层次分析法2
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层次分析法二
（ Aw） i λ =∑ nw i i
层次分析
3. MATLAB算法 %对于形如 A = (mij/hij)的正互反阵，求特 征值和特征向量。 >>B=[m11,…m1n;m21,…,m2n;…;mn1,…,mnn]; >>A=B./B’ >>[X,D]=eig(A)
1 m RI n = ∑ CI nk m k =1
则 CI > RI 时, 判断矩阵明显不具有一致 性。 取 α < 1 , 则当 CI < α RI 时, A 在水准 α下有满意的一致性.
层次分析
四. AHP的计算 1. 最大特征根与特征向量的计算—幂法 给定 A > 0, 对任x>0 则
Ak x lim xT Ak x = cv , v是A的主特征向量 k →∞
一致性判断矩阵各列均是判断矩阵的特 征向量。 若特征向量为 w = (w1,…,wn)’, 则有 aij = aik/ ajk = wi / wj。 表示wi 与 wj之间的比值, 是这两者重要 性之间的一个判断. w 就是各对象之间的一个排序. 即:各列均表示被判断元素之间的排序。
定理 3 证明:
wj wi
+ (aij
wj wi
) ] ≥ 2， 若λ1 = n，则 [∗] = 2
−1
a ij = wi w j 致
层次分析
4. 判断矩阵的一致性指标 对于矩阵 A， ∑λi = trA= ∑aii
i i
A 正互反，有
∑λ
i
i
=n
A 一致正互反，有
λ1 = n, λi = 0, i = 2, , n
∃λ1 > 0, w > 0 , Aw = λ1w ,
层次分析法
4.层次分析法表示方法：
1）切分法（“从大到小”）
2）组合法（“从小到大”）
对短语进行层次分析时，多采用“切分 法”。
用框式图解法分析结构层次和结构关系：
学院 的 图书馆 最 近 买 来了五 千 册 新 书
主 谓 定 中 述 宾
状
中 中 补
定 数
量
中 定 中
要求：划清层次，标明关系，空出虚词。
分析研究一下材料
动 中 < 补 联+合 宾
一种新式的炊具电磁炉
同=位 定）中 定 ）中
划分词类的一个目的 是 讲述 词的用法
主 定 ） 中 动 谓 宾
动
宾
定）中
动
宾
定）中
他的哥哥和妹妹的三位朋友
定 定 ） 中 联+合 ） 中 定 ） 中 数 量
他的哥哥和妹妹的三位朋友
联 + 定）中 合 定 ）中
层次分析法
周美林 2013-3
中心词分析法
主要的句法成分：主谓宾
定状补
例证：我们厂试制成功了新产品。 优点：划分出句子的主干。只能分析单句的句子成 分（主谓宾定状补），忽略了结构的层次性，如 “年老的男人与女人留在后方”有两种意义，中心 词分析法无法分析出来，而层次分析法则可以。 缺点：看不清句法成分间的层次性。
2.层次分析法主要包括两个步骤：
1）分层次 2）定关系
3.层次分析法的运用：
“从大到小”
“从小到大”
老师和学生的 宿舍
定 联＋合
老师 和学生的 宿舍
联+合 定 ）中
）中
切分的终点是分析出每个实词，不需要切分到语 素，且凡是助词“了、着、过、的、地、得”以 及语气词切分时都可以不予考虑，如： 高大的楼房 打了开水
层次分析法2
自 豪 感 C8
美 化 C11
桥梁 D1
隧道 D2
渡船 D3
（1）过河效益层次结构
例3 横渡 江河、海峡 方案的抉择
投 入 资 金 C1
过河的代价 A 经济代价 B1 社会代价 B2 环境代价 B3
操 作 维 护 C2
冲 击 渡 船 业 C3
冲 击 生 活 方 式 C4
交 通 拥 挤 C5
居 民 搬 迁 C6
层次分析法的优点
• 系统性——将对象视作系统，按照分解、比较、判断、 综合的思维方式进行决策——系统分析（与机理分析、 测试分析并列）； • 实用性——定性与定量相结合，能处理传统的优化方 法不能解决的问题； • 简洁性——计算简便，结果明确，便于决策者 直接了解和掌握。
层次分析法的局限
• 囿旧——只能从原方案中选优，不能产生新方案； • 粗略——定性化为定量，结果粗糙；
组合 权向量
第2层对第1层的权向量
w
(2)
第1层O
第2层C1,…Cn 第3层P1, …Pm
( w1 , , w n )
(2) (2)
T
第3层对第2层各元素的权向量
wk
(3) (3) (3) T
( w k 1 , , w km ) , k 1, 2 , , n
(3)
构造矩阵 W
[ w1 , , w n ]
工作选择
发 展
声 誉
关 系
位 置
供选择的岗位
例3 横渡 江河、海峡 方案的抉择
节 省 时 间 C1
过河的效益 A
经济效益 B1 当 地 商 业 C4 建 筑 就 业 C5 社会效益 B2 安 全 可 靠 C6 交 往 沟 通 C7 环境效益 B3 舒 适 C9 进 出 方 便 C1
第二节层次分析法
1 部的构造层次进行层层分析 2.每一次分析，都要明确说出每一个构造层面的直接组成部分
他刚来 第一层次（刚来）：状中-偏正关系 第二层次（他与“刚来”）：主谓关系
10
1 辅层音次的分发析音法
层次分析的基本精神
3.在分析中，只管直接组成成分之间的语法结构关系，不管间接组
1 成成分之间的语法结构关系，也不管句法结构中实词与实词之间 的语义结构关系
画线法：由小到大
画线法：由大到小
他刚 来
他刚来
1 2
或1
2
3
4
树结构 他刚 来
1他
2 刚来
1“状-中”偏正关系 1-2主谓关系
2主谓关系
3-4“状-中”偏正关系
3 刚 4来 1-2主谓关系 3-4“状-中”偏正关系
9
1 辅层音次的分发析音法
层次分析的基本精神 1.承认句子或句法结构在构造上有层次性，在句子中严格按照其内
2.4关于层次分析法
（一）层次分析法（二分法、直接成分分析法）
1
1.切分原则（条件）：结构（语法单位） 、功能（能搭配）、意义
2.切分步骤：①切分：一分为二，切分结构层次（画线法，树结构）
②定性：确定句法结构关系（用阿拉伯数字表示，加上简
明的文字说明）
3.切分方法：从大到小、从小到大
8
1 层次分析法
1 辅层音次的分发析音法
五、每一个层面切分所得到的直接组成成分，彼此按句法规则组
合起来，在意义上必须跟原先的整个结构所表示的意思相一致。
1
1.切分所得的各个直接组成成分，都必须有意义
a.年轻的 一代 b.年轻 的一代
2.切分所得的各个直接组成成分，彼此在意义上有搭配的可能
他刚来 第一层次（刚来）：状中-偏正关系 第二层次（他与“刚来”）：主谓关系
10
1 辅层音次的分发析音法
层次分析的基本精神
3.在分析中，只管直接组成成分之间的语法结构关系，不管间接组
1 成成分之间的语法结构关系，也不管句法结构中实词与实词之间 的语义结构关系
画线法：由小到大
画线法：由大到小
他刚 来
他刚来
1 2
或1
2
3
4
树结构 他刚 来
1他
2 刚来
1“状-中”偏正关系 1-2主谓关系
2主谓关系
3-4“状-中”偏正关系
3 刚 4来 1-2主谓关系 3-4“状-中”偏正关系
9
1 辅层音次的分发析音法
层次分析的基本精神 1.承认句子或句法结构在构造上有层次性，在句子中严格按照其内
2.4关于层次分析法
（一）层次分析法（二分法、直接成分分析法）
1
1.切分原则（条件）：结构（语法单位） 、功能（能搭配）、意义
2.切分步骤：①切分：一分为二，切分结构层次（画线法，树结构）
②定性：确定句法结构关系（用阿拉伯数字表示，加上简
明的文字说明）
3.切分方法：从大到小、从小到大
8
1 层次分析法
1 辅层音次的分发析音法
五、每一个层面切分所得到的直接组成成分，彼此按句法规则组
合起来，在意义上必须跟原先的整个结构所表示的意思相一致。
1
1.切分所得的各个直接组成成分，都必须有意义
a.年轻的 一代 b.年轻 的一代
2.切分所得的各个直接组成成分，彼此在意义上有搭配的可能
层次分析法步骤2篇
层次分析法步骤2篇层次分析法步骤层次分析法（AHP）是用来确定复杂决策结构下最佳决策方案的重要工具之一，对于需要评估不同因素的决策情境非常有用。
AHP 是由美国数学科学家托马斯·L·塞蒂（Thomas L. Saaty）在20世纪70年代初期发明的。
AHP 包含一系列步骤，并建立了一个多级层次结构。
层次分析法大概可以分为以下几个步骤：1.确定目标首先，我们需要明确评估体系的目标，以及需要评估的决策为何。
下一步是将目标具体地划分为一些易于理解和可度量的细分目标。
2.建立层次结构接下来，我们需要建立一个层次结构，以确定每个细分目标之间的相对重要性。
要建立一个有用的层次结构，需要从总目标开始，逐个确定每个元素的重要性和层次。
每个层次结构都必须有一个总目标，一些次要目标，以及指导每个目标的因素。
3.制定判断矩阵然后建立判断矩阵，以确定目标之间的相对重要性。
判断矩阵是一个方阵，其中包含每个目标之间的权重关系。
选择一对目标并进行两两比较，以确定其之间的相对重要性程度。
4.计算加权表通过加权矩阵计算每个目标的权重，从而形成一个加权表。
这个步骤列出了每个目标的重要性得分，以及它们对于整体目标的权重。
5.进行一致性检查在模型建立过程中，要保证做到一致性，才能确保结果可靠。
所以需要对所有的判断矩阵进行一致性检查，检查矩阵中的数据是否一致。
如果矩阵值不一致，需要进行调整和重新评估。
6.评估决策最后，将加权表用于评估决策，以确定哪个选择最符合总体目标。
根据加权表中的权重计算每个决策的得分，并对得分进行排序，最终选出最佳的决策方案。
总之，层次分析法是一种可靠的决策分析工具，它通过将大目标和子目标简化为易于比较的部分，提供了一种定量决策分析框架。
虽然该方法需要一定的理解和技能，但是它可以用于各种决策问题，并提供一个可复制的方法来评估决策方案。
接下来，我们将更深入地了解每个步骤，以便更好地使用 AHP。
2第二章层次分析法.
• 一个名词进入句子以后是充当主语、宾语还是 其他什么成分，取决于这个名词在句子中所处 的位置，而一个词具有什么样的语义则取决于 它和动词的关系，与它在句子中的位置是没有 关系的，它可能是施事，也可能是受事或是其 他的语义关系。 • 例如： • ①我们打败了敌人。 • ②敌人我们打败了。 • ③敌人被我们打败了。 • ④我们把敌人打败了。
小结
• 指人名词自相组合具有极强的规律性。对该组合结构 进行切分的第一层应该在最后一个名词之前。 • “父亲的父亲的父亲”这样的组合，之所以两种切分 在语义上等值，是因为指人名词相同以至于语义运算 结果偶同。 • 数学上的运算结果偶同的情况很多，例如： • • • • 1×7+3=7+3=10 1×7+3=1×10=10 7+3÷1=7+3=10 7+3÷1=10÷1=10
小结：句法结构关系与语义结构关系的异同
• 句法结构关系和语义结构关系虽然共存于一个句 法结构体中，但它们二者是从不同角度进行分析 的结果，二者之间既有联系，又有区别，不是一 一对应的，不能混为一谈。我们不能根据句法关 系来确定语义关系，也不能根据语义关系来确定 句法关系。 • 像“动-宾句法结构关系”就有不下十几种的不同语 义结构关系，而“动作-受事”语义结构关系在汉语 中就既可以用主-谓句法结构关系来表示，也可 以用动-宾句法结构关系来表示。 • 例如：
• 5、话题是有定的、是已知的被激活的 信息，是说话人有意引导听话方注意 的中心。 • 而在主-谓-宾结构中，主语和宾语相 比，主语也属于已知的旧信息，但跟 主谓谓语句相比，话题（大主语）的 已知程度更大，主谓谓语的主语（小 主语）的已知程度较低。
• 2、层次分析完全是一种静态的分析，因此，有 些现象它解释不了。
层次分析法二
每层有若干元素，层间元素的关系用相连直线表示。 层次分析法所要解决的问题是关于最低层对最高层的相对 权重问题，按此相对权重可以对最低层中的各种方案、措 施进行排序，从而在不同的方案中作出选择或形成选择方 案的原则。
8.2.2 构造成对比较矩阵
在确定各层次各因素之间的权重时，如果只是定性的 结果，则常常不容易被别人接受，因而Santy等人提出： 一致矩阵法，即： 1. 不把所有因素放在一起比较，而是两两相互比较 2. 对此时采用相对尺度，以尽可能减少性质不同的诸因 素相互比较的困难，以提高准确度。 假设要比较某一层 n个因素 c1, c2,..., cn对上一层一个因 素 o的影响，如旅游决策问题中比较景色等个准则在选择 旅游地这个目标中的重要性。每次取两个因素 C2 和 1: 2 ， 用 a ij 表示 C和 C对 o的影响之比，全部比较结果可用成对 j i 比较矩阵表示。
1.
A的秩为1， A 的惟一非零特征根为 n ；
2. A的任一列向量都是对应于特征根 n 的特征向量。
如果得到的成对比较阵是一致阵，像式（8.2.3）的 A ， 自然应取对应于特征根 n 的，归一化的特征向量（即分量之 和为1）表示诸因素 C1, C2,..., Cn ，对上层因素 O 的权重，这个向 量称为权向量。如果成对比较阵 A 不是一致阵，
仔细分析一下（8.2.2）式给出的成对比较阵 A 可以发现， 既然 C1 与 C2 之比为1:2， C1 与 C3 之比为4:1，那么 C2 与
n ( n 1) n 个要素要作 但是， 次成对比较，全部一致的要 2 求是太苛刻了。Saaty等人给出了在成对比较不一致的情况
下计算各因素 C 1, C 2 ,..., C n 对因素 比较完全一致的情况。
现代汉语·语法·3(层次分析)(共35张PPT)
│主│ │谓
│
┗━┛ ┗│━━━━━━━连━││━谓━│┛
┗━━━━━━━┛┗━┛
┗┃┃━述━┃━┃述━补┃┛┃┃┗宾━┛┃
┗━┛┗━┛
（三）兼语词组的层次切分
• 我 请 他 作 报告
• │主││谓
│
• ┗━┛┗━━━━┛
•
│述││宾│
•
┗━┛┗━┛
•
│主││谓
│
•
┗━┛┗━━━━━┛
•
│述││宾 │
•正是这种组合的先后次序构成了层次：先组合的 构成一个层次，后组合的构成另外的层次。
层次分析
• 词语组合的先后顺序，也可以这样认为：
• １、词语实际上是与客观事物相联系的，而客观 事物是从小到大逐步组合而成的，所以词语的组
合也应该是这样的一个过程。
• ２、语言是表达意义的，所以各级语言单位都应 该表达一个相对完整的意义，而为了表达一个相
• ┗━━━┻━━┛ ┗━━━┻━━┛
• 复杂短语： 学 新 课程 住 高 楼
•
┃ ┗┳┛ ┃┖┳┛
•
┗━━┛
┗━┛
二、层次分析法
（一）层次分析法1
• 层次分析一般是拿到一个语言片段之后尽可能地 对它进行一分为二的切分，一直切分到词为止。 例如：
学习文化非常认真
学习文化
非常认真
学习
文化
非常
认真
（一）层次分析法2
现代汉语·语法
层次分析
一、层次
关于“扩展”
• 词与词组合之后，可以形成一个整体， 这个整体可以再与别的词或词组组合， 形成一个更大的整体。比如：
我
很好
关于“层次”
• 当三个或三个以上的词组合在一起的时候，这种 组合有先后顺序的。例如：“学习文化非常认真” 的组合模式应该是：
船舶交通与安全系统评价模型与方法(层次分析法)2-2
第一节
思想和原理
形成判断矩阵后，即可通过计算判断矩阵的最大 特征根及其对应的特征向量，计算出某一层对于 上一层次某一个元素的相对重要性权值。 在计算出某一层次相对于上一层次各个因素的单 排序权值后，用上一层次因素本身的权值加权综 合，即可计算出某层因素相对于上一层次的相对 重要性权值，即层次总排序权值。 这样，依次由上而下即可计算出最低层因素相对 于最高层的相对重要性权值或相对优劣次序的排 序值。
第二节
模型和步骤
下面以一个企业的资金合理使用为例，来说 明用层次分析法求解决策问题的过程。 假设某一企业经过发展，有一笔利润资金， 要企业高层领导决定如何使用。
第二节
模型和步骤来自从调动员工工作积极性、提高员工文化技术水平 和改善员工的物质文化生活状况来看，这些方案 都有其合理因素。 如何使得这笔资金更合理地使用，就是企业领导 所面临需要分析的问题。 一般地说，我们需要对问题有明确的认识，弄清 问题的范围，所包含的因素、因素之间的相立关 系，需要得到的解答，所掌握的信息是否充分。
第一节
思想和原理
比如说我们要研究区域污染治理系统，这就是一 个十分复杂的系统，它要涉及大量的相关因素， 如区域污染状况、治理现状、治理目标、治理途 径、需投入的资金、人力以及治理后所可能取得 的社会、环境和经济效益等，面对这样一个复杂 的系统和如此庞杂的因素，单用定性的方法来研 究肯定行不通。
第二节
模型和步骤
企业领导经过实际调查和员工建议，以下方 案可供选择： 1）作为奖金发给员工； 2）扩建员工宿舍、食堂等福利设施； 3）办员工进修班； 4）修建图书馆、俱乐部等； 5）引进新技术设备进行企业技术改造。
层次分析法
e1
1 4.511
0.778
0.172
,
3 0.665
0.4 6 7 e2 Ae1 0.565, e2 3.014,
1.9 9 1
01.55 0.471 e2 0.184, e3 0.559, e3 3.018,
0.661 1.988
0.156 0.473 e3 0.185, e4 0.561,
（4）定义未知参数 在这种问题中，运用层次分析法建立表达式 来表达未曾定义过的量。典型的例子是价值 工程，产品的价值V被定义为
VF C
其中F,C分别为产品的功能系数与成本系数， 它们可以用层次分析来定义。下面是一个 经济学例子。
例5 弹性系数的确定 经济学中有名的Cobb-Douglas生产函 数是
e (1,2,,n )T ,则权系数可取: wi i ,i 1,2,, n
在具体计算中,当
ek 与ek 1
接近到一定程度时,就取 e ek
例1 评价影视作品的水平, 用以下三个变量作评价指标 :
x1 教育性，x2 艺术性，x3 娱乐性
设有一名专家赋值:
x2 1, x3 5, x3 3
w1, w2 ,, wn
这 n 个常数便是权系数， 层次分析法给出了确定它们 的量化方法，其过程如下：
1.成对比较
从x1, x2,, xn中任取xi , xj ,比较它们
对y贡献的大小,给xi xj 赋值如下：
xi
xj
1,当认为“xi与x
贡献程度相同”时
j
xi
xj
3,当认为“xi比x
的贡献略大”时
x1
的概率估值为0.134+0.219+0.026=0.379,
第二章层次分析法
层次分析法（ 层次分析法（Analytic Hierarchy Process, AHP)这是一种定性和定量相结合的、系统化的、 AHP)这是一种定性和定量相结合的、系统化的、层 这是一种定性和定量相结合的 次化的分析方法。 次化的分析方法。 层次分析法是把复杂问题分解为若干层次，在最 低层次通过俩俩比较，得出各因素的权数重，通过从 低到高的层层分析计算，最后计算出各方案对总目标 的权数，权数最大的方案为最优方案。
二、层次分析法的基本原理 选择钢笔 质量、颜色、价格、外形、实用 钢笔1、钢笔2、钢笔3、钢笔4
质量、颜色、价格、外形、实用进行排序 将各个钢笔的质量、颜色、价格、外形、实用进行排序 经综合分析决定买哪支钢笔
与人们对某一复杂决策问题的思维、判断过程大体一致。
1.基本思想 把复杂问题分解为若干层次，在最低层次通过 俩俩比较，得出各因素的权数重，通过从低到 高的层层分析计算，最后计算出各方案对总目 标的权数，权数最大的方案为最优方案。 2.基本假设 层次之间存在递进结构 3.基本方法 建立层次结构模型 4.一致性检验 检验决策者构造判断矩阵时判断思维是否具有 一致性
第二节、 第二节、层次分析法的模型与基本步骤 一、建立层次结构模型
一般分为三层，最上面为目标层 目标层，最下面为方案层 方案层，中 目标层 方案层 间是准则层或指标层 准则层或指标层。 准则层或指标层 例1 买钢笔的层次结构模型 买钢笔 目标层
质 量
颜 色
价 格
外 形
实 用 准则层
笔
方案层
例2选择旅游地层次结构模型 选择旅游地层次结构模型 选择旅游地
第二章 层次分析法
Analytic Hierarchy Process AHP
第一节 思想与原理
层次分析法2
华长生制作．2005．1
8
目 标（A） 层
合理使用企业利润 促进企业发展
调动职 准 工劳动 则（B） 层 积极性B1
提高企 业技术 水平B2
改善职工 物质文化 生活B3
措 施 层
发奖 金S1
(S) 华长生制作．2005．1
扩大集 体福利 事业S2
办职工 业余技 校S3
建图书馆 引进新 俱乐部文 技术设 体工队S4 备S5
0.105 W 0.637 0.258 , max =3.038 , CR= 0.033
CI 0.019 RI 0.58
判断矩阵B1—S相对重要性权值及λmax，CR分别 为：
0.439 0.264 W 0.089 0.146 0.061 华长生制作．2005．1
华长生制作．2005．1
CI
max n
n 1
max 为A的最大的特征值
16
A的其余n 1个
一致性指标
CI
max n
n 1
特征值的平均 值的绝对值
CI 0时，A为一致阵，CI越大A的不一致程度越严重
随机一致性指标
判断 矩阵 阶数n
RI 1 0 2 0 3 0.58 4 0.9
华长生制作．2005．1
S1 S 2 S 3 S 4 1 3 3 1 1 1 3 3 1/3 1/3 1 1 1/3 1/3 1 1
层次模型
14
层次分析法的基本步骤
一、建立层次结构分析模型 二、构造判断矩阵 三、层次单排序及其一致性检验 四、层次总排序 五、层次总排序的一致性检验
CR
5
6
7
8
目 标（A） 层
合理使用企业利润 促进企业发展
调动职 准 工劳动 则（B） 层 积极性B1
提高企 业技术 水平B2
改善职工 物质文化 生活B3
措 施 层
发奖 金S1
(S) 华长生制作．2005．1
扩大集 体福利 事业S2
办职工 业余技 校S3
建图书馆 引进新 俱乐部文 技术设 体工队S4 备S5
0.105 W 0.637 0.258 , max =3.038 , CR= 0.033
CI 0.019 RI 0.58
判断矩阵B1—S相对重要性权值及λmax，CR分别 为：
0.439 0.264 W 0.089 0.146 0.061 华长生制作．2005．1
华长生制作．2005．1
CI
max n
n 1
max 为A的最大的特征值
16
A的其余n 1个
一致性指标
CI
max n
n 1
特征值的平均 值的绝对值
CI 0时，A为一致阵，CI越大A的不一致程度越严重
随机一致性指标
判断 矩阵 阶数n
RI 1 0 2 0 3 0.58 4 0.9
华长生制作．2005．1
S1 S 2 S 3 S 4 1 3 3 1 1 1 3 3 1/3 1/3 1 1 1/3 1/3 1 1
层次模型
14
层次分析法的基本步骤
一、建立层次结构分析模型 二、构造判断矩阵 三、层次单排序及其一致性检验 四、层次总排序 五、层次总排序的一致性检验
CR
5
6
7
层次分析法
层次分析法所用的是两两比较的方法。
第一，在两两比较的过程中，决策者要反复 回答问题：针对准则 Ck，两个元素 Ai 和 Aj 哪一 个更重要一些，重要多少。需要对重要多少赋予 一定的数值。这里使用 1~9 的比例标度，它们的 意义见下表 。
标度的意义
1 3 表示两个元素相比，具有同样的重要性
表示两个元素相比，一个元素比另一个元素稍 微重要
n n
1, aij 0; 2, aij
则称为正互反阵。
1 ; 3, aii 1. a ji
比如，在旅游问题中，某人给出第二层A的各因素对目标层 Z的影响两两比较结果如下：
Z
A1 A2 A3 A4 A5
1 1/2 4 3 3
A1 , A2 , A3 , A4 , A5
分别表示 景色、费用、 居住、饮食、 旅途。
一个递阶层次结构应具有以下特点：
(1) 从上到下顺序地存在支配关系，并用直线段表示。 除第一层外，每个元素至少受上一层的一个元素支配， 除最后一层外，每个元素至少支配下一层次的一个元素。 上下层元素的联系比同一层次中元素的联系要强得多， 故认为同一层次元素之间不存在支配关系； (2) 整个结构中层次数不受限制； (3) 最高层只有一个元素，每个元素所支配的下一层 元素一般不超过 9 个，元素多时可增加上一层元素； (4) 对某些具有子层次的结构可引入虚元素，使之成 为递阶层次结构。
层次分析法所要解决的问题是关于最低层对最高层的相 对权重问题，按此相对权重可以对最低层中的各种方案、 措施进行排序，从而在不同的方案中作出选择或形成选择 方案的原则。
层次分析法的基本思路： 选择钢笔
质量、颜色、价格、外形、实用
钢笔1、钢笔2、钢笔3、钢笔4 将各个钢笔的质量、颜色、价格、外形、实用进行排序 经综合分析决定买哪支钢笔.
第一，在两两比较的过程中，决策者要反复 回答问题：针对准则 Ck，两个元素 Ai 和 Aj 哪一 个更重要一些，重要多少。需要对重要多少赋予 一定的数值。这里使用 1~9 的比例标度，它们的 意义见下表 。
标度的意义
1 3 表示两个元素相比，具有同样的重要性
表示两个元素相比，一个元素比另一个元素稍 微重要
n n
1, aij 0; 2, aij
则称为正互反阵。
1 ; 3, aii 1. a ji
比如，在旅游问题中，某人给出第二层A的各因素对目标层 Z的影响两两比较结果如下：
Z
A1 A2 A3 A4 A5
1 1/2 4 3 3
A1 , A2 , A3 , A4 , A5
分别表示 景色、费用、 居住、饮食、 旅途。
一个递阶层次结构应具有以下特点：
(1) 从上到下顺序地存在支配关系，并用直线段表示。 除第一层外，每个元素至少受上一层的一个元素支配， 除最后一层外，每个元素至少支配下一层次的一个元素。 上下层元素的联系比同一层次中元素的联系要强得多， 故认为同一层次元素之间不存在支配关系； (2) 整个结构中层次数不受限制； (3) 最高层只有一个元素，每个元素所支配的下一层 元素一般不超过 9 个，元素多时可增加上一层元素； (4) 对某些具有子层次的结构可引入虚元素，使之成 为递阶层次结构。
层次分析法所要解决的问题是关于最低层对最高层的相 对权重问题，按此相对权重可以对最低层中的各种方案、 措施进行排序，从而在不同的方案中作出选择或形成选择 方案的原则。
层次分析法的基本思路： 选择钢笔
质量、颜色、价格、外形、实用
钢笔1、钢笔2、钢笔3、钢笔4 将各个钢笔的质量、颜色、价格、外形、实用进行排序 经综合分析决定买哪支钢笔.
足球队排名问题II层次分析法
（1）如果u1,u2,…,un对C的重要性可定量（如可以 使用货币、重量等），其权重可直接确定
（2）如果问题复杂，u1,u2,…,un对于C的重要性无 法直接定量，而只能定性，那么确定权重用两两比较 方法。其方法是：对于准则C，元素ui和uj哪一个更 重要，重要的程度如何，通常按1～9比例标度对重 要性程度赋值，下表中列出了1～9标度的含义
在经济、科技、文化、军事、环境乃至社会发展的管理决策 中具有广泛的应用
机理分析法: 用经典的数学工具分析现象的因果关系
统计分析法：以随机数学为工具，通过大量的观察数据 寻求统计规律
系统分析法：层次分析法, 它将定性分析和定量分析相结 合，把人们的思维过程层次化和数量化，在目标结构复 杂且缺乏必要的数据情况下尤为实用
注: 建立层次结构模型是进行层次分析的基础，它将思维过 程结构化、层次化，为进一步定量分析创造了条件。
步2 构造两两比较的判断矩阵
层次结构反映了因素之间的关系，例如上图中目标层合理 使用企业留成利润可由准则层中的各准则反映出来。但准则层 中的各准则在目标衡量中所占的比重并不一定相同，在决策者 的心目中，它们各占有一定的比例。
对于准则C，n个元素之间相对重要性的比较得到一个两
两比较判断矩阵
A (aij )nn
其中aij就是元素ui和uj相对于C的重要性的比例标度。判断矩 阵A具有下性质
aij 0, a ji 1 aij , aii 1 正互反矩阵
由判断矩阵所具有的性质知，一个n个元素的判断矩阵只需要 给出其上（或下）三角的n(n-1)/2个元素就可以了，即只需做 n(n-1)/2个比较判断即可。
此外，当影响某因素的因子较多时，直接考虑各因子对该 因素有多大程度的影响时，常常会因考虑不周全、顾此失彼而 使决策者提出与他实际认为的重要性程度不相一致的数据，甚 至有可能提出一组隐含矛盾的数据。
（2）如果问题复杂，u1,u2,…,un对于C的重要性无 法直接定量，而只能定性，那么确定权重用两两比较 方法。其方法是：对于准则C，元素ui和uj哪一个更 重要，重要的程度如何，通常按1～9比例标度对重 要性程度赋值，下表中列出了1～9标度的含义
在经济、科技、文化、军事、环境乃至社会发展的管理决策 中具有广泛的应用
机理分析法: 用经典的数学工具分析现象的因果关系
统计分析法：以随机数学为工具，通过大量的观察数据 寻求统计规律
系统分析法：层次分析法, 它将定性分析和定量分析相结 合，把人们的思维过程层次化和数量化，在目标结构复 杂且缺乏必要的数据情况下尤为实用
注: 建立层次结构模型是进行层次分析的基础，它将思维过 程结构化、层次化，为进一步定量分析创造了条件。
步2 构造两两比较的判断矩阵
层次结构反映了因素之间的关系，例如上图中目标层合理 使用企业留成利润可由准则层中的各准则反映出来。但准则层 中的各准则在目标衡量中所占的比重并不一定相同，在决策者 的心目中，它们各占有一定的比例。
对于准则C，n个元素之间相对重要性的比较得到一个两
两比较判断矩阵
A (aij )nn
其中aij就是元素ui和uj相对于C的重要性的比例标度。判断矩 阵A具有下性质
aij 0, a ji 1 aij , aii 1 正互反矩阵
由判断矩阵所具有的性质知，一个n个元素的判断矩阵只需要 给出其上（或下）三角的n(n-1)/2个元素就可以了，即只需做 n(n-1)/2个比较判断即可。
此外，当影响某因素的因子较多时，直接考虑各因子对该 因素有多大程度的影响时，常常会因考虑不周全、顾此失彼而 使决策者提出与他实际认为的重要性程度不相一致的数据，甚 至有可能提出一组隐含矛盾的数据。
【层次分析法2】
CI RI
五、层次总排序
利用单排序结果，可综合计算最底层(方案层)相对最高层 (目标层)重要性顺序的组合权值。层次总排序从上到下进行。
假设已知
目标A
C层因素C1、C2、C3对A层目标的单排序 结果为c1、c2、c3 C1 P层因素P1、P2、P3对 C2 的单排序 C3 结果为
1 b11 、b2 、b31
j 1
二.和积法
（3）将向量 W [W ,W ,...,W ] 正规化 Wi 1 2 n 本例有：
T
Wi
W
j 1
n
, i 1,2,...,n
j
W
j 1nj 0.317 1.900 0.781 2.998 W1 0.317 0.106 2.998
j
W1
W
…
…
…
…
…
…
学员1
…
学员2
…
学员n
引子
• 例：某军工企业计划开发一种民用支柱产品，可选方
案有n种。主要从以下三个方面分析： • 经济效益：投资省、利润高、见效快、适销对路、潜 在市场广阔 • 社会效益：充分利用资源、振兴地区经济、促进科技 进步、扩大外贸出口、增加就业机会、有效环境保护 • 技术可行性：军工优势发挥、军民兼容能力
＝ (aij)n×n
Wn/W1 Wn/W2 … Wn/Wn
显然
aii=1， aij=1/aji， aij= aik/ajk(i,j,k=1，2， …n)
二、构造判断矩阵
W1/W1 W1/W2 … W1/Wn W2/W1 W2/W2 … W2/Wn
… … … … … … … … … … …
AW ＝
W1 W2
层次分析法步骤2
层次分析法实例与步骤结合一个具体例子，说明层次分析法的基本步骤和要点。
【案例分析】市政工程项目建设决策：层次分析法问题提出市政部门管理人员需要对修建一项市政工程项目进行决策，可选择的方案是修建通往旅游 区的高速路（简称建高速路）或修建城区地铁（简称建地铁）。
除了考虑经济效益外，还要考虑社会效益、环境效益等因素，即是多准则决策问题，考虑运用层次分析法解决。
1.建立递阶层次结构应用AHP 解决实际问题，首先明确要分析决策的问题，并把它条理化、层次化，理出递 阶层次结构。
AHP 要求的递阶层次结构一般由以下三个层次组成：:指问题的预定目标； :指影响目标实现的准则； :指促使目标实现的措施； 首先明确决策的目标，将该目标作为 这个目标要求是唯一的，即目标层只有一个元素。
然后找出影响目标实现的准则，作为目标层下的 准则层因素，在复杂问题中，影响目标实现的准则可能有很多，这时要详细分析各准则因素间的相互关系，即有些是主要的准则，有 些是隶属于主要准则的次准则，然后根据这些关系将准则元素分成不同的层次和组，不同层次 元素间一般存在隶属关系，即上一层元素由下一层元素构成并对下一层元素起支配作用，同一 层元素形成若干组，同组元素性质相近，一般隶属于同一个上一层元素（受上一层元素支配） 不同组元素性质不同，一般隶属于不同的上一层元素。
在关系复杂的递阶层次结构中，有时组的关系不明显，即上一层的若干元素同时对下一 层的若干元素起支配作用，形成相互交叉的层次关系，但无论怎样，上下层的隶属关系应该是 明显的。
最后分析为了解决决策问题（实现决策目标）、在上述准则下，有哪些最终解决方案（措施），并将它们作为措施层因素，放在递阶层次结构的最下面（最低层） 。
明确各个层次的因素及其位置，并将它们之间的关系用连线连接起来，就构成了递阶层 次结构。
【案例分析】市政工程项目进行决策：建立递阶层次结构在市政工程项目决策问题中，市政管理人员希望通过选择不同的市政工程项目，使综合效益最高，即决策目标是“合理建设市政工程，使综合效益最高”为了实现这一目标，需要考虑的主________但问题绝不这么简单。
层次分析法Microsoft Word 文档
一基本原理AHP法的基本原理就是将所要研究的复杂问题看作一个大的系统，通过对系统的多个因素的分析，划分出个因素间相互联系的有序层次；再请专家对每一层次的各因素进行客观的判断后，相应给出相对重要性的定量表示；进而建立数学模型，计算出每一层次全部因素的相对重要性的权重值，加以排序；最后根据排序结果规划决策和选择解决问题的措施。
二层次分析法的步骤1. 建立层次结构模型•将决策的目标、考虑的因素（决策准则）和决策对象按它们之间的相互关系分为最高层、中间层和最低层，绘出层次结构图。
•最高层：决策的目的、要解决的问题。
•最低层：决策时的备选方案。
•中间层：考虑的因素、决策的准则。
•对于相邻的两层，称高层为目标层，低层为因素层。
例:如何让选取旅游目的地2构造判断(成对比较)矩阵(类同与因素成对比较法)分数表示相对不重要,1/9表示最不重要设要比较各准则B1,B2,… , Bn对目标O的重要性同理构造方案层对准则层的判断矩阵3. 层次单排序及其一致性检验对应于判断矩阵最大特征跟y max的特征向量，经归一化后为W （使向量中铬元素之和等于一）W的元素为同一层次因素对于上一层次因素某因素相对重要性的排序权值，这一过程称为层次单排序考察完全一致的情况a ij*a jk=a ik, i,j,k=1,2,……，n不一致的情况a21=2（c2/c1）a13=4(c1/c3)a23=8(c2/c3)定义一致性指标CI=(Y-n)/(n-1)Y为判断矩阵最大特征跟，n为判断矩阵的维数CI=0，有完全的一致性CI接近0，有满意的一致性CI越大，不一致性越严重为衡量CI 的大小，引入随机一致性指标RICR=CI/RI<0.1认为A的不一致性在容许范围内准则层对目标的成对比较阵最大特征根 =5.073权向量(特征向量)w =(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T一致性指标CI=（5.073-5）/(5-1)=0.018RI=1.12 CR=0.018/1.12=0.016<0.1对判断矩阵B1，B2，B3，B4，B5求层次单排序的权向量并进行一致性检验)w =(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T4. 层次总排序及其一致性检验综上应去北戴河。
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高树鹏 1/0.926
1/2.556 1/1.685 1
将判断矩阵每一列元素进行归一化处理
有发展 潜力 唐纪星 于静涛 陈兴 高树鹏
唐纪星 0.266 0.600 0.153 0.244
于静涛 0.245 0.419 0.166 0.170
陈兴 0.194 0.437 0.198 0.081
高树鹏 0.150 0.414 0.273 0.163
a
n
ij
式中，(AW)i 表示向量AW的第i个分量
CI=( max -n)/n-1;CR=CI/RI;
i
一致性检验
i，j 1, 2,..., n
CR 0.10
进行综合判断，确定评价对象相对重 要性的总排序
由判断矩阵计算被比较因素对上一层次该准则 的相对权重，并进行一致性检验； 计算各层次因素相对于最高层次，即系统目标 的合成权重，进行层次总排序，并进行一致性 检验
高树鹏 0.244
对向量进行归一化处理
有发展潜力
唐纪星 于静涛 陈兴 高树鹏
0.689 1.270 0.637 0.414
0.228 0.424 0.221 0.137
得到所求的特征向量:W=(0.228,0.424,0.221,0.137)T
判断矩阵
w1 w1 w2 A w1 w3 w1
目标层：最高层，只有一个元素：所要解决问题的目的、预 定目标； 准则层：中间层：为了实现目标而建立起来的一套判断准则， 又可分为若干个层次； 方案层：最低层，也称为措施层：指为实现目标、解决问题 可供选择的各种决策、措施、方案等。
三个层次：
三、对同一层次的各因素关于上一层次中某一准则 的重要性进行两两比较，构造判断矩阵
指标
责任心
得分均值
5
准则 品行好
指标 家教好
热心
得分均值 3.916
3.833 4.25 4.083 3.833 3.333 3.25 3.25
尊重对方
专一
5
4.833
孝顺
大度
4.75
4.75
生活习惯好
身体健壮 讲卫生 勤劳 浪漫 不酗酒 不抽烟
宽容，体贴， 4.667 随和 善良 积极乐观 勇敢 不赌博 幽默 4.667 4.583 4.5 4.25 4
C.R.随机一致比率(consistency ratio)
CR=CI/RI; CR 0.10 以90%为置信区间，求得C.R.临界值（0.0019） 4 5 6 7 8 9 10
阶数 3 c.r
0.04 0.09 0.12 0.142 0.16 0.169 0.178 0.19 9 2 2 1 4
单层次计算步骤:和积法
a ij
aij
i=1 将判断矩阵每一列元素进行归一化处理 n 将归一化处理后的判断矩阵按行相加 w i a ij T 对向量进行归一化处理 1 , 2 ,......， n j=1 T 得到为所求的特征向量 1 , 2 ,......，n n AW i max 计算判断矩阵的最大特征根 nW i=1
多目标决策问题 简便实用
AHP法的基本思路
首先找出解决问题涉及的主要因素 这些因素按其关联、隶属关系构成递阶层次模 型 通过对各层次中各因素的两两比较的方式确定 诸因素的相对重要性 进行综合判断，确定评价对象相对重要性的总 排序。
AHP的基本步骤
将问题概念化，找出研究对象所涉及的主要因素； 分析各因素的关联、隶属关系，构造系统的递阶层次 结构； 对同一层次的各因素关于上一层次中某一准则的重要 性进行两两比较，构造判断矩阵； 由判断矩阵计算被比较因素对上一层次该准则的相对 权重，并进行一致性检验； 计算各层次因素相对于最高层次，即系统目标的合成 权重，进行层次总排序，并进行一致性检验。
层次分析法内容
基本原理
递阶层次结构 判断矩阵的构成 一致性检验 单层次计算方法 层次总排序 计算实例
层次分析法的计算
背景知识
匹兹堡大学教授、运筹学家T.L.Saaty 1977年，第一届国际数学建模会议 《无结构决策问题的建模——层次分析法》 Analytic Hierarchy Process——AHP 政治、经济、社会等各个领域得到广泛的应用。 AHP于1982年传入我国，迅速传播。
AW=nW
w1 w2 w2 w2 w3 w2
w1 w3 w2 aij nn w3 w3 w3
w1 w 2 ... wn
只要知道矩阵A，就可以通过求解A的最大特征根（n） 和特征向量（W），找到W的相对值。
计算判断矩阵的最大特征根
AHP的特点
AHP的整个过程体现了人的决策思维活动中分 析、判断、综合等的基本特征，并将人的主观 比较、判断用数量形式进行表达和处理。 虽然AHP的应用需要掌握一定的数学工具，但 从本质上说AHP是一种思维方法，是一种充分 运用人的分析、判断、综合能力的系统方法， 它并不是一种数学模型，而是定量分析与定性 分析相结合的典范，具有高度的有效性、可靠 性和广泛的适用性。
二、分析各因素的关联、隶属关系，构造系 统的递阶层次结构
分析各因素的关联、隶属关系，构造 系统的递阶层次结构
递阶层次结构
这些元素按其属性的不同，分成若干组，形成互不相交的层 次。是关于系统结构的抽象概念，是为研究系统各元素的相 互关系与功能的相互作用而构造的。 上一层次的元素作为准则对相邻的下一层次的全部或部分元 素起支配作用，同时它又受到更上一层元素的支配，这样就 形成了层次间自上而下的逐层支配关系。
陈兴
高树鹏
1/1.481
1/0.926
1/2.208
1/2.556
1
1/1.685
1.685
1
在这里，我们采取和积法详细讲解具体步骤
有发展 唐纪星 潜力 唐纪星 1 于静涛 1/0.600
陈兴 1/1.481
于静涛
0.600
陈兴
1.481
高树鹏
0.926
1
2.208
2.556
1.685
1/2.208 1
单层次计算步骤:方根法
计算判断矩阵A的每一行元素的乘积Mi 计算 Mi的n次方根 i 对向量 i 归一化， T 则 1 , 2 ,......，n 即为所求的特征向量 计算判断矩阵的最大特征根 ： n AW i max nWi i=1 式中，(AW)i 表示向量AW的第i个分量。
1.481 2.208 1
等 于
1/1.68 1 5
0.137
计算判断矩阵的最大特征根
（1/矩阵AW元素的个数）*（矩阵AW的对应元 素 与 矩阵W的对应元素之比，然后求得所有元 素比之和）
max
i=1
n
AW i
nWi
=0.889
一致性检验
C.I.一致性指标(consistency index)
将归一化处理后的判断矩阵按行相加
有发展 唐纪星 于静涛 陈兴 潜力
唐纪星 0.266 于静涛 0.600 陈兴 0.153 0.245 0.419 0.166 0.170 0.194 0.437 0.198 0.081
高树鹏
0.150 0.414 0.273 0.163 0.689 1.270 0.637 0.414
首先找出解决问题涉及的主要因素 这些因素按其关联、隶属关系构成递阶层次模 型 通过对各层次中各因素的两两比较的方式确定 诸因素的相对重要性 进行综合判断，确定评价对象相对重要性的总 排序。
AHP的基本步骤
一、将问题概念化，找出研究对象所涉及的主要
因素；
目标：好丈夫 准则：有发展潜力，有才能，生活习惯好，品行 好 决策：唐纪星，于静涛，陈兴，高树鹏
0.23 58 0.30 28 0.24 79 0.21 34
有发 展潜 力 唐纪 星 于静 涛 陈兴 高树 鹏
唐纪 星 1 1/0.6 00 1/1.4 81 1/0.9 26
于静涛
陈兴
高树 鹏 0.92 6 2.55 6 1.68 5
0.228 乘 以 0.424 0.221
0.600 1 1/2.20 8 1/2.55 6
三、对同一层次的各因素关于上一层次中某 一准则的重要性进行两两比较，构造判断矩 阵
好丈夫 有发展潜 有才能 力 2.096 有发展潜 1 力 1/ 2.096 1 有才能 品行好 1/ 2.449 1/ 1.867 1/0.484 品行好 2.449 1.867 1 1/ 1.038 生活习惯 好 1.346 0.484 1.038 1
标度bij 1 3 含 义
表示两个因素相比，具有相同的重要性 表示两个因素相比，i因素比j因素稍微重要
5
7 9
表示两个因素相比，i因素比j因素明显重要
表示两个因素相比，i因素比j因素强烈重要 表示两个因素相比，i因素比j因素极端重要
2，4， 上述两相邻判断的中值 6，8 倒数 bji表示j元素与i元素的比较判断，有bji=1/bij
生活习惯 1/ 1.346 好
判断矩阵
r11 r R= 21 . rm1 r12 r22 . rm2 ... r1n ... r2n r ij m n . . ... rmn
m个因素，n个元素