第六章玻耳兹曼统计ppt

本节根据玻耳兹曼分布推导热力学量的统计表 达式。要解决的问题：宏观量（如：热力学基 本函数）与玻耳兹曼分布的联系。我们根据宏 观量是微观量的统计平均值去寻找联系。
一、内能的统计表达式
内能是系统中粒子无规则运动总能量的统计平 均值
遵从玻耳兹曼分布的系统的内能为
U al l
l
l
l
lel
e l
e l l
本式求和在粒子的能级和简并度知道后就能计算
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§6.1 热力学量的统计表达式
为了方便，引入粒子配分函数Z1
Z1
e l l
l
由条N 约件 束为e的另 一l条e件l 知e，粒Z 1子配分函数满足的 l
即 NeZ1 本式给出N和Z1的关系
Ue() l
le l
N Z1
TT
上式说明1/T是đQ的一个积分因子，可以证明β
也是đQ的一个积分因子。即 dQ(dU Yd ) y
能写成一个完整微分式。写出该完整微分与上式 比较可得到熵。
可以证明 (dU Y)d N y ldn Z 1 ln Z 1
上式是完整微分式，说明β也是đQ的积分因子
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§6.1 热力学量的统计表达式
由于熵与系统的微观状态数有关，所以对于即使满 足经典极限条件的玻色（费米）系统，若 Skln 仍然成立，则系统的微观状态数应换为 M.B. N!
SN lkn Z 1 ln Z 1 kln N !
SklnklnM.B
N!
四、玻耳兹曼统计统计公式的使用方法 如果求得配分函数Z1，可以求得基本热力学函数内能、 物态方程和熵，从而确定系统的全部平衡性质。
§6.1 热力学量的统计表达式
根据微分方程关于积分因子的理论，取 1
kT
上考虑式到中两k应个是互熵为S热的平函衡数的。系下统面合说起明来其总实能k与量熵守S恒无，关
这两个系统必有一个共同的β因子（习题6.5），正 好与互为热平衡的系统温度相同一致。所以，β只
能是温度的函数，不可能与熵有关 。 上式中k应是常数。称为玻耳兹曼常数，在将理论 用于实际问题（例如理想气体）时得到k值为
因此，lnZ1是以β、y(对于简单系统即T、V)为变量的
特性函数。
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§6.1 热力学量的统计表达式
例如：求以T、V为变量的特性函数的统计表达式
对定域系统 FNkln T Z1 对满足经典极限条件的玻色（费米）系统
F Nlk Z n 1 T klT N n !
玻耳兹曼理论求热力学函数的一般方法是：先 求配分函数，再利用热力学量的统计公式求出 热力学函数。求配分函数的关键是确定出粒子 的能级和能级简并度，利用配分函数的定义式 写出配分函数。
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本章主要内容
玻耳兹曼统计的热力学量表达式 玻耳兹曼统计的统计公式的应用 理想气体的物态方程，理想气体的内能和热容量， 固体热容量的爱因斯坦理论 玻耳兹曼统计的分布公式的应用 麦克斯韦速度分布律，能量均分定律， 两者的应用
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§6.1 热力学量的统计表达式
el l
N Z1
(
1
y)Z1
N
y lnZ1
即
N
Y ylnZ1
这是广义力的统计表达式
一个重要特例：pVT系统压强的统计表达式为
p
N
V
lnZ1
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§6.1 热力学量的统计表达式
讨论：准静态过程元功和系统微小吸热的物理本质
外界对系统所作的元功
Y
dd y y
l
yl al l
2.广义微观力
粒子能量是外参量的函数，能级εl上一个粒子在
外参量y变化时受到的广义微观力为 l y
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§6.1 热力学量的统计表达式
3. 外界对系统的广义力的统计表达式
广义力是系统中粒子的广义微观力 l 之和的统
y
计平均值
Y l
yl al l
yllele(1y) l
河南教育学院物理系
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第五章指出：定域系统和满足经典极限条件的玻 色（费米）系统都遵从玻耳兹曼分布。按照统计 思想，宏观量是对应微观量的统计平均值，根据 等概率原理，这两类系统玻耳兹曼分布出现的概 率最大，其他分布实际上不出现，所以对这两类 系统，宏观量是玻耳兹曼分布下微观量的统计平 均值。本章根据玻耳兹曼分布讨论这两类系统的 热力学性质。
Skln
上式称为玻耳兹曼关系，熵是用系统宏观态上出现 的微观状态数来量度的。某个宏观态对应的微观状 态数越多，系统微观上运动的变化就越多端，它的 混乱程度就越大，熵也越大。玻耳兹曼关系给出了 熵的统计意义：熵是系统混乱程度的量度。
注 意
Skln中的Ω应是ΩM.B.。上面熵的统计表达式和
统计解释只适用于粒子可分辨的系统（定域系统）
外界对系统作功是粒子分布不变时由于能级改变而
增加的内能，准静态过程中系统从外界吸收的热量
等于粒子在各能级重新分布所增加的内能。
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§6.1 热力学量的统计表达式
三、熵的统计表达式
考虑到熵与系统在可逆过程中吸收 的热量有关，微小可逆过程有
dS 1 dQ T
由热力学第一定律 dS1dQ1(dUYd)y
aldl
对内能 Uall 求全微分，有 dU aldl ldla
l
l
l
内与能热的力改 学变 第可 一以定分律为和两元项功，的第表一达项式是对粒 照子 知分布不变 时由于能级改变而引起的内能变化，第二项是粒子 能第级一不项变是时在由准静于态粒子过分程中布改外变界对所引系起统的所内做能的变功化，。第 二项是准静态过程中系统从外界吸收的热量。可见，
k 1 .3 8 1 2 0 J 3K 1
dSNkldnZ1lnZ1 SNklnZ1lnZ1
上式是熵的统计表达式，积分时已将积分常数选为零。
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§6.1 热力学量的统计表达式
讨论:熵的统计意义---玻耳兹曼关系
根据熵的统计表达式、玻耳兹曼统计中Z1与α的
关系和玻耳兹曼分布公式，可以证明
(
Z1
)
N
ln Z1
即
UN l nZ1
此式即内能的统计表达式
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§6.1 热力学量的统计表达式
二、广义力的统计表达式
1. 外界对系统的广义力
系统在准静态元过程中，当外参量y变化dy时，外界
对系统的功为
dWYdy
Y是与外参量y对应的外界对系统的广义作用力 例如：系统在准静态元过程中体积变化dV时，外 界的功为–pdV。广义力是压强。