北师大版高中数学必修四弧度制课件
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《弧度制》(北师大版必修4)教育课件
2
4
，k Ζ
B． 2 k
C．
k 2
2 3
3
，k Ζ
与 k
，k Ζ
D． 2 k 1 与 3 k ， k Ζ
.
小结
（1） 180 弧度； （ 2）“角化弧”时，将 n 将 乘以
180
乘以
180
；“弧化角”时，
；
（3）弧长公式： l r 扇形面积公式： S
演示课件
.
一般地有：正角的弧度数是一个正数， 负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数 是0；角 的弧度数的绝对值
| | l r
其中 l 是 以 角 作为圆心角时所对的弧长，
r 是圆的半径。
.
角度制与弧度制的换算
1 把角度换成弧度
360 2 rad
2 把弧度换成角度
2 rad=360。
．
.
例6 求图中公路弯道处弧
的长l （精确到 1m ，图中长度单位：m ）．
.
练习
（1）若三角形的三个内角之比是2：3：4，求其三个内角 的弧度数．
2 （2）已知扇形的周长为 8cm ，面积为 4cm ，求扇形的中 心角的弧度数．
.
（3）下列角的终边相同的是（ A． k
4
）．
与 2 k 与
1 2 lr 1 2 r （其中 l为圆心角 所
2
对的弧长， 为圆心角的弧度数， r 为圆半径．）
.
作业
.
助听器 助听器价格 / 助听器 助听器价格
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滴滴的解释着。旁边被百蝶遗忘的慕容凌娢可谓是坐立不安，不知该怎么做，只好呆呆地看着他们沉浸在自己的“二人世界”之中。“韩公子， 昨天礼部张大人来过，百蝶听他说明年的会试定会由他主持……”百蝶突然转移了话题。“啪”的一声，那位公子猛然将手中杯子放在桌上，茶 水溅到了桌子。把正在发愣的慕容凌娢吓了一跳。喝茶就喝茶，怎么突然就生气了，我想喝还不行呢……说好了回来就吃东西，可我都等了这么 多章了，还只是坐在这里当背景……再不吃东西我就真的要挂了！“笑话！会试的主考官向来是由圣上定夺，他一个礼部侍郎竟敢如此揣测圣意， 真是太放肆了。”他皱了皱眉，然后脸上出现了不屑的笑，“倒是百蝶，你怎么开始在意这种事了呢？”“百蝶不是有意要惹公子生气的。”百 蝶低着头小声说，颇有一副无辜的样子，“只是……只是那天张大人喝多了酒，说得话有些猖狂……”“无妨，我又不会怪你。”他爱抚的将百 蝶搂在怀里，安慰她道，“这种人的言论你不要太在意就是了。”猖狂也是要有本钱的，谁让人家权高位重，你们在这说这些有什么用？再说下 去，一条人命就要被你们给间接杀害了。慕容凌娢不满的撇了撇嘴。不行，他们两个在那里不停地唧唧歪歪，鬼知道什么时候会说完。我必须想 办法让那个撩妹的家伙赶快离开，不然我迟早是饿死的料。“据我所知，会试历来是由礼部主持。”慕容凌娢生硬的插嘴道，“所以……不管你 怎么说，都是改变不了这个事实的。”“这位是……”那人在此时才注意到了慕容凌娢。原来你刚才根本就没有正眼看我啊？现在才发现我的存 在，也太不尊重人了吧……慕容凌娢平复了一下自己的情绪，仔细想想，这也不能怪他啊，毕竟自己在这里如坐针毡的等了半天，都没有敢发表 一下自己的意建，他没注意也是可以理解的。“这是我的远房表妹，初次来京城。没见过世面，也不懂礼数，还请公子恕罪。”百蝶一边介绍一 边用眼神示意慕容凌娢别在多说，“白绫，还不快给韩公子赔罪！”为什么要我给他赔罪？我说的明明就是实话啊。慕容凌娢看了他一眼，并没 有要道歉的意思。那人没有等到慕容凌娢的道歉，倒是产生了一丝惊奇。“原来如此，我说怎么没见过，原来不是醉影楼的人啊。”他饶有兴趣 的看了一眼慕容凌娢，继续说到，“这醉影楼里，还从未有人敢反驳我。”“没有人反驳不代表你是正确的，而且大多数客观存在的事情即是不 用反驳，也是事实。”“你的大道理还真有意思。”他起身便准备离去，“别被你所相信的真理给骗了。”“韩公子……莺凝，去送送韩公子。” 百蝶对站在走廊上的一个女子说道。可算是走了，慕容凌娢心里高兴的不能行，可偏偏还要装出什么都不知道的样子。可
4
，k Ζ
B． 2 k
C．
k 2
2 3
3
，k Ζ
与 k
，k Ζ
D． 2 k 1 与 3 k ， k Ζ
.
小结
（1） 180 弧度； （ 2）“角化弧”时，将 n 将 乘以
180
乘以
180
；“弧化角”时，
；
（3）弧长公式： l r 扇形面积公式： S
演示课件
.
一般地有：正角的弧度数是一个正数， 负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数 是0；角 的弧度数的绝对值
| | l r
其中 l 是 以 角 作为圆心角时所对的弧长，
r 是圆的半径。
.
角度制与弧度制的换算
1 把角度换成弧度
360 2 rad
2 把弧度换成角度
2 rad=360。
．
.
例6 求图中公路弯道处弧
的长l （精确到 1m ，图中长度单位：m ）．
.
练习
（1）若三角形的三个内角之比是2：3：4，求其三个内角 的弧度数．
2 （2）已知扇形的周长为 8cm ，面积为 4cm ，求扇形的中 心角的弧度数．
.
（3）下列角的终边相同的是（ A． k
4
）．
与 2 k 与
1 2 lr 1 2 r （其中 l为圆心角 所
2
对的弧长， 为圆心角的弧度数， r 为圆半径．）
.
作业
.
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滴滴的解释着。旁边被百蝶遗忘的慕容凌娢可谓是坐立不安，不知该怎么做，只好呆呆地看着他们沉浸在自己的“二人世界”之中。“韩公子， 昨天礼部张大人来过，百蝶听他说明年的会试定会由他主持……”百蝶突然转移了话题。“啪”的一声，那位公子猛然将手中杯子放在桌上，茶 水溅到了桌子。把正在发愣的慕容凌娢吓了一跳。喝茶就喝茶，怎么突然就生气了，我想喝还不行呢……说好了回来就吃东西，可我都等了这么 多章了，还只是坐在这里当背景……再不吃东西我就真的要挂了！“笑话！会试的主考官向来是由圣上定夺，他一个礼部侍郎竟敢如此揣测圣意， 真是太放肆了。”他皱了皱眉，然后脸上出现了不屑的笑，“倒是百蝶，你怎么开始在意这种事了呢？”“百蝶不是有意要惹公子生气的。”百 蝶低着头小声说，颇有一副无辜的样子，“只是……只是那天张大人喝多了酒，说得话有些猖狂……”“无妨，我又不会怪你。”他爱抚的将百 蝶搂在怀里，安慰她道，“这种人的言论你不要太在意就是了。”猖狂也是要有本钱的，谁让人家权高位重，你们在这说这些有什么用？再说下 去，一条人命就要被你们给间接杀害了。慕容凌娢不满的撇了撇嘴。不行，他们两个在那里不停地唧唧歪歪，鬼知道什么时候会说完。我必须想 办法让那个撩妹的家伙赶快离开，不然我迟早是饿死的料。“据我所知，会试历来是由礼部主持。”慕容凌娢生硬的插嘴道，“所以……不管你 怎么说，都是改变不了这个事实的。”“这位是……”那人在此时才注意到了慕容凌娢。原来你刚才根本就没有正眼看我啊？现在才发现我的存 在，也太不尊重人了吧……慕容凌娢平复了一下自己的情绪，仔细想想，这也不能怪他啊，毕竟自己在这里如坐针毡的等了半天，都没有敢发表 一下自己的意建，他没注意也是可以理解的。“这是我的远房表妹，初次来京城。没见过世面，也不懂礼数，还请公子恕罪。”百蝶一边介绍一 边用眼神示意慕容凌娢别在多说，“白绫，还不快给韩公子赔罪！”为什么要我给他赔罪？我说的明明就是实话啊。慕容凌娢看了他一眼，并没 有要道歉的意思。那人没有等到慕容凌娢的道歉，倒是产生了一丝惊奇。“原来如此，我说怎么没见过，原来不是醉影楼的人啊。”他饶有兴趣 的看了一眼慕容凌娢，继续说到，“这醉影楼里，还从未有人敢反驳我。”“没有人反驳不代表你是正确的，而且大多数客观存在的事情即是不 用反驳，也是事实。”“你的大道理还真有意思。”他起身便准备离去，“别被你所相信的真理给骗了。”“韩公子……莺凝，去送送韩公子。” 百蝶对站在走廊上的一个女子说道。可算是走了，慕容凌娢心里高兴的不能行，可偏偏还要装出什么都不知道的样子。可
北师大版高中数学必修四课件§3弧度制
kp p 与 k p + ，k ? Ζ C． 2 2
D．
(2k + 1)p与 3k p，k Î Ζ
2.如图，已知角的终边区域，求出角的范围. y y
0 (1)
45
0
0
45
(2)
0
x
x
禳 p 镲 (1) 睚 a | 2k p + ＃a 4 镲 铪 答案： 镲
禳 p 镲 (2) 睚 a | k p + ＃a 镲 4 镲 铪
︱ α︱ =
l r
其中l为以角α 作为圆心角时所对圆弧的长，r为圆的半径.
这种以弧度作为单位来度量角的单位制，叫作弧度制.
由180°=π 弧度还可得
π 1°=——弧度≈ 0．01745弧度 180
180 1弧度=（——）°≈57． 30°=57°18′ π
例1把45°化成弧度. 解45°=
3 5
写，但用“度”（°）为单位时不能省. 3.用弧度为单位表示角时，通常写成“多少π ”的形式.
4.用弧度来度量角，实际上角的集合与实数集R之间建立一 一对应的关系：
正角 零角
正实数
对应角的 弧度数
零
负实数
负角
角的集合
实数集R
1.下列各选项中角的终边相同的是（ B ）．
p p A． k p + 与2k p 蔽 ，k Ζ 4 4 p 2p B． 2 k p 与 p + ，k ? Ζ 3 3
若l=2π r，
l = 则∠AOB=2π 弧度 r l=2πr 2π弧度 O r A(B)
若圆心角∠AOB表示一个负角，且它所对的弧的长为3r， 则∠AOB的弧度数的绝对值是
l
即∠AOB=－
高中数学北师大版必修4第1章3《弧度制》ppt课件
第一章 三角函数
第一章 §3 弧度制
1
课前自主预习
3
易错疑难辨析
2
课堂典例讲练
4
课时作业
课前自主预习
• 节是航海速度单位，舰船每小时航程1海里为1节， 用代号“kn”表示．国际上承认的标准海里是1 852 米，我国也承认这个标准，海里的代号为“M”．而 汽车的时速单位是千米/时，用代号“km/h”表
[规律总结]
(1)明确弧度制下扇形的面积公式是S＝
1 2
lR＝
12|α|R2(其中l是扇形弧长，α是扇形圆心角)．
(2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关
键是先分析题目中已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公
式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．
• 已知一扇形的周长为40 cm，当它的半径和圆心角取 什么值时，才能使该扇形的面积最大？最大面积是 多少？
的弧度数是( )
A．π3
B．π6
C．1 [答案] [解析]
D．π A ∵弦长与圆的半径长相等，
∴弦所对的圆心角为π3弧度．
• 2．若α ＝－3，则角α 的终边在( ) • A．第一象限 B．第二象限 • C．第三象限 D．第四象限 • [答案] C
[解析] ∵－π<－3<－π2，
∴角α的终边在第三象限．
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、 语文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面 的内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
第一章 §3 弧度制
1
课前自主预习
3
易错疑难辨析
2
课堂典例讲练
4
课时作业
课前自主预习
• 节是航海速度单位，舰船每小时航程1海里为1节， 用代号“kn”表示．国际上承认的标准海里是1 852 米，我国也承认这个标准，海里的代号为“M”．而 汽车的时速单位是千米/时，用代号“km/h”表
[规律总结]
(1)明确弧度制下扇形的面积公式是S＝
1 2
lR＝
12|α|R2(其中l是扇形弧长，α是扇形圆心角)．
(2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关
键是先分析题目中已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公
式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．
• 已知一扇形的周长为40 cm，当它的半径和圆心角取 什么值时，才能使该扇形的面积最大？最大面积是 多少？
的弧度数是( )
A．π3
B．π6
C．1 [答案] [解析]
D．π A ∵弦长与圆的半径长相等，
∴弦所对的圆心角为π3弧度．
• 2．若α ＝－3，则角α 的终边在( ) • A．第一象限 B．第二象限 • C．第三象限 D．第四象限 • [答案] C
[解析] ∵－π<－3<－π2，
∴角α的终边在第三象限．
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、 语文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面 的内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
数学：1.3.1《弧度制》课件(北师大必修4)
无关
60进制
弧度（rad） 1弧度是和半径长相等的圆弧所 对的圆心角
无关弧是一个半圆，则其圆心角的弧度数是多少？ 若弧是一个整圆呢？
180 rad 360 2rad
1o rad 0.01745rad
180
1rad
180 o
57.30o
57o18 '
角度化为弧度 弧度化为角度
57.30o
57o18 '
作业
层次1：预习本节余下内容 层次2:试推导弧度制下的扇形面积公式
说明：
1：“弧度”二字或者“rad”通常省略不写。
2：0 ~ 360 的角的弧度数必然在 0 ~ 2
范围内。
3：正角弧度数为正，负角弧度数为负，零 角弧度数为零。
弧度
角度
长度
概念巩固
例1:下列命题中，正确的是D（ ）
A：一弧度就是一度的圆心角所对的弧 B：一弧度是长度为半径的弧 C：一弧度是一度的弧与一度的角之和 D：一弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角，
必修4 第一章 三角函数
1.1.2 弧度制（第一课时）
学习目标：
• 1.理解弧度制的有关概念 • 2.能正确的进行弧度与角度之间的换算
探究新知
弧长公式 l nr
180
相同圆心角 下通过度量得到下表：
弧长/cm
0.80
0.86
1.21
2.35
半径/cm
0.93
1.00
1.40
2.71
弧长与半径之 比
键．
1 rad
180
1rad
180
例4：写出一些特殊角的弧度数
角 度
0 30 45 60 90 120135150180270 360
北师大版数学必修四课件：弧度制
∴当扇形的圆心角为 2 弧度时,扇形面积有最大值 .
16
.. 导. 学 固思
设角 α1=-570°,α2=750°,β1= 5 ,β2=- 4 . (1)将 α1、α2 用弧度制表示出来,并指出它们各自所在 的象限; (2)将 β1、β2 用角度制表示出来,并在-720°~0°之间 找出与它们有相同终边的所有角.
∵α =60°= ,R=10,∴l= π (cm),
3 3 π 10 1 2 10 3 1 π 3 3
S 弓=S 扇-S△= × π ×10- ×10×10sin 60°=50( - )(cm ). (2)由已知得 2R+l=c,∴R=
1 4 ������ ������ 2 ������ 2 16 2 2 ������ -������ 2
.. 导. 学 固思
1
225°角的弧度数为( C ). A.
π 4
π 180
B.
3π 4
C.
5π 4
π
D.
180
7π 4
【解析】因为 1°=
2
rad,所以 225°=225×
= .
4
5π
若一扇形的圆心角为 72°,半径为 20 cm,则扇形的面积 为( B ). 2 2 2 2 A.40π cm B.80π cm C.40 cm D.80 cm
【解析】72°= ,S 扇形= |α |R = × ×20 =80π (cm ).
5 2 2 5 2π 1
2
1
2π
2
2
.. 导. 学 固思3Fra bibliotek半径为 2 的圆中,弧长为 4 的弧所对的圆心角 是 2 rad .
【解析】α = = =2(rad).
高中数学北师大版必修四课件集弧度制
S扇 = 360
2、弧度制下的弧长公式 l = r
弧度制制下的扇形面积公式
S扇
=
1 lr 2
=
1 2
| | r2
l [例4]．求图中公路弯道处弧 的长
（精确到 1m ，图中长度单位：m）．
例5 已知扇形的周长为10cm, 面积为4cm2,求扇形的圆心角.
分析:要求圆心角,根据公式| |= l ,需求弧长l及半径R.
R
当R=4时,l=2cm时, = l = 1
R2 1
∴所求扇形的圆心角的弧度数为
2
1、已知扇形周长为6cm，面积为2cm2，则扇形
圆心角的弧度数为 C
A、1
B、4
C、1或4 D、2或4
2、当圆心角α=-216o，弧长l =7πcm时，其半径
r=__3_5_c_m___
6
所对3、圆在弧半的径长为为3_0__的4_0_圆__中__，__圆心角为周角的
（1）用角度表示
与终边相同的角可以表示为： k 360，k Z 它们构成一个集合：
S = | = k 360 , k Z
2k，k Z
（2）用弧度表示
与终边相同的角可以表示为：
它们构成一个集合：
S = | = 2k , k Z
弧度 这个关键．
练习：填表
度 30 45 60 90 180 270 360
弧度 6
4
3
2
3
2
2
弧度 度
弧度 度
0
12
6
4
3
高中数学 1.3 弧度制课件 北师大版必修4
1．在进行角度制和弧度制的换算时，抓住关系式 π rad ＝180°是解题的关键．
2．一些特殊角 30°，45°，60°，90°，270°等的弧度数与 度数的对应制今后常用，应熟记．
3．弧度与角度在表示角时，二者不可混合使用，如 β＝ 2kπ＋30°(k∈Z)，这种方法是不恰当的．
把－1 480°写成 α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中 0≤α<2π. 【解】 ∵－1 480°＝1π80×(－1 480)＝－794π. 又∵－749π＝－10π＋196π，且 0≤196π<2π. ∴－1 480°＝2×(－5)π＋196π.
一般地对于概念客观题的判定，要紧扣概念的本质及概 念中的易错、易混的词，同时要区分相近概念的异同点．
下列各说法中，错误的说法是( ) A．半圆所对的圆心角是 π rad B．周角的大小等于 2π C．1 弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径 D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是 1 弧度
【解析】 根据 1 rad 的定义：我们把长度等于半径长的 弧所对的圆心角叫 1 rad 的角．
对照选项，知 A、B、C 正确，D 项错误．
【答案】 D
角度制与弧度制的互化
将下列各角度与弧度互化． (1)22.5°；(2)112°30′；(3)94π；(4)－3 rad. 【思路探究】 依据换算关系 π rad＝180°逐个角进行转 化．
【自主解答】 (1)22.5°＝1π80rad×22.5＝π8rad. (2)112°30′＝112.5°＝1π80rad×112.5＝58πrad. (3)94π＝94×180°＝405°. (4)－3 rad＝－3×(1π80)°≈－3×57.30°＝－171.90°.
弧度制
弧长公式
数学：第一章《弧度制》课件(北师大版必修4)
4 π (3) 5
5π o o (4)-150 (4) 6 (3)-144
1、对于一些特殊角的度数与弧度数 注：
之间的换算要熟记。
45 °
度 弧 度
0° 30 °
60 ° 90 ° 180 ° 270° 360°
0
π
6
π 4
π 3
π 2
π
3 π 2π 2
2、用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”二字 通常省略不写，但用“度”（°）为单位不能省。 3、用弧度为单位表示角时，通常写成“多少π”的形式。
解题思路
判断一个用弧度制表示 的角所在象限 , ,然 2 ( )的形式 一般是将其化成 后再根据 所在象限予以判断 .
( 2 1) ( ) 注意: 不能写成 的形式 . 10 例 3 不 能写 成 3 3 的 形 式, 4 而 应写 成 2 3
例3、把下列各角化成 2k 0 2，k Ζ 的形式： 16 11 （1 ） ；（2） 315 ；（3） ．( 4) 8 3 7 16 4 （1）： 4 3 3 7 0 315 2
（2）:
4
4
11 3 （3）： 2 7 7
|
( ) ( ) ( )
( )
； 上海策划公司 上海创意设计公司 上海公关策划公司 上海广告公司 上海广告 有限公司 上海广告制作公司 ；
比の上煞气の毒/这壹句话让众人愣咯愣/但很快它们就明白咯/只见马开手臂甩动之间/有着壹条巨大の螣蛇煞暴动而出/很旧很慢比较/)螣蛇煞舞动之间/煞气喷涌/直接冲击在漫滴の毒物之上/螣蛇煞何其恐怖/它确定拥有法则の东西/冲击之间/顿时腐蚀壹片片毒物/不管确定七彩蝙蝠/还确
高中数学北师大版必修4 弧度制 课件(34张)
3.弧度数与弧长公式 正数；任一 (1)符号：一般地，任一正角的弧度数都是一个 ____ 0 ． 负数；零角的弧度数是_____ 负角的弧度数都是一个___ (2)公式：如图所示，l、r、α分别是弧长、半径、弧所对的圆
心角的弧度数．
l r ； 弧度数公式：|α|＝_____ |α|r ； 弧长公式：l＝______
学习目标
学法指导
1.角的度量单位 (1)角度制 规定周角的________为1度的角，这种用度作为单位来度量角 的单位制叫做角度制． (2)弧度制 单位长度 的弧所对的圆心角为1 在以单位长为半径的圆中，__________ rad ，读作弧度． 弧度的角，它的单位符号是_______
1 360
(3)弧度制与角度制的比较 用角度作 角大小与 单位 为单位来 半径无关 “°” 度量角的 不能 单位制 省略 单位 用弧度作 “rad” 角大小与 为单位来 度量角的 半径无关 可以 省略 单位制
π 10 rad； 1.(1)18°＝________
3 π (2)67°30′＝ ________ rad； 8
3 54 (3) π rad＝ ________ 度； 10
114.6 度． (保留一位小数 ) (4)2 rad≈ ________
π π 解析： (1)18°＝ ×18＝ rad； 180 10 π 3 (2)67° 30′＝ 67.5°＝67.5× ＝ π rad； 180 8 3 180 3 (3) π rad＝ 10π × π °＝ 54°； 10 (4)2 rad≈ 57.3°× 2＝ 114.6° .
r是扇形的半径，n是 圆心角的角度数
r是扇形的半径，α是 圆心角的弧度数，l 是弧长
显然弧度制下的两个公式在形式上都要简单得多，记忆和应
《弧度制》课件(北师大版必修4)
180
(180)0
57018'
2）几个特殊角的弧度，30°45°60°90° 3）弧度符号rad常可省去不写，
弧度数与实数是一一对应的。
5. 弧长公式与扇形面积公式: 1) 弧长公式L=｜α｜R （α为弧度）
2) 扇形面积公式:
S 1 LR 2
二、例题：
例题1. 1) 把67°30′化成弧度； 2) 把 3 rad化成度数；
若时针转过3cm,则时针转过的弧长是
_________
作业: P习题1. (1) 2.(1),(3) 4. 6. 7 (3) (4). 8.
小结：
角的度量形式(角度制,弧度制),弧度的单 位.弧度的意义,角度制与弧度制间的互 换.会用弧度研究有关问题(弧长,扇形面 积等)
小宝结：剑锋从磨砺出 本节课重点学习了圆的标准方程和一
3°在半径为R的圆中，任一角α的弧度数的
绝对值都满足|α|= L R
其中L是圆心角α所对圆弧的长,R是圆的半径.
3. 弧度制: 用“弧度”作为单位来度量角的 单
位制—弧度制 角度制 ﹟角的度量方法 弧度制 4. 角度与弧度的互换:
360°=2πrad
πrad=180°
﹟：1）
10
,1rad
4
4
S 1 LR 1 R2 1 15 25 75
2
2
24
8
2) 已知扇形的周长为20cm,当扇形的
中心角为多大时，它有最大面积？这是？
解:2) 设圆半径为R, 则
（弧长,扇
L
20
2R
R, S
1
LR
(180)0
57018'
2）几个特殊角的弧度，30°45°60°90° 3）弧度符号rad常可省去不写，
弧度数与实数是一一对应的。
5. 弧长公式与扇形面积公式: 1) 弧长公式L=｜α｜R （α为弧度）
2) 扇形面积公式:
S 1 LR 2
二、例题：
例题1. 1) 把67°30′化成弧度； 2) 把 3 rad化成度数；
若时针转过3cm,则时针转过的弧长是
_________
作业: P习题1. (1) 2.(1),(3) 4. 6. 7 (3) (4). 8.
小结：
角的度量形式(角度制,弧度制),弧度的单 位.弧度的意义,角度制与弧度制间的互 换.会用弧度研究有关问题(弧长,扇形面 积等)
小宝结：剑锋从磨砺出 本节课重点学习了圆的标准方程和一
3°在半径为R的圆中，任一角α的弧度数的
绝对值都满足|α|= L R
其中L是圆心角α所对圆弧的长,R是圆的半径.
3. 弧度制: 用“弧度”作为单位来度量角的 单
位制—弧度制 角度制 ﹟角的度量方法 弧度制 4. 角度与弧度的互换:
360°=2πrad
πrad=180°
﹟：1）
10
,1rad
4
4
S 1 LR 1 R2 1 15 25 75
2
2
24
8
2) 已知扇形的周长为20cm,当扇形的
中心角为多大时，它有最大面积？这是？
解:2) 设圆半径为R, 则
（弧长,扇
L
20
2R
R, S
1
LR
§3 弧度制 课件高中数学必修4(北师大版)
解：(1) 3π
8
2π (2) 3
(5) 5π 3
(3)
5π 12
7π 6
3π (4) 4
(6)-
4.把下列各弧度化成度.
(1) 4π
5 (3) - 4π 5
π 12 (4) - 5π 6
(2)
解：(1)144° (3)-144°
(2)15°
(4)-150°
1.一个概念：弧度制的概念 角与实数间的一一对应关系 2.一个方法：角度制与弧度制的互化 3.两个公式：扇形的面积公式、弧长公式
重要的不是知识的数量，而是知识的质量，有些 人知道很多很多，但却不知道最有用的东西。
——列夫•托尔斯泰
§3 弧度制
1.理解弧度的意义；(难点） 2.能正确地进行弧度与角度的换算,熟记特殊角的弧度数； （重点） 3.了解角的集合与实数集R之间的一一对应关系.
1.角度制的定义
规定周角的
1 为1度的角，这种用度作为单位来度量角的 360
单位制叫做角度制.
2.弧长公式及扇形面积公式
n°
l
nπR l= ——— 180
正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧 度数为零，任一已知角α的弧度数的绝对值
l r
其中l为以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r为圆的半径. 这种用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制.
角度制、弧度制互化
若l=2πr，
l 则∠AOB= 2πrad r
360°= 2π rad 180°=π rad
练习：写出一些特殊角的弧度数 角 度 弧 度
0 30 45 60 90 120 135
150 180 270
北师大版必修4 弧度制 课件(42张)
24
用弧度制表示终边相同的角
【例 2】 (1)把－1 480°写成 α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中 0≤α<2π；
(2)若 β∈[－4π，0)，且 β 与(1)中 α 终边相同，求 β. [解] (1)∵－1 480°＝－794π＝－10π＋169π，0≤169π<2π， ∴－1 480°＝169π－2×5π＝169π＋2×(－5)π. (2)∵β 与 α 终边相同，∴β＝2kπ＋196π，k∈Z. 又∵β∈[－4π，0)，∴β1＝－29π，β2＝－290π.
28
弧长公式与面积公式的应用 [探究问题] 1．扇形的半径，弧长及圆心角存在怎样的关系？ [提示] |α|＝rl. 2．扇形的面积和相应的弧长存在怎样的关系？ [提示] S＝12lr.
29
【例 3】 一个扇形的面积为 1，周长为 4，求该扇形圆心角的弧 度数．
[思路探究] 设扇形的半径为R，弧长为l → 根据条件列方程组 → 解方程组求R、l → 求圆心角
∴当扇形的圆心角为 2 rad，半径为 10 cm 时，扇形的面积最大为 100 cm2.
34
灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题 的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题， 将扇形面积表示为半径的函数，转化为 r 的二次函数的最值问题.
35
1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集 R 之间建 立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度 数)与它对应；反过来，每一个实数也都
第一章 三角函数
§3 弧度制
2
学习目标
核心素养
1.了解角的另外一种度量方法 1.通过学习弧度制的概念，提升
——弧度制． 数学抽象素养．
第一章3弧度制-北师大版高一数学必修4课件(共19张PPT)
正角 零角 负角
角的集合
正实数 0
负实数
实数集R
三、新旧融合 知识重建
一些特殊角的度数与弧度数的对应表：
度
数 0o 30o 45o 60o 90o 120o 135o 150o 180o 360o
弧
0 度
0
数
64
3
2
2 3 5 346
2
注：1.用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”或“rad”通常
江西省2020年寒假及春季学期延期开学期间线上教育课程 北师大版 高中数学 必修4
第一章 三
角度制
用周角的 1 作为一个单位，称为 1 度角，
360
用度作为单位来度量角的单位制，就叫角度制.
扇形弧长、面积公式
l nR 180
S nR2 360
一、回忆旧知 提出问题
省略不写，但用“度（ o）”为单位时不能省略;
2.用弧度制表示角时，通常写成“多少 ”的形式，如
无特别要求，不用将其化成小数;
3.弧度与角度不能混用．即不可写成
形式.
四、巩固新知 加深理解
例 （1）把 45化成弧度；（2）把 600化成弧度．
解 (1)45o 45 rad rad；
180
4
(2)-600o （-600） rad 10 rad.
180
3
四、巩固新知 加深理解
例 (1)把 3 π rad 化成度；（2）把 9 π rad化成度．
5
5
解
3
3 180o
(1) rad
108o;
5
5
(2) 9 rad 9 180o 324o.
5
5
注：角度制与弧度制互化时要抓住 180o rad 这个关键．
高中数学第一章三角函数3弧度制课件北师大版必修4
解答
(2)在[0°，720°]内找出与25π角终边相同的角. 解 ∵25π＝25π×1π80°＝72°， ∴终边与25π角的终边相同的角为 θ＝72°＋k·360°(k∈Z)， 当k＝0时，θ＝72°；当k＝1时，θ＝432°. ∴在[0°，720°]内与25π角终边相同的角为 72°，432°.
A.2
B.sin2 1
C.2sin 1
√D.sin4 1
解析 连接圆心与弦的中点，则以弦心距、弦长的一半、半径长为长度
的线段构成一个直角三角形，半弦长为 2，其所对的圆心角也为 2，故半
径长为sin2 1. 这个圆心角所对的弧长为 2×sin2 1＝sin4 1.
解析 答案
反思与感悟 联系半径、弧长和圆心角的有两个公式：一是 S＝12lr＝12|α|r2， 二是 l＝|α|r，如果已知其中两个，就可以求出另一个.求解时应注意先把 度化为弧度，再计算.
解答
反思与感悟 用弧度制表示终边相同的角2kπ＋α(k∈Z)时，其中2kπ是π 的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用.
跟踪训练2 (1)把－1 480°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α≤2π； 解 ∵－1 480°＝－1 480×1π80＝－794π， 而－749π＝－10π＋169π，且 0≤α≤2π，∴α＝169π. ∴－1 480°＝169π＋2×(－5)π.
π rad＝_1_8_0_°_
1°＝
π 180
rad≈ 0.017 45
rad
1 rad＝18π0°≈ 57.30°＝57°18′
(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系
度 0° 1° 30°_4_5_°_ 60°_9_0_°_ 120°_1_3_5_°_ 150°180°_2_7_0_°_ 360°
(2)在[0°，720°]内找出与25π角终边相同的角. 解 ∵25π＝25π×1π80°＝72°， ∴终边与25π角的终边相同的角为 θ＝72°＋k·360°(k∈Z)， 当k＝0时，θ＝72°；当k＝1时，θ＝432°. ∴在[0°，720°]内与25π角终边相同的角为 72°，432°.
A.2
B.sin2 1
C.2sin 1
√D.sin4 1
解析 连接圆心与弦的中点，则以弦心距、弦长的一半、半径长为长度
的线段构成一个直角三角形，半弦长为 2，其所对的圆心角也为 2，故半
径长为sin2 1. 这个圆心角所对的弧长为 2×sin2 1＝sin4 1.
解析 答案
反思与感悟 联系半径、弧长和圆心角的有两个公式：一是 S＝12lr＝12|α|r2， 二是 l＝|α|r，如果已知其中两个，就可以求出另一个.求解时应注意先把 度化为弧度，再计算.
解答
反思与感悟 用弧度制表示终边相同的角2kπ＋α(k∈Z)时，其中2kπ是π 的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用.
跟踪训练2 (1)把－1 480°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α≤2π； 解 ∵－1 480°＝－1 480×1π80＝－794π， 而－749π＝－10π＋169π，且 0≤α≤2π，∴α＝169π. ∴－1 480°＝169π＋2×(－5)π.
π rad＝_1_8_0_°_
1°＝
π 180
rad≈ 0.017 45
rad
1 rad＝18π0°≈ 57.30°＝57°18′
(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系
度 0° 1° 30°_4_5_°_ 60°_9_0_°_ 120°_1_3_5_°_ 150°180°_2_7_0_°_ 360°
高中数学北师大版必修四课件：第1章 §3 弧度制
[小组合作型]
弧度制与角度制的互化
将下列角度与弧度进行互化． 7π 11 (1)20° ；(2)－15° ；(3)12；(4)－ 5 π.
【精彩点拨】 本题主要考查角度与弧度的换算．直接套用角度与弧度的换 π 180° 算公式，即度数×180＝弧度数，弧度数× π ＝度数．
【自主解答】
20π π (1)20° ＝180＝9.
【解析】 ∵1 rad≈57.30° ， ∴－2 rad≈－114.60° . 故α的终边在第三象限．
【答案】 C
)
23 3．－12π rad化为角度应为________. 【导学号：66470004】
23 23 【解析】 －12π＝－12×180° ＝－345° .
【答案】 －345°
3 4．如果一扇形的弧长变为原来的 2 倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面 积为原扇形面积的________倍．
阶 段 一
阶 段 三
§3
阶 段 二
弧度制
学 业 分 层 测 评
1．了解角的另外一种度量方法——弧度制． 2.能够熟练地在角度制和弧度制之间进行换算．(重点) 3.掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式．(难点)
[基础· 初探] 教材整理 弧度制 阅读教材P9～P11，完成下列问题． 1．弧度制的定义 在单位圆中，长度为1的弧所对的圆心角称为1弧度角．它的单位符号是 rad ， 读作 弧度 ．以 弧度 作为单位来度量角的单位制，叫作弧度制．
【解析】 3 ＝4S. 1 3 1 1 1 3 1 由于S＝ 2 lR，若l′＝ 2 l，R′＝ 2 R，则S′＝ 2 l′R′＝ 2 × 2 l× 2 R
3 【答案】 4
5．已知集合A＝{α|2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z}，B＝{α|－4≤α≤4}，求A∩B.
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r 是圆的半径。
角度制与弧度制的换算
1 把角度换成弧度
360 2 rad
2Hale Waihona Puke 把弧度换成角度2 rad=360。
180 rad
rad=180。
1 rad 0.01745rad
180
1rad
180
57.30
57 18'
写出一些特殊角的弧度数
角度制与弧度制的比较
①弧度制是以“弧度”为单位度量角的制度，角度制 是以“度”为单位度量角的制度；
②1弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角（或该弧）
的大小，而 1
是圆的
1 360
所对的圆心角（或该弧）
的大小；
③不论是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都 是一 个与圆的半径大小无关的定值．
例3 计算：
4
4
B． 2k 2 与 ，k Ζ
3
3
C． k 与 k ，k Ζ
2
2
D． 2k 1与 3k，k Ζ
小结
（1） 180 弧度；
（ 2）“角化弧”时，n将
将 乘以 180 ；
乘以 180
（3）弧长公式：l r
；“弧化角”时，
扇形面积公式：S 1 lr 1 r 2（其中 l为圆心角 所
写出满足下列条件的角的集合. （1） 锐角 （2） 0 到90 的角 （3） 第一象限的角 （4） 小于90 的角
引入
我们在平面几何中研究角的度量，当时
是用度做单位来度量角， 1 的角是如何定义
的？
规定周角的
1 360
为1。的角。
我们把用度做单位来度量角的制度叫做角度制。
弧度制定义
我们把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1弧度的角． 这种以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度 制，它的单位是弧度，单位符号是rad.
正实数 零
负实数
例4利用弧度制证明扇形面积公式 S 1 lR ，
其中 l 是扇形的弧长，R是圆的半径。 2
弧长公式： l r 即弧长等于弧所
对的圆心角的弧度数的绝对值与半径的乘积。
例5
把下列各角化成 2k 0 2，k Ζ的形式：
（1）
16
3
；（2） 315 ；（3） 11
22
r 对的弧长， 为圆心角的弧度数， 为圆半径．）
作业
7
．
例6 求图中公路弯道处弧
（精确到 1m ，图中长度单
位： ）．
的长l
m
练习
（1）若三角形的三个内角之比是2：3：4，求其三个内角 的弧度数．
（2）已知扇形的周长为 8cm，面积为 4cm，2 求扇形的中
心角的弧度数．
（3）下列角的终边相同的是（ ）．
A． k 与 2k ，k Ζ
（1） sin ；（2）tan1.5 ． 4
解：（1）∵ 45 ∴ sin sin 45 2
4
4
2
（2）∵ 57.30 1.5 85.95 8557
∴ tan1.5 tan8557 14.12
角的集合与实数集之间的一一对应关系：
正角 零角 负角
例1 把 6730化成弧度．
解：∵
6730
67
1
2
∴ 6730 rad 67 1 3 rad
180
28
例2 把 4 rad 化成度．
5
解：4 rad 4 180 144
5
5
角度制与弧度制互化时要抓住 180
弧度这个关键．
演示课件
若弧是一个半圆，则其圆心角的弧度数是多少？ 若弧是一个整圆呢？
为什么可以用弧长与其半径的比值来度 量角的大小呢？即这个比值是否与所取的圆 的半径大小无关呢？
演示课件
一般地有：正角的弧度数是一个正数， 负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数 是0；角 的弧度数的绝对值
| | l
r 其中 l是以角作为圆心角时所对的弧长，
角 度
0 30 45 60 90 120135150180270 360
弧 度
0
64
3
2
2 3 34
5 6
3 2
2
注：今后我们用弧度制表示角的时候，“弧
度”二字或者“rad”通常省略不写，而只写 这个角所对应的弧度数。但如果以度（ 。） 为 单位表示角时，度（ 。）不能省略。
角度制与弧度制的换算
1 把角度换成弧度
360 2 rad
2Hale Waihona Puke 把弧度换成角度2 rad=360。
180 rad
rad=180。
1 rad 0.01745rad
180
1rad
180
57.30
57 18'
写出一些特殊角的弧度数
角度制与弧度制的比较
①弧度制是以“弧度”为单位度量角的制度，角度制 是以“度”为单位度量角的制度；
②1弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角（或该弧）
的大小，而 1
是圆的
1 360
所对的圆心角（或该弧）
的大小；
③不论是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都 是一 个与圆的半径大小无关的定值．
例3 计算：
4
4
B． 2k 2 与 ，k Ζ
3
3
C． k 与 k ，k Ζ
2
2
D． 2k 1与 3k，k Ζ
小结
（1） 180 弧度；
（ 2）“角化弧”时，n将
将 乘以 180 ；
乘以 180
（3）弧长公式：l r
；“弧化角”时，
扇形面积公式：S 1 lr 1 r 2（其中 l为圆心角 所
写出满足下列条件的角的集合. （1） 锐角 （2） 0 到90 的角 （3） 第一象限的角 （4） 小于90 的角
引入
我们在平面几何中研究角的度量，当时
是用度做单位来度量角， 1 的角是如何定义
的？
规定周角的
1 360
为1。的角。
我们把用度做单位来度量角的制度叫做角度制。
弧度制定义
我们把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1弧度的角． 这种以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度 制，它的单位是弧度，单位符号是rad.
正实数 零
负实数
例4利用弧度制证明扇形面积公式 S 1 lR ，
其中 l 是扇形的弧长，R是圆的半径。 2
弧长公式： l r 即弧长等于弧所
对的圆心角的弧度数的绝对值与半径的乘积。
例5
把下列各角化成 2k 0 2，k Ζ的形式：
（1）
16
3
；（2） 315 ；（3） 11
22
r 对的弧长， 为圆心角的弧度数， 为圆半径．）
作业
7
．
例6 求图中公路弯道处弧
（精确到 1m ，图中长度单
位： ）．
的长l
m
练习
（1）若三角形的三个内角之比是2：3：4，求其三个内角 的弧度数．
（2）已知扇形的周长为 8cm，面积为 4cm，2 求扇形的中
心角的弧度数．
（3）下列角的终边相同的是（ ）．
A． k 与 2k ，k Ζ
（1） sin ；（2）tan1.5 ． 4
解：（1）∵ 45 ∴ sin sin 45 2
4
4
2
（2）∵ 57.30 1.5 85.95 8557
∴ tan1.5 tan8557 14.12
角的集合与实数集之间的一一对应关系：
正角 零角 负角
例1 把 6730化成弧度．
解：∵
6730
67
1
2
∴ 6730 rad 67 1 3 rad
180
28
例2 把 4 rad 化成度．
5
解：4 rad 4 180 144
5
5
角度制与弧度制互化时要抓住 180
弧度这个关键．
演示课件
若弧是一个半圆，则其圆心角的弧度数是多少？ 若弧是一个整圆呢？
为什么可以用弧长与其半径的比值来度 量角的大小呢？即这个比值是否与所取的圆 的半径大小无关呢？
演示课件
一般地有：正角的弧度数是一个正数， 负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数 是0；角 的弧度数的绝对值
| | l
r 其中 l是以角作为圆心角时所对的弧长，
角 度
0 30 45 60 90 120135150180270 360
弧 度
0
64
3
2
2 3 34
5 6
3 2
2
注：今后我们用弧度制表示角的时候，“弧
度”二字或者“rad”通常省略不写，而只写 这个角所对应的弧度数。但如果以度（ 。） 为 单位表示角时，度（ 。）不能省略。