层次分析法2

高树鹏 1/0.926
1/2.556 1/1.685 1
将判断矩阵每一列元素进行归一化处理
有发展 潜力 唐纪星 于静涛 陈兴 高树鹏
唐纪星 0.266 0.600 0.153 0.244
于静涛 0.245 0.419 0.166 0.170
陈兴 0.194 0.437 0.198 0.081
高树鹏 0.150 0.414 0.273 0.163
a
n
ij


式中，(AW)i 表示向量AW的第i个分量
CI=( max -n)/n-1;CR=CI/RI;
i

一致性检验

i，j 1, 2,..., n
CR 0.10
进行综合判断，确定评价对象相对重 要性的总排序


由判断矩阵计算被比较因素对上一层次该准则 的相对权重，并进行一致性检验； 计算各层次因素相对于最高层次，即系统目标 的合成权重，进行层次总排序，并进行一致性 检验
高树鹏 0.244
对向量进行归一化处理
有发展潜力
唐纪星 于静涛 陈兴 高树鹏
0.689 1.270 0.637 0.414
0.228 0.424 0.221 0.137
得到所求的特征向量:W=(0.228,0.424,0.221,0.137)T
判断矩阵
w1 w1 w2 A w1 w3 w1
目标层：最高层，只有一个元素：所要解决问题的目的、预 定目标； 准则层：中间层：为了实现目标而建立起来的一套判断准则， 又可分为若干个层次； 方案层：最低层，也称为措施层：指为实现目标、解决问题 可供选择的各种决策、措施、方案等。

三个层次：

三、对同一层次的各因素关于上一层次中某一准则 的重要性进行两两比较，构造判断矩阵
指标
责任心
得分均值
5
准则 品行好
指标 家教好
热心
得分均值 3.916
3.833 4.25 4.083 3.833 3.333 3.25 3.25
尊重对方
专一
5
4.833
孝顺
大度
4.75
4.75
生活习惯好
身体健壮 讲卫生 勤劳 浪漫 不酗酒 不抽烟
宽容，体贴， 4.667 随和 善良 积极乐观 勇敢 不赌博 幽默 4.667 4.583 4.5 4.25 4
C.R.随机一致比率(consistency ratio)

CR=CI/RI; CR 0.10 以90%为置信区间，求得C.R.临界值（0.0019） 4 5 6 7 8 9 10
阶数 3 c.r
0.04 0.09 0.12 0.142 0.16 0.169 0.178 0.19 9 2 2 1 4
单层次计算步骤:和积法

a ij
aij
i=1 将判断矩阵每一列元素进行归一化处理 n 将归一化处理后的判断矩阵按行相加 w i a ij T 对向量进行归一化处理 1 , 2 ,......， n j=1 T 得到为所求的特征向量 1 , 2 ,......，n n AW i max 计算判断矩阵的最大特征根 nW i=1




多目标决策问题 简便实用
AHP法的基本思路



首先找出解决问题涉及的主要因素 这些因素按其关联、隶属关系构成递阶层次模 型 通过对各层次中各因素的两两比较的方式确定 诸因素的相对重要性 进行综合判断，确定评价对象相对重要性的总 排序。
AHP的基本步骤




将问题概念化，找出研究对象所涉及的主要因素； 分析各因素的关联、隶属关系，构造系统的递阶层次 结构； 对同一层次的各因素关于上一层次中某一准则的重要 性进行两两比较，构造判断矩阵； 由判断矩阵计算被比较因素对上一层次该准则的相对 权重，并进行一致性检验； 计算各层次因素相对于最高层次，即系统目标的合成 权重，进行层次总排序，并进行一致性检验。
层次分析法内容

基本原理

递阶层次结构 判断矩阵的构成 一致性检验 单层次计算方法 层次总排序 计算实例

层次分析法的计算



背景知识
匹兹堡大学教授、运筹学家T.L.Saaty 1977年，第一届国际数学建模会议 《无结构决策问题的建模——层次分析法》 Analytic Hierarchy Process——AHP 政治、经济、社会等各个领域得到广泛的应用。 AHP于1982年传入我国，迅速传播。
AW=nW
w1 w2 w2 w2 w3 w2
w1 w3 w2 aij nn w3 w3 w3
w1 w 2 ... wn
只要知道矩阵A，就可以通过求解A的最大特征根（n） 和特征向量（W），找到W的相对值。
计算判断矩阵的最大特征根
AHP的特点


AHP的整个过程体现了人的决策思维活动中分 析、判断、综合等的基本特征，并将人的主观 比较、判断用数量形式进行表达和处理。 虽然AHP的应用需要掌握一定的数学工具，但 从本质上说AHP是一种思维方法，是一种充分 运用人的分析、判断、综合能力的系统方法， 它并不是一种数学模型，而是定量分析与定性 分析相结合的典范，具有高度的有效性、可靠 性和广泛的适用性。
二、分析各因素的关联、隶属关系，构造系 统的递阶层次结构
分析各因素的关联、隶属关系，构造 系统的递阶层次结构

递阶层次结构


这些元素按其属性的不同，分成若干组，形成互不相交的层 次。是关于系统结构的抽象概念，是为研究系统各元素的相 互关系与功能的相互作用而构造的。 上一层次的元素作为准则对相邻的下一层次的全部或部分元 素起支配作用，同时它又受到更上一层元素的支配，这样就 形成了层次间自上而下的逐层支配关系。
陈兴
高树鹏
1/1.481
1/0.926
1/2.208
1/2.556
1
1/1.685
1.685
1
在这里，我们采取和积法详细讲解具体步骤
有发展 唐纪星 潜力 唐纪星 1 于静涛 1/0.600
陈兴 1/1.481
于静涛
0.600
陈兴
1.481
高树鹏
0.926
1
2.208
2.556
1.685
1/2.208 1
单层次计算步骤:方根法


计算判断矩阵A的每一行元素的乘积Mi 计算 Mi的n次方根 i 对向量 i 归一化， T 则 1 , 2 ,......，n 即为所求的特征向量 计算判断矩阵的最大特征根 ： n AW i max nWi i=1 式中，(AW)i 表示向量AW的第i个分量。
1.481 2.208 1
等 于
1/1.68 1 5
0.137
计算判断矩阵的最大特征根
（1/矩阵AW元素的个数）*（矩阵AW的对应元 素 与 矩阵W的对应元素之比，然后求得所有元 素比之和）
max
i=1
n
AW i
nWi
=0.889
一致性检验

C.I.一致性指标(consistency index)
将归一化处理后的判断矩阵按行相加
有发展 唐纪星 于静涛 陈兴 潜力
唐纪星 0.266 于静涛 0.600 陈兴 0.153 0.245 0.419 0.166 0.170 0.194 0.437 0.198 0.081
高树鹏
0.150 0.414 0.273 0.163 0.689 1.270 0.637 0.414


首先找出解决问题涉及的主要因素 这些因素按其关联、隶属关系构成递阶层次模 型 通过对各层次中各因素的两两比较的方式确定 诸因素的相对重要性 进行综合判断，确定评价对象相对重要性的总 排序。
AHP的基本步骤

一、将问题概念化，找出研究对象所涉及的主要
因素；


目标：好丈夫 准则：有发展潜力，有才能，生活习惯好，品行 好 决策：唐纪星，于静涛，陈兴，高树鹏
0.23 58 0.30 28 0.24 79 0.21 34
有发 展潜 力 唐纪 星 于静 涛 陈兴 高树 鹏
唐纪 星 1 1/0.6 00 1/1.4 81 1/0.9 26
于静涛
陈兴
高树 鹏 0.92 6 2.55 6 1.68 5
0.228 乘 以 0.424 0.221
0.600 1 1/2.20 8 1/2.55 6
三、对同一层次的各因素关于上一层次中某 一准则的重要性进行两两比较，构造判断矩 阵
好丈夫 有发展潜 有才能 力 2.096 有发展潜 1 力 1/ 2.096 1 有才能 品行好 1/ 2.449 1/ 1.867 1/0.484 品行好 2.449 1.867 1 1/ 1.038 生活习惯 好 1.346 0.484 1.038 1
标度bij 1 3 含 义
表示两个因素相比，具有相同的重要性 表示两个因素相比，i因素比j因素稍微重要
5
7 9
表示两个因素相比，i因素比j因素明显重要
表示两个因素相比，i因素比j因素强烈重要 表示两个因素相比，i因素比j因素极端重要
2，4， 上述两相邻判断的中值 6，8 倒数 bji表示j元素与i元素的比较判断，有bji=1/bij
生活习惯 1/ 1.346 好
判断矩阵
r11 r R= 21 . rm1 r12 r22 . rm2 ... r1n ... r2n r ij m n . . ... rmn
m个因素，n个元素
对于有发展潜力这个目标来说对四位同学的 评价
唐纪星 唐纪星 于静涛 1 1/0.600 于静涛 0.600 1 陈兴 1.481 2.208 高树鹏 0.926 2.556
主要因素的汇总
准则
有发展潜力
指标
上进心 抗压能力强 职业 人际关系
得分均值
5 4.583 4.083 4.083
准则
有才能
指标
有智慧 能力 理财
得分均值
4.833 4.667 3.833
社会地位
资产 家庭背景
3.583
3.08 3.25
审美能力
唱歌好听
3.583
2.083
主要因素的汇总
准则
品行好
四、最终结果
层次A 好丈夫 总排序 结果
有发展 品行好 有才能 生活习 惯好 层次B 潜力 0.2887 0.2612 0.2138 0.2363 唐纪星 0.2358 0.3030 0.2613 0.2694 0.2668
于静涛 0.3028 0.2245 0.2886 0.2978 0.2782 0.2479 0.2245 0.2249 0.2694 0.2420 陈兴 高树鹏 0.2134 0.2481 0.2249 0.1634 0.2131

=（0.889-4）/(4-1)=-1.307 R.I.平均随机一致性指标（random index）
N R.I.
1 0 2 0 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51
C.I.=(max -n)/n-1
层次分析法
什么样的男人是理想的丈夫？

一个决策问题：到底选谁？ 唐纪星？于静涛？陈兴？高树鹏？ 咋办？我们一起来算一下。
将问题概念化，找出研究对象所涉及 的主要因素

理想丈夫的因素

外表形象？ 才气？ 家庭背景？ 性格脾气？ ……？ （德尔菲法）
AHP法的基本思路