由一道题引发的思考
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解一教学
■旺匝圜珊 主； ；： ；”
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由 一 道 题 引 发 的 思 考
周 未 艾 （ 寿 县 龙 池 实 验 中 学 湖 南 常 德 ４１ ９ ０ 汉 ０） ５
在高二“ 不等式的证明” 这节 内容 中有这样一道 题 ： 已知ａｂ ｃ ＡＡ Ｃ ， ，是 Ｂ 的三条边 ， 比较 大小 ：
证 明 ： 为 ａｂ Ｃ ＆Ａ 的 三 边 ， 以 ｌ ｂ＜ ， — 因 ， ，为 ＢＣ 所 ａ Ｉ Ｉ — ｃｂ
ｃ ａ ｌ ｃ ｂ 所 以 （－ ） ｃ，ｂ ｃ２ ，ａｃ ６ ｌ ，—ｌ ， ＜ ａ ＜ ａ ｂ （－ ） ＜ ＜ （－ ） ＜
＝
（一 Ｃ＋ ｃ ａ ２ｂ＋ ｃ ｂ） ａ ０ ｂ） ２（ — ）－ ２（ — ２ ２ 一 ＿
（－ — ＋ （ －— ＋ （— — ） ａ ｂ Ｃ）６ ｂ ａ Ｃ）ｃ ｃ ｂ ａ ．
１ Ｊ ｊ ＋＋ ｆ １ １ １ ……ｂ ＋ ＿ Ｉ １ ｆ ｃ
＝
因 为 ａｂＣ ＡＡ Ｃ 边 ，一 — ＜ ，－－ ＜ ，— 一 ＜ ，，为 Ｂ三 。ｂ ｃＯ ｂ 。Ｉ ０Ｃ ｂ 。 ｃ
又 因为 ａｂ ｃ △Ａ Ｃ ， ，为 Ｂ 的三 边 ， 所 以ａ ｂ ｃ Ｏ ０ ｂ ｃ ＯＣ ａ ｂ ０Ｃ ａ ｂ Ｏ Ｃ ｂ ０ — ＋ ＞ ，一 — ＜ ，— ＋ ＞ ，— — ＜ ，— ＋ ＞
０． — — ＜ ． ｃｂａＯ
题 目证明完成后 ， 进一步引申， 可以得到下面的命题 ： 已知ａｂ ｃ ＡＡ Ｃ ， ，为 Ｂ 的三边 ， 求证关 于 的不等式 ＋
将 这 道 题 稍微 变形 ， 是 ： 就
在讨论题 目的证 明过程 中 ， 的学生想 到了这样 的 有 证 明方法 ：
证 法 四 ： 为 ａｂ Ｃ △Ａ Ｃ 三 边 ， 以 ａ ｂ ｃｂ 因 ， ，为 Ｂ 的 所 — （ ，—
设ａｂｃ ，，为ＡＡ Ｃ Ｂ 的三边 ， ：２ ２ （ｂｂ ＋ａ． 求证 ａ ｂ ＜ ａ＋ ｃｃ ） ＋ ２ 对于此题 ， 紧紧围绕三角形 的边 的特 征 ， 据不 同 依 得 到不同的证法 ， 并且依据 已经 证明 的结 论 ， 还可 以进
行 引 申．
１常 规 思 维 法 ．
＜， ＜。 ａｂ （－ ） ＜ ＜ （－ ） ＜ 的思维 、 同的入 口， 不 结合不 等式 证明的不同方 法 ， 以 ｃ ａ ｃ ６ 所 以 （－ ） ｃ，ｂ ｃ ，ａ ｃ ｂ 可
上述 三个 不等式相加得 ：
（ — ） （ － ） （ — ） ａБайду номын сангаасｂ＋ ａ ｂ ｂ ｃ ａ ｃ ２ ｃ， ＋ ＋ ＜ ＋ 即 ＋ ｃ ２ ＋ ｃ ｃ ） ６＋ （ ６ ＋ ０ ． ＜
ｂ ｃ ９４ ｏ ＋ ｃｃ ） １ ， 以 （＋ ＋ ） ４ ａ＋ ｃ ｃ ） ＋ ） ， （ ｂ ＋ａ ＝ ２ 所 ＝ ｈ ａ ｂ ｃ （ｂ ｂ ＋ａ ． ＜
＝ （ ＋ ） ６ ０ ｃ ＋ （ ＋ ） ａ ｂ＋ ０ ｂｃ ＋ （＋ ）ｃａ ｂ ＞ ２ ｃ， ＋ 所 以ａ＋ ２ｃ ２ ｏ ＋ ｃ ｃ ） ２ｂ＋ ２ （ ｂ ＋ ａ ． ＜ ｈ
（ ６ ｃ） 叶 ＋ ４ ｏ ｂ ＋ ａ． （ｈ＋ ｃ ｃ ）
ａ ｂ ｃ ＞ ２ｂ ａ ｃ ＞ ２Ｃ ａ ｂ ＞ （ ＋ ） ａ ． （ ＋ ） ６ ，（ ＋ ） ｃ
因为 ２ ｏ ＋ ｃｃ ） （ｈ ｂ ＋ａ
＝ ｈ＋ ＋ ｃ ６ ＋ ｃ ｃ ｏ ｃ ６ ＋ ０ ６ ＋
这 道 题 的 解 答 可 以用 特 殊 值 法． ａ ｂ ｃ １得 （＋ 取 ＝ ＝ ＝ ， ｏ
＝
（ ６ ｃ （ ６ ） （川 ＋ ）ｃ ６ ＋ ｃ ６ ０ （— — ） ＋ ） ＋ｃ ６ （一 ）（＿ ＋ ） ｂ ａ． ｃ
上述三个 同向不等式相加得
（ — ） （ － ） （ 一 ） ａ ｂ＋ ａ ｂ ｂ ｃ ０ ｃ ２ ｃ． ＋ ＋ ＜ ＋ 即 ＋ ｃ＜ （ ｂ ｂ ＋ ａ ． ６ ２ ａ ＋ ｃ ｃ ） ＋
（＋ ＋ ）＋ ＋ ＋ｃ ０ 解 集 为 Ｒ ａ ｂ ｃ ６＞ 的 证 法 一 ： 为ａ ｂ ｃ ＡＡ Ｃ 三边 ， 因 ，，为 Ｂ 的
＋ ａ ｂ ｃ）＋ ｂ ｃ ６ （ ＋ ＋ ｘ ａ ＋ ＋
：
所 以 （ ６ ） ＿ ＿ ） （ ＋ ） — ＿ ） （＿ ＋ ）ｃ ６ ０ （ ６ ｃ ＋ ｃ ６ （ 。 ６ ＋ ｃ ６ Ⅱ （＿ ＿ ） ｃ ｃ
，
Ｅ ａ＋ ２ｃ ２ ａ ＋ ｃ ｃ ） ｌ２ｂ＋ （ｂ ｂ ＋ ａ ． ｌ ＜
利用不 同的组合 ， 然后利用求 差比较法 可以得到 ：
证 法 二 ： 为 ＋ ｃ一 （ｈ ｂ ＋ａ 因 ６＋ ２ ｏ ＋ｃ ｃ ）
＝
．
（ 一 ０） （ ａ — ｃ） ｃ－ ｃ ｏ ） ０一 ｃ ＋ ｂ－ ｂ ｂ ＋（２ ｂ — ． ２ ｃ
不 等 式 的 证 明最 基 本 的方 法 就 是求 差 比较 法 ， 于 基 此 ， 如 下 的解 法 ． 有 证 法 一 ： 为ａ ６＋ ２ （ｂ ｂ ＋ａ 因 ｃ＿ ａ ＋ｃ ｃ ） ＋ ２
＝ ａ２
－
这种证 明简明扼要 ，说 明学 生 的思维 是非常敏捷
的 ，只 是 在 三 角 形 中 由ａ ｂ ｃｂ ｃ ａ ０ ｃ ｂ 一 定 推 出 — ＜ ，－ ＜ ，一 ＜ 就
（一 ） ｃ，ｂ ｃ ａ，０ ） ６的推理不严谨 ， ０ ｂ （ － ） ２（ ＜ ＜ ＜ 师生共 同
改进 证 明 方法 可 以 得 到 下列 完整 证 法 ．
２ ｂ＋ ＋ ０ ＋０＋ｃ—２ ｃ＋ ２ ２ ｃ ａ ｂ２ｃ —２ ｃ ｂ ｂ 一ａ一ｂ －
＝
（ 一 （ — ）＋ ｃ ｂ）－ ２ｂ－ ０ ｂ） ｃ ａ （ — ２ａ一 ２ｃ ＋
■旺匝圜珊 主； ；： ；”
维普资讯
由 一 道 题 引 发 的 思 考
周 未 艾 （ 寿 县 龙 池 实 验 中 学 湖 南 常 德 ４１ ９ ０ 汉 ０） ５
在高二“ 不等式的证明” 这节 内容 中有这样一道 题 ： 已知ａｂ ｃ ＡＡ Ｃ ， ，是 Ｂ 的三条边 ， 比较 大小 ：
证 明 ： 为 ａｂ Ｃ ＆Ａ 的 三 边 ， 以 ｌ ｂ＜ ， — 因 ， ，为 ＢＣ 所 ａ Ｉ Ｉ — ｃｂ
ｃ ａ ｌ ｃ ｂ 所 以 （－ ） ｃ，ｂ ｃ２ ，ａｃ ６ ｌ ，—ｌ ， ＜ ａ ＜ ａ ｂ （－ ） ＜ ＜ （－ ） ＜
＝
（一 Ｃ＋ ｃ ａ ２ｂ＋ ｃ ｂ） ａ ０ ｂ） ２（ — ）－ ２（ — ２ ２ 一 ＿
（－ — ＋ （ －— ＋ （— — ） ａ ｂ Ｃ）６ ｂ ａ Ｃ）ｃ ｃ ｂ ａ ．
１ Ｊ ｊ ＋＋ ｆ １ １ １ ……ｂ ＋ ＿ Ｉ １ ｆ ｃ
＝
因 为 ａｂＣ ＡＡ Ｃ 边 ，一 — ＜ ，－－ ＜ ，— 一 ＜ ，，为 Ｂ三 。ｂ ｃＯ ｂ 。Ｉ ０Ｃ ｂ 。 ｃ
又 因为 ａｂ ｃ △Ａ Ｃ ， ，为 Ｂ 的三 边 ， 所 以ａ ｂ ｃ Ｏ ０ ｂ ｃ ＯＣ ａ ｂ ０Ｃ ａ ｂ Ｏ Ｃ ｂ ０ — ＋ ＞ ，一 — ＜ ，— ＋ ＞ ，— — ＜ ，— ＋ ＞
０． — — ＜ ． ｃｂａＯ
题 目证明完成后 ， 进一步引申， 可以得到下面的命题 ： 已知ａｂ ｃ ＡＡ Ｃ ， ，为 Ｂ 的三边 ， 求证关 于 的不等式 ＋
将 这 道 题 稍微 变形 ， 是 ： 就
在讨论题 目的证 明过程 中 ， 的学生想 到了这样 的 有 证 明方法 ：
证 法 四 ： 为 ａｂ Ｃ △Ａ Ｃ 三 边 ， 以 ａ ｂ ｃｂ 因 ， ，为 Ｂ 的 所 — （ ，—
设ａｂｃ ，，为ＡＡ Ｃ Ｂ 的三边 ， ：２ ２ （ｂｂ ＋ａ． 求证 ａ ｂ ＜ ａ＋ ｃｃ ） ＋ ２ 对于此题 ， 紧紧围绕三角形 的边 的特 征 ， 据不 同 依 得 到不同的证法 ， 并且依据 已经 证明 的结 论 ， 还可 以进
行 引 申．
１常 规 思 维 法 ．
＜， ＜。 ａｂ （－ ） ＜ ＜ （－ ） ＜ 的思维 、 同的入 口， 不 结合不 等式 证明的不同方 法 ， 以 ｃ ａ ｃ ６ 所 以 （－ ） ｃ，ｂ ｃ ，ａ ｃ ｂ 可
上述 三个 不等式相加得 ：
（ — ） （ － ） （ — ） ａБайду номын сангаасｂ＋ ａ ｂ ｂ ｃ ａ ｃ ２ ｃ， ＋ ＋ ＜ ＋ 即 ＋ ｃ ２ ＋ ｃ ｃ ） ６＋ （ ６ ＋ ０ ． ＜
ｂ ｃ ９４ ｏ ＋ ｃｃ ） １ ， 以 （＋ ＋ ） ４ ａ＋ ｃ ｃ ） ＋ ） ， （ ｂ ＋ａ ＝ ２ 所 ＝ ｈ ａ ｂ ｃ （ｂ ｂ ＋ａ ． ＜
＝ （ ＋ ） ６ ０ ｃ ＋ （ ＋ ） ａ ｂ＋ ０ ｂｃ ＋ （＋ ）ｃａ ｂ ＞ ２ ｃ， ＋ 所 以ａ＋ ２ｃ ２ ｏ ＋ ｃ ｃ ） ２ｂ＋ ２ （ ｂ ＋ ａ ． ＜ ｈ
（ ６ ｃ） 叶 ＋ ４ ｏ ｂ ＋ ａ． （ｈ＋ ｃ ｃ ）
ａ ｂ ｃ ＞ ２ｂ ａ ｃ ＞ ２Ｃ ａ ｂ ＞ （ ＋ ） ａ ． （ ＋ ） ６ ，（ ＋ ） ｃ
因为 ２ ｏ ＋ ｃｃ ） （ｈ ｂ ＋ａ
＝ ｈ＋ ＋ ｃ ６ ＋ ｃ ｃ ｏ ｃ ６ ＋ ０ ６ ＋
这 道 题 的 解 答 可 以用 特 殊 值 法． ａ ｂ ｃ １得 （＋ 取 ＝ ＝ ＝ ， ｏ
＝
（ ６ ｃ （ ６ ） （川 ＋ ）ｃ ６ ＋ ｃ ６ ０ （— — ） ＋ ） ＋ｃ ６ （一 ）（＿ ＋ ） ｂ ａ． ｃ
上述三个 同向不等式相加得
（ — ） （ － ） （ 一 ） ａ ｂ＋ ａ ｂ ｂ ｃ ０ ｃ ２ ｃ． ＋ ＋ ＜ ＋ 即 ＋ ｃ＜ （ ｂ ｂ ＋ ａ ． ６ ２ ａ ＋ ｃ ｃ ） ＋
（＋ ＋ ）＋ ＋ ＋ｃ ０ 解 集 为 Ｒ ａ ｂ ｃ ６＞ 的 证 法 一 ： 为ａ ｂ ｃ ＡＡ Ｃ 三边 ， 因 ，，为 Ｂ 的
＋ ａ ｂ ｃ）＋ ｂ ｃ ６ （ ＋ ＋ ｘ ａ ＋ ＋
：
所 以 （ ６ ） ＿ ＿ ） （ ＋ ） — ＿ ） （＿ ＋ ）ｃ ６ ０ （ ６ ｃ ＋ ｃ ６ （ 。 ６ ＋ ｃ ６ Ⅱ （＿ ＿ ） ｃ ｃ
，
Ｅ ａ＋ ２ｃ ２ ａ ＋ ｃ ｃ ） ｌ２ｂ＋ （ｂ ｂ ＋ ａ ． ｌ ＜
利用不 同的组合 ， 然后利用求 差比较法 可以得到 ：
证 法 二 ： 为 ＋ ｃ一 （ｈ ｂ ＋ａ 因 ６＋ ２ ｏ ＋ｃ ｃ ）
＝
．
（ 一 ０） （ ａ — ｃ） ｃ－ ｃ ｏ ） ０一 ｃ ＋ ｂ－ ｂ ｂ ＋（２ ｂ — ． ２ ｃ
不 等 式 的 证 明最 基 本 的方 法 就 是求 差 比较 法 ， 于 基 此 ， 如 下 的解 法 ． 有 证 法 一 ： 为ａ ６＋ ２ （ｂ ｂ ＋ａ 因 ｃ＿ ａ ＋ｃ ｃ ） ＋ ２
＝ ａ２
－
这种证 明简明扼要 ，说 明学 生 的思维 是非常敏捷
的 ，只 是 在 三 角 形 中 由ａ ｂ ｃｂ ｃ ａ ０ ｃ ｂ 一 定 推 出 — ＜ ，－ ＜ ，一 ＜ 就
（一 ） ｃ，ｂ ｃ ａ，０ ） ６的推理不严谨 ， ０ ｂ （ － ） ２（ ＜ ＜ ＜ 师生共 同
改进 证 明 方法 可 以 得 到 下列 完整 证 法 ．
２ ｂ＋ ＋ ０ ＋０＋ｃ—２ ｃ＋ ２ ２ ｃ ａ ｂ２ｃ —２ ｃ ｂ ｂ 一ａ一ｂ －
＝
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