两条异面直线所成的角-

2020/6/26
两条异面直线所成的角
• 求法：
– 选取空间中恰当的点 – 过点作异面直线的平行线（有根据）
2020/6/26
两条异面直线所成的角
– 明确所求的角 – 求角
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两条异面直线所成的角
• 例：在如图的正方体中，求A1D与B1D1 所成的角.
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两条异面直线所成的角
– 在空间中任取一点，得相交直线成角，可能 会测得几个不同的成角的值？（在0o~180o 之间）
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两条异面直线所成的角
– 在每个点可以测得2个角的度数（一般情况 下），根据等角定理，在不同的点得到的角 的度数相等.
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两条异面直线所成的角
• 等角定理：
– 两个角两条边分别平行且方向相同，这两个 角相等；两组相交直线分别平行，它们所成 的锐角或直角相等.
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两条异面直线所成的角
– 任一点测量得到的角的度数相等，每一点 可以测得2个角的度数（除垂直外）.
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两条异面直线所成的角
– 要得到异面直线成角确定的值，取两角中的 锐角或直角.
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两条异面直线所成的角
• 定义：
– 从空间中任取一点，作两条异面直线的平行 线，两条相交直线所成的锐角或直角，叫两 条异面直线所成的角.
D A
E
C1
B1 F
C B
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练习2
要求
EF
和
BC
所成的角，
1
应该求 BC1D，
BC1D 60 o
要求的角为 60 o
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练习2
也可选E点，取C1D1中点G， 连接EG、GF， 在正方体中EG//BC1
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练习2
• 如图：
D1 G
C1
A1
B1
F
D
C
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两条异面直线所成的角
• 两条异面直线所成的角
– 上题中人在河岸上要准确测出公路和河流的 夹角，将考察哪一个角？
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两条异面直线所成的角
– 桥墩底部的直线和桥边缘平行，代表相同的 方向，桥墩底部直线和河岸在同一个平面内 ，是两条相交的直线成角可以测量.
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– 如任取一点P1，过这点作两条异面直线的平 行线，得到两条相交直线，通过研究两条相 交直线成角，从而可研究两条异面直线成角 .
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两条异面直线所成的角
– 若再任取一点P2，过这点作两条异面直线的 平行线，得到两条相交直线，从而可研究两 条异面直线成角。
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两条异面直线所成的角
两条异面直线所成的角
• 研究两条异面直线所成的角注意：
– 平行线代表相同的方向 – 异面直线成角问题应转化为一个平面内两条
相交直线去解决
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两条异面直线所成的角
• Hale Waihona Puke Baidu义：
– 可以从河岸上一点考察两条异面直线成角， 也可从其他地方考虑两条异面直线成角.
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两条异面直线所成的角
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两条异面直线所成的角
• 一条公路大约是东西走向，一条河流大 约是南北走向，问公路（路线）和河流 （航线）它们之间大约成多少度角？
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两条异面直线所成的角
• 公路线和航线是异面直线，公路方向大 约是东西，河流方向大约是南北，根据 经验，公路和河流之间大约成90o角.
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练习1
要求AA1与B1C1所成的角， 应该求AA1D1， AA1D1 90o AA1和B1C1所成的角为90o
2020/6/26
练习1
也可选B1点， 在正方体中AA1//BB1
2020/6/26
练习1
要求AA1与B1C1所成的角， 应该求BB1C1， BB1C1 90o AA1和B1C1所成的角为90o
2020/6/26
练习2
• 练习2：在如图的正方体中，E、F分别 是AB、BB1中点，求EF和BC1所成的角.
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练习2
• 如图：
D1
A1
D A
E
C1
B1 F
C B
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练习2
• 解： 选A点，连接AD1，AB1 在正方体中AD1//BC1，AB//EF
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练习1
也可选B点， 在正方体中B1C1//BC， AA1//BB1
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练习1
要求AA1与B1C1所成的角， 应该求B1BC， B1BC 90o AA1和B1C1所成的角为90o
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练习1
• 解（2）： 选C1点，连接BC1 在正方体中BC1//AD1
A EB
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练习2
要求EF和BC1所成的角 应该求GEF 要求的角为60o
2020/6/26
练习2
也可选F点， 取B1C1中点H， 连接FH、AH，
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练习2
• 如图：
D1 A1
D A
E
C1 H
B1 F
C
B
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练习2
要求
EF
和
BC
所成的角，
1
应该求 EFH ，
2020/6/26
两条异面直线所成的角
要求 A1D与B1D1成角， 应该求 B1D1C，连接 CD1 在正方体中 B1C B1D1 CD1 B1D1C 60 o A1D与B1D1所成的角为 60 o
2020/6/26
两条异面直线所成的角
• 如图：
D1
A1
D A
C1 B1
C B
2020/6/26
2020/6/26
练习1
• 如图：
D1
A1
D A
C1 B1
C B
2020/6/26
练习1
要求AD1与BC1所成的角， 应该求B1C1B， B1C1B 45o AD1和B1C1所成的角为45o
2020/6/26
练习1
也可选D1点， 在正方体中A1D1//B1C1
2020/6/26
练习1
要求AD1与BC1所成的角， 应该求A1D1 A， A1D1A 45o AD1和B1C1所成的角为45o
2020/6/26
两条异面直线所成的角
– 如果两条异面直线所成的角是直角，就说这 两条异面直线互相垂直.
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两条异面直线所成的角
– 观察图形运动时不同直观图的形状.
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两条异面直线所成的角
– 任意取的一点，可在两条异面直线之外取， 也可在两条异面直线上取，根据两条异面直 线所成的角的定义仍可得到相同的异面直线 所成的角.
两条异面直线所成的角
• 说明：
– 可以运用图形转动，观察所成 的角.
2020/6/26
练习1
• 练习1：在如图所示正方体中，分别求 AA1和B1C1，AD1和B1C1所成的角.
2020/6/26
练习1
• 如图：
D1
A1
D A
C1 B1
C B
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练习1
• 解（1）： 选A1点， 在正方体中B1C1//A1D1
2020/6/26
EFH 120 o
要求的角为 60 o
2020/6/26
练习2
注意要求EFH， 先求EH， 通过B1HE来求EH。
2020/6/26
练习2
• 说明：
– 解题时注意异面直线所成的角定义和求法， 将空间直线所成的角转化成平面内相交直线 的成角，这种转化方法是比较常用的，转化 的方法可以不惟一，要深刻体会转化过程.
练习2
• 如图：
D1
A1
D A
E
C1
B1 F
C B
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练习2
要求EF和BC1所成的角， 应该求 D1 AB， D1AB 60o EF和BC1所成的角为 60o
2020/6/26
练习2
选C1点，连接C1D，BD 在正方体中C1D//EF
2020/6/26
练习2
• 如图：
D1
A1
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两条异面直线所成的角
• 如图：
D1
A1
D A
C1 B1
C B
2020/6/26
两条异面直线所成的角
• 注意解题步骤： 选点、平移、明确所成的角、 求角.
2020/6/26
两条异面直线所成的角
选B1点，也可以连接B1C
在正方体中A1B1//CD 四边形A1B1CD为平行四边形 A1D//B1C
• 如图：
D1
A1
D A
C1 B1
C B
2020/6/26
两条异面直线所成的角
• 解：选D点，连接BD
在正方体中BB1 //DD1 四边形BB1D1D为平行四边形 BD//B1D1
2020/6/26
两条异面直线所成的角
要求 A1D与 B1D1成角， 应该求 A1DB ，连接 A1B 在正方体中 A1D DB A1B A1DB 60 o A1D与 B1D1所成的角为 60 o