【名师一号】14-15高中数学(人教)选修4-1课件：第一讲《相似三角形判定及性质》小结
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平行于第三边，并且等于它的一半． 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．
2．平行线分线段成比例定理 (1)定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 推论1：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长 线)所得的对应线段成比例． 推论2：用平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截三角 形，所得的三角形三边与原三角形三边对应成比例．
5．直角三角形的射影定理 (1)射影的概念 从一点向一条直线作垂线，垂足称作这点在这条直线上的正 射影，简称射影． 一条线段在一条直线上的射影就是线段的两个端点在这条直 线上的射影间的线段．
(2)直角三角形的射影定理 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中 项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项.
所以y＝－5x2＋5x(0<x<1)．
【例2】 某房地产公司要在一块如下图所示的矩形ABCD 上，规划建造一个小区公园．(矩形GHCK)，为了使文物保护区不 受破坏．矩形公园的顶点G不能在文物保护区内，已知AB＝200 米，AD＝160米，AF＝40米，AE＝60米．
(1)当矩形小区公园的顶点G恰好是EF的中点时，求公园的面 积； (2)当G在EF上什么位置时，公园面积最大？
【例3】 如下图，四边形ABCD中，AC，BD交于O，过O作 AB的平行线，与AD，BC分别交于E，F，与CD的延长线交于K. 求证：KO2＝KE· KF.
【证明】
延长CK，BA相交于H.
KO DK ∵KO∥HB，∴HB ＝DH. KE DK KO KE ∴HA＝DH，∴ HB＝HA. KO HB 即 KE ＝HA. KO CK KF CK ∵KF∥HB， ＝ ， ＝ ， HA CH HB CH KO KF KF HB ∴ HA＝HB，即KO＝HA.
(3)相似三角形的判定定理 判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角 与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相 似．即：两角对应相等，两三角形相似． 判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和 另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三 角形相似．即：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．
规律技巧 本例通过相似三角形的对应边成比例，建立GH与 KG和MG的联系，从而确定矩形GHCK的面积与MG的函数关系， 利用二次函数的性质解决问题．
2．等价转换思想 在相似三角形中有很多相等的比例式或等积式，而所要解决 的问题常常是证明比例式或等积式，而两者的联系往往是通过等 价转化达到证明的目的．
第一讲
相似三角形的判定及有关性质
第一讲：小结
知识结构
基础知识归纳 1.平行线等分线段定理 (1)定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那 么在其他直线(与这组平行线相交)上截得的线段也相等． 推论1：经过三角形一边的中点且与另一边平行的直线必平分 第三边． 推论2：经过梯形一腰的中点且与底边平行的直线必平分另一 腰．
KO KF ∴ KE ＝KO. 即KO2＝KE· KF.
数学思想方法 1.函数与方程的思想 相似三角形中，存在着多种比值相等关系，利用这种相等关 系，可以构建函数模型，利用函数的性质解决问题，也可以将相 等关系转化为方程的形式，利用方程的思想把问题解决．
【例1】
如图，已知△ABC的面积为5，点M在AB边上移动
(点M与点A，B不重合)，MN∥BC，MN交AC于点N，连接BN.设 AM AB ＝x，S△MBN＝y.求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值 范围．
【解】 因为MN∥BC，所以△AMN∽△ABC， S△AMN AM2 S△AMN 2 所以 ＝ AB ，即 5 ＝x ，S△AMN＝5x2， S△ABC S△MBN BM AB－AM AB 1 因为 ＝AM＝ AM ＝AM－1＝x－1， S△AMN
1 1 所以S△MBN＝x－1S△AMN＝x－15x2＝－5x2＋5x.
判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边 和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相 似．即：三边对应成比例，两三角形相似．
(4)直角三角形相似的判定定理 定理1：如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们 相似． 定理2：如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么 它们相似． 定理3：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三 角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相 似．
(2)三角形内角平分线定理 三角形的内角平分线分对边所得的两条线段与这个角的两边 对应成比例．
3．相似三角形的判定 (1)相似三角形的概念 对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角 形．相似三角形对应边的比值称为相似比或相似系数． (2)预备定理 平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相 交，所构成的三角形与原三角形相似．
4．相似三角形的性质 性质1：相似三角形的对应角相等，对应边成比例． 性质2：相似三角形对应高的比、中线的比、角平分线的比和 它们的周长的比都等于相似比． 性质3：相似三角形面积的比等于相似比的平方． 性质4：相似三角形外接圆或内切圆的直径比、周长比等于相 似比，外接圆或内切圆的面积比等于相似比的平方．
【解】 延长HG，KG分别交AD，AB于M，N. 1 1 (1)当G是EF的中点时，MG＝ AE＝30米，GN＝ FA＝20米， 2 2 S矩形GHCK＝(160－20)×(200－30)＝23800(米2)
(2)设MG＝x，GH＝200－x，由△FMG∽△FAE知，FM FA ＝MG AE. 2 2 ∴FM＝3x，MA＝40－3x(0≤x≤60)． 2 2 2 40 ∴S矩形GHCK＝(200－x)(160－40＋3x)＝－3x ＋ 3 x＋24000. ∴当x＝10米时，矩形GHCK的面积最大，即点G在EF上距 AD10米处时，公园面积最大．
2．平行线分线段成比例定理 (1)定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 推论1：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长 线)所得的对应线段成比例． 推论2：用平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截三角 形，所得的三角形三边与原三角形三边对应成比例．
5．直角三角形的射影定理 (1)射影的概念 从一点向一条直线作垂线，垂足称作这点在这条直线上的正 射影，简称射影． 一条线段在一条直线上的射影就是线段的两个端点在这条直 线上的射影间的线段．
(2)直角三角形的射影定理 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中 项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项.
所以y＝－5x2＋5x(0<x<1)．
【例2】 某房地产公司要在一块如下图所示的矩形ABCD 上，规划建造一个小区公园．(矩形GHCK)，为了使文物保护区不 受破坏．矩形公园的顶点G不能在文物保护区内，已知AB＝200 米，AD＝160米，AF＝40米，AE＝60米．
(1)当矩形小区公园的顶点G恰好是EF的中点时，求公园的面 积； (2)当G在EF上什么位置时，公园面积最大？
【例3】 如下图，四边形ABCD中，AC，BD交于O，过O作 AB的平行线，与AD，BC分别交于E，F，与CD的延长线交于K. 求证：KO2＝KE· KF.
【证明】
延长CK，BA相交于H.
KO DK ∵KO∥HB，∴HB ＝DH. KE DK KO KE ∴HA＝DH，∴ HB＝HA. KO HB 即 KE ＝HA. KO CK KF CK ∵KF∥HB， ＝ ， ＝ ， HA CH HB CH KO KF KF HB ∴ HA＝HB，即KO＝HA.
(3)相似三角形的判定定理 判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角 与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相 似．即：两角对应相等，两三角形相似． 判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和 另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三 角形相似．即：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．
规律技巧 本例通过相似三角形的对应边成比例，建立GH与 KG和MG的联系，从而确定矩形GHCK的面积与MG的函数关系， 利用二次函数的性质解决问题．
2．等价转换思想 在相似三角形中有很多相等的比例式或等积式，而所要解决 的问题常常是证明比例式或等积式，而两者的联系往往是通过等 价转化达到证明的目的．
第一讲
相似三角形的判定及有关性质
第一讲：小结
知识结构
基础知识归纳 1.平行线等分线段定理 (1)定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那 么在其他直线(与这组平行线相交)上截得的线段也相等． 推论1：经过三角形一边的中点且与另一边平行的直线必平分 第三边． 推论2：经过梯形一腰的中点且与底边平行的直线必平分另一 腰．
KO KF ∴ KE ＝KO. 即KO2＝KE· KF.
数学思想方法 1.函数与方程的思想 相似三角形中，存在着多种比值相等关系，利用这种相等关 系，可以构建函数模型，利用函数的性质解决问题，也可以将相 等关系转化为方程的形式，利用方程的思想把问题解决．
【例1】
如图，已知△ABC的面积为5，点M在AB边上移动
(点M与点A，B不重合)，MN∥BC，MN交AC于点N，连接BN.设 AM AB ＝x，S△MBN＝y.求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值 范围．
【解】 因为MN∥BC，所以△AMN∽△ABC， S△AMN AM2 S△AMN 2 所以 ＝ AB ，即 5 ＝x ，S△AMN＝5x2， S△ABC S△MBN BM AB－AM AB 1 因为 ＝AM＝ AM ＝AM－1＝x－1， S△AMN
1 1 所以S△MBN＝x－1S△AMN＝x－15x2＝－5x2＋5x.
判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边 和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相 似．即：三边对应成比例，两三角形相似．
(4)直角三角形相似的判定定理 定理1：如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们 相似． 定理2：如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么 它们相似． 定理3：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三 角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相 似．
(2)三角形内角平分线定理 三角形的内角平分线分对边所得的两条线段与这个角的两边 对应成比例．
3．相似三角形的判定 (1)相似三角形的概念 对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角 形．相似三角形对应边的比值称为相似比或相似系数． (2)预备定理 平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相 交，所构成的三角形与原三角形相似．
4．相似三角形的性质 性质1：相似三角形的对应角相等，对应边成比例． 性质2：相似三角形对应高的比、中线的比、角平分线的比和 它们的周长的比都等于相似比． 性质3：相似三角形面积的比等于相似比的平方． 性质4：相似三角形外接圆或内切圆的直径比、周长比等于相 似比，外接圆或内切圆的面积比等于相似比的平方．
【解】 延长HG，KG分别交AD，AB于M，N. 1 1 (1)当G是EF的中点时，MG＝ AE＝30米，GN＝ FA＝20米， 2 2 S矩形GHCK＝(160－20)×(200－30)＝23800(米2)
(2)设MG＝x，GH＝200－x，由△FMG∽△FAE知，FM FA ＝MG AE. 2 2 ∴FM＝3x，MA＝40－3x(0≤x≤60)． 2 2 2 40 ∴S矩形GHCK＝(200－x)(160－40＋3x)＝－3x ＋ 3 x＋24000. ∴当x＝10米时，矩形GHCK的面积最大，即点G在EF上距 AD10米处时，公园面积最大．