，在△ABC 内任取一点 D ，连接AD 和 BD. 点 E 在△ABC外， ∠EBC=∠ABD，∠ECB=∠DAB．求证： △DBE∽△ABC.
1.3 第一课时 相似三角形的判定及性质 课件(人教A选修4-1)
证明：在正方形 ABCD 中， AD ∵Q 是 CD 的中点，∴QD＝2. BP BC ∵PC＝3，∴PC ＝4. CQ 又 BC＝2CQ，∴ CP ＝2. 在△ADQ 和△QCP 中， AD QC ， QD＝ PC ，∠C＝∠D＝90° ∴△ADQ∽△QCP.
[例 2]
如图，D 为△ABC 的边 AB 上一点，
判定两三角形相似，可按下面顺序进行：(1)有平
行截线，用预备定理；(2)有一对等角时，①找另一对
等角，②找夹这个角的两边对应成比例；(3)有两对应 边成比例时，①找夹角相等，②找第三边对应成比例， ③找一对直角．
1. 如图，在▱ABCD中，E、F分别在AD 与CB的延长线 上，请写出图中所有 的相似三角形．
证明：如图，连接 BD. AE AF ∵EB＝FD， ∴EF∥BD. BG DH 又∵GC＝HC，∴GH∥BD. ∴EF∥GH. ∴∠EFO＝∠HGO，∠OHG＝∠OEF. ∴△OEF∽△OHG.
3．已知，如图，在正方形ABCD中，P是 BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点． 求证：△ADQ∽△QCP.
解：∵AB∥CD， ∴△EDH∽△EAG，
△CHM∽△AGM，
△FBG∽△FCH. ∵AD∥BC， ∴△AEM∽△CFM， △AEG∽△BFG，
△EDH∽△FCH.
∴图中相似的三角形有： △AEM∽△CFM，△CHM∽△AGM， △EDH∽△EAG∽△FBG∽△FCH.
2．如图，在四边形 ABCD 中， AE AF BG DH EB＝FD，GC＝HC. 求证：△OEF∽△OHG.
解析：∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝F. AB BC AC 1 DE＝EF＝DF＝2.
答案：∠D ∠E ∠F DE BC DF 1 2
高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质单元整合课件新人教A版选修4-1
求证 :PQ=CF. 提示:利用相似三角形的性质,并结合 AP=AD 进行证明.
专题一
专题二
专题三
证明: ∵ AD,CF 是 △ABC 的两条高线, ∴ ∠ADB=∠ BFC.又 ∠B=∠B, ∴ △ABD ∽△ CBF.∴
������������ ������������
=
������������ . ������������
专题一
专题二
专题三
证明: ∵ PQ ∥BC,BC ∥AE,∴ PQ ∥AE. ∴ ∠ CPQ=∠ CEA,∠CQP= ∠CAE, ∴ △ CPQ∽△CEA. ∴ = 同理可得
������������ ������������ ������������ ������������ ������������ . ������������
=
������������ ������������ ,∴ ������������ ������������
=
������������ . ������������
而由题意知,AE=DE,∴ PQ=PB.
专题一
专题二
专题三
专题三 平行线分线段的规律性质
平行线分线段的相关定理即平行线等分线段定理、平行线分线段成比 例定理,其实质是揭示一组平行线在与其相交的直线上截得的线段所呈现 的规律;主要用来证明比例式成立,证明直线平行,计算线段的长度,也可以 作为计算某些图形的周长或面积的重要方法,其中,平行线等分线段定理是 线段的比为 1 的平行线分线段成比例定理的特例.
专题一
专题二
专题三
【例 1】 如图,已知△ABC 中,∠BAC=90° ,AD⊥BC 于点 D,E 是 AC 的
������������ ������������
【名师一号】14-15高中数学(人教)选修4-1课件：1-4直角三角形的射影定理
思考探究2 系？
射影定理中涉及了哪些线段、几组比例关
提示 射影定理中共涉及六条线段：直角三角形的两直角 边、斜边、斜边上的高，两直角边分别在斜边上的射影．三组 比例关系：斜边上高的平方等于两直角边分别在斜边上的射影 的乘积．两条直角边的平方，分别等于其在斜边上的射影与斜 边的乘积.
名师点拨 1.利用三角函数证明直角三角形的射影定理
5．射影定理的应用 (1)应用射影定理注意两个条件： 一是直角三角形，二是斜边上的高．在直角三角形的六条 线段中，应用勾股定理及射影定理，就可以从任意给出的两条 线中，求出其余四条线段的长度． (2)应用射影定理可求直角三角形的边长，面积等．还可 探究相似、比例等问题.
课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
AD AC 如图，在Rt△ABC和Rt△ACD中，cosA＝AC ＝AB， ∴AC2＝AD· AB. BD BC 在Rt△ABC与Rt△CBD中，cosB＝ ＝ ， BC AB ∴BC2＝BD· AB. 在Rt△ACD和Rt△CBD中，∠A＝∠BCD， ∴tanA＝tan∠BCD.
CD BD 即AD＝CD. ∴CD2＝AD· BD.
ห้องสมุดไป่ตู้
解析 由勾股定理知，BC2＝CD2＋BD2＝13. ∴BC＝ 13.由射影定理知，
2 BC 13 2 BC ＝BD· BA，∴AB＝ BD ＝ 3 .
52 2 13 ∴AC ＝AB －BC ＝ 9 ，∴AC＝ 3 .
2 2 2 2 AC 4 2 又AC ＝AD· AB，∴AD＝ ＝ . AB 3
答案
【证明】 ∵CD垂直平分AB， ∴△ACD和△BDE均为直角三角形，并且AD＝BD. 又∵DF⊥AC，DG⊥BE， ∴AF· AC＝AD2，BG· BE＝DB2. ∵AD2＝DB2.∴AF· AC＝BG· BE.
【名师一号】14-15高中数学(人教)选修4-1课件：1-3-2相似三角形的性质
一步可求得△A′B′C′各边的长．
【解】
∵∠C＝∠C′＝90° ，∠A＝∠A′，
∴△ABC∽△A′B′C′. 在Rt△ABC中，BC＝6，AC＝8， ∴AB＝ 62＋82＝10. ∴△ABC的周长为6＋8＋10＝24. A′B′ B′C′ A′C′ 72 ∴ ＝ ＝ ＝ ＝3. AB BC AC 24 ∴A′B′＝30，B′C′＝18，A′C′＝24.
规律技巧
由于线段FD、FB、FC在同一直线上，因此需
把FD转化出去(FD＝FA)，再证△CFA∽△AFB可解．
变式2
如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是中线，P为
AD上一点，过C作CF∥AB，延长BP交AC于E，交CF于F. 求证：BP2＝PE· PF. (提示：连接PC.)
证明 连接PC，∵AB＝AC，AD为中线，
第一讲 相似三角形的判定及有关性质
三
相似三角形的判定及性质
2
相似三角形的性质
课前预习目标
课堂互动探究
课前预习目标
梳理知识 夯实基础
学习目标 1.了解相似三角形性质定理的证明． 2．掌握相似三角形的性质定理，能应用相似三角形的性 质定理进行相关几何题的计算与证明． 3．能综合运用相似三角形的判定定理、性质定理进行相 关几何题的计算与证明.
2．相似三角形性质的几个注意点 (1)应注意两条高线、两条中线、两条角平分线一定是对 应边上的高线、中线、对应角的角平分线． (2)要求三角形的某边长，可根据相似三角形的性质，得 到对应线段成比例，再利用方程的思想，解出所求线段．
(3)解有关三角形或其他图形面积的题目时，常用到两个 1 知识点：一是三角形面积公式S＝ ×底×高，这里要特别注意 2 图形中“同高”这一隐含条件；二是相似三角形的面积比等于 相似比的平方．
选修4-1第一讲相似三角形的判断及有关性质 公开课一等奖课件
例 如图,在△ABC内任取一点D,连接AD和 BD.点E在△ABC外,∠EBC=∠ABD, ∠ECB=∠DAB.求证: △DBE∽△ABC.
分析: 好容易得出∠ABC=∠DBE BE BC 只需要再证明 BD AB BE BD 即证
BC AB
A D
只要证明△ABD∽△CBE
B
E
C
判定定理3
三条平行线截两条直线,所得 的 对应线段成比例. 平行于三角形一边的直线截其他两边 (或
两边的延长线)所得的对应线段成比例.
反比、合分比的性质 P7
三 相似三角形的判定及性质
1.相似三角形的定义
对应角相等，对应边成比例的两个三 角形叫做相似三角形.相似三角形对应 边的比值叫做相似比(或相似的系数).
(1)相似三角形对应高的比、对应中 线 的比和对应角平分线的比都等于 相似比；
(2)相似三角形周长的比等于相似比； (3)相似三角形面积的比等于相似比的 平方；
已知:梯形ABCD中 AD∥BC,AD=36cm, BC=60cm,延长两腰 BA,CD交于点 O,OF⊥BC,交AD于 E,EF=32cm,则 OF=_______. 80cm
判定定理2 对于任意两个三角形,如果一个三 角形的两边和另一个三角形的两边对 应成比例,并且夹角相等,那么这两个 三角形相似.
简述:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似
已知:如图,在△ABC和△ABC中,∠A=∠A, A' B ' A' C ' 求证: △ABC∽△ABC
AB AC
E
∴△ABC∽△ABC
C
例 如图,已知D、E、F分别是△ABC三边、 BC、CA、AB的中点. 求证：△DEF∽△ABC
高中数学新人教A版选修4-1课件：第一讲相似三角形的判定及有关性质本讲整合
提示:将 AM
=DM·EM 化为
=
, 只需证明△AMD∽△EMA
即可.
证明:∵∠BAC=90°,M是BC的中点,
∴AM=CM,∴∠MAC=∠C.
∵EM⊥BC,∴∠E+∠C=90°.
又∵∠BAM+∠MAC=90°,
∴∠E=∠BAM.
∵∠EMA=∠AMD,
∴△AMD∽△EMA.
=
专题三
证明:∵PQ ∥BC,BC ∥AE,∴ PQ ∥AE.
∴∠CPQ=∠CEA,∠CQP=∠CAE,
∴△CPQ∽△CEA.∴ = .
同理可得
∴
=
.
=
,
而由题意知,AE=DE,
∴PQ=PB.
专题归纳
高考体验
知识网络
专题一
专题二
专题归纳
高考体验
专题三
∴PE= 6.
答案: 6
知识网络
1
2
3
4
专题归纳
高考体验
5
5(课标全国高考)如图,D,E分别为△ABC边AB,AC的中点,直线DE交
△ABC的外接圆于F,G两点.若CF∥AB,证明:
(1)CD=BC;
(2)△BCD∽△GBD.
知识网络
1
2
3
4
专题归纳
5
证明:(1)如图,连接AF,因为D,E分别为AB,AC的中点,
故△BCD∽△GBD.
高考体验
EB=2AE,AC 与 DE 交于点 F,则
△的面积
=
△的面积
.
1.3 第一课时 相似三角形的判定及性质 课件(人教A选修4-1)
过 D 点作 DE∥BC，DF∥AC，AF 交 DE 于 G，BE 交 DF 于 H，连接 GH. 求证：GH∥AB. [思路点拨] GE EH 根据此图形的特点可先证比例式DE＝ EB 成
立，再证△EGH∽△EDB，由相似三角形的定义得∠EHG＝ ∠EBD 即可．
[证明] ∵DE∥BC， GE AG DG GE CF ∴FC ＝ AF＝ FB ，即DG＝FB. EH CF 又∵DF∥AC，∴HB＝FB. GE EH GE EH ∴DG＝HB.∴ED＝ EB . 又∠GEH＝∠DEB， ∴△EGH∽△EDB. ∴∠EHG＝∠EBD. ∴GH∥AB.
两角 三角形相似，简述为：
对应相等，两三角形相似．
(2)判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形
的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等， 那么这两个三角形相似，简述为： 两边 对应成比例且 夹角 相等，两三角形相似．
引理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所 得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形 第三边
证明：如图，连接 BD. AE AF ∵EB＝FD， ∴EF∥BD. BG DH 又∵GC＝HC，∴GH∥BD. ∴EF∥GH. ∴∠EFO＝∠HGO，∠OHG＝∠OEF. ∴△OEF∽△OHG.
3．已知，如图，在正方形ABCD中，P是 BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点． 求证：△ADQ∽△QCP.
证明：在正方形 ABCD 中， AD ∵Q 是 CD 的中点，∴QD＝2. BP BC ∵PC＝3，∴PC ＝4. CQ 又 BC＝2CQ，∴ CP ＝2. 在△ADQ 和△QCP 中， AD QC ， QD＝ PC ，∠C＝∠D＝90° ∴△ADQ∽△QCP.
[例 2]
人教版高中数学选修4-1第1讲 相似三角形的判定及有关性质 第1节ppt课件
证明： ∵DE⊥BC，∴∠BDE＝90°. ∵∠ACB＝90°，∴∠BDE＝∠ACB，
∴DE∥CA．
∵D是BC的中点，∴E是AB的中点， ∴AB＝2CE.
课堂学案
平行线等分线段定理的应用
• 求作任一线段AB的五等分点(尺寸自定)． • [思路点拨] 根据平行线等分线段定理，需要构造定
理的基本图形，进行作图，这里要注意平行线组要
第一 讲
相似三角形的判定 及有关性
•第一节 平行线等分线段定理
目标定位
• 1．由观察或测量得到关于平行线等分线段定理的猜 想，进而进行证明．
• 2．灵活掌握并运用平行线等分线段定理及其推论．
[特别关注]
• 1．对平行线等分线段定理及其推论的考查(重点)．
• 2．本课考查题目形式多样，侧重于有关计算与证明 (难点)
∴AF＝13AC．
平行线等分线段定理推论2的运用
• 如图所示，梯形ABCD中， AD∥BC，DC⊥BC，∠B＝60°， BC＝AB，E为AB的中点．
• 求证：△ECD为等边三角形．
[思路点拨] 证明AD∥EF∥BC ―推―论→2 F是DC中点 中―定垂 ―理→线
ED＝EC ―→ △ABC为等边三角形 ―→ △ECD为等边三角形
• [规律方法] 此类问题往往涉及平行线等分线段定理 的推论1的运用，寻找便于证明三角形中线段相等或 平行的条件，再结合三角形全等或相似的知识，达 到求解的结果．
2.如图，已知 AD 是三角形 ABC 的中线，E 为 AD 的中点， BE 的延长线交 AC 于 F.
求证：AF＝13AC．
证明： 过 D 作 DH∥BF 交 AC 于 H， ∵BD＝CD，DH∥BF，∴FH＝CH. 同理：AF＝FH. ∴AF＝FH＝CH，
∴DE∥CA．
∵D是BC的中点，∴E是AB的中点， ∴AB＝2CE.
课堂学案
平行线等分线段定理的应用
• 求作任一线段AB的五等分点(尺寸自定)． • [思路点拨] 根据平行线等分线段定理，需要构造定
理的基本图形，进行作图，这里要注意平行线组要
第一 讲
相似三角形的判定 及有关性
•第一节 平行线等分线段定理
目标定位
• 1．由观察或测量得到关于平行线等分线段定理的猜 想，进而进行证明．
• 2．灵活掌握并运用平行线等分线段定理及其推论．
[特别关注]
• 1．对平行线等分线段定理及其推论的考查(重点)．
• 2．本课考查题目形式多样，侧重于有关计算与证明 (难点)
∴AF＝13AC．
平行线等分线段定理推论2的运用
• 如图所示，梯形ABCD中， AD∥BC，DC⊥BC，∠B＝60°， BC＝AB，E为AB的中点．
• 求证：△ECD为等边三角形．
[思路点拨] 证明AD∥EF∥BC ―推―论→2 F是DC中点 中―定垂 ―理→线
ED＝EC ―→ △ABC为等边三角形 ―→ △ECD为等边三角形
• [规律方法] 此类问题往往涉及平行线等分线段定理 的推论1的运用，寻找便于证明三角形中线段相等或 平行的条件，再结合三角形全等或相似的知识，达 到求解的结果．
2.如图，已知 AD 是三角形 ABC 的中线，E 为 AD 的中点， BE 的延长线交 AC 于 F.
求证：AF＝13AC．
证明： 过 D 作 DH∥BF 交 AC 于 H， ∵BD＝CD，DH∥BF，∴FH＝CH. 同理：AF＝FH. ∴AF＝FH＝CH，
《相似三角形的判定》课件1(人教A版选修4-1)
例1：在△ABC和△A′B′C′中，已知：
(1)AB＝6 cm， BC＝8 cm，AC＝10 cm，
A′B′＝18 cm，B′C′＝24 cm，A′C′＝30 cm．
试判定△ABC与A′B′C′是否相15cm， AC＝24cm A’B’＝16cm，B’C’＝20cm，A’C’＝30cm
AB BC AC 如图已知 ， 试说明∠BAD=∠CAE. AD DE AE
AB BC AC 解 AD DE AE
∴Δ ABC∽Δ ADE B ∴∠BAC=∠DAE ∴∠BAC━∠DAC=∠DAE━∠DAC 即∠BAD=∠CAE
A E D
C
如图在正方形网格上有A1 B1C1和A2 B2C2， 它们相似吗？如果相似，求出相似比；如果 不相似，请说明理由。
答案是2:1
要作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形 的三边的长分别为4、5、6,另一个三角形框架的 一边长为2,怎样选料可使这两个三角形相似?这个 问题有其他答案吗?
①4:2=5:x=6:y ②4:x=5:2=6:y ③4:x=5:y=6:2
4
5
6
2
相似三角形的判定方法
平行于三角形一边的直线与其他两边
D
B` A
C`
E
因此DE=B`C`,EA=C`A`.
∴△ADE≌△A`B`C` ∴△A`B`C`∽△ABC
B C
A
A’
C
B
B’
C’
A' B' B' C' A' C' AB BC AC
△ABC∽△A’B’C’
如果一个三角形的三条边和另一个三角形的 三条边对应成比例,那么这两个三角形相似.
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平行于第三边，并且等于它的一半． 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．
2．平行线分线段成比例定理 (1)定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 推论1：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长 线)所得的对应线段成比例． 推论2：用平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截三角 形，所得的三角形三边与原三角形三边对应成比例．
5．直角三角形的射影定理 (1)射影的概念 从一点向一条直线作垂线，垂足称作这点在这条直线上的正 射影，简称射影． 一条线段在一条直线上的射影就是线段的两个端点在这条直 线上的射影间的线段．
(2)直角三角形的射影定理 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中 项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项.
所以y＝－5x2＋5x(0<x<1)．
【例2】 某房地产公司要在一块如下图所示的矩形ABCD 上，规划建造一个小区公园．(矩形GHCK)，为了使文物保护区不 受破坏．矩形公园的顶点G不能在文物保护区内，已知AB＝200 米，AD＝160米，AF＝40米，AE＝60米．
(1)当矩形小区公园的顶点G恰好是EF的中点时，求公园的面 积； (2)当G在EF上什么位置时，公园面积最大？
【例3】 如下图，四边形ABCD中，AC，BD交于O，过O作 AB的平行线，与AD，BC分别交于E，F，与CD的延长线交于K. 求证：KO2＝KE· KF.
【证明】
延长CK，BA相交于H.
KO DK ∵KO∥HB，∴HB ＝DH. KE DK KO KE ∴HA＝DH，∴ HB＝HA. KO HB 即 KE ＝HA. KO CK KF CK ∵KF∥HB， ＝ ， ＝ ， HA CH HB CH KO KF KF HB ∴ HA＝HB，即KO＝HA.
(3)相似三角形的判定定理 判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角 与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相 似．即：两角对应相等，两三角形相似． 判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和 另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三 角形相似．即：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．
规律技巧 本例通过相似三角形的对应边成比例，建立GH与 KG和MG的联系，从而确定矩形GHCK的面积与MG的函数关系， 利用二次函数的性质解决问题．
2．等价转换思想 在相似三角形中有很多相等的比例式或等积式，而所要解决 的问题常常是证明比例式或等积式，而两者的联系往往是通过等 价转化达到证明的目的．
第一讲
相似三角形的判定及有关性质
第一讲：小结
知识结构
基础知识归纳 1.平行线等分线段定理 (1)定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那 么在其他直线(与这组平行线相交)上截得的线段也相等． 推论1：经过三角形一边的中点且与另一边平行的直线必平分 第三边． 推论2：经过梯形一腰的中点且与底边平行的直线必平分另一 腰．
KO KF ∴ KE ＝KO. 即KO2＝KE· KF.
数学思想方法 1.函数与方程的思想 相似三角形中，存在着多种比值相等关系，利用这种相等关 系，可以构建函数模型，利用函数的性质解决问题，也可以将相 等关系转化为方程的形式，利用方程的思想把问题解决．
【例1】
如图，已知△ABC的面积为5，点M在AB边上移动
(点M与点A，B不重合)，MN∥BC，MN交AC于点N，连接BN.设 AM AB ＝x，S△MBN＝y.求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值 范围．
【解】 因为MN∥BC，所以△AMN∽△ABC， S△AMN AM2 S△AMN 2 所以 ＝ AB ，即 5 ＝x ，S△AMN＝5x2， S△ABC S△MBN BM AB－AM AB 1 因为 ＝AM＝ AM ＝AM－1＝x－1， S△AMN
1 1 所以S△MBN＝x－1S△AMN＝x－15x2＝－5x2＋5x.
判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边 和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相 似．即：三边对应成比例，两三角形相似．
(4)直角三角形相似的判定定理 定理1：如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们 相似． 定理2：如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么 它们相似． 定理3：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三 角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相 似．
(2)三角形内角平分线定理 三角形的内角平分线分对边所得的两条线段与这个角的两边 对应成比例．
3．相似三角形的判定 (1)相似三角形的概念 对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角 形．相似三角形对应边的比值称为相似比或相似系数． (2)预备定理 平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相 交，所构成的三角形与原三角形相似．
4．相似三角形的性质 性质1：相似三角形的对应角相等，对应边成比例． 性质2：相似三角形对应高的比、中线的比、角平分线的比和 它们的周长的比都等于相似比． 性质3：相似三角形面积的比等于相似比的平方． 性质4：相似三角形外接圆或内切圆的直径比、周长比等于相 似比，外接圆或内切圆的面积比等于相似比的平方．
【解】 延长HG，KG分别交AD，AB于M，N. 1 1 (1)当G是EF的中点时，MG＝ AE＝30米，GN＝ FA＝20米， 2 2 S矩形GHCK＝(160－20)×(200－30)＝23800(米2)
(2)设MG＝x，GH＝200－x，由△FMG∽△FAE知，FM FA ＝MG AE. 2 2 ∴FM＝3x，MA＝40－3x(0≤x≤60)． 2 2 2 40 ∴S矩形GHCK＝(200－x)(160－40＋3x)＝－3x ＋ 3 x＋24000. ∴当x＝10米时，矩形GHCK的面积最大，即点G在EF上距 AD10米处时，公园面积最大．
2．平行线分线段成比例定理 (1)定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 推论1：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长 线)所得的对应线段成比例． 推论2：用平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截三角 形，所得的三角形三边与原三角形三边对应成比例．
5．直角三角形的射影定理 (1)射影的概念 从一点向一条直线作垂线，垂足称作这点在这条直线上的正 射影，简称射影． 一条线段在一条直线上的射影就是线段的两个端点在这条直 线上的射影间的线段．
(2)直角三角形的射影定理 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中 项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项.
所以y＝－5x2＋5x(0<x<1)．
【例2】 某房地产公司要在一块如下图所示的矩形ABCD 上，规划建造一个小区公园．(矩形GHCK)，为了使文物保护区不 受破坏．矩形公园的顶点G不能在文物保护区内，已知AB＝200 米，AD＝160米，AF＝40米，AE＝60米．
(1)当矩形小区公园的顶点G恰好是EF的中点时，求公园的面 积； (2)当G在EF上什么位置时，公园面积最大？
【例3】 如下图，四边形ABCD中，AC，BD交于O，过O作 AB的平行线，与AD，BC分别交于E，F，与CD的延长线交于K. 求证：KO2＝KE· KF.
【证明】
延长CK，BA相交于H.
KO DK ∵KO∥HB，∴HB ＝DH. KE DK KO KE ∴HA＝DH，∴ HB＝HA. KO HB 即 KE ＝HA. KO CK KF CK ∵KF∥HB， ＝ ， ＝ ， HA CH HB CH KO KF KF HB ∴ HA＝HB，即KO＝HA.
(3)相似三角形的判定定理 判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角 与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相 似．即：两角对应相等，两三角形相似． 判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和 另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三 角形相似．即：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．
规律技巧 本例通过相似三角形的对应边成比例，建立GH与 KG和MG的联系，从而确定矩形GHCK的面积与MG的函数关系， 利用二次函数的性质解决问题．
2．等价转换思想 在相似三角形中有很多相等的比例式或等积式，而所要解决 的问题常常是证明比例式或等积式，而两者的联系往往是通过等 价转化达到证明的目的．
第一讲
相似三角形的判定及有关性质
第一讲：小结
知识结构
基础知识归纳 1.平行线等分线段定理 (1)定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那 么在其他直线(与这组平行线相交)上截得的线段也相等． 推论1：经过三角形一边的中点且与另一边平行的直线必平分 第三边． 推论2：经过梯形一腰的中点且与底边平行的直线必平分另一 腰．
KO KF ∴ KE ＝KO. 即KO2＝KE· KF.
数学思想方法 1.函数与方程的思想 相似三角形中，存在着多种比值相等关系，利用这种相等关 系，可以构建函数模型，利用函数的性质解决问题，也可以将相 等关系转化为方程的形式，利用方程的思想把问题解决．
【例1】
如图，已知△ABC的面积为5，点M在AB边上移动
(点M与点A，B不重合)，MN∥BC，MN交AC于点N，连接BN.设 AM AB ＝x，S△MBN＝y.求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值 范围．
【解】 因为MN∥BC，所以△AMN∽△ABC， S△AMN AM2 S△AMN 2 所以 ＝ AB ，即 5 ＝x ，S△AMN＝5x2， S△ABC S△MBN BM AB－AM AB 1 因为 ＝AM＝ AM ＝AM－1＝x－1， S△AMN
1 1 所以S△MBN＝x－1S△AMN＝x－15x2＝－5x2＋5x.
判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边 和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相 似．即：三边对应成比例，两三角形相似．
(4)直角三角形相似的判定定理 定理1：如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们 相似． 定理2：如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么 它们相似． 定理3：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三 角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相 似．
(2)三角形内角平分线定理 三角形的内角平分线分对边所得的两条线段与这个角的两边 对应成比例．
3．相似三角形的判定 (1)相似三角形的概念 对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角 形．相似三角形对应边的比值称为相似比或相似系数． (2)预备定理 平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相 交，所构成的三角形与原三角形相似．
4．相似三角形的性质 性质1：相似三角形的对应角相等，对应边成比例． 性质2：相似三角形对应高的比、中线的比、角平分线的比和 它们的周长的比都等于相似比． 性质3：相似三角形面积的比等于相似比的平方． 性质4：相似三角形外接圆或内切圆的直径比、周长比等于相 似比，外接圆或内切圆的面积比等于相似比的平方．
【解】 延长HG，KG分别交AD，AB于M，N. 1 1 (1)当G是EF的中点时，MG＝ AE＝30米，GN＝ FA＝20米， 2 2 S矩形GHCK＝(160－20)×(200－30)＝23800(米2)
(2)设MG＝x，GH＝200－x，由△FMG∽△FAE知，FM FA ＝MG AE. 2 2 ∴FM＝3x，MA＝40－3x(0≤x≤60)． 2 2 2 40 ∴S矩形GHCK＝(200－x)(160－40＋3x)＝－3x ＋ 3 x＋24000. ∴当x＝10米时，矩形GHCK的面积最大，即点G在EF上距 AD10米处时，公园面积最大．